2021年新高一数学专题复习《一元二次方程》

这是一份2021年新高一数学专题复习《一元二次方程》，共34页。
2021年新高一数学专题复习《一元二次方程》
一．选择题（共10小题）
1．（2021•安徽三模）根据安徽省统计局发布的数据，某市2020年一季度规上工业增加值与2019年一季度同期相比下降了9.75%，2021年一季度规上工业增加值与2020年一季度同期相比增长了44%，则这两年平均增长率是（　　）
A．8% B．12% C．14% D．21%
2．（2021•郑州模拟）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝a2+b2﹣2ab﹣2，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：5*6＝52+62﹣2×5×6﹣2＝﹣1．若方程x*k＝xk（k为实数）是关于x的方程，则方程的根的情况为（　　）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
3．（2021•江西模拟）若2+，2﹣是关于x的方程x2+ax+b＝0的两个根，则a+b＝（　　）
A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．5
4．（2021•长清区二模）国家统计局统计数据显示，我国快递业务逐年增加，2018年至2020年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．5000（1+2x）＝7500
B．5000（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
5．（2021•岳麓区模拟）随着全球能源危机的逐渐加重，太阳能发电行业发展迅速．全球太阳能光伏应用市场持续稳步增长，2019年全球装机总量约600GW，预计到2021年全球装机总量达到864GW．设全球新增装机量的年平均增长率为x，则可列的方程为（　　）
A．600（1+2x）＝864 B．600+2x＝864
C．（600+x）2＝864 D．600（1+x）2＝864
6．（2021•桓台县二模）定义新运算“a⊕b”：对于任意实数a，b都有a⊕b＝（a+b）（a﹣b）﹣1．例如4⊕3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝6．若x⊕k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实根 B．有两个相等的实根
C．有一个实根 D．没有实根
7．（2021•太和县模拟）已知直线y＝﹣x+a不经过第一象限，则关于x的方程ax2+4x+1＝0实数根的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
8．（2021•福山区模拟）关于x的一元二次方程（k+3）x2+5x+k2+2k﹣3＝0的一个根是0，则k的值是（　　）
A．﹣3或1 B．1 C．﹣3 D．﹣1
9．（2021•大东区一模）一元二次方程3x2+5x+1＝0根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无法判断 D．有两个相等的实数根
10．（2021•包河区三模）受疫情影响，某景区2020年上半年游客人数比2019年下半年下降了40%，2020年下半年又比上半年下降了50%，随着国内疫情逐步得到控制，预计2021年上半年游客人数将比2019年下半年翻一番，设2021年上半年与2020年下半年相比游客人数的增长率为x．则下列关系正确的是（　　）
A．（1﹣40%﹣50%）（1+x）＝2
B．（1﹣40%﹣50%）（1+x）2＝2
C．（1﹣40%）（1﹣50%）（1+x）2＝2
D．（1﹣40%）（1﹣50%）（1+x）＝2
二．填空题（共10小题）
11．（2021•大连模拟）若关于x的方程x2﹣5x+k＝0（k为常数）有两个不相等的实数根，则k满足的条件为 　 　．
12．（2021•东阿县三模）方程3x（x﹣1）＝6（x﹣1）的根为 　 　．
13．（2021•海陵区一模）已知y＝[（x﹣1）2+（x﹣3）2+（x﹣2）2]，当x＝　 　时，y的值最小．
14．（2021•永州模拟）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小3，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小27，则原来的两位数是　 　．
15．（2021•南丰县模拟）已知关于x的方程x2﹣3x﹣m＝0有两个不相等的实根，则m的取值范围是　 　．
16．（2021•九江一模）若m，n是方程3x2+4x﹣3＝0的两根，则式子6m2+10m+2n的值为　 　．
17．（2021•成都模拟）已知m、n是方程x2+2019x﹣2＝0的两个根，则（m2+2018m﹣3）（n2+2020n﹣1）＝　 　．
18．（2021•秦淮区二模）若x1、x2是一元二次方程﹣2x2+3x+1＝0的两个根，则x1+x2的值是　 　．
19．（2021•金坛区模拟）若关于x的方程2x2+mx﹣1＝0有一个根是1，则m＝　 　．
20．（2021•长丰县模拟）定义比如，4⊗2＝2，1⊗5＝1．若实数k满足k[x2⊗（x+1）]﹣1＝0，并且这个关于x的方程有两个不相等的实数解，则k的取值范围是　 　．
三．解答题（共10小题）
21．（2021•平谷区二模）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为满足条件的最大的整数，求此时方程的解．
22．（2021•黄石模拟）已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2满足x12+x22＝16，求k的值．
23．（2021•广东模拟）我国强大的制造业系统在“新冠肺炎”疫情防控中发挥了巨大作用．为缓解口罩供需矛盾，疫情防控期间新增3000多家公司生产口罩．统计数据显示：A公司口罩日产量比B公司口罩日产量多300万只，A公司生产10000万只口罩与B公司生产4000万只口罩所用的时间相等．
（1）A，B两公司口罩日产量分别是多少？
（2）A公司由主营汽车生产临时转型口罩生产，随着工人操作不断娴熟和技术不断改进，口罩月产量保持相同增长率的增长．已知A公司第1个月口罩产量为15000万只，第3个月口罩产量为18150万只，请通过计算判断A公司第4个月口罩产量能否达到20000万只？
24．（2021•凉山州模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+4）x+k2+4k+3＝0．
（1）求证：不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）若此一元二次方程的两根是Rt△ABC两直角边AB、AC的长，斜边BC的长为10，求k的值．
25．（2021•北碚区校级模拟）樱桃果实味甘性温，营养丰富，含铁量高，有调中补气、祛风湿、促进血红蛋白再生等功能．宋代女诗人朱淑真以“樱桃”为题吟道：“为花结实自殊常，摘下盘中颗颗香．味重不容轻众口，独于寝庙荐先尝”．本月正是日啖樱桃的好时节，小玉访友途中先后购买了攀枝花甜樱桃（简称“P樱桃”）4斤和壁山小樱桃（简称“B樱桃”）2斤，共支付125元．
（1）已知P樱桃单价是B樱桃单价的2倍，则P樱桃单价是多少？
（2）小玉发现后购买的樱桃价虽廉，但物不够美，决定到甲、乙两个采摘园自行采摘．回家后发现，甲采摘园樱桃单价比P樱桃单价少a%，乙采摘园樱桃单价比B樱桃高a%，且在甲采摘园采摘的数量比途中购买的P樱桃数量少斤，在乙采摘园采摘的数量与途中购买的B樱桃数量一样多，总价比途中购买时的支付费用125元少a%，则a的值为多少？
26．（2021•岳阳一模）随着某市养老机构建设的稳步推进，拥有的养老床位不断增加．
（1）该市的养老床位数从2018年底的2万个增长到2020年底的2.88万个，求该市这两年（从2018年度到2020年底）拥有的养老床位数的平均年增长率；
（2）若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间（1个养老床位），双人间（2个养老床位），三人间（3个养老床位），因实际需要，规划建造单人间的房间数为t（10≤t≤30），且双人间的房间数是单人间的2倍．设该养老中心建成后能提供养老床位y个，求y与t的函数关系式，并求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？
27．（2021•当阳市模拟）背景知识城镇化是指农村人口转化为城镇人口的过程，城镇化率是指一个地区城镇人口数占该地区人口总数的比例．问题解决：截止2016年底，某市人口总数约为400万人，城镇化率为m；到2020年底，该市总人口增加了20万人，城镇人口增加了28万人，城镇化率达到（m+4%）．
（1）求2016年该市的城镇化率m；
（2）2016年，该市城镇居民人均可支配收入为a万元，农村居民人均可支配收入比城镇居民人均可支配收入少na万元；2020年，该市城镇居民人均可支配收入是2016年的1.5倍，农村居民人均可支配收入比2016年增长的百分率为n．这样，2020年全市居民人均可支配收入达到2016年全市居民人均可支配收入的1.5倍．
①用含a，n的式子表示2016年全市居民的人均可支配收入；
②求n的值．
28．（2021•牡丹区二模）第30届菏泽国际牡丹文化旅游节于4月1日至5月10日举办，主题为“赞盛世牡丹，品魅力菏泽”．为了宣传牡丹制品，某商店欲购进A、B两种牡丹制品，若购进A种牡丹制品5件，B种牡丹制品3件，共需450元；若购进A种牡丹制品10件，B种牡丹制品8件，共需1000元．
（1）购进A、B两种牡丹制品每件各需多少元？
（2）该商店购进足够多的A、B两种牡丹制品，在销售中发现，A种牡丹制品售价为每件80元，每天可销售100件，现在决定对A种牡丹制品在每件80元的基础上降价销售，每件每降价1元，多售出20件，该商店对A种牡丹制品降价销售后每天销量超过200件；B种牡丹制品销售状况良好，每天可获利7000元，为使销售A、B两种牡丹制品每天总获利为10000元，A种牡丹制品每件降价多少元？
29．（2021•和平区一模）药店购进一批口罩进行销售，进价为每盒40元，如果按照每盒47元的价格进行销售，每月可以售出200盒．经过市场调查发现，每盒口罩售价每涨价1元，其月销售量就将减少10盒．
（1）药店要保证每月销售此种口罩盈利1700元，又要使每盒售价不高于55元，则每盒口罩可涨价多少元？
（2）若使该口罩的月销量不低于150盒，则每盒口罩的售价应不高于多少元？
30．（2021•九龙坡区模拟）节能减排是国家“十四五”规划中的一个重要目标，规划提出要在2030年前实现“碳达峰”，到2060年实现“碳中和”发展．为响应国家号召，某省政府计划对一批工业园区的碳排放工厂进行改建和重建，该计划拟定2021年，工厂改建和重建数量共100座，且改建座数不低于重建座数的4倍．
（1）按拟定计划，2021年至少要改建多少座工厂？
（2）经财政实际预算，2021年改建与重建工厂的平均费用之比为1：2，且改建工厂按照拟定计划中最少的数量计算，将花费资金156亿元．为加快实现“碳达峰的目标，该省政府计划加大投入，计划指出2022年用于工厂改建和重建的费用将在2021年实际预算的基础上增加10a%，另外2022年改建与重建工厂的平均费用将比2021年分别增加a%和5a%，改建与重建工厂的座数将比2021年分别增加5a%和8a%，求a的值．

2021年新高一数学专题复习《一元二次方程》
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021•安徽三模）根据安徽省统计局发布的数据，某市2020年一季度规上工业增加值与2019年一季度同期相比下降了9.75%，2021年一季度规上工业增加值与2020年一季度同期相比增长了44%，则这两年平均增长率是（　　）
A．8% B．12% C．14% D．21%
【考点】一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【专题】应用题；一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【分析】设这两年的平均增长率是x，由题意可列出一元二次方程，解方程可得出答案．
【解答】解：设这两年的平均增长率是x，由题意可得，
（1+x）2＝（1﹣9.75%）（1+44%），
解得：x＝0.14＝14%或x＝﹣2.14（舍去）．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
2．（2021•郑州模拟）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝a2+b2﹣2ab﹣2，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：5*6＝52+62﹣2×5×6﹣2＝﹣1．若方程x*k＝xk（k为实数）是关于x的方程，则方程的根的情况为（　　）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【考点】实数的运算；方程的定义；根的判别式．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】利用新运算把方程x*k＝xk（k为实数）化为x2+k2﹣2xk﹣2＝xk，整理得到x2﹣3kx+k2﹣2＝0，再计算判别式的值得到△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：∵x*k＝x2+k2﹣2xk﹣2，
∴关于x的方程x*k＝xk（k为实数）化为x2+k2﹣2xk﹣2＝xk，
整理为x2﹣3kx+k2﹣2＝0，
∵△＝（﹣3k）2﹣4（k2﹣2）＝k2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
3．（2021•江西模拟）若2+，2﹣是关于x的方程x2+ax+b＝0的两个根，则a+b＝（　　）
A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．5
【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】利用根与系数的关系得到2++2﹣＝﹣a，（2+）（2﹣）＝b，再进行二次根式的混合运算求出a、b的值，然后计算a+b的值．
【解答】解：根据题意得2++2﹣＝﹣a，（2+）（2﹣）＝b，
所以a＝﹣4，b＝4﹣3＝1，
所以a+b＝﹣4+1＝﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
4．（2021•长清区二模）国家统计局统计数据显示，我国快递业务逐年增加，2018年至2020年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．5000（1+2x）＝7500
B．5000（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】根据题意可得等量关系：2018年的快递业务量×（1+增长率）2＝2020年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x，
由题意得：5000（1+x）2＝7500，
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
5．（2021•岳麓区模拟）随着全球能源危机的逐渐加重，太阳能发电行业发展迅速．全球太阳能光伏应用市场持续稳步增长，2019年全球装机总量约600GW，预计到2021年全球装机总量达到864GW．设全球新增装机量的年平均增长率为x，则可列的方程为（　　）
A．600（1+2x）＝864 B．600+2x＝864
C．（600+x）2＝864 D．600（1+x）2＝864
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】根据题意可得等量关系：2019年的装机总量×（1+增长率）2＝2021年的装机总量，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设全球新增装机量的年平均增长率为x，
由题意得：600（1+x）2＝864，
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
6．（2021•桓台县二模）定义新运算“a⊕b”：对于任意实数a，b都有a⊕b＝（a+b）（a﹣b）﹣1．例如4⊕3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝6．若x⊕k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实根 B．有两个相等的实根
C．有一个实根 D．没有实根
【考点】实数的运算；方程的定义；根的判别式．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】利用新定义得到（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，再把方程化为一般式后计算判别式的值，然后利用Δ＞0可判断方程根的情况．
【解答】解：∵x⊕k＝x（k为实数）是关于x的方程，
∴（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，
整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0，
∵Δ＝（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣1）
＝4k2+5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7．（2021•太和县模拟）已知直线y＝﹣x+a不经过第一象限，则关于x的方程ax2+4x+1＝0实数根的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
【考点】根的判别式；一次函数的性质．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】利用一次函数的性质得到a≤0，再判断△＝22﹣4a＞0，从而得到方程根的情况．
【解答】解：∵直线y＝﹣x+a不经过第一象限，
∴a≤0，
当a＝0时，关于x的方程ax2+4x+1＝0是一元一次方程，解为x＝﹣，
当a＜0时，关于x的方程ax2+4x+1＝0是一元二次方程，
∵△＝42﹣4a＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．
8．（2021•福山区模拟）关于x的一元二次方程（k+3）x2+5x+k2+2k﹣3＝0的一个根是0，则k的值是（　　）
A．﹣3或1 B．1 C．﹣3 D．﹣1
【考点】一元二次方程的定义；一元二次方程的解．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【分析】根据一元二次方程的定义可得出k+3≠0，进而可得出k≠﹣3，将x＝0代入原方程可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，结合k≠1即可得出结论．
【解答】解：∵方程（k+3）x2+5x+k2+2k﹣3＝0，
∴k﹣3≠0，
∴k≠﹣3．
将x＝0代入（k+3）x2+5x+k2+2k﹣3＝0，得：k2+2k﹣3＝0，
解得：k1＝﹣3（不合题意，舍去），k2＝1，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解，代入x＝0求出k的值是解题的关键．
9．（2021•大东区一模）一元二次方程3x2+5x+1＝0根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无法判断 D．有两个相等的实数根
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【专题】判别式法；运算能力．
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义求解．
【解答】解：∵△＝52﹣4×3×1＝13＞0，
∴方程有两个不相等的实数根
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
10．（2021•包河区三模）受疫情影响，某景区2020年上半年游客人数比2019年下半年下降了40%，2020年下半年又比上半年下降了50%，随着国内疫情逐步得到控制，预计2021年上半年游客人数将比2019年下半年翻一番，设2021年上半年与2020年下半年相比游客人数的增长率为x．则下列关系正确的是（　　）
A．（1﹣40%﹣50%）（1+x）＝2
B．（1﹣40%﹣50%）（1+x）2＝2
C．（1﹣40%）（1﹣50%）（1+x）2＝2
D．（1﹣40%）（1﹣50%）（1+x）＝2
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
【专题】增长率问题；应用意识．
【分析】设2021年上半年与2020年下半年相比游客人数的增长率为x，根据“2021年上半年游客人数将比2019年下半年翻一番”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设2021年上半年与2020年下半年相比游客人数的增长率为x．则（1﹣40%）（1﹣50%）（1+x）2＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2021•大连模拟）若关于x的方程x2﹣5x+k＝0（k为常数）有两个不相等的实数根，则k满足的条件为 　k＜　．
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣5）2﹣4k＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得△＝（﹣5）2﹣4k＞0，
解得k＜．
故答案为k＜．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
12．（2021•东阿县三模）方程3x（x﹣1）＝6（x﹣1）的根为 　x1＝1，x2＝2　．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】先将原方程变形整理，得到3（x﹣1）（x﹣2）＝0，利用因式分解法把原方程转化为x﹣1＝0或x﹣2＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：原方程变形整理后得：3（x﹣1）（x﹣2）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝1，x2＝2，
故答案为：x1＝1，x2＝2．
【点评】本题考查解一元二次方程﹣因式分解法，正确掌握因式分解法将一元二次方程转化为一元一次方程是解题的关键．
13．（2021•海陵区一模）已知y＝[（x﹣1）2+（x﹣3）2+（x﹣2）2]，当x＝　2　时，y的值最小．
【考点】配方法的应用．菁优网版权所有
【专题】配方法；应用意识．
【分析】先将等式右边化简整理，得出y是x的二次函数，再利用配方法即可求出y的值最小时x的取值．
【解答】解：∵y＝[（x﹣1）2+（x﹣3）2+（x﹣2）2]
＝[（x2﹣2x+1)+（x2﹣6x+9)+（x2﹣4x+4)
＝（3x2﹣12x+14)
＝x2﹣4x+
＝（x﹣2）2+,
∴当x＝2时，y的值最小．
故答案为：2．
【点评】本题考查了配方法的应用，二次函数的性质，完全平方公式，将题中等式运用配方法变形为（x﹣2）2+是解题的关键．
14．（2021•永州模拟）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小3，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小27，则原来的两位数是　63　．
【考点】一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设这个数的个位数字为x，则十位数字为（x+3），根据十位上的数字比个位上的数字的平方小3，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，结合x为非负整数即可确定x的值，再将其代入[10（x+）+x]中即可求出结论．
【解答】解：设这个数的个位数字为x，则十位数字为（x+）＝（x+3），
依题意得：x2﹣（x+）＝3，
整理得：x2﹣x﹣6＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣2，
又∵x为非负整数，
∴x＝3，
∴10（x+）+x＝63．
故答案为：63．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．（2021•南丰县模拟）已知关于x的方程x2﹣3x﹣m＝0有两个不相等的实根，则m的取值范围是　m＞﹣　．
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣3）2﹣4×（﹣m）＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得△＝（﹣3）2﹣4×（﹣m）＞0，
解得m＞﹣．
故答案为m＞﹣．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
16．（2021•九江一模）若m，n是方程3x2+4x﹣3＝0的两根，则式子6m2+10m+2n的值为　　．
【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据一元二次方程的解结合根与系数的关系，即可得出3m2+4m﹣3＝0，m+n＝﹣，将其代入2（3m2+4m）+2m+2n中，即可求出结论．
【解答】解：∵m，n为方程3x2+4x﹣3＝0的两根，
∴3m2+4m﹣3＝0，m+n＝﹣，
∴3m2+4m＝3．
∴6m2+10m+2n＝2（3m2+4m）+2m+2n＝6+2（m+n）＝6+2×（﹣）＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
17．（2021•成都模拟）已知m、n是方程x2+2019x﹣2＝0的两个根，则（m2+2018m﹣3）（n2+2020n﹣1）＝　2020　．
【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】由于m、n是方程x2+2019x﹣2＝0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n＝﹣2019，mn＝﹣2，并且m2+2019m﹣2＝0，n2+2019n﹣2＝0，将所求的代数式变形后代入即可求出结果．
【解答】解：∵m、n是方程x2+2019x﹣2＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣2019，mn＝﹣2，m2+2019m﹣2＝0，n2+2019n﹣2＝0，
∴（m2+2018m﹣3）（n2+2020n﹣1）＝（m2+2019m﹣2﹣m﹣1）（n2+2019n﹣2+n+1）
＝（﹣m﹣1）（n+1）
＝﹣mn﹣m﹣n﹣1
＝2+2019﹣1
＝2020．
故答案为：2020．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
18．（2021•秦淮区二模）若x1、x2是一元二次方程﹣2x2+3x+1＝0的两个根，则x1+x2的值是　　．
【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据根与系数的关系得出即可．
【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程﹣2x2+3x+1＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．
19．（2021•金坛区模拟）若关于x的方程2x2+mx﹣1＝0有一个根是1，则m＝　﹣1　．
【考点】一元二次方程的解．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【分析】将x＝1代入已知方程中，列出关于系数m的新方程，通过解新方程即可求得m的值．
【解答】解：∵关于x的方程2x2+mx﹣1＝0有一个根是1，
∴2×12+m﹣1＝0，
解得，m＝﹣1．
故答案是：﹣1．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
20．（2021•长丰县模拟）定义比如，4⊗2＝2，1⊗5＝1．若实数k满足k[x2⊗（x+1）]﹣1＝0，并且这个关于x的方程有两个不相等的实数解，则k的取值范围是　k≥　．
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【专题】计算题；一元二次方程及应用；运算能力；推理能力．
【分析】先根据定义对方程进行分两种情况讨论．第一种情况是x2﹣（x+1）≤1时，解出﹣1≤x≤2．方程变为kx2﹣1＝0有两个不等实数根，△＞0，代入可以解出k＞0．而方程的根可以解出为±，这个值需要满足﹣1≤x≤2，再代入求解得到k≥．第二种情况是x2﹣（x+1）＞1，方程变为k（x+1）﹣1＝0．当k≠0时，是一元一次方程，只有一个实数解，与题意矛盾；当k＝0，方程不存在．综上所述，k≥．
【解答】解：（1）当x2﹣（x+1）≤1时，方程变为kx2﹣1＝0．
∵方程变为kx2﹣1＝0有两个不等实数根，
∴△＞0，即△＝4k＞0，k＞0．
∴方程的解为x＝±．
又∵x2﹣（x+1）≤1，
∴﹣1≤x≤2，
∴﹣1≤﹣＜≤2，解出k≥．
（2）当x2﹣（x+1）＞1时，x＞2或x＜﹣1，
∴方程变为k（x+1）﹣1＝0．
因为k≠0时，此方程是一元一次方程方程，由题意可得x＝﹣1，只有一个实数解，与题意不符；
当k≠0时方程不存在，不符合题意．
综上，k≥．
故答案为：k≥．
【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能熟记知识点是解此题的关键，注意：已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0，△＝b2﹣4ac）的两个根是x1，x2，
①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当△＝0时，方程有两个相等的实数根；
当△＜0时，方程没有实数根；
②当△≥0时，x2+x2＝﹣，x1•x2＝．
三．解答题（共10小题）
21．（2021•平谷区二模）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为满足条件的最大的整数，求此时方程的解．
【考点】解一元二次方程﹣公式法；根的判别式．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】（1）根据判别式大于0即可求出答案．
（2）先求出k的值，然后代入方程求出方程的解即可求出答案．
【解答】解：（1）△＝4﹣4（k﹣2）＝12﹣4k＞0，
∴k＜3．
（2）由（1）可知：k＝2，
∴此时方程为：x2+2x＝0，
∴x（x+2）＝0，
∴x＝0或x＝﹣2．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
22．（2021•黄石模拟）已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2满足x12+x22＝16，求k的值．
【考点】根的判别式；根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；推理能力．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系及x12+x22＝16，即可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k值，再结合（1）的结论即可确定k的值．
【解答】解：（1）∵a＝1，b＝2（k﹣1），c＝k2﹣1，
∴△＝b2﹣4ac＞0，即[2（k﹣1）]2﹣4×1×（k2﹣1）＞0，
∴k＜1．
（2）∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1．
∵x12+x22＝16，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝16，即[﹣2（k﹣1）]2﹣2（k2﹣1）＝16，
整理，得：k2﹣4k﹣5＝0，
解得：k1＝5，k2＝﹣1．
又∵k＜1，
∴k＝﹣1．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）根据根与系数的关系及x12+x22＝16，找出关于k的一元二次方程．
23．（2021•广东模拟）我国强大的制造业系统在“新冠肺炎”疫情防控中发挥了巨大作用．为缓解口罩供需矛盾，疫情防控期间新增3000多家公司生产口罩．统计数据显示：A公司口罩日产量比B公司口罩日产量多300万只，A公司生产10000万只口罩与B公司生产4000万只口罩所用的时间相等．
（1）A，B两公司口罩日产量分别是多少？
（2）A公司由主营汽车生产临时转型口罩生产，随着工人操作不断娴熟和技术不断改进，口罩月产量保持相同增长率的增长．已知A公司第1个月口罩产量为15000万只，第3个月口罩产量为18150万只，请通过计算判断A公司第4个月口罩产量能否达到20000万只？
【考点】一元二次方程的应用；分式方程的应用．菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用；一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】（1）设B公司口罩日产量是x万只，则A公司口罩日产量是（x+300）万只，根据工作时间＝工作总量÷工作效率，结合A公司生产10000万只口罩与B公司生产4000万只口罩所用的时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设A公司口罩月产量的增长率为m，根据A公司第3个月口罩产量＝A公司第1个月口罩产量×（1+增长率）2，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值（取其正值），利用A公司第4个月口罩产量＝A公司第3个月口罩产量×（1+增长率），即可求出A公司第4个月口罩产量，再将其与20000万只比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设B公司口罩日产量是x万只，则A公司口罩日产量是（x+300）万只，
依题意得：＝，
解得：x＝200，
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，
∴x+300＝500．
答：A公司口罩日产量是500万只，B公司口罩日产量是200万只．
（2）设A公司口罩月产量的增长率为m，
依题意得：15000（1+m）2＝18150，
解得：m1＝0.1＝10%，m2＝﹣2.1（不合题意，舍去），
A公司第4个月口罩产量为18150×（1+10%）＝19965（万只），
∵19965＜20000，
∴A公司第4个月口罩产量不能达到20000万只．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
24．（2021•凉山州模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+4）x+k2+4k+3＝0．
（1）求证：不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）若此一元二次方程的两根是Rt△ABC两直角边AB、AC的长，斜边BC的长为10，求k的值．
【考点】根的判别式；根与系数的关系；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】（1）先根据判别式的值得到△＝4，由此根据判别式的意义可得到一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）利用求根公式法解方程得到x1＝k+1＞0，x2＝k+3＞0，即Rt△ABC两直角边的长为k+1和k+3，斜边BC的长为10，然后根据勾股定理得到（k+1）2+（k+3）2＝102，解方程得到满足条件的k的值为5．
【解答】（1）证明：∵△＝[﹣（2k+4）]2﹣4（k2+4k+3）
＝4＞0，
∴不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：x2﹣（2k+4）x+k2+4k+3＝0，
（x﹣k﹣1）（x﹣k﹣3）＝0，
∴x1＝k+1＞0，x2＝k+3＞0，
∴Rt△ABC两直角边的长为k+1和k+3，斜边BC的长为10，
∴（k+1）2+（k+3）2＝102，
解得k1＝﹣9（舍去），k2＝5，
∴k的值为5．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了勾股定理．
25．（2021•北碚区校级模拟）樱桃果实味甘性温，营养丰富，含铁量高，有调中补气、祛风湿、促进血红蛋白再生等功能．宋代女诗人朱淑真以“樱桃”为题吟道：“为花结实自殊常，摘下盘中颗颗香．味重不容轻众口，独于寝庙荐先尝”．本月正是日啖樱桃的好时节，小玉访友途中先后购买了攀枝花甜樱桃（简称“P樱桃”）4斤和壁山小樱桃（简称“B樱桃”）2斤，共支付125元．
（1）已知P樱桃单价是B樱桃单价的2倍，则P樱桃单价是多少？
（2）小玉发现后购买的樱桃价虽廉，但物不够美，决定到甲、乙两个采摘园自行采摘．回家后发现，甲采摘园樱桃单价比P樱桃单价少a%，乙采摘园樱桃单价比B樱桃高a%，且在甲采摘园采摘的数量比途中购买的P樱桃数量少斤，在乙采摘园采摘的数量与途中购买的B樱桃数量一样多，总价比途中购买时的支付费用125元少a%，则a的值为多少？
【考点】一元一次方程的应用；一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】（1）设P樱桃单价是x元，则B樱桃单价是x元，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据总价＝单价×数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设P樱桃单价是x元，则B樱桃单价是x元，
依题意得：4x+2×x＝125，
解得：x＝25．
答：P樱桃单价是25元．
（2）依题意得：25（1﹣a%）×（4﹣）+（1+a%）×2＝125（1﹣a%），
整理得：0.0125a2﹣0.25a＝0，
解得：a1＝20，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值为20．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
26．（2021•岳阳一模）随着某市养老机构建设的稳步推进，拥有的养老床位不断增加．
（1）该市的养老床位数从2018年底的2万个增长到2020年底的2.88万个，求该市这两年（从2018年度到2020年底）拥有的养老床位数的平均年增长率；
（2）若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间（1个养老床位），双人间（2个养老床位），三人间（3个养老床位），因实际需要，规划建造单人间的房间数为t（10≤t≤30），且双人间的房间数是单人间的2倍．设该养老中心建成后能提供养老床位y个，求y与t的函数关系式，并求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？
【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；一次函数及其应用；应用意识．
【分析】（1）设该市这两年（从2018年度到2020年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x，根据该市2018年底和2020年底的养老床位数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设该养老中心建成后能提供养老床位y个，根据床位数＝单人间数+2×双人间数+3×三人间数，即可得出y关于t的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设该市这两年（从2018年度到2020年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x，
依题意得：2（1+x）2＝2.88，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市这两年（从2018年度到2020年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为20%．
（2）设该养老中心建成后能提供养老床位y个，
则y＝t+2×2t+3（100﹣t﹣2t）＝﹣4t+300（10≤t≤30）．
∵k＝﹣4＜0，
∴y随t的增大而减小，
∴当t＝10时，y取得最大值，最大值＝﹣4×10+300＝260（个）．
答：该养老中心建成后最多提供养老床位260个．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，找出y关于t的函数关系式．
27．（2021•当阳市模拟）背景知识城镇化是指农村人口转化为城镇人口的过程，城镇化率是指一个地区城镇人口数占该地区人口总数的比例．问题解决：截止2016年底，某市人口总数约为400万人，城镇化率为m；到2020年底，该市总人口增加了20万人，城镇人口增加了28万人，城镇化率达到（m+4%）．
（1）求2016年该市的城镇化率m；
（2）2016年，该市城镇居民人均可支配收入为a万元，农村居民人均可支配收入比城镇居民人均可支配收入少na万元；2020年，该市城镇居民人均可支配收入是2016年的1.5倍，农村居民人均可支配收入比2016年增长的百分率为n．这样，2020年全市居民人均可支配收入达到2016年全市居民人均可支配收入的1.5倍．
①用含a，n的式子表示2016年全市居民的人均可支配收入；
②求n的值．
【考点】一元一次方程的应用；一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【专题】应用题；方程与不等式；数据分析观念；应用意识．
【分析】（1）由城镇化率得出城镇人口的等量关系式，从而列出一元一次方程，解决问题；
（2）①分别求出2016年农村居民和城镇居民人均可支配收入相加即为所求；
②列出2020年全市居民人均可支配收入的等量关系，并列出方程即可解决．
【解答】解：（1）由2016年总人数400万，到2020年底，该市总人口增加了20万人，以及2016年城镇化率为m，
可得城镇人口为：（400+20）×（m+4%）；
由题意知2016年城镇人口为400m，加上2020年底增加的28万人，
可得城镇人口为：400m+28；
从而列出方程：（400+20）×（m+4%）＝400m+28；
解之得：m＝56%；
（2）①2016年城镇居民人均可支配收入为a万元，农村居民人均可支配收入比城镇居民人均可支配收入少na万元，则农村居民人均可支配收入为a﹣na
故2016年全市居民的人均可支配收入为：a+a﹣na，即2a﹣na；
②∵2020年全市居民人均可支配收入为2016年全市居民人均可支配收入的1.5倍，
∴2020年全市居民人均可支配收入为：1.5×（2a﹣na），
又∵2020年，该市城镇居民人均可支配收入是2016年的1.5倍
∴2020年，该市城镇居民人均可支配收入为：1.5a，
∵2020年，农村居民人均可支配收入比2016年增长的百分率为n，
∴2020年，农村居民人均可支配收入为：（a﹣na）（1+n），
故2020年全市居民人均可支配收入还可以为：（a﹣na）（1+n）+1.5a，
从而列出方程：1.5×（2a﹣na）＝（a﹣na）（1+n）+1.5a，
解之得：n＝0.5，或n＝1（舍）．
故答案为：①2a﹣na；②n＝0.5．
【点评】本题考查了一元一次方程与一元二次方程的实际问题，解决此类问题需要找出等量关系式，从而列出方程解决问题．
28．（2021•牡丹区二模）第30届菏泽国际牡丹文化旅游节于4月1日至5月10日举办，主题为“赞盛世牡丹，品魅力菏泽”．为了宣传牡丹制品，某商店欲购进A、B两种牡丹制品，若购进A种牡丹制品5件，B种牡丹制品3件，共需450元；若购进A种牡丹制品10件，B种牡丹制品8件，共需1000元．
（1）购进A、B两种牡丹制品每件各需多少元？
（2）该商店购进足够多的A、B两种牡丹制品，在销售中发现，A种牡丹制品售价为每件80元，每天可销售100件，现在决定对A种牡丹制品在每件80元的基础上降价销售，每件每降价1元，多售出20件，该商店对A种牡丹制品降价销售后每天销量超过200件；B种牡丹制品销售状况良好，每天可获利7000元，为使销售A、B两种牡丹制品每天总获利为10000元，A种牡丹制品每件降价多少元？
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【专题】一次方程（组）及应用；一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【分析】（1）设购进A种牡丹制品每件需x元，B种牡丹制品每件需y元，根据单价乘以件数，把两种商品的费用相加得总费用，列二元一次方程组求解即可；
（2）设A种牡丹制品每件降价m元，则根据“每件每降价1元，多售出20件，该商店对A种商品降价销售后每天销量超过200件”，可得100+20m＞200；再由题意可得A的利润为（80﹣60﹣m）（20m+100）；结合B每天可获利7000元，A，B两种商品每天获利10000元，列方程即可求出m的值．
【解答】解：（1）设购进A种牡丹制品每件需x元，B种牡丹制品每件需y元，
则由题意得：，
解得：，
答：购进A种牡丹制品每件需60元，B种牡丹制品每件需50元；
（2）设种牡丹制品每件降价m元，
则由题意得：，
化简得：，
∴m＝10，
答：A种牡丹制品每件降价10元．
【点评】本题综合考查了二元一次方程组、一元一次不等式和一元二次方程在实际问题中的应用，根据实际问题准确找出等量关系是解决问题的关键．
29．（2021•和平区一模）药店购进一批口罩进行销售，进价为每盒40元，如果按照每盒47元的价格进行销售，每月可以售出200盒．经过市场调查发现，每盒口罩售价每涨价1元，其月销售量就将减少10盒．
（1）药店要保证每月销售此种口罩盈利1700元，又要使每盒售价不高于55元，则每盒口罩可涨价多少元？
（2）若使该口罩的月销量不低于150盒，则每盒口罩的售价应不高于多少元？
【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】（1）设每盒口罩需涨价x元，根据“每盒口罩涨价1元，则口罩的销量每月减少10盒”表示出销售量，由（售价﹣进价）×销售量＝利润列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）设每盒口罩的售价为m元，由关键描述语“该口罩的月销量不低于150盒”列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）设每盒口罩可涨价x元，
则每月可售（200﹣10x）盒，
由题意，得（x+47﹣40）（200﹣10x）＝1700，
解得 x1＝3，x2＝10（不合题意，舍去），
∵3+47＝50＜55，
∴每盒口罩可涨价3元，
答：每盒口罩可涨价3元；
（2）设每盒口罩的售价为m元，
则200﹣10（m﹣47）≥150，
解得，m≤52．
即：每盒口罩的售价应不高于52元．
答：每盒口罩的售价应不高于52元．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，弄清“每盒口罩涨价1元，则口罩的销量每月减少10盒”是解本题的关键．
30．（2021•九龙坡区模拟）节能减排是国家“十四五”规划中的一个重要目标，规划提出要在2030年前实现“碳达峰”，到2060年实现“碳中和”发展．为响应国家号召，某省政府计划对一批工业园区的碳排放工厂进行改建和重建，该计划拟定2021年，工厂改建和重建数量共100座，且改建座数不低于重建座数的4倍．
（1）按拟定计划，2021年至少要改建多少座工厂？
（2）经财政实际预算，2021年改建与重建工厂的平均费用之比为1：2，且改建工厂按照拟定计划中最少的数量计算，将花费资金156亿元．为加快实现“碳达峰的目标，该省政府计划加大投入，计划指出2022年用于工厂改建和重建的费用将在2021年实际预算的基础上增加10a%，另外2022年改建与重建工厂的平均费用将比2021年分别增加a%和5a%，改建与重建工厂的座数将比2021年分别增加5a%和8a%，求a的值．
【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．菁优网版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】（1）设改建x座工厂，则重建工厂为（100﹣x）座，根据改建座数不低于重建座数的4倍列出不等式求解即可；
（2）设改建一座工厂花费y亿元，重建一座为2y亿元，根据将花费资金156亿元列出方程求出y；再根据2022年改建和重建的费用和等于2021年实际预算的基础上增加10a%，列出方程求出a．
【解答】解：（1）设改建x座工厂，则重建工厂为（100﹣x）座，
根据题意得：x≥4（100﹣x），
解得：x≥80，
∴至少改建80座工厂；
（2）由（1）得：改建工厂80座，则此时重建工厂20座，
设改建一座工厂花费y亿元，重建一座为2y亿元，
根据题意得：80y+20×2y＝156，
解得y＝1.3，
∴2y＝2.6，
由题意得：1.3（1+a%）×80（1+5a%）+2.6（1+5a%）×20（1+8a%）＝156（1+10a%），
解得：a＝10．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据题中的等量关系列出方程．

考点卡片
1．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
2．方程的定义
（1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程．
方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数．
（2）列方程的步骤：
①设出字母所表示的未知数；
②找出问题中的相等关系；
③列出含有未知数的等式﹣﹣﹣﹣方程．
3．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
4．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
5．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
6．解一元二次方程-公式法
（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
7．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
8．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
9．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
10．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
11．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
12．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
13．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
14．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
15．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
16．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
17．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
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日期：2021/6/29 15:38:24；用户：周晓丽；邮箱：17788760824；学号：25289867