2021年新高一数学专题复习《相似》

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2021年新高一数学专题复习《相似》
一．选择题（共10小题）
1．（2021•碑林区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，若点E是边BC的中点，连接AE，过点D作DF⊥AE交AE于点F，则DF的长为（　　）

A．1.8 B．2.2 C．2.4 D．2.8
2．（2021•宜兴市模拟）如图，在△ABC中，D是BC上一点，连接AD，，F是AD的中点，连接BF并延长交AC于E，则的值是（　　）

A． B． C． D．
3．（2021•重庆模拟）如图，在△ABC外任取一点O，连接AO、BO、CO，并分别取它们的中点D、E、F，顺次连接DE、EF、DF得到△DEF，则下列说法错误的是（　　）

A．△DEF与△ABC是位似图形
B．△DEF与△ABC是相似图形
C．△DEF与△ABC的周长比是1：2
D．△DEF与△ABC的面积比是1：2
4．（2021•九龙坡区校级模拟）如图，已知△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△EDC的位似比为1：2，△ABC周长为2，则△EDC的周长是（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
5．（2021•深圳模拟）如图，矩形ABCD中，E为DC的中点，AD：AB＝：2，CP：BP＝1：2，连接EP并延长，交AB的延长线于点F，AP、BE相交于点O．下列结论：①EP平分∠CEB；②BF2＝PB•EF；③PF•EF＝2AD2；④EF•EP＝4AO•PO．其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2021•滨江区二模）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O，交AC于点E，交BC于点D，若CD＝BD，则（　　）

A．AC＝BC B．
C．AB＝2DE D．BC•BD＝AB•CE
7．（2021•德城区二模）如图，在正方形ABCD中，点O是对角AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，EF、OC交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；②△OGE∽△FGC；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+BE2＝OG•OC．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．③④
8．（2021•下城区校级二模）如图在△ABC中，AD是BC边上的高线，BD＝1，DC＝3，过点A作AE∥BC，连接BE交AD，AC于点F，点G，若BE平分AC，则＝（　　）

A． B． C． D．
9．（2021•温州）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结CG，延长BE交CG于点H．若AE＝2BE，则的值为（　　）

A． B． C． D．
10．（2021•西湖区校级二模）如图，正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连接AH交DE于点O，则等于（　　）

A．3 B． C．2 D．
二．填空题（共10小题）
11．（2021•深圳模拟）如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，AE：ED＝2：3，连接BE、AC相交于F，则S△AEF：S△CBF＝　 　．

12．（2021•深圳模拟）如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB的中点，BD与CE交于点O，连接DE．下列结论：
①；②；③；④．
其中，正确的有 　 　．

13．（2021•雁塔区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝3+，∠B＝45°，∠C＝105°，点D，E，F分别在AC、BC、AB上，且四边形ADEF为菱形，则菱形的边长为　 　；若点P是AE上一个动点，则PF+PB的最小值为　 　．

14．（2021•万州区模拟）如图，已知△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△EDC的位似比为1：2，△ABC面积为4，则△EDC的面积是　 　．

15．（2021•南关区校级二模）如图，正六边形ABCDEF经过位似变换得到正六边形A'B'C'D'E'F'．若AB＝3，B'C'＝1，则正六边形A'B'C'D'E'F'和正六边形ABCDEF的面积比是　 　．

16．（2021•成都模拟）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D、E分别在边AC、BC上，点F、G在AB边上，当四边形DEFG是菱形，且符合条件的菱形只有一个时，则菱形的边长l的取值范围是　 　．

17．（2021•江干区二模）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，C为弧AB的中点，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点F，连接AC，若AC∥DF，⊙O的半径为，BE＝AE，则CE＝　 　．

18．（2021•太和县模拟）如图，△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE相交于点P，则S△PDE：S△PAC＝　 　．

19．（2021•顺德区二模）如图，在矩形ABCD中，将△ADC绕点D逆时针旋转90°得到△FDE，使得B、F、E三点恰好在同一直线上，AC与BE相交于点G，连接DG．以下结论正确的是　 　．
①△BCG∽△GAD；
②AC⊥BE；
③点F是线段CD的黄金分割点；
④CG+DG＝EG．

20．（2021•坪山区二模）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠C＝∠E＝60°，点D在BC边上，AC与DE相交于点F，＝3，则＝　 　．

三．解答题（共10小题）
21．（2021•瑞安市一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边BC上一点，连接AD，△ACD的外接圆⊙O交AB于点E，点F是上一点，且，连接AF，DF．
（1）求证：∠ADF＝∠B；
（2）若AC＝4，CB＝8，当点E是AB的中点时，求AF的长．

22．（2021•本溪模拟）如图，AB是半圆⊙O的直径，C为半圆上一点，CE⊥AB，垂足为E，F为AB延长线上一点，且∠FCB＝∠ECB．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若EB＝3，BF＝6，求图中阴影部分的面积．

23．（2021•槐荫区二模）如图，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上的一点，DE是⊙O的切线，过点B作BF⊥DE于点F，分别延长AD、BF相交于点C．
（1）求证：∠A＝∠C；
（2）当BF＝1，DF＝2时，求⊙O的直径．

24．（2021•南昌模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，过点A、B的⊙O分别交AC、BC于点DE，AB＝AE，CD的垂直平分线交BC于点F，连接DF．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）已知EF＝3，DE＝4，求BE和AB的长．

25．（2021•杭州一模）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＞90°，它的外角∠EAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC，DB交AC于点F．
（1）求证：DB＝DC．
（2）若DA＝DF，
①当∠ABC＝α，求∠DFC的度数（用含α的代数式表示）．
②设⊙O的半径为5，BC＝6，求AD的长．

26．（2021•泰州模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别在边AB、AC上，给出下列信息：
①BE平分∠ABC；
②CD⊥AB；
③∠CFE＝∠CEF．
（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由．你选择的条件是　 　，结论是　 　（只要填写序号）．
（2）在（1）的情况下，若AC＝6，BC＝8，求CE的长．

27．（2021•蓬安县模拟）如图，AB是⊙O的直径，C、D在圆上，且AC＝DC，过C点的切线CE和DB的延长线交于E点，⊙O的半径r＝5，CD＝8．
（1）求证：BC平分∠ABE；
（2）求证：CE⊥DE；
（3）求DE的长．

28．（2021•渭滨区模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．
（1）求证：OE所在直线是线段BC的垂直平分线；
（2）已知，求O，E两点之间的距离．

29．（2021•蜀山区二模）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E是BC上一点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE的延长线于点F，过点C作CG⊥AE于点G．

（1）求证：△ACG≌△BAF：
（2）如图2，点D是BC的中点，连接DF，DG．
①求∠BFD的度数；
②当GF＝，且点E为BD中点时，求△ABC的面积．
30．（2019•大邑县模拟）已知：点E是正方形ABCD中边AB的中点．
（1）如图1，点T为线段DE上一点，连接BT并延长交AD于点M，连接AT并延长交CD于点N，且AM＝DN．试判断线段AN与线段BM的关系，并证明；求证：点M是线段AD的黄金分割点．
（2）如图2，在AD边上取一点M，满足AM2＝DM•DA时，连接BM交DE于点T，连接AT并延长交DC于点N，求tan∠MTD的值．


2021年新高一数学专题复习《相似》
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021•碑林区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，若点E是边BC的中点，连接AE，过点D作DF⊥AE交AE于点F，则DF的长为（　　）

A．1.8 B．2.2 C．2.4 D．2.8
【考点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】根据勾股定理求出AE＝2.5，证明△ABE∽△DFA，根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠BAD＝∠B＝90°，
∵点E是边BC的中点，
∴BE＝BC＝1.5，
∴AE＝＝2.5，
∵DF⊥AE，
∴∠BAE+∠DAF＝∠DAF+∠FDA＝90°，
∴∠BAE＝∠FDA，
∵∠B＝∠AFD＝90°，
∴△ABE∽△DFA，
∴，
∴，
∴DF＝2.4．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
2．（2021•宜兴市模拟）如图，在△ABC中，D是BC上一点，连接AD，，F是AD的中点，连接BF并延长交AC于E，则的值是（　　）

A． B． C． D．
【考点】平行线分线段成比例．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】过D点作DH∥BE交AC于H，如图，根据平行线分线段成比例定理，先利用FE∥DH得到＝＝1，即AE＝EH，再由DH∥BE，＝＝，则CE＝4AE，从而得到的值．
【解答】解：过D点作DH∥BE交AC于H，如图，
∵F点为AD的中点，
∴AF＝FD，
∵FE∥DH，
∴＝＝1，即AE＝EH，
∵DH∥BE，
∴＝＝，CH＝3EH，
∴＝．
故选：A．

【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
3．（2021•重庆模拟）如图，在△ABC外任取一点O，连接AO、BO、CO，并分别取它们的中点D、E、F，顺次连接DE、EF、DF得到△DEF，则下列说法错误的是（　　）

A．△DEF与△ABC是位似图形
B．△DEF与△ABC是相似图形
C．△DEF与△ABC的周长比是1：2
D．△DEF与△ABC的面积比是1：2
【考点】位似变换．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】根据三角形中位线定理得到EF∥BC，EF＝BC，DF∥AC，DF＝AC，DE∥AB，DE＝AB，进而证明△ADEF∽△ABC，根据位似图形的概念、相似三角形的性质判断即可．
【解答】解：∵AO、BO、CO的中点分别为D、E、F，
∴EF∥BC，EF＝BC，DF∥AC，DF＝AC，DE∥AB，DE＝AB，
∴△ADEF∽△ABC，
∴△DEF与△ABC是位似图形，位似中心为点O，
∴△DEF与△ABC是相似图形，
∴△DEF与△ABC的周长比是1：2，△DEF与△ABC的面积比是1：4，
∴D选项说法错误，
故选：D．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质、三角形中位线定理，掌握位似图形的概念、相似三角形的周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方是解题的关键．
4．（2021•九龙坡区校级模拟）如图，已知△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△EDC的位似比为1：2，△ABC周长为2，则△EDC的周长是（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】位似变换．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】根据位似变换的性质得到△ABC∽△EDC，根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．
【解答】解：∵△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△EDC，
∵△ABC和△EDC的位似比为1：2，
∴△ABC和△EDC的相似比为1：2，
则△ABC与△EDC的周长比为1：2，
∵△ABC周长为2，
∴△EDC的周长是：4．
故选：B．
【点评】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
5．（2021•深圳模拟）如图，矩形ABCD中，E为DC的中点，AD：AB＝：2，CP：BP＝1：2，连接EP并延长，交AB的延长线于点F，AP、BE相交于点O．下列结论：①EP平分∠CEB；②BF2＝PB•EF；③PF•EF＝2AD2；④EF•EP＝4AO•PO．其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】角平分线的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力．
【分析】由锐角三角函数可求∠CEP＝30°，∠EBC＝30°，可求∠CEP＝∠PEB＝30°，可判断①，通过证明△EBP∽△EFB，可得，可判断②，通过计算PF•EF＝8x2，2AD2＝6x2，可判断③，由勾股定理可求AO，PO的长，可计算EF•EP＝4x2，4AO•PO＝4x2，可判断④，即可求解．
【解答】解：设AD＝x，AB＝2x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，CD＝AB，∠D＝∠C＝∠ABC＝90°．DC∥AB，
∴BC＝x，CD＝2x，
∵CP：BP＝1：2，
∴CP＝x，BP＝x．
∵E为DC的中点，
∴CE＝CD＝x，
∴tan∠CEP＝＝＝，tan∠EBC＝＝，
∴∠CEP＝30°，∠EBC＝30°，
∴∠CEB＝60°，
∴∠PEB＝30°，
∴∠CEP＝∠PEB，
∴EP平分∠CEB，故①正确；
∵DC∥AB，
∴∠CEP＝∠F＝30°，
∴∠F＝∠EBP＝30°，∠F＝∠BEF＝30°，
∴△EBP∽△EFB，
∴，
∴BE•BF＝BP•EF．
∵∠F＝∠BEF，
∴BE＝BF，
∴BF2＝PB•EF．故②正确；
∵∠F＝30°，
∴PF＝2PB＝x，
过点E作EG⊥AF于G，

∴∠EGF＝90°，
∴EF＝2EG＝2x，
∴PF•EF＝x•2x＝8x2，
2AD2＝2×（x）2＝6x2，
∵6x2≠8x2，
∴PF•EF≠2AD2，故③错误；
在Rt△ECP中，
∵∠CEP＝30°，
∴EP＝2PC＝．
∵tan∠PAB＝＝，
∴∠PAB＝30°，
∴∠APB＝60°，
∴∠AOB＝90°，
在Rt△AOB和Rt△POB中，由勾股定理得，
AO＝x，PO＝x，
∴EF•EP＝2x•x＝4x2，
4AO•PO＝4×x•x＝4x2．
∴EF•EP＝4AO•PO．故④正确．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
6．（2021•滨江区二模）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O，交AC于点E，交BC于点D，若CD＝BD，则（　　）

A．AC＝BC B．
C．AB＝2DE D．BC•BD＝AB•CE
【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】连接AD、DE，由AB为⊙O直径，CD＝BD，可得AB＝AC，再证△CED∽△CBA可得BC•CD＝AC•CE，从而可得到答案．
【解答】解：连接AD、DE，如图：

∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∵CD＝BD，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB＝AC，
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠CED＝∠B，
而∠C＝∠C，
∴△CED∽△CBA，
∴＝，
∴BC•CD＝AC•CE，
∴BC•BD＝AB•CE，
故选：D．
【点评】本题考查圆的性质及应用，涉及相似三角形的判定与性质，解题的关键是证明△CED∽△CBA．
7．（2021•德城区二模）如图，在正方形ABCD中，点O是对角AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，EF、OC交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；②△OGE∽△FGC；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+BE2＝OG•OC．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．③④
【考点】全等三角形的判定；正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】运算能力．
【分析】利用相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定逐一分析即可得出正确答案．
【解答】解：①在正方形ABCD中，OC＝OD，∠COD＝90°，∠ODC＝∠OCB＝45°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠COE＝∠EOF﹣∠COF＝90°﹣∠COF，
∴∠COE＝∠DOF，
∴△COE≌△DOF（ASA），
故①正确；
②由①全等可得OE＝OF，
∴∠OEF＝∠OCF＝45°，∠OGE＝∠CGF，
∴△OGE∽△FGC，
故②正确；
③由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等，
∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的，
故③正确；
④∵△COE≌△DOF，
∴CE＝DF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD，
∴BE＝CF，
在Rt△ECF中，CE2+CF2＝EF2，
∴DF2+BE2＝EF2，
∵∠OCE＝∠OEG＝45°，∠EOG＝∠COE，
∴△EOG∽△COE，
∴，
∴OG•OC＝EO2≠EF2，
∴DF2+BE2≠OG•OC，
故④不正确；
综上所述，正确的是①②③，
故选：A．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定，解题的关键是利用旋转全等证明出△COE≌△DOF，属于选择压轴题．
8．（2021•下城区校级二模）如图在△ABC中，AD是BC边上的高线，BD＝1，DC＝3，过点A作AE∥BC，连接BE交AD，AC于点F，点G，若BE平分AC，则＝（　　）

A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；应用意识．
【分析】根据两直线平行得内错角相等，由相似三角形判定可得△BDF∽△EAF，再由相似三角形的的性质得＝，再根据全等三角形的判定得△EAG≌△BCG（AAS），即BG＝EG，设BF＝2x，即＝＝＝，可得EF＝8x，根据线段边的关系得FG＝3x，BE＝10x，EG＝5x，即可得出最后的结果．
【解答】解：如图：

∵AE∥BC，AD为BC边上的高线，
∴AD⊥BC且AD⊥AE，∠1＝∠2，∠3＝∠4，
在△BDF和△EAF中，
∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BDF＝∠FAF＝90°，
∴△BDF∽△EAF，
∴＝，
又∵AE∥BC，
∴∠5＝∠6，
在△EAG和△BCG中，
∵BE平分AC，
∴AG＝CG，
∵，
∴△EAG≌△BCG（AAS），
∴AE＝CB＝BD+DC＝4，
∴BG＝EG，
设BF＝2x，则＝＝＝，
∴EF＝8x，
∴EF＝BE﹣BF＝BG+EG﹣BF＝2BG﹣2x，
BE＝BG+EF＝2x+8x＝10x，
∴EG＝BG＝BE＝5x，
FG＝BG﹣BF＝5x﹣2x＝3x，
∴＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质．解本题的关键要熟练掌握形似三角形的判定与性质和三角形的全等与判定等基本知识点．
9．（2021•温州）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结CG，延长BE交CG于点H．若AE＝2BE，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】如图，过点G作GT⊥CF交CF的延长线于T，设BH交CF于M，AE交DF于N．设BE＝AN＝CH＝DF＝a，则AE＝BM＝CF＝DN＝2a，想办法求出BH，CG，可得结论．
【解答】解：如图，过点G作GT⊥CF交CF的延长线于T，设BH交CF于M，AE交DF于N．设BE＝AN＝CM＝DF＝a，则AE＝BM＝CF＝DN＝2a，

∴EN＝EM＝MF＝FN＝a，
∵四边形ENFM是正方形，
∴∠EFH＝∠TFG＝45°，∠NFE＝∠DFG＝45°，
∵GT⊥TF，DF⊥DG，
∴∠TGF＝∠TFG＝∠DFG＝∠DGF＝45°，
∴TG＝FT＝DF＝DG＝a，
∴CT＝3a，CG＝＝a，
∵MH∥TG，
∴△CMH∽△CTG，
∴CM：CT＝MH：TG＝1：3，
∴MH＝a，
∴BH＝2a+a＝a，
∴＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
10．（2021•西湖区校级二模）如图，正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连接AH交DE于点O，则等于（　　）

A．3 B． C．2 D．
【考点】正方形的性质；平行线分线段成比例．菁优网版权所有
【专题】正多边形与圆；推理能力．
【分析】连接BD，如图所示：由正六边形和正方形的性质得：B、D、H三点共线，设正六边形的边长为a，则AB＝BC＝CD＝DE＝a，解直角三角形求出BD，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【解答】解：连接BD，如图所示：
由正六边形和正方形的性质得：B、D、H三点共线，
设正六边形的边长为a，则AB＝BC＝CD＝DE＝a，
∵在△BCD中，BC＝CD＝a，∠BCD＝120°，
∴BD＝a．
∵OD∥AB，
∴＝＝＝，
故选：B．

【点评】本题考查正多边形与圆，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
二．填空题（共10小题）
11．（2021•深圳模拟）如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，AE：ED＝2：3，连接BE、AC相交于F，则S△AEF：S△CBF＝　　．

【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】根据题目已知条件求证△AEF∽△CBF，再找到相似三角形的相似比即可表示出其面积比．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAF＝∠BCF，∠AEF＝∠CBF，
∴△AEF∽△CBF，
又∵＝，
∴＝，
∴＝（）2＝（）2＝，
故答案为：．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质以及相似三角形面积比与相似比之间的关系是解题的关键．
12．（2021•深圳模拟）如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB的中点，BD与CE交于点O，连接DE．下列结论：
①；②；③；④．
其中，正确的有 　②④　．

【考点】三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】由三角形的中位线定理可得DE∥BC，BC＝2DE，可证△DEO∽△BCO，由相似三角形的性质依次判断可求解．
【解答】解：∵D，E分别是边AC，AB的中点，
∴DE∥BC，BC＝2DE，
∴，故②正确，
∵DE∥BC，
∴△DEO∽△BCO，
∴，，故①和③错误，
∴，
∴，故④正确，
故答案为：②④．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，证明△DEO∽△BCO是本题的关键．
13．（2021•雁塔区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝3+，∠B＝45°，∠C＝105°，点D，E，F分别在AC、BC、AB上，且四边形ADEF为菱形，则菱形的边长为　2　；若点P是AE上一个动点，则PF+PB的最小值为　　．

【考点】菱形的性质；轴对称﹣最短路线问题；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；图形的相似；运算能力；推理能力．
【分析】如图，连接OD，BD，作DH⊥AB于H，EG⊥AB于G．由四边形ADEF是菱形，推出F，D关于直线AE对称，推出PF＝PD，推出PF+PB＝PA+PB，由PD+PB≥BD，推出PF+PB的最小值是线段BD的长．
【解答】解：如图，连接OD，BD，过点D作DH⊥AB于H，过点E作EG⊥AB于G，过点F作PF⊥AB交AE于点P,连接DP．
∵四边形ADEF是菱形，
∴F，D关于直线AE对称，
∴PF＝PD，
∴PF+PB＝PA+PB，
∴PD+PB≥BD，
∴PF+PB的最小值是线段BD的长，
∴∠CAB＝180°﹣105°﹣45°＝30°，
设AF＝EF＝AD＝x，则DH＝EG＝x，FG＝x，
则DH＝EG＝，FG＝，
∴∠EGB＝45°，EG⊥BG，
∴EG＝BG＝x，
∴x++＝3+，
∴x＝2，
∴DH＝1，BH＝3，
∴BD＝＝，
∴PF+PB的最小值为．
故答案为：2，．

【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，菱形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会利用轴对称解决最短问题．
14．（2021•万州区模拟）如图，已知△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△EDC的位似比为1：2，△ABC面积为4，则△EDC的面积是　16　．

【考点】位似变换．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；应用意识．
【分析】根据位似变换的性质得到△ABC∽△EDC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：∵△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△EDC，
∵△ABC和△EDC的位似比为1：2，
∴△ABC和△EDC的相似比为1：2，
∴△ABC和△EDC的面积比为1：4，
∵△ABC面积为4，
∴△EDC的面积是：4×22＝4×4＝16，
故答案为：16．
【点评】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
15．（2021•南关区校级二模）如图，正六边形ABCDEF经过位似变换得到正六边形A'B'C'D'E'F'．若AB＝3，B'C'＝1，则正六边形A'B'C'D'E'F'和正六边形ABCDEF的面积比是　1：9　．

【考点】正多边形和圆；位似变换．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】利用相似多边形的性质即可解决问题．
【解答】解：∵正六边形ABCDEF是由正六边形A′B′C′D′E′F′经过位似变换得到的，
∴正六边形ABCDEF∽正六边形A′B′C′D′E′F′，
∴正六边形A′B′C′D′E′F′和正六边形ABCDEF的面积比＝（）2＝1：9．
故答案为：1：9．
【点评】本题考查了位似变换，相似多边形的性质等知识，解题的关键是记住相似多边形的面积比等于相似比的平方．
16．（2021•成都模拟）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D、E分别在边AC、BC上，点F、G在AB边上，当四边形DEFG是菱形，且符合条件的菱形只有一个时，则菱形的边长l的取值范围是　l＝或＜l≤　．

【考点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】分三种情况根据相似三角形的判定和性质求出几种特殊位置的菱形的边长即可解决问题．
【解答】解：如图1中，当四边形DEFG是正方形时，设正方形的边长为x．

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
则CD＝x，AD＝x，
∵AD+CD＝AC，
∴x+x＝3，
∴x＝；
如图2中，当四边形DAEG是菱形时，设菱形的边长为m．

∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴，
∴，
解得m＝；
如图3中，当四边形DEBG是菱形时，设菱形的边长为n．

∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴，
∴，
∴n＝，
综上所述，菱形的边长l的取值范围为l＝或＜l≤，
故答案为：l＝或＜l≤．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型，题目有一定难度．
17．（2021•江干区二模）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，C为弧AB的中点，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点F，连接AC，若AC∥DF，⊙O的半径为，BE＝AE，则CE＝　　．

【考点】垂径定理；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】几何图形问题；运算能力；推理能力．
【分析】连接OC、OA、OD，OC与AF交于点H，设AE＝5λ，利用已知条件表示出AH，OE，在Rt△HOA中，由勾股定理列出方程即可解答．
【解答】解：连接OC、OA、OD，OC与AF交于点H，如图，

∵C为弧AB的中点，
∴OC⊥AB，AH＝BH，
∵AC∥DF，
∴∠ACD＝∠CDF，
∵OD是切线，
∴OD⊥DF，
∴∠ODF＝90°，
∴∠ODC+∠CDF＝90°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵∠OCE+∠CEA＝∠OCE+∠FED＝90°，
∴∠CDF＝∠DEF＝∠ACD＝∠AEC，
∴AC＝AE，
设AE＝5λ，则BE＝3λ，
∴AC＝5λ，AB＝8λ，
∴AH＝4λ，HE＝λ，
在Rt△ACH中，由勾股定理得CH＝3λ，
∴OH＝OC﹣CH＝﹣3λ，
在Rt△HCE中，由勾股定理得CE2＝HC2+HE2＝9λ2+λ2＝10λ2，
∴CE＝，
在Rt△HOA中，由勾股定理得，
OA2＝AH2+OH2，
即（）2＝（4λ）2+（﹣3λ）2，
解得λ＝1，
∴CE＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的性质，勾股定理等知识，关键通过设AE＝4λ，能根据已知条件表示出OA、AH、OH的长度，用勾股定理建立方程解答．
18．（2021•太和县模拟）如图，△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE相交于点P，则S△PDE：S△PAC＝　　．

【考点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【分析】根据垂直的定义得到∠CEB＝∠ADB＝90°，根据相似三角形的性质得到，＝，根据AB＝AC＝3，BC＝2，AD⊥BC，求得，由△PED∽△PAC，即可得到结论．
【解答】解：∵AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，
∴∠CEB＝∠ADB＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△CBE∽△ABD，
∴，
∴△BDE∽△BAC，
∴＝，
∵AB＝AC＝3，BC＝2，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD，BD＝CD＝1，
∴，
∵CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CEB＝90°，
∴∠BAD+∠B＝∠BCE+∠B＝90°，
∴∠BAD＝∠BCE，
∴∠BCE＝∠CAD，
∵∠BEC＝90°，BD＝CD，
∴DE＝CD，
∴∠DCE＝∠CED，
∴∠CED＝∠CAP，
∴△PED∽△PAC，
∴S△PDE：S△PAC＝（）2＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
19．（2021•顺德区二模）如图，在矩形ABCD中，将△ADC绕点D逆时针旋转90°得到△FDE，使得B、F、E三点恰好在同一直线上，AC与BE相交于点G，连接DG．以下结论正确的是　②③④　．
①△BCG∽△GAD；
②AC⊥BE；
③点F是线段CD的黄金分割点；
④CG+DG＝EG．

【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；旋转的性质；黄金分割；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】由△FDE是△ADC绕点D逆时针旋转90°得到的，得到△FDE≌△ADC，再由矩形的性质得出∠DAG+DEF＝90°从而判断②；由∠DAG+DEF＝90°，可得∠BGC＝90°，从而判断①；由Rt△FCB∽Rt△FDE，
和BC＝AD＝DF，DE＝DC，得出，可以判断③；在线段EF上作EG′＝CG，如图所示，连接DG′，通过∴△DCG≌△DEG′，得出∴△GDG′是等腰直角三角形，可以判断④．
【解答】证明：∵△FDE是△ADC绕点D逆时针旋转90°得到的，
∴△FDE≌△ADC，
∴AD＝DF，DC＝DE，∠DEF＝∠DCA，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC+∠DCA＝90°，
即∠DAG+DEF＝90°，
∴∠AGE＝90°，
即AC⊥BE，
故②正确；
∵AC⊥BE，
∴∠BGC＝90°，
即△BGC是直角三角形，而△AGD显然不是直角三角形，
∴①错误；
在Rt△FCB和Rt△FDE中，
∵∠BFC＝∠EFC，
∴Rt△FCB∽Rt△FDE，
∴，
∵BC＝AD＝DF，DE＝DC，
∴，
∴点F是线段CD的黄金分割点，
∴③正确；
在线段EF上作EG′＝CG，如图所示，连接DG′，

∵DC＝DE，∠DEF＝∠DCA，
∴∠DEG′＝∠DCG，
在△DCG和△DEG′中，
，
∴△DCG≌△DEG′（SAS），
∴DG＝DG′，∠CDG＝∠EDG′，
∵∠CDG+∠GDA＝90°，
∴∠EDG′+∠GAD＝90°，
∴∠GDG′＝90°，
∴△GDG′是等腰直角三角形，
∴GG′＝DG，
∵EG′＝CG，
∴EG＝EG′+GG′＝CG+DG，
∴④正确，
故答案为：②③④．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及黄金分割点的性质，全等三角形的判定和性质等综合知识，关键是对知识的掌握和运用．
20．（2021•坪山区二模）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠C＝∠E＝60°，点D在BC边上，AC与DE相交于点F，＝3，则＝　　．

【考点】相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】综合题；推理能力．
【分析】根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质．
【解答】解：连接EC，如图，

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠AED＝60°，
∴△AED∽△ACB，
∴，
即，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
∴∠EAC＝∠DAB，
∴△EAC∽△DAB，
∴，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，
在Rt△EAD中，∠AED＝60°，
∴，
∴，
∴，
∵∠EFC＝∠AFD，∠ECF＝∠ADF，
∴△EFC∽△AFD，
∴＝3，
∴＝＝3×＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解决本题的关键是据相似三角形的性质得到，进而得到△EAC∽△DAB，利用直角三角形的性质得到，再次利用相似三角形的性质得到＝3，进而求解．
三．解答题（共10小题）
21．（2021•瑞安市一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边BC上一点，连接AD，△ACD的外接圆⊙O交AB于点E，点F是上一点，且，连接AF，DF．
（1）求证：∠ADF＝∠B；
（2）若AC＝4，CB＝8，当点E是AB的中点时，求AF的长．

【考点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；图形的相似；运算能力；推理能力．
【分析】（1）由圆周角定理及直角三角形的性质可得出答案；
（2）连接CE，由勾股定理求出AB＝4，证明△AFD∽△ACB，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵＝，
∴∠FAE＝∠CAD，
∴∠FAE+∠DAE＝∠CAD+∠DAE，
即∠CAB＝∠DAF，
∵∠ACB＝90°，
∴AD为⊙O的直径，∠CAB+∠B＝90°，
∴∠AFD＝90°，
∴∠DAF+∠ADF＝90°，
∴∠ADF＝∠B；
（2）解：连接CE，

∵AC＝4，BC＝8，
∴AB＝＝＝4，
∵点E是AB的中点，
∴CE＝AB＝2，
∵＝，
∴＝，
∴DF＝CE＝2，
∵∠ADF＝∠B，∠ACB＝∠AFD＝90°，
∴△AFD∽△ACB，
∴，
∴，
∴AF＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
22．（2021•本溪模拟）如图，AB是半圆⊙O的直径，C为半圆上一点，CE⊥AB，垂足为E，F为AB延长线上一点，且∠FCB＝∠ECB．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若EB＝3，BF＝6，求图中阴影部分的面积．

【考点】垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质；扇形面积的计算；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的位置关系；图形的相似；推理能力．
【分析】（1）连接OC，根据垂直的定义得到∠CEB＝90°，进而证明∠OCF＝90°，根据切线的判定定理证明结论；
（2）证明△OCE∽△OFC，根据相似三角形的性质求出圆的半径，根据余弦的定义求出∠COF，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠ECB+∠CBE＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠CBE，
∴∠OCB+∠ECB＝90°，
∵∠FCB＝∠ECB
∴∠FCB+∠OCB＝90°，
∴∠OCF＝90°，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：∵∠OCF＝∠OEC＝90°，∠FOC＝∠COE，
∴△OCE∽△OFC，
∴＝，即＝，
解得：OB＝6，
∴cos∠COF＝＝＝，
∴∠COF＝60°，
∴CF＝OF•sin∠COF＝6，
∴阴影部分的面积＝×6×6﹣＝18﹣6π．

【点评】本题考查的是切线的判定、相似三角形的判定和性质、扇形面积计算，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、扇形面积公式是解题的关键．
23．（2021•槐荫区二模）如图，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上的一点，DE是⊙O的切线，过点B作BF⊥DE于点F，分别延长AD、BF相交于点C．
（1）求证：∠A＝∠C；
（2）当BF＝1，DF＝2时，求⊙O的直径．

【考点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；与圆有关的计算；运算能力；应用意识．
【分析】（1）先证OD∥BC，可得∠ADO＝∠C，又因为∠A＝∠ADO，所以∠A＝∠C得证；
（2）先证△BDF∽△BDA，得出边的比例关系，在根据勾股定理可求直径AB．
【解答】解：（1）证明：∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∵BF⊥DE，
∴BC∥OD，
∴∠ADO＝∠C，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO，
∴∠A＝∠C；
（2）∵∠ADO+∠ODB＝90°，∠FDB+∠ODB＝90°，
∴∠ADO＝∠FDB，
又∵∠A＝∠ADO，
∴∠A＝∠FDB，
又∵∠BFD＝∠ADB＝90°，
∴△BDF∽△BDA，
∴＝，
即AB＝，
在Rt△BDF中，BD2＝BF2+DF2，
∵BF＝1，DF＝2，
∴AB＝12+22＝5，
即⊙O的直径为5．

【点评】本题主要考查圆的切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握这些知识导出题中数量关系是解题的关键．
24．（2021•南昌模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，过点A、B的⊙O分别交AC、BC于点DE，AB＝AE，CD的垂直平分线交BC于点F，连接DF．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）已知EF＝3，DE＝4，求BE和AB的长．

【考点】线段垂直平分线的性质；圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【分析】（1）根据∠BAD＝90°．得到BD是直径，利用锐减三角形性质和垂直平分线性质，即可得到∠ADB+∠CDF＝90°．即可求证结论．
（2）先证明△DEF∽△BED．和△DEC∽△BAC．利用相似对应边成比例即可求解．
【解答】解：（1）证明：连接BD，如图：

∵∠BAD＝90°．
∴BD是直径，∠ADB+∠C＝90°．
∵AB＝BE．
∴∠ABE＝∠AEB．
∴∠ADB+∠C＝90°．
∵CD的垂直平分线交BC．
∴∠C＝∠CDF．
∴∠ADB+∠CDF＝90°．
∴∠BDF＝90°．
∵点D在圆上．
∴DF是⊙O的切线．
（2）∵BD是直径．
∴∠BED＝90°＝∠DEF．
∵EF＝3、DE＝4．
∴．
∵∠BDF＝90°．
∴∠DBF+∠DFB＝90°．∠DBF+∠EDB＝90°．
∴∠DFB＝∠EDB．
∴△DEF∽△BED．
∴，即：．
∴．
∴．
∵∠DEC＝∠BAC＝90°．
∴△DEC∽△BAC．
∴．即：．
∴．
【点评】本题考查了三角形相似判断，直线与圆的位置关系、以及线段的垂直平分线性质等知识，关键在于利用性质，进行角的转化，从而证明结论，本题在于找到三角形形相似是关键．考查了学生视图能力，逻辑推理能力，属于中档题．
25．（2021•杭州一模）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＞90°，它的外角∠EAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC，DB交AC于点F．
（1）求证：DB＝DC．
（2）若DA＝DF，
①当∠ABC＝α，求∠DFC的度数（用含α的代数式表示）．
②设⊙O的半径为5，BC＝6，求AD的长．

【考点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【分析】（1）由圆内接四边形的对角互补及在同一个圆内，相等的圆周角所对的弦相等可得；
（2）①由DA＝DF，结合DA平分∠EAC，可得∠ADB＝∠ACB，则AB＝BC，△ABC是等腰三角形，可表示∠BAC的度数，∠DFC是△DAB的外角，则可表示∠DFC的度数；
②连接DO，并延长，交BC于点H，连接BO，CO，可证得△DOB≌△DOC，由对称性可得DH⊥BC，可求出BD的长；由等弦所对的圆周角相等，可得出∠BCF＝∠BDC，则△BCF∽△BDC，可求出BF的长，进而可求出DF的长，即可得到AD的长．
【解答】解：（1）如图，由题意可得，AD平分∠EAC，
∴∠DAE＝∠CAD，
∵∠DAE＝∠BCD，∠CAD＝∠CBD，
∴∠CBD＝∠BCD，
∴CD＝BD．
（2）①如图，设∠DAE＝∠CAD＝β，
∴∠BAC＝180°﹣∠DAE﹣∠CAD＝180°﹣2β，
∵DA＝DF，
∴∠DFA＝∠CAD＝β，
∴∠ADF＝180°﹣∠DFA﹣∠CAD＝180°﹣2β，
∴∠BAC＝∠ADF，
∵∠ADF＝∠ACB，
∴∠BAC＝∠ACB，
∵∠ABC＝α，
∴∠BAC＝∠ACB＝＝90°﹣，
∴∠ADF＝∠ACB＝90°﹣，
∴∠DAF＝∠DFA＝＝45°+，
∴∠DFC＝180°﹣（45°+）＝135°﹣．
②如图，连接DO，并延长，交BC于点H，连接BO，CO，

则△DOB≌△DOC（SSS），
∴∠BDH＝∠CDH，
∴DH⊥BC，且BH＝CH＝3，
又CO＝5，
∴OH＝4，
∴DH＝9，BD＝＝3，
∵∠BCF＝∠BDC，
∴△BCF∽△BDC，
∴BC2＝BD•BF，即BF＝，
∴DF＝BD﹣BF＝，
∴AD＝DF＝．
【点评】本题主要考查圆的相关性质定理，相似三角形的性质与判定，熟记圆的相关性质，构造辅助线是解题关键．
26．（2021•泰州模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别在边AB、AC上，给出下列信息：
①BE平分∠ABC；
②CD⊥AB；
③∠CFE＝∠CEF．
（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由．你选择的条件是　②③　，结论是　①　（只要填写序号）．
（2）在（1）的情况下，若AC＝6，BC＝8，求CE的长．

【考点】角平分线的性质；等腰三角形的判定；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】（1）以②③为条件，蝴蝶型三角形CEF和BDF，可通过三角形内角和及等量代换推出∠DBF＝∠CBE．
（2）作EH⊥AB于H，由角平分线性质可得EH＝EC，再通过勾股定理求直角三角形中EH的长度．
【解答】解：（1）②③，①．
证明如下：∵∠CFE＝∠CEF．∠CFE＝∠BFD，
∴∠CEB＝∠BFD，
∵∠CBE+∠CEB＝90°，∠BFD+∠DBF＝90°，
∴∠DBF＝∠CBE，
∴BE平分∠ABC．
（2）作EH⊥AB于H，
∵BE平分∠ABC，∠C＝∠EHB＝90°，∴EH＝EC．
在Rt△ABC中求得AB＝10．设CE＝HE＝x．
方法1：由△AEH∽△ABC有，
∴，解得．
方法2：由S△ABC＝S△AEB+S△CEB有＝+，
即＝+，解得．
方法3：∵EC＝EH，BE＝BE，
∴Rt△BHE≌Rt△BCE（HL），
∴BH＝BC＝8，AH＝10﹣8＝2，
∴AH2+EH2＝AE2，即22+x2＝（6﹣x）2，
解得x＝．
∴CE＝．

【点评】本题考查解直角三角形，解题关键是熟练掌握解直角三角形的方法．
27．（2021•蓬安县模拟）如图，AB是⊙O的直径，C、D在圆上，且AC＝DC，过C点的切线CE和DB的延长线交于E点，⊙O的半径r＝5，CD＝8．
（1）求证：BC平分∠ABE；
（2）求证：CE⊥DE；
（3）求DE的长．

【考点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】几何图形；推理能力．
【分析】（1）由∠CDA＝∠CBA，∠EBC＝∠CAD即可得出∠EBC＝∠CBA；
（2）需证出∠EBC+∠ECB＝90°，而由（1）知∠EBC＝∠CBA，由CE是切线可证得∠ECB＝∠CAB，即可解决问题；
（3）通过Rt△EDC和Rt△CAB相似即可．
【解答】解：（1）证明：∵∠EBC为圆内接四边形ACBD的外角，
∴∠EBC＝∠CAD，
∵AC＝DC，
∴∠CAD＝∠CDA，
又∵∠CDA＝∠CBA，
∴∠EBC＝∠CBA，
∴BC平分∠ABE，
（2）证明：连接OC，
∵EC为⊙O的切线，
∴EC⊥OC，
∴∠ECB+∠BCO＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠ABC，
由（1）∠EBC＝∠CBA，
得∠EBC＝∠BCO，
∴∠ECB+∠EBC＝90°，
∴∠E＝90°，
∴CE⊥DE，
（3）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°
∵r＝5，
∴AB＝10，
∵CD＝8，
∴AC＝CD＝8，
在Rt△EDC和Rt△CAB中，∠EDC＝∠CAB，
∴Rt△EDC～Rt△CAB，
∴，
∴，
∴DE＝6.4．
【点评】本题考查了圆中的计算和证明，涉及了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，综合性较强，
28．（2021•渭滨区模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．
（1）求证：OE所在直线是线段BC的垂直平分线；
（2）已知，求O，E两点之间的距离．

【考点】线段垂直平分线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；图形的相似；运算能力；推理能力．
【分析】（1）由OC＝OB可得点O在BC垂直平分线上，由直角三角形斜边的中线得到CE＝BE，可得点E在BC垂直平分线，即OE所在直线是线段BC的垂直平分线；
（2）通过证明△BCD∽△ABD，可得＝，可求AD的长，由三角形中位线定理可求解．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，则OC＝OB，
∴点O在BC垂直平分线上，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，则∠BCD＝90°，
∵CE是Rt△BCD斜边BD上的中线，
∴CE＝BE，
∴点E在BC垂直平分线，
∴直线OE是BC垂直平分线；
（2）解:∵AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，
∴∠ABD＝90°＝∠BCD，
∵∠D＝∠D，
∴△BCD∽△ABD，
∴＝，即(3)2＝5AD，
∴AD＝9，
∵BE＝DE，BO＝AO，
∵OE是△ABD的中位线，
∴OE＝AD＝，
即O，E两点之间的距离为．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，切线的性质，线段垂直平分线的判定，直角三角形斜边中线的性质，利用相似三角形的性质求出AD的长是本题的关键．
29．（2021•蜀山区二模）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E是BC上一点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE的延长线于点F，过点C作CG⊥AE于点G．

（1）求证：△ACG≌△BAF：
（2）如图2，点D是BC的中点，连接DF，DG．
①求∠BFD的度数；
②当GF＝，且点E为BD中点时，求△ABC的面积．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【分析】（1）根据垂直的定义得出∠AGC＝∠F＝90°，根据图角的余角相等可得∠ACG＝∠BAF，根据AAS可得：△ACG≌△BAF；
（2）①连接AD，通过证明△ADG≌△BDF（SAS），得出∠ADG＝∠BDF，进而得出∠DGF＝∠DFG＝45°，从而得出∠BFD的度数；
②通过证明△DEG∽△AEC，得出，设DE＝BE＝a，则BD＝AD＝2a，根据勾股定理用含有a的代数式表示出AE，进而得出AC的值，再根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）∵BF⊥AE，CG⊥AE，
∴∠F＝90°，∠AGC＝90°，
∴∠AGC＝∠F＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAF+∠CAG＝90°，
∴∠ACG＝∠BAF，
又∵AC＝AB，
∴△ACG≌△BAF（AAS）；
（2）如图2，连接AD，

①证明：∵AB＝AC，点D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝＝45°，
∴∠CAD＝45°，AD＝BD，
由（1）知△ACG≌△BAF，
∴AG＝BF，∠CAG＝∠ABF，
即∠CAD+∠DAG＝∠ABC+∠DBF，
∴∠DAG＝∠DBF，
∴△ADG≌△BDF（SAS），
∴DG＝DF，∠ADG＝∠BDF，
∴∠DGF＝∠DFG，
∵∠ADG+∠GDB＝90°，
∴∠BDF+∠GDB＝90°，即∠GDF＝90°，
∴∠DGF＝∠DFG＝45°，
∴∠BFD＝∠DFG+∠AFB＝135°；
②由题意得，当GF＝时，DG＝1，在Rt△ADE中，cos，
在Rt△CEG中，，
，
又∵∠DEG＝∠AEC，
∴△DEG∽△AEC，
∴，
∵E为BD的中点，
设DE＝BE＝a，则BD＝AD＝2a，
∴，
∴，即，
∴，
∴△ABC的面积为：．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和相似三角形解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考压轴题．
30．（2019•大邑县模拟）已知：点E是正方形ABCD中边AB的中点．
（1）如图1，点T为线段DE上一点，连接BT并延长交AD于点M，连接AT并延长交CD于点N，且AM＝DN．试判断线段AN与线段BM的关系，并证明；求证：点M是线段AD的黄金分割点．
（2）如图2，在AD边上取一点M，满足AM2＝DM•DA时，连接BM交DE于点T，连接AT并延长交DC于点N，求tan∠MTD的值．

【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；黄金分割；解直角三角形．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形．
【分析】（1）AN＝BM，AN⊥BM．根据题目给出的条件证明△ABM≌△DAN，从而得出AN＝BM，∠ABM＝∠DAN，进而得出∠BAN+∠DAN＝90°，得出∠ATB＝90°，从而得出AN⊥BM；根据题目给出的条件证明△MDT～△TDA，得出DT2＝MD•AD，再证明DT＝AM，即可证明点M是线段AD的黄金分割点；
（2）延长BM，CD交于点F，证明△FMD～△BMA，得出DM•AB＝AM•DF，再根据AB∥CD得出DF＝DN＝AM，进而证明△ABM≌△DAN，可得∠ATB＝90°，证得∠ABM＝∠ETB＝∠MTD，不妨设正方形的边长为1．设AM＝x，由AM2＝MD•AD，得x2＝（1﹣x）•1，求出AM的值，然后根据锐角三角函数的定义解答即可．
【解答】解：（1）AN＝BM，AN⊥BM．
理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠BAD＝∠ADC＝90°，又AM＝DN，
∴△ABM≌△DAN（SAS），
∴∠ABM＝∠DAN，AN＝BM
又∠BAD＝90°即∠BAN+∠DAN＝90°，
∴∠BAN+∠ABM＝90°
∴∠ATB＝90°，
∴AN⊥BM﹣
∴AN＝BM，AN⊥BM；
证明：∵∠ATB＝90°，M是AB中点．
∴TE＝BE＝AE，
∴∠EBT＝∠ETB，∠EAT＝∠ATE，
又∠ABM＝∠DAN，∠ETB＝∠MTD，
∴∠MTD＝∠DAN，
又∠MDT＝∠ADT，
∴△MDT～△TDA，
∴，
∴DT2＝MD•AD，
由AB∥CD，可得∠TND＝∠EAT，又∠EAT＝∠ATE，∠ATE＝∠DTN，
∴∠TND＝∠DTN
∴DT＝DN，又AM＝DN，
∴DT＝AM，
又DT2＝MD•AD，
∴AM2＝MD•AD，
∴，
∴点M是线段AD的黄金分割点；

（2）延长BM，CD交于点F，如图．

∵四边形ABCD是正方形，AB∥CD，
∴∠F＝∠MBA，又∠FMD＝∠AMB，
∴△FMD～△BMA，
∴，即DM•AB＝AM•DF，
∵AB＝AD，AM2＝DM•AD，
∴AM＝DF，
由AB∥CF知，
又AE＝BE，
∴DF＝DN＝AM，
由AB＝AD，∠BAM＝∠ADN＝90°，DN＝AM，可证△ABM≌△DAN（SAS），
∴∠ABM＝∠DAN，
∴∠ABT+∠TAB＝∠TAB+∠DAN＝∠BAD＝90°，
∴∠ATB＝90°，
又AE＝BE，
∴BE＝ET，
∴∠ABM＝∠ETB＝∠MTD，
不妨设正方形的边长为1．设AM＝x，由AM2＝MD•AD，
得x2＝（1﹣x）•1，
，
又负值不合题意，舍去．
∴，
∴，
在Rt△ABM中，
tan，
又∠ABM＝∠MTD，
∴．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定与性质以及黄金分割，解题的关键是正确作出辅助线．

考点卡片
1．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
2．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
3．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

4．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
5．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
6．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
7．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
8．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
9．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝BC．

10．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
11．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）
12．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
13．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
14．正方形的判定与性质
（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．
（2）正方形的判定
正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．
15．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
16．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
17．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
18．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
19．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
20．切线的判定与性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
21．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
22．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
23．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．

2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
24．旋转的性质
（1）旋转的性质：
　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
25．黄金分割
（1）黄金分割的定义：
如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即ABAC＝ACBC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．
黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：．
（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为．
26．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
27．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
28．位似变换
（1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；
②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．
（2）位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
29．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
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