2021年新高一数学专题复习《锐角三角函数》

这是一份2021年新高一数学专题复习《锐角三角函数》，共48页。
2021年新高一数学专题复习《锐角三角函数》
一．选择题（共10小题）
1．（2021•南岗区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝h，∠A＝α，则AB的长为（　　）

A．h•cosα B． C．h•sinα D．
2．（2021•宁波模拟）在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，那么下列锐角三角函数的值与的值不相等的是（　　）
A．sinB B．cosA C．cos∠BCD D．cos∠ACD
3．（2021•北京二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sinA的值为（　　）

A． B． C． D．
4．（2021•杭州模拟）如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面夹角为α，当梯顶A下滑1m到A′时，梯脚B滑到B′，A'B'与地面的夹角为β，若tanα＝，BB'＝1m，则cosβ＝（　　）

A． B． C． D．
5．（2021•西湖区二模）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AD是BC边上的高，则下列选项中不能表示tanB的是（　　）

A． B． C． D．
6．（2021•广东模拟）如图，已知公路l上A，B两点之间的距离为20m，已知B在C的南偏西30°的方向上，A在C的南偏西60°方向上，则点C到公路l的距离为（　　）

A．10m B．m C．10m D．（10+10）m
7．（2021•历下区三模）3月26日，济南轨道交通2号线开始初期运营，路线如图所示，已知腊山南站到北园站直线距离AD长约21千米，从腊山南站到二环西路站的长AB约为4千米，路线的转弯角∠B为157.5°，∠C为150°，又测得∠D＝30°，则从二环西路站到济泺路站的距离BC的长为（　　）（tan22.5°≈0.6，sin22.5°≈0.4，cos22.5°≈0.9，≈1.7）

A．14.62千米 B．14.64千米 C．14.66千米 D．14.68千米
8．（2021•章丘区模拟）如图1，某小区入口处安装“曲臂杆”，OA⊥AB，OA＝1米，点O是臂杆转动的支点，点C是曲臂杆两段的连接点，曲臂杆CD部分始终与AB平行．如图2，曲臂杆初始位置时O、C、D三点共线，当曲臂杆升高到OE时，∠AOE＝121°，点E到AB的距离是1.7米，当曲臂杆升高到OF时，∠AOF＝156°，则点F到AB的距离是（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.5，sin66°≈0.9）（　　）

A．2.0米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.6米
9．（2021•曲江区校级模拟）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值为（　　）

A．2 B． C． D．
10．（2021•重庆模拟）重庆朝天门码头位于重庆市渝中半岛的嘉陵江与长江交汇处，是重庆最古老的码头．如图，小王站在码头某点E处，测得朝天门广场旁的某高楼AB的顶端A的仰角为45°，接着他沿着坡度为i＝1：2.4的斜坡EC走了26米到达坡顶C处，到C处后继续朝高楼AB前行16米到D处，在D处测得A的仰角为74°（高楼AB与斜坡EC的剖面在同一平面内），则此时小王距高楼的距离BD为（结果精确到1米，参考数据：sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49）（　　）

A．12米 B．13米 C．15米 D．16米
二．填空题（共10小题）
11．（2021•中山区一模）热气球的探测器显示，从热气球A处看大楼BC顶部C的仰角为30°，看大楼底部B的俯角为45°，热气球与该楼的水平距离AD为60米，则大楼BC的高度为　 　米．（结果精确到1米，参考数据：）

12．（2021•武汉模拟）如图．AB和CD两幢楼在同一水平面上．楼AB高30米．从楼AB的顶部A测得楼CD的底部C的俯角为30°，顶部D的仰角为45°．则楼CD的高度是　 　米（取1.732，用四舍五入法将结果取整数）．

13．（2021•如皋市二模）如图，热气球位于观测塔P北偏西50°方向，距离观测塔100km的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于观测塔P南偏西37°方向的B处，这时，B处与观测塔P相距 　 　km．（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

14．（2021•宝安区模拟）如图，线段AB与⊙O相切于点A，连接AO并延长交⊙O于点C，连接OB，交⊙O于点D，且点D是OB中点，连接CD延长交AB于点E．若AB＝，则BE长为 　 　．

15．（2021•新洲区模拟）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的山崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点，在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，山崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度i＝1：2.4，则信号塔AB的高度约为 　 　米（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93，结果取整数）．

16．（2021•青山区模拟）如图所示，小明在A处看山顶C的仰角为30°，在B处看山顶C的仰角为45°，若山高120米，AB距离为　 　m（，，结果取整数）．

17．（2021•洪山区模拟）在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1，2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点垂直起飞到达点A处，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，则2号楼的高度为　 　（结果精确到0.1）（参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）

18．（2021•高明区二模）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°，测得底部B的俯角是60°，此时无人机与该建筑物的水平距离AD是12米，那么该建筑物的高度BC为　 　米（结果保留根号）．

19．（2021•开福区校级二模）为了测量教学楼的高度，某同学先在点D处用测角仪测得楼顶M的仰角为30°，再沿DF方向前行40米到达点E处，在点E处测得楼顶M的仰角为45°，已知测角仪的高AD为1.5米，则此楼MF的高为 　 　米．（结果精确到0.1米，≈1.414，≈1.732，≈2.449）

20．（2021•新洲区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝5，M是射线AB上的一动点，以AM为斜边在△ABC外作Rt△AMN，且使tan∠MAN＝，O是BM的中点，连接ON．则ON长的最小值为 　 　．

三．解答题（共10小题）
21．（2021•嘉定区三模）某小区外面的一段长120米的街道上要开辟停车位，计划每个停车位都是同样的长方形且每个长方形的宽均为2.2米，如果长方形的较长的边与路段的边平行，如图1所示，那么恰好能够停放24辆车．
（备注：＝1.414，＝1.732，＝2.236）

（1）如果长方形的边与街道的边缘成45°角，那么按图1，图2中的方法停放，一个停车位占用街道的长度各是多少？
（2）如果按照图2中的方法停放车辆，这段路上最多可以停放多少车辆？
22．（2021•宁波模拟）如图，为测量学校旗杆的高度，小齐在教学一楼站立望旗杆顶端A的仰角是45°，在三楼站立望旗杆顶端A的仰角是30°，已知每层楼高度为4米，小齐站立时，眼睛离地1.5米．
（1）求∠CAD的度数．
（2）求旗杆高度．（结果保留根号）

23．（2021•彭泽县模拟）如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD＝80cm，宽AB＝48cm，小强身高166cm，下身FG＝100cm，洗漱时下身与地面成80°角（即∠FGK＝80°），身体前倾成125°角（即∠EFG＝125°），脚与洗漱台的距离GC＝15cm（点D、C、G、K在同一直线上）．
（1）求此时小强头部E点与地面DK的距离；
（2）小强希望他的头部E点恰好在洗漱盆AB的中点O的上方，他应向前进或向后退多少？（精确到0.1cm，参考数据：cos80°＝0.17，sin80°≈0.98，≈1.41）

24．（2021•益阳模拟）如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼的地面正中间B点垂直起飞到高度为50米的A处，测得1号楼顶部E的俯角为60°，测得2号楼顶部F的俯角为45°．已知1号楼的高度为20米，2号楼的高度是多少米？（结果保留根号）．

25．（2021•大连模拟）如图，甲、乙两建筑物的水平距离BC为30m，从甲建筑物顶部A点测得乙建筑物顶部D点的仰角为37°，测得底部C点的俯角为45°，求乙建筑物CD的高度（结果取整数）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

26．（2021•宁波模拟）如图，一个书架上的方格中放着七本厚度和长度相同的书，其中左边六本书紧贴书架方格内侧竖放，右边一本书自然向左斜放，支撑点为C，E，右侧书角G正好靠在方格内侧上．若书架方格内侧长BF＝35cm，∠DCE＝37°，书的长度AB＝20cm．
（1）求DE的长度．
（2）求每本书的厚度．（结果精确到0.1cm）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

27．（2021•连云港二模）在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标，如图，O（0，0）、B（6，0）、C（6，8），由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区．
（1）求圆形区域的面积；
（2）某时刻海面上出现渔船A，在观测点O测得A位于北偏东45°，同时在观测点B测得A位于北偏东29°，求观测点B到A船的距离（结果精确到到0.1，参考数据：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80．）；
（3）当渔船A由（2）中位置向正西方向航行时，是否会进入海洋生物保护区？通过计算回答．

28．（2021•宁波模拟）如图，小明沿着马路自东向西前行，当他位于A处时，发现大厦P位于他的正北方向，医院Q位于他的北偏西63.5°方向，当他前行300米到达B处时，发现大厦P位于他的东北方向，医院Q位于他的正北方向，求医院与大厦的直线距离有多远？（结果保留整数）
（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236，sin63.5°≈0.89，tan63.5°≈2.00）

29．（2021•碑林区校级模拟）如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα＝，在与山脚C水平距离300米的D处（B、C、D在同一直线上），测得山顶A的仰角为30°，求小山岗的高AB．

30．（2021•商丘三模）在一次实弹演习中，我国参演红军需轰炸蓝军的一个桥梁，如图，红军飞行员驾驶战机飞到A处时发现桥梁BC并测得B、C两点的俯角分别为45°、35°．已知飞机、桥梁BC与地面在同一水平面上，其桥梁BC长度为800m．请求出此时飞机离地面的高度．（结果保留整数．参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈）


2021年新高一数学专题复习《锐角三角函数》
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021•南岗区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝h，∠A＝α，则AB的长为（　　）

A．h•cosα B． C．h•sinα D．
【考点】锐角三角函数的定义．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【分析】根据正弦的定义列式计算即可．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，
∵BC＝h，∠A＝α，
∴sinα＝，
∴AB＝，
故选：D．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦是解题的关键．
2．（2021•宁波模拟）在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，那么下列锐角三角函数的值与的值不相等的是（　　）
A．sinB B．cosA C．cos∠BCD D．cos∠ACD
【考点】解直角三角形．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【分析】根据同角或等角的余角相等得到∠B＝∠ACD，∠A＝∠BCD；在Rt△BCD中正弦，余弦的定义可得＝sin∠B＝cos∠BCD，再利用等角的余弦值相等，可以判断A，B，C均正确，答案可得．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，如图，

∴∠B+∠BCD＝90°，∠A+∠ACD＝90°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°．
∴∠B＝∠ACD，∠A＝∠BCD．
在Rt△BCD中，sin∠B＝cos∠BCD＝．
∵∠A＝∠BCD，
∴cos∠A＝cos∠BCD＝．
综上可知：A，B，C均不符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了解直角三角形．正确应用正弦，余弦的定义是解题的关键．
3．（2021•北京二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sinA的值为（　　）

A． B． C． D．
【考点】锐角三角函数的定义．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【分析】根据勾股定理求出AB，根据正弦的定义计算，得到答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
由勾股定理得，AB＝＝5，
∴sinA＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理的应用，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦是解题的关键．
4．（2021•杭州模拟）如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面夹角为α，当梯顶A下滑1m到A′时，梯脚B滑到B′，A'B'与地面的夹角为β，若tanα＝，BB'＝1m，则cosβ＝（　　）

A． B． C． D．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．菁优网版权所有
【专题】应用题；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】在直角△ABC中，由tanα＝，可设AC＝4x，那么BC＝3x，根据勾股定理求出AB＝5x，那么A′B′＝AB＝5x．在直角△A′B′C中，根据勾股定理列出方程（4x﹣1）2+（3x+1）2＝（5x）2，求出x＝1，然后利用余弦函数的定义即可求解．
【解答】解：如图．∵在直角△ABC中，∠ACB＝90°，tanα＝，
∴可设AC＝4x，那么BC＝3x，
∴AB＝＝＝5x，
∴A′B′＝AB＝5x．
∵在直角△A′B′C中，∠A′CB′＝90°，A′C＝4x﹣1，B′C＝3x+1，
∴（4x﹣1）2+（3x+1）2＝（5x）2，
解得x＝1，
∴A′C＝3，B′C＝4，A′B′＝5，
∴cosβ＝．
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，勾股定理，锐角三角函数定义，关键是把实际问题转化为数学问题加以计算．
5．（2021•西湖区二模）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AD是BC边上的高，则下列选项中不能表示tanB的是（　　）

A． B． C． D．
【考点】解直角三角形．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】根据题意可推出△ABC、△ADB、△ADC均为直角三角形，再在三个直角三角形中分别表示出tanB即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AD是BC边上的高，
∴△ABC、△ADB、△ADC均为直角三角形，
又∵∠C+∠B＝90°，∠C+∠DAC＝90°，
∴∠B＝∠DAC，
在Rt△ABC中，tanB＝，故A可以表示；
在Rt△ABD中，tanB＝，故B可以表示；
在Rt△ADCz中，tanB＝tan∠DAC＝，故C可以表示；
D不能表示tanB；
故选：D．
【点评】本题考查解直角三角形相关知识，熟练掌握锐角三角函数在直角三角形中的应用是解题关键．
6．（2021•广东模拟）如图，已知公路l上A，B两点之间的距离为20m，已知B在C的南偏西30°的方向上，A在C的南偏西60°方向上，则点C到公路l的距离为（　　）

A．10m B．m C．10m D．（10+10）m
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【分析】作CD⊥直线l于点D，由已知证得∠ACB＝∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，由等腰三角形的判定得到AB＝BC＝20m，在Rt△BCD中，根据CD＝BCsin∠CBD计算可求得CD．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥直线l于点D，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BCD＝30°，∠ACD＝60°，AB＝20m，
∴∠ACB＝∠ACD﹣∠BCD＝60°﹣30°＝30°，∠CAD＝90°﹣∠ACD＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣∠BCD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ACB＝∠CAD，
∴AB＝BC＝20m，
在Rt△BCD中，
∵sin∠CBD＝，
∴CD＝BC•sin∠CBD＝20×＝10（m），
故选：C．

【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，作出高线把实际问题转化为解直角三角形的问题是解决问题的关键．
7．（2021•历下区三模）3月26日，济南轨道交通2号线开始初期运营，路线如图所示，已知腊山南站到北园站直线距离AD长约21千米，从腊山南站到二环西路站的长AB约为4千米，路线的转弯角∠B为157.5°，∠C为150°，又测得∠D＝30°，则从二环西路站到济泺路站的距离BC的长为（　　）（tan22.5°≈0.6，sin22.5°≈0.4，cos22.5°≈0.9，≈1.7）

A．14.62千米 B．14.64千米 C．14.66千米 D．14.68千米
【考点】解直角三角形的应用．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【分析】过点B作BN⊥AD，过点C作CM⊥AD，构造直角三角形，利用锐角三角函数求出BN、AN，再根据矩形的性质得出CM，进而求出DM，即可计算出BC．
【解答】解：过点B作BN⊥AD于N，过点C作CM⊥AD于M，
∵∠B＝157.5°，∠C＝150°，∠D＝30°，
∴∠A＝22.5°，
在△ABN中，AB＝4千米，
∴BN＝AB×sin22.5°≈4×0.4＝1.6千米，AN＝AB×cos22.5°≈4×0.9＝3.6千米，∠ABN＝67.5°,
∴∠NBC＝90°,
∵∠NBC＝∠BND＝∠CMA＝90°,
∴四边形BNMC是矩形，
∴CM＝BN＝1.6千米，BC＝MN，
在△CDM中，
DM＝≈＝2.72千米，
∴MN＝AD﹣AN﹣DM＝14.68千米，
∴BC＝MN＝14.68千米．
故选：D．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解题的关键．
8．（2021•章丘区模拟）如图1，某小区入口处安装“曲臂杆”，OA⊥AB，OA＝1米，点O是臂杆转动的支点，点C是曲臂杆两段的连接点，曲臂杆CD部分始终与AB平行．如图2，曲臂杆初始位置时O、C、D三点共线，当曲臂杆升高到OE时，∠AOE＝121°，点E到AB的距离是1.7米，当曲臂杆升高到OF时，∠AOF＝156°，则点F到AB的距离是（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.5，sin66°≈0.9）（　　）

A．2.0米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.6米
【考点】解直角三角形的应用．菁优网版权所有
【专题】应用题；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】过点E,F分别作EG⊥OD,FH⊥OD,于点G,H,根据已知条件可得∠EOG＝121°﹣90°＝31°,∠FOH＝156°﹣90°＝66°,然后利用锐角三角函数列式计算可得OE的长，根据OE＝OF，计算可得FH的长，进而可得点F到AB的距离．
【解答】解：如图，过点E,F分别作EG⊥OD,FH⊥OD,于点G,H,

∵OA⊥AB,OD∥AB,
∴OA⊥OD,
∴∠AOD＝90°,
∵∠AOE＝121°，∠AOF＝156°，
∴∠EOG＝121°﹣90°＝31°,∠FOH＝156°﹣90°＝66°,
∵点E到AB的距离是1.7米，OA＝1米,
∴EG＝1.7﹣1＝0.7(米），
在Rt△OEG中，
∵EG＝OE×sin∠EOG,
∴OE＝≈＝1.4(米），
∵OE＝OF,
在Rt△OFH中，
∵FH＝OF×sin∠FOH＝1.4×sin66°≈1.4×0.9＝1.26(米），
∴FH+OA＝1.26+1＝2.26≈2.3(米）．
∴点F到AB的距离是2.3米．
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握解直角三角形的方法．
9．（2021•曲江区校级模拟）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值为（　　）

A．2 B． C． D．
【考点】解直角三角形．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【分析】利用勾股定理的逆定理先判定△ABC为直角三角形，再利用正切的定义可求结论．
【解答】解：∵AC2＝12+22＝5，
AB2＝22+42＝20，
BC2＝32+42＝25，
∴AC2+AB2＝BC2．
∴∠CAB＝90°．
∴tan∠ABC＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了解直角三角形．利用勾股定理判定△ABC是直角三角形是解题的关键．
10．（2021•重庆模拟）重庆朝天门码头位于重庆市渝中半岛的嘉陵江与长江交汇处，是重庆最古老的码头．如图，小王站在码头某点E处，测得朝天门广场旁的某高楼AB的顶端A的仰角为45°，接着他沿着坡度为i＝1：2.4的斜坡EC走了26米到达坡顶C处，到C处后继续朝高楼AB前行16米到D处，在D处测得A的仰角为74°（高楼AB与斜坡EC的剖面在同一平面内），则此时小王距高楼的距离BD为（结果精确到1米，参考数据：sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49）（　　）

A．12米 B．13米 C．15米 D．16米
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】过E作EH⊥AB交AB的延长线于H，过C作CG⊥EH于G，则CG＝BH，BC＝GH，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过E作EH⊥AB交AB的延长线于H，过C作CG⊥EH于G，
则CG＝BH，BC＝GH，
∵CE＝26米，＝1：2.4，
∴CG＝10（米），EG＝24（米），
∴BH＝CG＝10米，
设BD＝x米，
在Rt△ABD中，∠ADB＝74°，
∴AB＝tan74°•x≈3.49x，
∴AH＝AB+BH＝3.49x+10，
∵EH＝EG+GH＝24+16+x，
∵∠AEH＝45°，
∴AH＝EH，
∴3.49x+10＝24+16+x，
解得：x≈12，
∴BD＝13（米），
即小王距高楼的距离BD约为12米，
故选：A．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，利用仰角、俯角构造直角三角形是解决本题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2021•中山区一模）热气球的探测器显示，从热气球A处看大楼BC顶部C的仰角为30°，看大楼底部B的俯角为45°，热气球与该楼的水平距离AD为60米，则大楼BC的高度为　95　米．（结果精确到1米，参考数据：）

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；模型思想．
【分析】在直角三角形ADB中和直角三角形ACD中，根据锐角三角函数中的正切可以分别求得BD和CD的长，从而可以求得BC的长，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，AD＝60米，∠ADC＝∠ADB＝90°，
∴在Rt△ADC中，∠CAD＝30°，AD＝60米，
∴tan∠CAD＝＝＝，
∴CD＝20（米），
在Rt△ADB中，∠DAB＝45°，AD＝60米，
∴tan∠DAB＝＝1，
∴BD＝60（米），
∴BC＝BD+CD＝（60+20）≈95（米），
即这栋楼的高度BC是95米．
故答案为：95．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、锐角三角函数，解答此类问题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．
12．（2021•武汉模拟）如图．AB和CD两幢楼在同一水平面上．楼AB高30米．从楼AB的顶部A测得楼CD的底部C的俯角为30°，顶部D的仰角为45°．则楼CD的高度是　82　米（取1.732，用四舍五入法将结果取整数）．

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；模型思想．
【分析】过点A作AE⊥DC于点E，根据锐角三角函数即可求出结果．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥DC于点E，

则四边形ABCE是矩形，
∴CE＝AB＝30米，
∴AE＝＝30（米），
∵∠D＝∠DAE＝45°，
∴DE＝AE＝30（米），
∴CD＝CE+DE＝30+30≈82（米），
答：楼CD的高度为约82米．
故答案为：82．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形，难度一般．
13．（2021•如皋市二模）如图，热气球位于观测塔P北偏西50°方向，距离观测塔100km的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于观测塔P南偏西37°方向的B处，这时，B处与观测塔P相距 　128　km．（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【分析】由已知得，∠A＝50°，∠B＝37°，PA＝100，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：由已知得，∠A＝50°，∠B＝37°，PA＝100，
在Rt△PAC中，∵sinA＝，
∴PC＝PA•sin50°≈100×0.77≈77（km），
在Rt△PBC中，∵sinB＝，
∴PB＝≈≈128（km），
答：这时，B处距离观测塔P约有128km，
故答案为：128．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解直角三角形的相关知识，体现了数学应用于实际生活的思想．
14．（2021•宝安区模拟）如图，线段AB与⊙O相切于点A，连接AO并延长交⊙O于点C，连接OB，交⊙O于点D，且点D是OB中点，连接CD延长交AB于点E．若AB＝，则BE长为 　　．

【考点】圆周角定理；切线的性质；解直角三角形．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】由切线的性质可得∠OAB＝90°，由直角三角形的性质可得AD＝OD＝DB，可证△OAD是等边三角形，可得∠AOD＝∠OAD＝∠ODA＝60°，利用锐角三角函数可求OA，AE的长，即可求解．
【解答】解：∵线段AB与⊙O相切于点A，
∴∠OAB＝90°，
∵AC是直径，
∴∠ADC＝90°，
∵点D是OB中点，
∴AD＝OD＝DB，
∵OA＝OD，
∴OA＝OD＝AD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD＝∠OAD＝∠ODA＝60°，
∴∠C＝∠B＝30°，
∵tanB＝＝，
∴AO＝2，
∴AC＝4，
∵tanC＝，
∴AE＝，
∴BE＝AB﹣AE＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了锐角三角函数的应用，圆的有关知识，等边三角形的判定和性质，证明△OAD是等边三角形是解题的关键．
15．（2021•新洲区模拟）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的山崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点，在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，山崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度i＝1：2.4，则信号塔AB的高度约为 　25　米（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93，结果取整数）．

【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【分析】过点E作EF⊥DC交DC的延长线于点F，过点E作EM⊥AC于点M，根据斜坡DE的坡度i＝1：2.4可设EF＝x，则DF＝2.4x，利用勾股定理求出x的值，进而可得出EF与DF的长，故可得出CF的长，由矩形的判定定理得出四边形EFCM是矩形，故可得出EM＝FC，CM＝EF，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出答案．
【解答】解：过点E作EF⊥DC交DC的延长线于点F，过点E作EM⊥AC于点M，
∵斜坡DE的坡度i＝1：2.4，DE＝CD＝78米，
∴设EF＝x，则DF＝2.4x，
在Rt△DEF中，
∵EF2+DF2＝DE2，即x2+（2.4x）2＝782，
解得，x＝30，
∴EF＝30米，DF＝72米，
∴CF＝DF+DC＝72+78＝150（米），
∵EM⊥AC，AC⊥CD，EF⊥CD，
∴四边形EFCM是矩形，
∴EM＝CF＝150米，CM＝EF＝30米，
在Rt△AEM中，
∵∠AEM＝43°，
∴AM＝EM•tan43°≈150×0.93＝139.5（米），
∴AC＝AM+CM≈139.5+30＝169.5（米），
∴AB＝AC﹣BC≈169.5﹣144.5＝25（米），
答：信号塔AB的高度约为25米．
故答案为25．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
16．（2021•青山区模拟）如图所示，小明在A处看山顶C的仰角为30°，在B处看山顶C的仰角为45°，若山高120米，AB距离为　88　m（，，结果取整数）．

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；模型思想．
【分析】在Rt△ACD和Rt△BCD中，依据直角三角形的边角关系进行计算即可．
【解答】解：由题意得∠A＝30°，∠CBD＝45°，CD＝120，
在Rt△BCD中，
∵∠CBD＝45°，CD＝120，
∴BD＝CD＝120（米），
在Rt△ACD中，
∵∠A＝30°，CD＝120，
∴AD＝＝＝120（米），
∴AB＝AD﹣BD＝120﹣120≈88（米），
故答案为：88．
【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，两个直角三角形的边角之间的关系是解决问题的关键．
17．（2021•洪山区模拟）在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1，2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点垂直起飞到达点A处，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，则2号楼的高度为　45.8米　（结果精确到0.1）（参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）

【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，分别求出EM，AN，进而计算出2号楼的高度DF即可．
【解答】解：过点E、F分别作EM⊥AB，FN⊥AB，垂足分别为M、N，
由题意得，EC＝20，∠AEM＝67°，∠AFN＝40°，CB＝DB＝EM＝FN，AB＝60，
∴AM＝AB﹣MB＝60﹣20＝40，
在Rt△AEM中，
∵tan∠AEM＝，
∴EM＝＝≈16.9，
在Rt△AFN中，
∵tan∠AFN＝，
∴AN＝tan40°×16.9≈14.2，
∴FD＝NB＝AB﹣AN＝60﹣14.2＝45.8，
答：2号楼的高度约为45.8米，
故答案为：45.8米．

【点评】本题考查解直角三角形的应用，正确做出辅助线构造直角三角形是解答问题的关键．
18．（2021•高明区二模）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°，测得底部B的俯角是60°，此时无人机与该建筑物的水平距离AD是12米，那么该建筑物的高度BC为　　米（结果保留根号）．

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【专题】推理填空题；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】根据题意可得在Rt△ADC中，∠CAD＝30°，AD＝12米，在Rt△ADB中，∠BAD＝60°，AD＝12米，再根据特殊角三角函数即可分别求出CD和BD的长，进而可得该建筑物的高度BC．
【解答】解：根据题意可知：
在Rt△ADC中，∠CAD＝30°，AD＝12米，
∴CD＝AD•tan30°＝12×＝4（米），
在Rt△ADB中，∠BAD＝60°，AD＝12米，
∴BD＝AD•tan60°＝12（米），
∴BC＝CD+BD＝4+12＝16（米）．
答；该建筑物的高度BC为16米．
故答案为：16．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
19．（2021•开福区校级二模）为了测量教学楼的高度，某同学先在点D处用测角仪测得楼顶M的仰角为30°，再沿DF方向前行40米到达点E处，在点E处测得楼顶M的仰角为45°，已知测角仪的高AD为1.5米，则此楼MF的高为 　56.1　米．（结果精确到0.1米，≈1.414，≈1.732，≈2.449）

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；模型思想．
【分析】在两个直角三角形中，利用特殊锐角的三角函数设未知数列方程求解即可．
【解答】解：在Rt△MBC中，
∵∠MBC＝45°，
∴MC＝BC，
在Rt△MAC中，
∵∠MAC＝30°，
∴AC＝MC，
设MC＝x，则AC＝x＝40+x，
解得x＝20+20≈54.64（米）
∴MF＝MC+CF＝54.64+1.5≈56.1（米），
故答案为：56.1．
【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
20．（2021•新洲区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝5，M是射线AB上的一动点，以AM为斜边在△ABC外作Rt△AMN，且使tan∠MAN＝，O是BM的中点，连接ON．则ON长的最小值为 　2　．

【考点】垂线段最短；三角形中位线定理；解直角三角形．菁优网版权所有
【专题】二次函数的应用；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】作NP⊥AB于点P，设AM长为x，用含x代数式表示出ON，然后通过配方求解．
【解答】解：作NP⊥AB于点P，

在Rt△ACB中，由勾股定理得：
AB＝＝＝5，
设AM长为x，则BM＝5﹣x，
∵tan∠MAN＝＝，
∴AN＝2MN，
∴AM＝＝MN，
∴MN＝AM＝x，AN＝2MN＝x，
同理，在Rt△ANP中可得NP＝＝x，AP＝2NP＝x，
∵O为BM中点，
∴BO＝BM＝，
∴AO＝AB﹣BO＝，
∴OP＝AO﹣AP＝﹣x＝，
在Rt△ONP中，由勾股定理得ON2＝OP2+NP2，
即ON2＝（）2+（x）2＝（25x2﹣150x+3125）＝（x2﹣6x+125）＝（x﹣3）2+20，
∴当x＝3时，ON2取最小值为20，
∴ON最小值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查解直角三角形及函数最值问题，解题关键是通过添加辅助线用含参代数式表示ON长度．
三．解答题（共10小题）
21．（2021•嘉定区三模）某小区外面的一段长120米的街道上要开辟停车位，计划每个停车位都是同样的长方形且每个长方形的宽均为2.2米，如果长方形的较长的边与路段的边平行，如图1所示，那么恰好能够停放24辆车．
（备注：＝1.414，＝1.732，＝2.236）

（1）如果长方形的边与街道的边缘成45°角，那么按图1，图2中的方法停放，一个停车位占用街道的长度各是多少？
（2）如果按照图2中的方法停放车辆，这段路上最多可以停放多少车辆？
【考点】矩形的性质；解直角三角形的应用．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【分析】（1）图1方法停放，可直接得出占用街道的长度；图2的方法停放，需要算出点A到路边的距离；
（2）在（1）的基础上，可得车位数＝（120﹣CD﹣EF）÷+1．
【解答】解：（1）图1方法停放，可直接得出占用街道的长度即为长方形的宽，2.2米；
图2方法停放，如图2，

由题意可得，AD＝120÷24＝5米，∠CAD＝45°，DF＝2.2米，
∴AC＝CD＝AD＝（米），DE＝DF＝（米），
∴BC＝DE＝（米），
∴AB＝BC+AC＝+＝≈5.09（米），
∴按图1，图2中的方法停放，一个停车位占用街道的长度各是2.2米，5.09米；
（2）车位数＝（120﹣CD﹣EF）÷+1≈38.9（辆）
∴路上最多可以停放38辆车．
【点评】考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
22．（2021•宁波模拟）如图，为测量学校旗杆的高度，小齐在教学一楼站立望旗杆顶端A的仰角是45°，在三楼站立望旗杆顶端A的仰角是30°，已知每层楼高度为4米，小齐站立时，眼睛离地1.5米．
（1）求∠CAD的度数．
（2）求旗杆高度．（结果保留根号）

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【专题】应用题；解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【分析】（1）作过点A的水平线交直线DE于点H，由题意得∠ACH＝∠CAH＝45°，∠HAD＝30°，则可求出答案；
（2）设AH＝x米，则CH＝x米，DH＝x•tan30°＝x（米），由DC＝8可求出x＝12+4（米），则可求出答案．
【解答】解：（1）作过点A的水平线交直线DE于点H，

由题意得∠ACH＝∠CAH＝45°，∠HAD＝30°，
∴∠CAD＝∠CAH﹣∠DAH＝45°﹣30°＝15°；
（2）由题意得DC＝8米，CE＝1.5米，
设AH＝x米，则CH＝x米，DH＝x•tan30°＝x（米），
∴DC＝CH﹣DH＝x﹣x＝8，
解得x＝（12+4）（米），
则旗杆高度AB＝HE＝CH+CE＝x+1.5＝（13.5+4）（米）．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
23．（2021•彭泽县模拟）如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD＝80cm，宽AB＝48cm，小强身高166cm，下身FG＝100cm，洗漱时下身与地面成80°角（即∠FGK＝80°），身体前倾成125°角（即∠EFG＝125°），脚与洗漱台的距离GC＝15cm（点D、C、G、K在同一直线上）．
（1）求此时小强头部E点与地面DK的距离；
（2）小强希望他的头部E点恰好在洗漱盆AB的中点O的上方，他应向前进或向后退多少？（精确到0.1cm，参考数据：cos80°＝0.17，sin80°≈0.98，≈1.41）

【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【分析】（1）过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M．求出MF、FN的长，即可解决问题；
（2）过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于H，求出OH、PH的长，即可解决问题．
【解答】解：（1）过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M，
∵EF+FG＝166cm，FG＝100cm，
∴EF＝166﹣100＝66（cm），
∵∠FGK＝80°，
∴FN＝100•sin80°≈100×0.98＝98（cm），
∵∠EFG＝125°，
∴∠EFM＝180°﹣125°﹣10°＝45°，
∴FM＝66•cos45°＝33≈46.66（cm），
∴MN＝FN+FM≈144.7（cm），
即此时小强头部E点与地面DK相距约为144.7cm；
（2）过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于H，
∵AB＝48，O为AB中点，
∴AO＝BO＝24（cm），
∵EM＝66•sin45°＝66×＝33≈46.66（cm），
∴PH≈46.66（cm），
∵GN＝100•cos80°≈100×0.17＝17（cm），CG＝15（cm），
∴OH＝24+15+17＝56（cm），OP＝OH﹣PH＝9.34≈9.3（cm），
即小强应向前9.3cm．

【点评】本题考查了直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，锐角三角函数定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
24．（2021•益阳模拟）如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼的地面正中间B点垂直起飞到高度为50米的A处，测得1号楼顶部E的俯角为60°，测得2号楼顶部F的俯角为45°．已知1号楼的高度为20米，2号楼的高度是多少米？（结果保留根号）．

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【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【分析】过点E作EG⊥AB于G，过点F作FH⊥AB于H，可得四边形ECBG，HBDF是矩形，在Rt△AEG中，根据三角函数求得EG，在Rt△AHP中，根据三角函数求得AH，再根据线段的和差关系即可求解．
【解答】解：过点E作EG⊥AB于G，过点F作FH⊥AB于H，
则四边形ECBG，HBDF是矩形，
∴EC＝GB＝20，HB＝FD，
∵B为CD的中点，
∴EG＝CB＝BD＝HF，
由已知得：∠EAG＝90°﹣60°＝30°，∠AFH＝45°．
在Rt△AEG中，AG＝AB﹣GB＝50﹣20＝30（米），
∴EG＝AG•tan30°＝30×＝10（米），
在Rt△AHP中，AH＝HF•tan45°＝10（米），
∴FD＝HB＝AB﹣AH＝（50﹣10）（米）．
答：2号楼的高度为（50﹣10）米．

【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题的知识．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
25．（2021•大连模拟）如图，甲、乙两建筑物的水平距离BC为30m，从甲建筑物顶部A点测得乙建筑物顶部D点的仰角为37°，测得底部C点的俯角为45°，求乙建筑物CD的高度（结果取整数）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【分析】过A作AE⊥CD于E，在Rt△ADE中，根据三角函数的定义求出DE，在Rt△ACE中，根据三角函数的定义求出CE，进而可求出CD．
【解答】解：如图，过A作AE⊥CD于E，则∠DAE＝37°，∠EAC＝45°，
∵∠ABC＝∠BCE＝∠AEC＝90°，
∴四边形ABCE是矩形，
∴AE＝BC＝30m，
在Rt△ADE中，
∵tan∠DAE＝，
∴DE＝AE•tan∠DAE＝30tan37°≈30×0.75＝22.5（m），
在Rt△ACE中，
∵tan∠EAC＝，
∴CE＝AE•tan∠EAC＝30tan45°＝30×1＝30（m），
∴CD＝DE+CE＝22.5+30＝52.5≈53（m），
答：乙建筑物CD的高度约为53m．

【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造出直角三角形是解决问题的关键．
26．（2021•宁波模拟）如图，一个书架上的方格中放着七本厚度和长度相同的书，其中左边六本书紧贴书架方格内侧竖放，右边一本书自然向左斜放，支撑点为C，E，右侧书角G正好靠在方格内侧上．若书架方格内侧长BF＝35cm，∠DCE＝37°，书的长度AB＝20cm．
（1）求DE的长度．
（2）求每本书的厚度．（结果精确到0.1cm）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【考点】勾股定理；解直角三角形的应用．菁优网版权所有
【专题】应用题；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】（1）根据三角函数的定义即可得到结论；
（2）设一本书的厚度为xcm，根据BF＝35cm，列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）在Rt△DCE中，CE＝AB＝20cm，∠DCE＝37°，
∴DE＝CE×sin∠DCE＝20×sin37°≈12.0（cm）；
答：DE的长度为12.0cm；
（2）设每本书的厚度为xcm，
在Rt△GEF中，∠GEF＝37°，EG＝xcm，
∴EF＝EG•cos∠GEF≈0.8x（cm），
∴6x+12.0+0.8x＝35，
解得x≈3.4（cm），
答：每本书的厚度为3.4cm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解决本题的关键是掌握解直角三角形的方法．
27．（2021•连云港二模）在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标，如图，O（0，0）、B（6，0）、C（6，8），由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区．
（1）求圆形区域的面积；
（2）某时刻海面上出现渔船A，在观测点O测得A位于北偏东45°，同时在观测点B测得A位于北偏东29°，求观测点B到A船的距离（结果精确到到0.1，参考数据：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80．）；
（3）当渔船A由（2）中位置向正西方向航行时，是否会进入海洋生物保护区？通过计算回答．

【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【分析】（1）根据题意可以求得圆心的坐标和圆的半径，从而可以求得圆形区域的面积；
（2）过点A作AD⊥x轴于点D，依题意，得∠ABD＝61°，在Rt△ABD中，设AD＝x，则BD＝，由AD＝OD＝x，根据图形得到则x﹣＝6，解方程求得x，进而解直角三角形求得AB；
（3）过点A作AG⊥y轴于点G．过点O′作O′E⊥OB于点E，并延长EO′交AG于点F．由垂径定理得，OE＝BE＝3．在Rt△OO′E中，由勾股定理得，O′E＝4．所以O′F＝13.5﹣4＝9.5＞5．
【解答】解：（1）连接CB，CO，则CB∥y轴，
∴∠CBO＝90°，
设O′为由O、B、C三点所确定圆的圆心，
则OC为的直径，
由已知得OB＝6，CB＝8，由勾股定理得OC＝＝10，
∴半径OO′＝5，S⊙O′＝25π；
（2）过点A作AD⊥x轴于点D，依题意，得∠ABD＝61°，
在Rt△ABD中，设AD＝x，
则tan∠ABD＝，
∴tan61°＝，
∴BD＝，
由题意得：∠AOD＝45°，AD＝OD＝x，
则x﹣＝6，
解得：x＝13.5，
在Rt△ABD中，有sin∠ABD＝，即0.87＝，
∴AB≈15.5；
（3）过点A作AG⊥y轴于点G，过点O′作O′E⊥OB于点E，并延长EO′交AG于点F，连接O′B．
由（1）知，OO′＝5，
∵OO′＝OB，O′E⊥OB，
∴OE＝BE＝3，
由勾股定理得：O′E＝4，
∵四边形FEDA为矩形，
∴EF＝DA＝13.5，
∴O′F＝13.5﹣4＝9.5＞5，
∴直线AG与⊙O′相离，A船不会进入海洋生物保护区．

【点评】本题考查了勾股定理的应用、点与圆的位置关系．熟练掌握垂径定理及其推论；圆由半径和圆心确定；会判断点与圆的位置关系．
28．（2021•宁波模拟）如图，小明沿着马路自东向西前行，当他位于A处时，发现大厦P位于他的正北方向，医院Q位于他的北偏西63.5°方向，当他前行300米到达B处时，发现大厦P位于他的东北方向，医院Q位于他的正北方向，求医院与大厦的直线距离有多远？（结果保留整数）
（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236，sin63.5°≈0.89，tan63.5°≈2.00）

【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【分析】过Q作QC⊥AP于C，然后根据三角函数值求出BQ的值即可解答．
【解答】解：如图，过Q作QC⊥AP于C，
由题意知，QB⊥AB，PA⊥AB，∠PAQ＝63.5°，∠ABP＝45°，AB＝300米，

∴∠BAP＝∠ABQ＝90°，
∴AP∥BQ，
∴四边形ACQB是矩形，
∴∠AQB＝∠PAQ＝63.5°，AC＝BQ，CQ＝AB＝300（米），
在Rt△ABP中,∠ABP＝45°,
∴PA＝AB＝300米，
在Rt△ABQ中，tan63.5°＝，
∴BQ≈＝150（米），
∴PC＝150米，
∴PQ＝＝150≈335（米），
故医院与大厦的直线距离有335米．
【点评】本题考查方位角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识．把实际问题可以转化为解直角三角形的问题是解题的关键．
29．（2021•碑林区校级模拟）如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα＝，在与山脚C水平距离300米的D处（B、C、D在同一直线上），测得山顶A的仰角为30°，求小山岗的高AB．

【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】先由坡度的定义得：设AB＝a米，则BC＝2a米，再由锐角三角函数定义得BD＝AB＝3a，得3a﹣2a＝300，求出a＝300（米），即可解决问题．
【解答】解：∵tanα＝＝，
∴设AB＝a米，则BC＝2a米，
∵tan30°＝＝，
∴BD＝AB＝3a（米），
∵BD﹣BC＝CD，
∴3a﹣2a＝300，
∴a＝300（米），
∴AB＝a＝300（米），
即小山岗的高AB为300米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题；熟练掌握坡度的定义和锐角三角函数定义是解题的关键．
30．（2021•商丘三模）在一次实弹演习中，我国参演红军需轰炸蓝军的一个桥梁，如图，红军飞行员驾驶战机飞到A处时发现桥梁BC并测得B、C两点的俯角分别为45°、35°．已知飞机、桥梁BC与地面在同一水平面上，其桥梁BC长度为800m．请求出此时飞机离地面的高度．（结果保留整数．参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈）

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；模型思想．
【分析】通过作垂线构造直角三角形，在Rt△ABD中得出AD＝BD，在Rt△ACD中，利用锐角三角函数列方程求解即可．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC，交CB的延长线于点D，
由题意可知∠ABD＝45°，∠C＝35°，BC＝800m，
在Rt△ABD中，
∵∠ABD＝45°，
∴AD＝BD，
设AD＝xm，则BD＝xm，CD＝（x+800）m，
在Rt△ACD中，
∵tanC＝，
∴≈，
解得x≈1867（m），
答：飞机离地面的高度约为1867m．

【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．

考点卡片
1．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
2．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
3．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝BC．

4．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
5．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
6．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
7．锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
即sinA＝∠A的对边除以斜边＝．
（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝．
（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝．
（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
8．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
9．解直角三角形的应用
（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．
如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
（2）解直角三角形的一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
10．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．
（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等．
11．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
12．解直角三角形的应用-方向角问题
（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．
（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．
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