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2021年新高一数学专题复习《概率初步》
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这是一份2021年新高一数学专题复习《概率初步》，共39页。
2021年新高一数学专题复习《概率初步》
一．选择题（共10小题）
1．（2021•武汉）学校招募运动会广播员，从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人，则两人恰好是一男一女的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021•杭州）某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021•武汉模拟）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，当三辆汽车经过这个十字路口时，至少有两辆汽车向左转的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021•威海模拟）一个不透明的袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个．给出下列结论：①第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球；②第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球；③第一次摸出的球是红球的概率是；④两次摸出的球都是红球的概率是．其中正确的结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2021•拱墅区校级四模）一个不透明的纸箱里装有3个红球，1个黄球和1个蓝球，它们除颜色外完全相同．小明从纸箱里随机摸出2个球，则摸到1个红球和1个蓝球的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020秋•焦作期末）如图，小彬收集了三张除正面图案外完全相同的卡片，其中两张印有中国国际进口博览会的标志，另外一张印有进博会吉祥物“进宝”．现将三张卡片背面朝上放置，搅匀后从中一次性随机抽取两张，则抽到的两张卡片图案不相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2019秋•太原期末）下列事件的概率，与“任意选2个人，恰好同月过生日”这一事件的概率相等的是（ ）
A．任意选2个人，恰好生肖相同
B．任意选2个人，恰好同一天过生日
C．任意掷2枚骰子，恰好朝上的点数相同
D．任意掷2枚硬币，恰好朝上的一面相同
8．（2019秋•中原区校级期末）10个人去钓鱼，共钓到3条鱼，假设每个人钓到鱼的可能性相同，那么这3条鱼由同一个人钓到的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（2019•云霄县一模）如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P的概率是（ ）
A． B． C． D．1
10．（2019•拱墅区校级模拟）这是一个古老的传说，讲一个犯人利用概率来增加他得到宽恕的机会．给他两个碗，一个里面装着5个黑球，另一个里面装着除颜色不同外其它都一样的5个白球．把他的眼睛蒙着，然后要选择一个碗，并从里面拿出一个球，如果他拿的是黑球就要继续关在监狱里面，如果他拿的是白球，就将获得自由．在蒙住眼睛之前允许他把球混合，重新分装在两个碗内（两个碗球数可以不同）．你能设想一下这个犯人怎么做，使得自己获得自由的机会最大？则犯人获得自由的最大机会是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共10小题）
11．（2021•顺义区二模）同学们设计了一个用计算机模拟随机重复抛掷瓶盖的实验，记录盖面朝上的次数，并计算盖面朝上的频率，下表是依次累计的实验结果．
抛掷次数
500
1000
1500
2000
3000
4000
5000
盖面朝上次数
275
558
807
1054
1587
2124
2650
盖面朝上频率
0.550
0.558
0.538
0.527
0.529
0.531
0.530
下面有两个推断：①随着实验次数的增加，“盖面朝上”的频率总在0.530附近，显示出一定的稳定性，可以估计“盖面朝上”的概率是0.530；②若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“盖面朝上”的频率不一定是0.558．其中合理的推断的序号是： ．
12．（2021•金堂县模拟）在矩形ABCD中，点E、F分别是BC、AD上的中点，连接AE、DE、BD、BF得到如图所示的图形，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域的概率为P1，针尖落在矩形ABCD内的概率为P2，则＝ ．
13．（2021•玄武区二模）如图是一个正六边形的飞镖游戏板，顺次连接三个不相邻的顶点将正六边形分成4个区域．向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影区域的概率是 ．
14．（2021•宝安区模拟）为了解学生对社会主义核心价值观的学习情况，在一个有1000人的学校随机调查了250名学生，其中有240名学生能答出社会主义核心价值观基本内容．在该学校随机问一名学生，他能答出社会主义核心价值观基本内容的概率大约为 ．
15．（2021•铜梁区校级一模）有4张正面分别标有数字﹣1、﹣2、0、4的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，放回后再任意抽取一张，则抽出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率是 ．
16．（2019秋•朝阳区期末）为了打赢脱贫攻坚战，某村计划将该村的特产柑橘运到A地进行销售．由于受道路条件的限制，需要先将柑橘由公路运到火车站，再由铁路运到A地．村里负责销售的人员从该村运到火车站的所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行了“柑橘完好率”统计，获得的数据记录如下表：
柑橘总质量n/kg
100
150
200
250
300
350
400
450
500
完好柑橘质量m/kg
92.40
138.45
183.80
229.50
276.30
322.70
367.20
414.45
459.50
柑橘完好的频率
0.924
0.923
0.919
0.918
0.921
0.922
0.918
0.921
0.919
①估计从该村运到火车站，取出一个柑橘，柑橘完好的概率为 （结果保留小数点后三位）；
②若从该村运到A地柑橘完好的概率为0.880，估计从火车站运到A地后，取出一个柑橘，柑橘完好的概率为 ．
17．（2020•谷城县校级模拟）将分别标有“学”“习”“强”“国”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其它差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“强国”的概率是 ．
18．（2020秋•双流区期中）有四张背面完全相同的卡片，正面上分别标有数字﹣2，﹣1，1，2．把这四张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字为m；放回搅匀，再随机抽取一张卡片，记下数字为n，则y＝mx+n不经过第三象限的概率为 ．
19．（2019•渝北区自主招生）有五张正面分别标有数字﹣3、﹣2、0、1、2的不透明卡片，它们除数字不同外其他全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为a，放回后洗匀，再从中抽取一张，将该卡片上的数字记为b，则使得函数y＝（a+2）x2﹣bx+a的图象与x轴有交点的概率为 ．
20．（2020•黄石模拟）甲、乙两位同学各抛掷一枚质地均匀的骰子，他们抛掷的点数分别记为a、b，则a能被b整除的概率为 ．
三．解答题（共10小题）
21．（2021•鼓楼区校级模拟）我们知道，频数分布直方图能够帮助我们理解样本数据，除此之外，统计中还有用来表示数据的图叫做茎叶图．例如：某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的记录如下：
甲运动员得分：13，51，23，8，26，38，16，33，14，28，39
乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25
用茎叶图表示如图1：
茎是指中间的一列数，表示得分的十位数，叶就是从茎的旁边生长出来的数，表示得分的个位数在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留原始的所有数据，方便随时记录，而且能够展示数据的分布情况．
已知某工厂有两条不同生产线A和B生产同一种产品各10万件，为保证质量，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶图如图2所示：
该产品的质量评价标准规定：若鉴定成绩为m，当90≤m＜100时，产品质量等级为优秀；当80≤m＜90时，产品质量等级为良好；当60≤m＜80时，产品质量等级为合格．
（1）A生产线20件产品的鉴定成绩的中位数为 ；B生产线20件产品的鉴定成绩的众数为 ；
（2）从等级为优秀的样本中随机抽取两件，求抽取的两件产品中至少一件是A生产线生产的概率；
（3）已知每件产品的成本为5元，质量等级为良好、合格的产品的售价分别为8元/件，6元/件，要使该工厂的销售利润不低于43万元，则质量等级为优秀的产品如何定价？
22．（2018•南宁）某市将开展以“走进中国数学史”为主题的知识竞赛活动，红树林学校对本校100名参加选拔赛的同学的成绩按A，B，C，D四个等级进行统计，绘制成如下不完整的统计表和扇形统计图：
成绩等级
频数（人数）
频率
A
4
0.04
B
m
0.51
C
n
D
合计
100
1
（1）求m＝ ，n＝ ；
（2）在扇形统计图中，求“C等级”所对应圆心角的度数；
（3）成绩等级为A的4名同学中有1名男生和3名女生，现从中随机挑选2名同学代表学校参加全市比赛，请用树状图法或者列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．
23．（2021•江川区模拟）甲、乙两人进行摸牌游戏，现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5，将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．
（1）甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法写出所有可能的结果；
（2）若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．
24．（2021•岐山县一模）甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练，球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传三次．
（1）求三次传球后，球回到甲脚下的概率；
（2）三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？
25．（2020秋•海东市期末）在一个不透明的口袋里装有若干个除颜色外其余均相同的红、黄、蓝三种颜色的小球，其中红球2个，蓝球1个，若从中任意摸出一个球，摸到球是红球的概率为．
（1）求袋中黄球的个数；
（2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，求两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合（不考虑红、黄球顺序）的概率．
26．（2020秋•紫金县期末）盒中有若干枚黑棋和白棋，这些棋除颜色外无其他差别，现让学生进行摸棋试验：每次摸出一枚棋，记录颜色后放回摇匀．重复进行这样的试验得到以下数据：
摸棋的次数n
100
200
300
500
800
1000
摸到黑棋的次数m
24
51
76
124
201
250
摸到黑棋的频率（精确到0.001）
0.240
0.255
0.253
0.248
0.251
0.250
（1）根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是 ；（精确到0.01）
（2）若盒中黑棋与白棋共有4枚，某同学一次摸出两枚棋，请计算这两枚棋颜色不同的概率，并说明理由
27．（2020秋•路北区期末）甲袋里装有红球5个，白球2个和黑球12个，乙袋里装有红球20个，白球20个和黑球10个．
（1）如果你取出1个黑球，选哪个袋子成功的机会大？请说明理由．
（2）某同学说“从乙袋取出10个红球后，乙袋中的红球个数仍比甲袋中红球个数多，所以此时想取出1个红球，选乙袋成功的机会大．”你认为此说法正确吗？为什么？
28．（2021•铁岭模拟）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字﹣2，﹣1，1，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，小强先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为a；放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为b．
（1）用列表法或画树状图表示出（a，b）的所有可能出现的结果；
（2）求小强、小华各取一次小球所确定的点（a，b）落在二次函数y＝x2的图象上的概率；
（3）求小强、小华各取一次小球所确定的数a，b满足直线y＝ax+b经过一、二、三象限的概率．
29．（2018•江阴市二模）在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字1，2，3的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字．请你用画树形图或列表的方法，求下列事件的概率：
（1）两次取出小球上的数字相同的概率；
（2）两次取出小球上的数字之和不小于4的概率．
30．（2018•官渡区一模）在甲、乙两个不透明的布袋里，都装有3个大小、材质完全相同的小球，其中甲袋中的小球上分别标有数字0，1，2，乙袋中的小球上分别标有数字﹣1，﹣2，0．现从甲袋中任意摸出一个小球，把球上的数字记为x，再从乙袋中任意摸出一个小球，把球上的数字记为y，以此确定点M的坐标（x，y）．
（1）请你用画树状图或列表的方法（只选其中一种），写出点M所有可能的坐标；
（2）求点M（x，y）在函数y＝﹣2x的图象上的概率．
2021年新高一数学专题复习《概率初步》
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021•武汉）学校招募运动会广播员，从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人，则两人恰好是一男一女的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；数据分析观念；推理能力．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男一女的结果有8种，
∴两人恰好是一男一女的概率为＝，
故选：C．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
2．（2021•杭州）某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；数据分析观念；推理能力．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把3节车厢分别记为A、B、C，
画树状图如图：
共有9种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种，
∴甲和乙从同一节车厢上车的概率为＝，
故选：C．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
3．（2021•武汉模拟）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，当三辆汽车经过这个十字路口时，至少有两辆汽车向左转的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；推理能力．
【分析】根据题意画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，再有概率公式即可得出答案．
【解答】解：根据题意画图如下：
一共有27种等可能的情况；至少有两辆车向左转的有7种，
则至少有两辆车向左转的概率为：．
故选：D．
【点评】此题考查了树状图法或列表法求概率以及利用类比法解决问题，解题的关键是根据题意画出树状图或表格，再由概率＝所求情况数与总情况数之比求解．
4．（2021•威海模拟）一个不透明的袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个．给出下列结论：①第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球；②第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球；③第一次摸出的球是红球的概率是；④两次摸出的球都是红球的概率是．其中正确的结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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【专题】概率及其应用；数据分析观念；推理能力．
【分析】由随机事件的定义、概率公式、画树状图法分别分析求解即可．
【解答】解：第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球；故①错误，②正确；
第一次摸出的球是红球的概率是，故③正确；
画树状图如图：
共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的结果有1种，
∴两次摸出的球都是红球的概率为，故④正确；
其中正确的结论个数为3个，
故选：C．
【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
5．（2021•拱墅区校级四模）一个不透明的纸箱里装有3个红球，1个黄球和1个蓝球，它们除颜色外完全相同．小明从纸箱里随机摸出2个球，则摸到1个红球和1个蓝球的概率为（ ）
A． B． C． D．
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【专题】概率及其应用；数据分析观念；推理能力．
【分析】画树状图，共有20种等可能的结果，摸到1个红球和1个蓝球的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有20种等可能的结果，摸到1个红球和1个蓝球的结果有6种，
∴摸到1个红球和1个蓝球的概率为＝，
故选：B．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
6．（2020秋•焦作期末）如图，小彬收集了三张除正面图案外完全相同的卡片，其中两张印有中国国际进口博览会的标志，另外一张印有进博会吉祥物“进宝”．现将三张卡片背面朝上放置，搅匀后从中一次性随机抽取两张，则抽到的两张卡片图案不相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
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【专题】概率及其应用；模型思想；应用意识．
【分析】利用树状图或列表法列出所有可能出现的结果数，再从中得到满足条件的结果数，进而求出概率即可．
【解答】解：用A1、A2分别表示两张印有中国国际进口博览会的标志，用B表示一张印有进博会吉祥物“进宝”．
一次性随机抽取两张，所有可能出现的情况如下：
共有6种等可能出现的结果，有4种两张卡片图案不相同，
∴P（两张卡片图案不相同）＝＝，
故选：D．
【点评】考查随机事件发生概率的计算方法，列表法和树状图法是常用的方法，使用的前提是每一种结果出现的可能性是均等的，即是等可能事件．
7．（2019秋•太原期末）下列事件的概率，与“任意选2个人，恰好同月过生日”这一事件的概率相等的是（ ）
A．任意选2个人，恰好生肖相同
B．任意选2个人，恰好同一天过生日
C．任意掷2枚骰子，恰好朝上的点数相同
D．任意掷2枚硬币，恰好朝上的一面相同
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【专题】概率及其应用；模型思想；应用意识．
【分析】利用列表法和树状图法，求出每个事件发生的概率，做出判断即可
【解答】解：“任意选2个人，恰好同月过生日”可用列表法求出概率：P＝，
同理“任意选2个人，恰好生肖相同”的概率：P＝，
因此“任意选2个人，恰好同月过生日”这一事件的概率与“任意选2个人，恰好生肖相同”概率相同，
故选：A．
【点评】考查列表法和树状图法求等可能事件发生的概率，列举出所有等可能出现的结果数是正确解答的前提．
8．（2019秋•中原区校级期末）10个人去钓鱼，共钓到3条鱼，假设每个人钓到鱼的可能性相同，那么这3条鱼由同一个人钓到的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；应用意识．
【分析】第一次选择概率为1，第二次、第三次分别是，由此即可判断．
【解答】解法一：第一次选择概率为1，第二次、第三次分别是
故同一个人钓到3条鱼的概率是1××＝，
故选：C．
解法二：同一个人可以是这10个人中的任意一个，若记为1号，2号，…，10号，则符合题意的有（1，1，1，）（2，2，2）…（10，10，10）这10种情况，共有10×10×10＝1000种可能情况，符合题意的有10种，
故同一个人钓到3条鱼的概率是，
故选：C．
【点评】本题考查概率，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9．（2019•云霄县一模）如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【考点】全等三角形的判定；概率公式．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】找到符合条件的点P的个数，再根据概率公式计算可得．
【解答】解：要使△ABP与△ABC全等，点P的位置可以是P1，P2两个，
∴从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P的概率是＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查概率公式的应用，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
10．（2019•拱墅区校级模拟）这是一个古老的传说，讲一个犯人利用概率来增加他得到宽恕的机会．给他两个碗，一个里面装着5个黑球，另一个里面装着除颜色不同外其它都一样的5个白球．把他的眼睛蒙着，然后要选择一个碗，并从里面拿出一个球，如果他拿的是黑球就要继续关在监狱里面，如果他拿的是白球，就将获得自由．在蒙住眼睛之前允许他把球混合，重新分装在两个碗内（两个碗球数可以不同）．你能设想一下这个犯人怎么做，使得自己获得自由的机会最大？则犯人获得自由的最大机会是（ ）
A． B． C． D．
【考点】概率公式．菁优网版权所有
【专题】统计与概率；数据分析观念．
【分析】可以先将所有的球放入一个碗，再拿出一个白球放在另一个碗里．这样，他选择只有一个白球的碗的概率是，如果他选择错了碗，将还有的概率从另一个碗里摸到白球，从而使自己获得自由的概率最大．
【解答】解：可以先将所有的球放入一个碗，再拿出一个白球放在另一个碗里．这样，他若选择只有一个白球的碗获得自由的概率1，如果他选择错了碗，从另一个碗里摸到白球的概率是，从而所以获得自由的概率最大是．
故选：D．
【点评】本题考查概率的相关计算．确定出摸到白球最大概率方案是解答关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2021•顺义区二模）同学们设计了一个用计算机模拟随机重复抛掷瓶盖的实验，记录盖面朝上的次数，并计算盖面朝上的频率，下表是依次累计的实验结果．
抛掷次数
500
1000
1500
2000
3000
4000
5000
盖面朝上次数
275
558
807
1054
1587
2124
2650
盖面朝上频率
0.550
0.558
0.538
0.527
0.529
0.531
0.530
下面有两个推断：①随着实验次数的增加，“盖面朝上”的频率总在0.530附近，显示出一定的稳定性，可以估计“盖面朝上”的概率是0.530；②若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“盖面朝上”的频率不一定是0.558．其中合理的推断的序号是： ①② ．
【考点】利用频率估计概率．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】根据用频率估计概率解答即可．
【解答】解：①随着实验次数的增加，“盖面朝上”的频率总在0.530附近，显示出一定的稳定性，可以估计“盖面朝上”的概率是0.530，此推断正确；
②由于每次实验呈现的结果不同，若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“盖面朝上”的频率不一定是0.558，此推断正确；
故答案为：①②．
【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，解答此题关键是用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
12．（2021•金堂县模拟）在矩形ABCD中，点E、F分别是BC、AD上的中点，连接AE、DE、BD、BF得到如图所示的图形，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域的概率为P1，针尖落在矩形ABCD内的概率为P2，则＝ ．
【考点】全等三角形的判定与性质；几何概率．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力．
【分析】直接利用矩形性质、相似三角形判定与性质和三角形的面积求法表示出阴影部分面积，再结合概率得出P1，P2的值即可得出答案．
【解答】解：设矩形ABCD的面积为a，
如图1，
S△ADE＝a，
∵E是BC的中点，
∴△ADG∽△EBG，
∴＝＝＝＝2，
∴S△DGE＝a×＝a，
∵点E、F分别是BC、AD上的中点，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE∥BF，
∴△DEG∽△BHG，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴S△BHG＝a，
∴S阴影＝a+a＝a，
∴针尖落在阴影部分内的概率为P1＝＝，
∵针尖落在矩形区域内的概率为P2＝1，
∴＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了几何概率，正确得出各部分面积是解题关键．
13．（2021•玄武区二模）如图是一个正六边形的飞镖游戏板，顺次连接三个不相邻的顶点将正六边形分成4个区域．向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影区域的概率是 ．
【考点】几何概率．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；运算能力．
【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【解答】解：设正六边形的边长为a，
总面积为a2×6＝a2，其中阴影部分面积为×（a）2＝a2，
则飞镖落在阴影部分的概率是＝．
故答案为：．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
14．（2021•宝安区模拟）为了解学生对社会主义核心价值观的学习情况，在一个有1000人的学校随机调查了250名学生，其中有240名学生能答出社会主义核心价值观基本内容．在该学校随机问一名学生，他能答出社会主义核心价值观基本内容的概率大约为 0.96 ．
【考点】概率公式．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】先求出所抽取的样本中能答出社会主义核心价值观基本内容的人数对应的频率，据此可估计能答出社会主义核心价值观基本内容的概率．
【解答】解：∵在所抽取的样本容量为250的样本中，能答出社会主义核心价值观基本内容的有240人，
∴抽取的样本中能答出社会主义核心价值观基本内容的频率为＝0.96，
∴可估计他能答出社会主义核心价值观基本内容的概率大约为0.96，
故答案为：0.96．
【点评】考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．（2021•铜梁区校级一模）有4张正面分别标有数字﹣1、﹣2、0、4的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，放回后再任意抽取一张，则抽出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；数据分析观念；推理能力．
【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，抽出的两张卡片上的数字之和为偶数的结果有10种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有16种等可能的结果，抽出的两张卡片上的数字之和为偶数的结果有10种，
∴抽出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率为＝，
故答案为：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题的关键是要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．（2019秋•朝阳区期末）为了打赢脱贫攻坚战，某村计划将该村的特产柑橘运到A地进行销售．由于受道路条件的限制，需要先将柑橘由公路运到火车站，再由铁路运到A地．村里负责销售的人员从该村运到火车站的所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行了“柑橘完好率”统计，获得的数据记录如下表：
柑橘总质量n/kg
100
150
200
250
300
350
400
450
500
完好柑橘质量m/kg
92.40
138.45
183.80
229.50
276.30
322.70
367.20
414.45
459.50
柑橘完好的频率
0.924
0.923
0.919
0.918
0.921
0.922
0.918
0.921
0.919
①估计从该村运到火车站，取出一个柑橘，柑橘完好的概率为 0.920 （结果保留小数点后三位）；
②若从该村运到A地柑橘完好的概率为0.880，估计从火车站运到A地后，取出一个柑橘，柑橘完好的概率为 ．
【考点】利用频率估计概率．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；数据分析观念；应用意识．
【分析】（1）根据表格中频率的变化情况，估计概率即可；
（2）根据完好的概率进行列方程求解即可．
【解答】解：（1）根据抽查的柑橘完好的频率，大约集中在0.920上下波动，因此估计柑橘的完好的概率为0.920，
故答案为：0.920；
（2）设总质量为m千克，从火车站运到A地柑橘完好的概率为x，由题意得，
m×0.920×x＝m×0.880，
解得，x＝，
故答案为：．
【点评】考查频率估计概率，理解完好的概率的意义是正确解答的关键．
17．（2020•谷城县校级模拟）将分别标有“学”“习”“强”“国”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其它差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“强国”的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；模型思想；应用意识．
【分析】用树状图表示所有可能出现的情况，进而求出能组成“强国”的概率．
【解答】解：用树状图表示所有可能出现的情况有：
共有12种等可能出现的情况，其中组成“强国”的有2种，
∴P组成强国＝＝．
故答案为：．
【点评】考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
18．（2020秋•双流区期中）有四张背面完全相同的卡片，正面上分别标有数字﹣2，﹣1，1，2．把这四张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字为m；放回搅匀，再随机抽取一张卡片，记下数字为n，则y＝mx+n不经过第三象限的概率为 ．
【考点】一次函数的性质；列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；模型思想；应用意识．
【分析】用列表法或树状图法表示所有可能出现的结果数，再根据直线不过第三象限，得出m＜0，n＞0，从中找出符合条件的结果，用概率公式进行计算即可．
【解答】解：用列表法表示m、n所有可能出现的情况如下：
∵直线y＝mx+n不经过第三象限，即直线经过一、二、四象限，
∴m＜0，n＞0，
∴P直线y＝mx+n不经过第三象限＝＝，
故答案为：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题的关键是要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（2019•渝北区自主招生）有五张正面分别标有数字﹣3、﹣2、0、1、2的不透明卡片，它们除数字不同外其他全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为a，放回后洗匀，再从中抽取一张，将该卡片上的数字记为b，则使得函数y＝（a+2）x2﹣bx+a的图象与x轴有交点的概率为 ．
【考点】抛物线与x轴的交点；列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；模型思想．
【分析】用列表法表示所有可能出现的结果情况，再分一次函数和二次函数两种情况进行解答即可．
【解答】解：用列表法表示（a，b）所有可能出现的结果情况如下：
共有25中等可能出现的结果情况，其中使函数y＝（a+2）x2﹣bx+a的图象与x轴有交点，
当a＝﹣2，b≠0时，函数y＝（a+2）x2﹣bx+a变为一次函数，此时有4种情况符合题意，
当a≠﹣2时，函数y＝（a+2）x2﹣bx+a为二次函数，因此有b2﹣4（a+2）×a≥0，也就是b2≥﹣a（a+2），此时有12中种情况，
所以函数y＝（a+2）x2﹣bx+a的图象与x轴有交点的概率为＝，
故答案为：．
【点评】本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是解决问题的前提，分情况讨论是正确计算的关键．
20．（2020•黄石模拟）甲、乙两位同学各抛掷一枚质地均匀的骰子，他们抛掷的点数分别记为a、b，则a能被b整除的概率为 ．
【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；模型思想；应用意识．
【分析】用列表法或树状图法列举出所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的情况数，进而求出概率．
【解答】解：用列表法表示所有可能出现的情况有：
共36种情况，其中a能被b整除的有14种，
∴P（a能被b整除）＝＝．
故答案为：．
【点评】考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
三．解答题（共10小题）
21．（2021•鼓楼区校级模拟）我们知道，频数分布直方图能够帮助我们理解样本数据，除此之外，统计中还有用来表示数据的图叫做茎叶图．例如：某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的记录如下：
甲运动员得分：13，51，23，8，26，38，16，33，14，28，39
乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25
用茎叶图表示如图1：
茎是指中间的一列数，表示得分的十位数，叶就是从茎的旁边生长出来的数，表示得分的个位数在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留原始的所有数据，方便随时记录，而且能够展示数据的分布情况．
已知某工厂有两条不同生产线A和B生产同一种产品各10万件，为保证质量，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶图如图2所示：
该产品的质量评价标准规定：若鉴定成绩为m，当90≤m＜100时，产品质量等级为优秀；当80≤m＜90时，产品质量等级为良好；当60≤m＜80时，产品质量等级为合格．
（1）A生产线20件产品的鉴定成绩的中位数为 76 ；B生产线20件产品的鉴定成绩的众数为 78 ；
（2）从等级为优秀的样本中随机抽取两件，求抽取的两件产品中至少一件是A生产线生产的概率；
（3）已知每件产品的成本为5元，质量等级为良好、合格的产品的售价分别为8元/件，6元/件，要使该工厂的销售利润不低于43万元，则质量等级为优秀的产品如何定价？
【考点】抽样调查的可靠性；频数（率）分布直方图；中位数；众数；列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】统计的应用；概率及其应用；数据分析观念．
【分析】（1）根据中位数、众数的意义分别求解即可；
（2）列表法表示所有可能出现的结果情况，进而求出相应的概率；
（3）根据利润不低于43万元，求出样本中“合格”“良好”“优秀”所占的百分比，设未知数列不等式求解即可．
【解答】解：（1）A生产线20件产品的鉴定成绩从小到大排列后处在中间位置的两个数都是76，因此A生产线20件产品的鉴定成绩的中位数是76，
B生产线20件产品的鉴定成绩出现次数最多的是78，共出现3次，因此B生产线20件产品的鉴定成绩的众数为78，
故答案为：76，78；
（2）A生产线20件产品的鉴定成绩为优秀的有2件，B生产线20件产品的鉴定成绩为优秀的有3件，共5件，
从2件A，3件B中任意抽出2件，所有可能的情况如下：
共有20种等可能出现的结果情况，其中至少有1件是A生产线生产的有14种，
所以抽取的两件产品中至少一件是A生产线生产的概率为＝；
（3）设质量等级为优秀的产品定价为x元/件，由题意得，
20×（6﹣5）+20×（8﹣5）+20×（x﹣5）≥43，
解得x≥10，
即：质量等级为优秀的产品的定价为每件不低于10元．
【点评】本题考查列表法求随机事件发生的概率，中位数、众数以及样本估计总体，理解中位数、众数的意义和计算方法是正确解答的前提，列举出所有可能出现的结果情况是求出相应概率的关键．
22．（2018•南宁）某市将开展以“走进中国数学史”为主题的知识竞赛活动，红树林学校对本校100名参加选拔赛的同学的成绩按A，B，C，D四个等级进行统计，绘制成如下不完整的统计表和扇形统计图：
成绩等级
频数（人数）
频率
A
4
0.04
B
m
0.51
C
n
D
合计
100
1
（1）求m＝ 51 ，n＝ 30 ；
（2）在扇形统计图中，求“C等级”所对应圆心角的度数；
（3）成绩等级为A的4名同学中有1名男生和3名女生，现从中随机挑选2名同学代表学校参加全市比赛，请用树状图法或者列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．
【考点】频数（率）分布表；扇形统计图；列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用．
【分析】（1）由A的人数和其所占的百分比即可求出总人数，由此即可解决问题；
（2）由总人数求出C等级人数，根据其占被调查人数的百分比可求出其所对应扇形的圆心角的度数；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率；
【解答】解：（1）参加本次比赛的学生有：4÷0.04＝100（人）；
m＝0.51×100＝51（人），
D组人数＝100×15%＝15（人），
n＝100﹣4﹣51﹣15＝30（人）
故答案为51，30；
（2）C等级的学生共有：30（人）．
∴所占的百分比为：30%
∴C等级所对应扇形的圆心角度数为：360°×30%＝108°．
（3）列表如下：
男
女1
女2
女3
男
﹣﹣﹣
（女1，男）
（女2，男）
（女3，男）
女1
（男，女）
﹣﹣﹣
（女1，女2）
（女1，女3）
女2
（男，女）
（女1，女2）
﹣﹣﹣
（女2，女3）
女3
（男，女）
（女1，女3）
（女2，女3）
﹣﹣﹣
∵共有12种等可能的结果，选中1名男生和1名女生结果的有6种．
∴P（选中1名男生和1名女生）＝＝．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（2021•江川区模拟）甲、乙两人进行摸牌游戏，现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5，将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．
（1）甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法写出所有可能的结果；
（2）若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．
【考点】列表法与树状图法；游戏公平性．菁优网版权所有
【分析】（1）根据题意直接列表，即可得出所有可能出现的结果；
（2）根据概率的意义分别求出甲、乙获胜的概率，再进行比较，即可得出答案．
【解答】解：（1）所有可能出现的结果如图：
2
3
5
2
（2，2）
（2，3）
（2，5）
3
（3，2）
（3，3）
（3，5）
5
（5，2）
（5，3）
（5，5）
从表格可以看出，总共有9种结果；
（2）不公平．
从表格可以看出，两人抽取数字和为2的倍数有5种，两人抽取数字和为5的倍数有3种，所以甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．
∵＞，
∴甲获胜的概率大，游戏不公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
24．（2021•岐山县一模）甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练，球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传三次．
（1）求三次传球后，球回到甲脚下的概率；
（2）三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？
【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
【分析】（1）画出树状图，根据树形图，利用概率公式列式求出球回到甲脚下的概率即可得解；
（2）计算出传到乙脚下的概率，比较大小即可．
【解答】解：（1）根据题意画出树状图如下：
由树形图可知三次传球有8种等可能结果；
三次传球后，球回到甲脚下的概率＝＝；
（2）由（1）可知球回到乙脚下的概率＝，
所以球回到乙脚下的概率大．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
25．（2020秋•海东市期末）在一个不透明的口袋里装有若干个除颜色外其余均相同的红、黄、蓝三种颜色的小球，其中红球2个，蓝球1个，若从中任意摸出一个球，摸到球是红球的概率为．
（1）求袋中黄球的个数；
（2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，求两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合（不考虑红、黄球顺序）的概率．
【考点】概率公式；列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】常规题型；概率及其应用．
【分析】（1）首先设袋中的黄球个数为x个，然后根据古典概率的知识列方程，求解即可求得答案；
（2）首先画树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目，求其二者的比值即可．
【解答】解：（1）设袋中的黄球个数为x个，
∴＝，
解得：x＝1，
经检验，x＝1是原方程的解，
∴袋中黄球的个数1个；
（2）画树状图得：
，
∴一共有12种情况，两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合的有4种，
∴两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合的概率为：＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意方程思想的应用．
26．（2020秋•紫金县期末）盒中有若干枚黑棋和白棋，这些棋除颜色外无其他差别，现让学生进行摸棋试验：每次摸出一枚棋，记录颜色后放回摇匀．重复进行这样的试验得到以下数据：
摸棋的次数n
100
200
300
500
800
1000
摸到黑棋的次数m
24
51
76
124
201
250
摸到黑棋的频率（精确到0.001）
0.240
0.255
0.253
0.248
0.251
0.250
（1）根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是 0.25 ；（精确到0.01）
（2）若盒中黑棋与白棋共有4枚，某同学一次摸出两枚棋，请计算这两枚棋颜色不同的概率，并说明理由
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【专题】常规题型；概率及其应用．
【分析】（1）大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率，据此求解；
（2）画树状图列出所有等可能结果，再找到符合条件的结果数，根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是0.25，
故答案为：0.25；
（2）由（1）可知，黑棋的个数为4×0.25＝1，则白棋子的个数为3，
画树状图如下：
由表可知，所有等可能结果共有12种情况，
其中这两枚棋颜色不同的有6种结果，
所以这两枚棋颜色不同的概率为．
【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率．
27．（2020秋•路北区期末）甲袋里装有红球5个，白球2个和黑球12个，乙袋里装有红球20个，白球20个和黑球10个．
（1）如果你取出1个黑球，选哪个袋子成功的机会大？请说明理由．
（2）某同学说“从乙袋取出10个红球后，乙袋中的红球个数仍比甲袋中红球个数多，所以此时想取出1个红球，选乙袋成功的机会大．”你认为此说法正确吗？为什么？
【考点】概率公式．菁优网版权所有
【分析】（1）利用小球个数，直接利用概率公式计算得出答案；
（2）利用小球个数，直接利用概率公式计算得出答案．
【解答】解：（1）∵甲袋里装有红球5个，白球2个和黑球12个，
∴取出1个黑球的概率为：＝；
∵乙袋里装有红球20个，白球20个和黑球10个，
∴取出1个黑球的概率为：＝；
∵＞，
∴取出1个黑球，选甲袋子成功的机会大；
（2）说法错误，
理由：∵从乙袋取出10个红球后，乙袋中的红球个数为10，
∴此时从乙袋中摸到红球的概率为：，
从甲袋中摸到红球的概率为：，
∴＞，
∴选甲袋成功的机会大．
【点评】此题主要考查了概率公式，正确应用概率公式是解题关键．
28．（2021•铁岭模拟）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字﹣2，﹣1，1，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，小强先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为a；放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为b．
（1）用列表法或画树状图表示出（a，b）的所有可能出现的结果；
（2）求小强、小华各取一次小球所确定的点（a，b）落在二次函数y＝x2的图象上的概率；
（3）求小强、小华各取一次小球所确定的数a，b满足直线y＝ax+b经过一、二、三象限的概率．
【考点】一次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】（1）利用树状图展示所有16种等可能的结果；
（2）根据二次函数图象上点的坐标特征得到点（﹣2，4），（﹣1，1），（1，1）落在二次函数y＝x2的图象上，然后根据概率公式求解；
（3）根据一次函数图象与系数的关系可得到a＞0，b＞0，则点（1，1），（1，4），（4，1），（4，4）满足直线y＝ax+b经过一、二、三象限，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，它们为（﹣2，﹣2）、（﹣2，﹣1）、（﹣2，1）、（﹣2，4）、（﹣1，﹣2）、（﹣1，﹣1）、（﹣1，1）、（﹣1，4）、（1，﹣2）、（1，﹣1）、（1，1）、（1，4）、（4，﹣2）、（4，﹣1）、（4，1）、（4，4）；
（2）落在二次函数y＝x2的图象上的点有（﹣2，4），（﹣1，1），（1，1），
所以落在二次函数y＝x2的图象上的概率＝；
（3）满足直线y＝ax+b经过一、二、三象限的点有（1，1），（1，4），（4，1），（4，4），
所以满足直线y＝ax+b经过一、二、三象限的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了一次函数图象与系数的关系和二次函数图象上点的坐标特征．
29．（2018•江阴市二模）在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字1，2，3的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字．请你用画树形图或列表的方法，求下列事件的概率：
（1）两次取出小球上的数字相同的概率；
（2）两次取出小球上的数字之和不小于4的概率．
【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】常规题型；概率及其应用．
【分析】（1）画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次取出小球上的数字相同的结果数，然后根据概率公式求解；
（2）找出两次取出小球上的数字之和不小于4的结果数，然后利用概率公式求解．
【解答】解：（1）画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两次取出小球上的数字相同的结果数为3，
所以两次取出小球上的数字相同的概率＝＝；
（2）因为两次取出小球上的数字之和不小于4的结果数为6，
所以两次取出小球上的数字之和不小于4的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
30．（2018•官渡区一模）在甲、乙两个不透明的布袋里，都装有3个大小、材质完全相同的小球，其中甲袋中的小球上分别标有数字0，1，2，乙袋中的小球上分别标有数字﹣1，﹣2，0．现从甲袋中任意摸出一个小球，把球上的数字记为x，再从乙袋中任意摸出一个小球，把球上的数字记为y，以此确定点M的坐标（x，y）．
（1）请你用画树状图或列表的方法（只选其中一种），写出点M所有可能的坐标；
（2）求点M（x，y）在函数y＝﹣2x的图象上的概率．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】常规题型；概率及其应用．
【分析】（1）首先根据题意列出表格，然后由表格可得所有等可能的结果；
（2）由点M（x，y）在函数y＝﹣2x的图象上的有：（1，﹣2），（0，0），直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）列表如下：
﹣1
﹣2
0
0
（0，﹣1）
（0，﹣2）
（0，0）
1
（1，﹣1）
（1，﹣2）
（1，0）
2
（2，﹣1）
（2，﹣2）
（2，0）
共有9种结果，且每种结果发生的可能性相同；
（2）∵点M （x，y）在函数y＝﹣2x的图象上有两种情况，分别为（0，0），（1，﹣2）
∴．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
考点卡片
1．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
2．一次函数图象与系数的关系
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
3．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
4．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
5．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
6．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
7．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
8．抽样调查的可靠性
（1）抽样调查是实际中经常采用的调查方式．
（2）如果抽取的样本得当，就能很好地反映总体的情况，否则抽样调查的结果会偏离总体情况．
（3）抽样调查除了具有花费少，省时的特点外，还适用一些不宜使用全面调查的情况（如具有破坏性的调查）．
（4）分层抽样获取的样本与直接进行简单的随机抽样相比一般能更好地反映总体．其特点是：通过划类分层，增大了各类型中单位间的共同性，容易抽出具有代表性的调查样本，该方法适用于总体情况复杂，各单位之间差异较大，单位较多的情况．
9．频数（率）分布表
1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．
2、列频率分布表的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．
（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．
（3）将数据分组．
（4）列频率分布表．
10．频数（率）分布直方图
画频率分布直方图的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．（3）确定分点，将数据分组．（4）列频率分布表．（5）绘制频率分布直方图．
注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距×＝频率．②各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1．③频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容．
11．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
12．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
13．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
14．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）＝．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
15．几何概率
所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P＝g的测度G的测度
简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
16．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
17．游戏公平性
（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
（2）概率＝．
18．利用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
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日期：2021/6/23 15:58:19；用户：周晓丽；邮箱：17788760824；学号：25289867
2021年新高一数学专题复习《概率初步》
一．选择题（共10小题）
1．（2021•武汉）学校招募运动会广播员，从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人，则两人恰好是一男一女的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021•杭州）某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021•武汉模拟）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，当三辆汽车经过这个十字路口时，至少有两辆汽车向左转的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021•威海模拟）一个不透明的袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个．给出下列结论：①第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球；②第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球；③第一次摸出的球是红球的概率是；④两次摸出的球都是红球的概率是．其中正确的结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2021•拱墅区校级四模）一个不透明的纸箱里装有3个红球，1个黄球和1个蓝球，它们除颜色外完全相同．小明从纸箱里随机摸出2个球，则摸到1个红球和1个蓝球的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020秋•焦作期末）如图，小彬收集了三张除正面图案外完全相同的卡片，其中两张印有中国国际进口博览会的标志，另外一张印有进博会吉祥物“进宝”．现将三张卡片背面朝上放置，搅匀后从中一次性随机抽取两张，则抽到的两张卡片图案不相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2019秋•太原期末）下列事件的概率，与“任意选2个人，恰好同月过生日”这一事件的概率相等的是（ ）
A．任意选2个人，恰好生肖相同
B．任意选2个人，恰好同一天过生日
C．任意掷2枚骰子，恰好朝上的点数相同
D．任意掷2枚硬币，恰好朝上的一面相同
8．（2019秋•中原区校级期末）10个人去钓鱼，共钓到3条鱼，假设每个人钓到鱼的可能性相同，那么这3条鱼由同一个人钓到的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（2019•云霄县一模）如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P的概率是（ ）
A． B． C． D．1
10．（2019•拱墅区校级模拟）这是一个古老的传说，讲一个犯人利用概率来增加他得到宽恕的机会．给他两个碗，一个里面装着5个黑球，另一个里面装着除颜色不同外其它都一样的5个白球．把他的眼睛蒙着，然后要选择一个碗，并从里面拿出一个球，如果他拿的是黑球就要继续关在监狱里面，如果他拿的是白球，就将获得自由．在蒙住眼睛之前允许他把球混合，重新分装在两个碗内（两个碗球数可以不同）．你能设想一下这个犯人怎么做，使得自己获得自由的机会最大？则犯人获得自由的最大机会是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共10小题）
11．（2021•顺义区二模）同学们设计了一个用计算机模拟随机重复抛掷瓶盖的实验，记录盖面朝上的次数，并计算盖面朝上的频率，下表是依次累计的实验结果．
抛掷次数
500
1000
1500
2000
3000
4000
5000
盖面朝上次数
275
558
807
1054
1587
2124
2650
盖面朝上频率
0.550
0.558
0.538
0.527
0.529
0.531
0.530
下面有两个推断：①随着实验次数的增加，“盖面朝上”的频率总在0.530附近，显示出一定的稳定性，可以估计“盖面朝上”的概率是0.530；②若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“盖面朝上”的频率不一定是0.558．其中合理的推断的序号是： ．
12．（2021•金堂县模拟）在矩形ABCD中，点E、F分别是BC、AD上的中点，连接AE、DE、BD、BF得到如图所示的图形，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域的概率为P1，针尖落在矩形ABCD内的概率为P2，则＝ ．
13．（2021•玄武区二模）如图是一个正六边形的飞镖游戏板，顺次连接三个不相邻的顶点将正六边形分成4个区域．向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影区域的概率是 ．
14．（2021•宝安区模拟）为了解学生对社会主义核心价值观的学习情况，在一个有1000人的学校随机调查了250名学生，其中有240名学生能答出社会主义核心价值观基本内容．在该学校随机问一名学生，他能答出社会主义核心价值观基本内容的概率大约为 ．
15．（2021•铜梁区校级一模）有4张正面分别标有数字﹣1、﹣2、0、4的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，放回后再任意抽取一张，则抽出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率是 ．
16．（2019秋•朝阳区期末）为了打赢脱贫攻坚战，某村计划将该村的特产柑橘运到A地进行销售．由于受道路条件的限制，需要先将柑橘由公路运到火车站，再由铁路运到A地．村里负责销售的人员从该村运到火车站的所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行了“柑橘完好率”统计，获得的数据记录如下表：
柑橘总质量n/kg
100
150
200
250
300
350
400
450
500
完好柑橘质量m/kg
92.40
138.45
183.80
229.50
276.30
322.70
367.20
414.45
459.50
柑橘完好的频率
0.924
0.923
0.919
0.918
0.921
0.922
0.918
0.921
0.919
①估计从该村运到火车站，取出一个柑橘，柑橘完好的概率为 （结果保留小数点后三位）；
②若从该村运到A地柑橘完好的概率为0.880，估计从火车站运到A地后，取出一个柑橘，柑橘完好的概率为 ．
17．（2020•谷城县校级模拟）将分别标有“学”“习”“强”“国”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其它差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“强国”的概率是 ．
18．（2020秋•双流区期中）有四张背面完全相同的卡片，正面上分别标有数字﹣2，﹣1，1，2．把这四张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字为m；放回搅匀，再随机抽取一张卡片，记下数字为n，则y＝mx+n不经过第三象限的概率为 ．
19．（2019•渝北区自主招生）有五张正面分别标有数字﹣3、﹣2、0、1、2的不透明卡片，它们除数字不同外其他全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为a，放回后洗匀，再从中抽取一张，将该卡片上的数字记为b，则使得函数y＝（a+2）x2﹣bx+a的图象与x轴有交点的概率为 ．
20．（2020•黄石模拟）甲、乙两位同学各抛掷一枚质地均匀的骰子，他们抛掷的点数分别记为a、b，则a能被b整除的概率为 ．
三．解答题（共10小题）
21．（2021•鼓楼区校级模拟）我们知道，频数分布直方图能够帮助我们理解样本数据，除此之外，统计中还有用来表示数据的图叫做茎叶图．例如：某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的记录如下：
甲运动员得分：13，51，23，8，26，38，16，33，14，28，39
乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25
用茎叶图表示如图1：
茎是指中间的一列数，表示得分的十位数，叶就是从茎的旁边生长出来的数，表示得分的个位数在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留原始的所有数据，方便随时记录，而且能够展示数据的分布情况．
已知某工厂有两条不同生产线A和B生产同一种产品各10万件，为保证质量，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶图如图2所示：
该产品的质量评价标准规定：若鉴定成绩为m，当90≤m＜100时，产品质量等级为优秀；当80≤m＜90时，产品质量等级为良好；当60≤m＜80时，产品质量等级为合格．
（1）A生产线20件产品的鉴定成绩的中位数为 ；B生产线20件产品的鉴定成绩的众数为 ；
（2）从等级为优秀的样本中随机抽取两件，求抽取的两件产品中至少一件是A生产线生产的概率；
（3）已知每件产品的成本为5元，质量等级为良好、合格的产品的售价分别为8元/件，6元/件，要使该工厂的销售利润不低于43万元，则质量等级为优秀的产品如何定价？
22．（2018•南宁）某市将开展以“走进中国数学史”为主题的知识竞赛活动，红树林学校对本校100名参加选拔赛的同学的成绩按A，B，C，D四个等级进行统计，绘制成如下不完整的统计表和扇形统计图：
成绩等级
频数（人数）
频率
A
4
0.04
B
m
0.51
C
n
D
合计
100
1
（1）求m＝ ，n＝ ；
（2）在扇形统计图中，求“C等级”所对应圆心角的度数；
（3）成绩等级为A的4名同学中有1名男生和3名女生，现从中随机挑选2名同学代表学校参加全市比赛，请用树状图法或者列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．
23．（2021•江川区模拟）甲、乙两人进行摸牌游戏，现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5，将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．
（1）甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法写出所有可能的结果；
（2）若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．
24．（2021•岐山县一模）甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练，球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传三次．
（1）求三次传球后，球回到甲脚下的概率；
（2）三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？
25．（2020秋•海东市期末）在一个不透明的口袋里装有若干个除颜色外其余均相同的红、黄、蓝三种颜色的小球，其中红球2个，蓝球1个，若从中任意摸出一个球，摸到球是红球的概率为．
（1）求袋中黄球的个数；
（2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，求两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合（不考虑红、黄球顺序）的概率．
26．（2020秋•紫金县期末）盒中有若干枚黑棋和白棋，这些棋除颜色外无其他差别，现让学生进行摸棋试验：每次摸出一枚棋，记录颜色后放回摇匀．重复进行这样的试验得到以下数据：
摸棋的次数n
100
200
300
500
800
1000
摸到黑棋的次数m
24
51
76
124
201
250
摸到黑棋的频率（精确到0.001）
0.240
0.255
0.253
0.248
0.251
0.250
（1）根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是 ；（精确到0.01）
（2）若盒中黑棋与白棋共有4枚，某同学一次摸出两枚棋，请计算这两枚棋颜色不同的概率，并说明理由
27．（2020秋•路北区期末）甲袋里装有红球5个，白球2个和黑球12个，乙袋里装有红球20个，白球20个和黑球10个．
（1）如果你取出1个黑球，选哪个袋子成功的机会大？请说明理由．
（2）某同学说“从乙袋取出10个红球后，乙袋中的红球个数仍比甲袋中红球个数多，所以此时想取出1个红球，选乙袋成功的机会大．”你认为此说法正确吗？为什么？
28．（2021•铁岭模拟）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字﹣2，﹣1，1，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，小强先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为a；放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为b．
（1）用列表法或画树状图表示出（a，b）的所有可能出现的结果；
（2）求小强、小华各取一次小球所确定的点（a，b）落在二次函数y＝x2的图象上的概率；
（3）求小强、小华各取一次小球所确定的数a，b满足直线y＝ax+b经过一、二、三象限的概率．
29．（2018•江阴市二模）在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字1，2，3的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字．请你用画树形图或列表的方法，求下列事件的概率：
（1）两次取出小球上的数字相同的概率；
（2）两次取出小球上的数字之和不小于4的概率．
30．（2018•官渡区一模）在甲、乙两个不透明的布袋里，都装有3个大小、材质完全相同的小球，其中甲袋中的小球上分别标有数字0，1，2，乙袋中的小球上分别标有数字﹣1，﹣2，0．现从甲袋中任意摸出一个小球，把球上的数字记为x，再从乙袋中任意摸出一个小球，把球上的数字记为y，以此确定点M的坐标（x，y）．
（1）请你用画树状图或列表的方法（只选其中一种），写出点M所有可能的坐标；
（2）求点M（x，y）在函数y＝﹣2x的图象上的概率．
2021年新高一数学专题复习《概率初步》
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021•武汉）学校招募运动会广播员，从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人，则两人恰好是一男一女的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；数据分析观念；推理能力．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男一女的结果有8种，
∴两人恰好是一男一女的概率为＝，
故选：C．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
2．（2021•杭州）某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（ ）
A． B． C． D．
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【专题】概率及其应用；数据分析观念；推理能力．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把3节车厢分别记为A、B、C，
画树状图如图：
共有9种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种，
∴甲和乙从同一节车厢上车的概率为＝，
故选：C．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
3．（2021•武汉模拟）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，当三辆汽车经过这个十字路口时，至少有两辆汽车向左转的概率是（ ）
A． B． C． D．
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【专题】概率及其应用；推理能力．
【分析】根据题意画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，再有概率公式即可得出答案．
【解答】解：根据题意画图如下：
一共有27种等可能的情况；至少有两辆车向左转的有7种，
则至少有两辆车向左转的概率为：．
故选：D．
【点评】此题考查了树状图法或列表法求概率以及利用类比法解决问题，解题的关键是根据题意画出树状图或表格，再由概率＝所求情况数与总情况数之比求解．
4．（2021•威海模拟）一个不透明的袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个．给出下列结论：①第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球；②第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球；③第一次摸出的球是红球的概率是；④两次摸出的球都是红球的概率是．其中正确的结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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【专题】概率及其应用；数据分析观念；推理能力．
【分析】由随机事件的定义、概率公式、画树状图法分别分析求解即可．
【解答】解：第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球；故①错误，②正确；
第一次摸出的球是红球的概率是，故③正确；
画树状图如图：
共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的结果有1种，
∴两次摸出的球都是红球的概率为，故④正确；
其中正确的结论个数为3个，
故选：C．
【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
5．（2021•拱墅区校级四模）一个不透明的纸箱里装有3个红球，1个黄球和1个蓝球，它们除颜色外完全相同．小明从纸箱里随机摸出2个球，则摸到1个红球和1个蓝球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；数据分析观念；推理能力．
【分析】画树状图，共有20种等可能的结果，摸到1个红球和1个蓝球的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有20种等可能的结果，摸到1个红球和1个蓝球的结果有6种，
∴摸到1个红球和1个蓝球的概率为＝，
故选：B．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
6．（2020秋•焦作期末）如图，小彬收集了三张除正面图案外完全相同的卡片，其中两张印有中国国际进口博览会的标志，另外一张印有进博会吉祥物“进宝”．现将三张卡片背面朝上放置，搅匀后从中一次性随机抽取两张，则抽到的两张卡片图案不相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；模型思想；应用意识．
【分析】利用树状图或列表法列出所有可能出现的结果数，再从中得到满足条件的结果数，进而求出概率即可．
【解答】解：用A1、A2分别表示两张印有中国国际进口博览会的标志，用B表示一张印有进博会吉祥物“进宝”．
一次性随机抽取两张，所有可能出现的情况如下：
共有6种等可能出现的结果，有4种两张卡片图案不相同，
∴P（两张卡片图案不相同）＝＝，
故选：D．
【点评】考查随机事件发生概率的计算方法，列表法和树状图法是常用的方法，使用的前提是每一种结果出现的可能性是均等的，即是等可能事件．
7．（2019秋•太原期末）下列事件的概率，与“任意选2个人，恰好同月过生日”这一事件的概率相等的是（ ）
A．任意选2个人，恰好生肖相同
B．任意选2个人，恰好同一天过生日
C．任意掷2枚骰子，恰好朝上的点数相同
D．任意掷2枚硬币，恰好朝上的一面相同
【考点】概率公式；列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；模型思想；应用意识．
【分析】利用列表法和树状图法，求出每个事件发生的概率，做出判断即可
【解答】解：“任意选2个人，恰好同月过生日”可用列表法求出概率：P＝，
同理“任意选2个人，恰好生肖相同”的概率：P＝，
因此“任意选2个人，恰好同月过生日”这一事件的概率与“任意选2个人，恰好生肖相同”概率相同，
故选：A．
【点评】考查列表法和树状图法求等可能事件发生的概率，列举出所有等可能出现的结果数是正确解答的前提．
8．（2019秋•中原区校级期末）10个人去钓鱼，共钓到3条鱼，假设每个人钓到鱼的可能性相同，那么这3条鱼由同一个人钓到的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；应用意识．
【分析】第一次选择概率为1，第二次、第三次分别是，由此即可判断．
【解答】解法一：第一次选择概率为1，第二次、第三次分别是
故同一个人钓到3条鱼的概率是1××＝，
故选：C．
解法二：同一个人可以是这10个人中的任意一个，若记为1号，2号，…，10号，则符合题意的有（1，1，1，）（2，2，2）…（10，10，10）这10种情况，共有10×10×10＝1000种可能情况，符合题意的有10种，
故同一个人钓到3条鱼的概率是，
故选：C．
【点评】本题考查概率，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9．（2019•云霄县一模）如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【考点】全等三角形的判定；概率公式．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】找到符合条件的点P的个数，再根据概率公式计算可得．
【解答】解：要使△ABP与△ABC全等，点P的位置可以是P1，P2两个，
∴从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P的概率是＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查概率公式的应用，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
10．（2019•拱墅区校级模拟）这是一个古老的传说，讲一个犯人利用概率来增加他得到宽恕的机会．给他两个碗，一个里面装着5个黑球，另一个里面装着除颜色不同外其它都一样的5个白球．把他的眼睛蒙着，然后要选择一个碗，并从里面拿出一个球，如果他拿的是黑球就要继续关在监狱里面，如果他拿的是白球，就将获得自由．在蒙住眼睛之前允许他把球混合，重新分装在两个碗内（两个碗球数可以不同）．你能设想一下这个犯人怎么做，使得自己获得自由的机会最大？则犯人获得自由的最大机会是（ ）
A． B． C． D．
【考点】概率公式．菁优网版权所有
【专题】统计与概率；数据分析观念．
【分析】可以先将所有的球放入一个碗，再拿出一个白球放在另一个碗里．这样，他选择只有一个白球的碗的概率是，如果他选择错了碗，将还有的概率从另一个碗里摸到白球，从而使自己获得自由的概率最大．
【解答】解：可以先将所有的球放入一个碗，再拿出一个白球放在另一个碗里．这样，他若选择只有一个白球的碗获得自由的概率1，如果他选择错了碗，从另一个碗里摸到白球的概率是，从而所以获得自由的概率最大是．
故选：D．
【点评】本题考查概率的相关计算．确定出摸到白球最大概率方案是解答关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2021•顺义区二模）同学们设计了一个用计算机模拟随机重复抛掷瓶盖的实验，记录盖面朝上的次数，并计算盖面朝上的频率，下表是依次累计的实验结果．
抛掷次数
500
1000
1500
2000
3000
4000
5000
盖面朝上次数
275
558
807
1054
1587
2124
2650
盖面朝上频率
0.550
0.558
0.538
0.527
0.529
0.531
0.530
下面有两个推断：①随着实验次数的增加，“盖面朝上”的频率总在0.530附近，显示出一定的稳定性，可以估计“盖面朝上”的概率是0.530；②若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“盖面朝上”的频率不一定是0.558．其中合理的推断的序号是： ①② ．
【考点】利用频率估计概率．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】根据用频率估计概率解答即可．
【解答】解：①随着实验次数的增加，“盖面朝上”的频率总在0.530附近，显示出一定的稳定性，可以估计“盖面朝上”的概率是0.530，此推断正确；
②由于每次实验呈现的结果不同，若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“盖面朝上”的频率不一定是0.558，此推断正确；
故答案为：①②．
【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，解答此题关键是用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
12．（2021•金堂县模拟）在矩形ABCD中，点E、F分别是BC、AD上的中点，连接AE、DE、BD、BF得到如图所示的图形，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域的概率为P1，针尖落在矩形ABCD内的概率为P2，则＝ ．
【考点】全等三角形的判定与性质；几何概率．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力．
【分析】直接利用矩形性质、相似三角形判定与性质和三角形的面积求法表示出阴影部分面积，再结合概率得出P1，P2的值即可得出答案．
【解答】解：设矩形ABCD的面积为a，
如图1，
S△ADE＝a，
∵E是BC的中点，
∴△ADG∽△EBG，
∴＝＝＝＝2，
∴S△DGE＝a×＝a，
∵点E、F分别是BC、AD上的中点，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE∥BF，
∴△DEG∽△BHG，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴S△BHG＝a，
∴S阴影＝a+a＝a，
∴针尖落在阴影部分内的概率为P1＝＝，
∵针尖落在矩形区域内的概率为P2＝1，
∴＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了几何概率，正确得出各部分面积是解题关键．
13．（2021•玄武区二模）如图是一个正六边形的飞镖游戏板，顺次连接三个不相邻的顶点将正六边形分成4个区域．向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影区域的概率是 ．
【考点】几何概率．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；运算能力．
【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【解答】解：设正六边形的边长为a，
总面积为a2×6＝a2，其中阴影部分面积为×（a）2＝a2，
则飞镖落在阴影部分的概率是＝．
故答案为：．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
14．（2021•宝安区模拟）为了解学生对社会主义核心价值观的学习情况，在一个有1000人的学校随机调查了250名学生，其中有240名学生能答出社会主义核心价值观基本内容．在该学校随机问一名学生，他能答出社会主义核心价值观基本内容的概率大约为 0.96 ．
【考点】概率公式．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】先求出所抽取的样本中能答出社会主义核心价值观基本内容的人数对应的频率，据此可估计能答出社会主义核心价值观基本内容的概率．
【解答】解：∵在所抽取的样本容量为250的样本中，能答出社会主义核心价值观基本内容的有240人，
∴抽取的样本中能答出社会主义核心价值观基本内容的频率为＝0.96，
∴可估计他能答出社会主义核心价值观基本内容的概率大约为0.96，
故答案为：0.96．
【点评】考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．（2021•铜梁区校级一模）有4张正面分别标有数字﹣1、﹣2、0、4的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，放回后再任意抽取一张，则抽出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率是 ．
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【专题】概率及其应用；数据分析观念；推理能力．
【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，抽出的两张卡片上的数字之和为偶数的结果有10种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有16种等可能的结果，抽出的两张卡片上的数字之和为偶数的结果有10种，
∴抽出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率为＝，
故答案为：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题的关键是要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．（2019秋•朝阳区期末）为了打赢脱贫攻坚战，某村计划将该村的特产柑橘运到A地进行销售．由于受道路条件的限制，需要先将柑橘由公路运到火车站，再由铁路运到A地．村里负责销售的人员从该村运到火车站的所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行了“柑橘完好率”统计，获得的数据记录如下表：
柑橘总质量n/kg
100
150
200
250
300
350
400
450
500
完好柑橘质量m/kg
92.40
138.45
183.80
229.50
276.30
322.70
367.20
414.45
459.50
柑橘完好的频率
0.924
0.923
0.919
0.918
0.921
0.922
0.918
0.921
0.919
①估计从该村运到火车站，取出一个柑橘，柑橘完好的概率为 0.920 （结果保留小数点后三位）；
②若从该村运到A地柑橘完好的概率为0.880，估计从火车站运到A地后，取出一个柑橘，柑橘完好的概率为 ．
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【专题】概率及其应用；数据分析观念；应用意识．
【分析】（1）根据表格中频率的变化情况，估计概率即可；
（2）根据完好的概率进行列方程求解即可．
【解答】解：（1）根据抽查的柑橘完好的频率，大约集中在0.920上下波动，因此估计柑橘的完好的概率为0.920，
故答案为：0.920；
（2）设总质量为m千克，从火车站运到A地柑橘完好的概率为x，由题意得，
m×0.920×x＝m×0.880，
解得，x＝，
故答案为：．
【点评】考查频率估计概率，理解完好的概率的意义是正确解答的关键．
17．（2020•谷城县校级模拟）将分别标有“学”“习”“强”“国”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其它差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“强国”的概率是 ．
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【专题】概率及其应用；模型思想；应用意识．
【分析】用树状图表示所有可能出现的情况，进而求出能组成“强国”的概率．
【解答】解：用树状图表示所有可能出现的情况有：
共有12种等可能出现的情况，其中组成“强国”的有2种，
∴P组成强国＝＝．
故答案为：．
【点评】考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
18．（2020秋•双流区期中）有四张背面完全相同的卡片，正面上分别标有数字﹣2，﹣1，1，2．把这四张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字为m；放回搅匀，再随机抽取一张卡片，记下数字为n，则y＝mx+n不经过第三象限的概率为 ．
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【专题】概率及其应用；模型思想；应用意识．
【分析】用列表法或树状图法表示所有可能出现的结果数，再根据直线不过第三象限，得出m＜0，n＞0，从中找出符合条件的结果，用概率公式进行计算即可．
【解答】解：用列表法表示m、n所有可能出现的情况如下：
∵直线y＝mx+n不经过第三象限，即直线经过一、二、四象限，
∴m＜0，n＞0，
∴P直线y＝mx+n不经过第三象限＝＝，
故答案为：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题的关键是要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（2019•渝北区自主招生）有五张正面分别标有数字﹣3、﹣2、0、1、2的不透明卡片，它们除数字不同外其他全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为a，放回后洗匀，再从中抽取一张，将该卡片上的数字记为b，则使得函数y＝（a+2）x2﹣bx+a的图象与x轴有交点的概率为 ．
【考点】抛物线与x轴的交点；列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；模型思想．
【分析】用列表法表示所有可能出现的结果情况，再分一次函数和二次函数两种情况进行解答即可．
【解答】解：用列表法表示（a，b）所有可能出现的结果情况如下：
共有25中等可能出现的结果情况，其中使函数y＝（a+2）x2﹣bx+a的图象与x轴有交点，
当a＝﹣2，b≠0时，函数y＝（a+2）x2﹣bx+a变为一次函数，此时有4种情况符合题意，
当a≠﹣2时，函数y＝（a+2）x2﹣bx+a为二次函数，因此有b2﹣4（a+2）×a≥0，也就是b2≥﹣a（a+2），此时有12中种情况，
所以函数y＝（a+2）x2﹣bx+a的图象与x轴有交点的概率为＝，
故答案为：．
【点评】本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是解决问题的前提，分情况讨论是正确计算的关键．
20．（2020•黄石模拟）甲、乙两位同学各抛掷一枚质地均匀的骰子，他们抛掷的点数分别记为a、b，则a能被b整除的概率为 ．
【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；模型思想；应用意识．
【分析】用列表法或树状图法列举出所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的情况数，进而求出概率．
【解答】解：用列表法表示所有可能出现的情况有：
共36种情况，其中a能被b整除的有14种，
∴P（a能被b整除）＝＝．
故答案为：．
【点评】考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
三．解答题（共10小题）
21．（2021•鼓楼区校级模拟）我们知道，频数分布直方图能够帮助我们理解样本数据，除此之外，统计中还有用来表示数据的图叫做茎叶图．例如：某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的记录如下：
甲运动员得分：13，51，23，8，26，38，16，33，14，28，39
乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25
用茎叶图表示如图1：
茎是指中间的一列数，表示得分的十位数，叶就是从茎的旁边生长出来的数，表示得分的个位数在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留原始的所有数据，方便随时记录，而且能够展示数据的分布情况．
已知某工厂有两条不同生产线A和B生产同一种产品各10万件，为保证质量，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶图如图2所示：
该产品的质量评价标准规定：若鉴定成绩为m，当90≤m＜100时，产品质量等级为优秀；当80≤m＜90时，产品质量等级为良好；当60≤m＜80时，产品质量等级为合格．
（1）A生产线20件产品的鉴定成绩的中位数为 76 ；B生产线20件产品的鉴定成绩的众数为 78 ；
（2）从等级为优秀的样本中随机抽取两件，求抽取的两件产品中至少一件是A生产线生产的概率；
（3）已知每件产品的成本为5元，质量等级为良好、合格的产品的售价分别为8元/件，6元/件，要使该工厂的销售利润不低于43万元，则质量等级为优秀的产品如何定价？
【考点】抽样调查的可靠性；频数（率）分布直方图；中位数；众数；列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】统计的应用；概率及其应用；数据分析观念．
【分析】（1）根据中位数、众数的意义分别求解即可；
（2）列表法表示所有可能出现的结果情况，进而求出相应的概率；
（3）根据利润不低于43万元，求出样本中“合格”“良好”“优秀”所占的百分比，设未知数列不等式求解即可．
【解答】解：（1）A生产线20件产品的鉴定成绩从小到大排列后处在中间位置的两个数都是76，因此A生产线20件产品的鉴定成绩的中位数是76，
B生产线20件产品的鉴定成绩出现次数最多的是78，共出现3次，因此B生产线20件产品的鉴定成绩的众数为78，
故答案为：76，78；
（2）A生产线20件产品的鉴定成绩为优秀的有2件，B生产线20件产品的鉴定成绩为优秀的有3件，共5件，
从2件A，3件B中任意抽出2件，所有可能的情况如下：
共有20种等可能出现的结果情况，其中至少有1件是A生产线生产的有14种，
所以抽取的两件产品中至少一件是A生产线生产的概率为＝；
（3）设质量等级为优秀的产品定价为x元/件，由题意得，
20×（6﹣5）+20×（8﹣5）+20×（x﹣5）≥43，
解得x≥10，
即：质量等级为优秀的产品的定价为每件不低于10元．
【点评】本题考查列表法求随机事件发生的概率，中位数、众数以及样本估计总体，理解中位数、众数的意义和计算方法是正确解答的前提，列举出所有可能出现的结果情况是求出相应概率的关键．
22．（2018•南宁）某市将开展以“走进中国数学史”为主题的知识竞赛活动，红树林学校对本校100名参加选拔赛的同学的成绩按A，B，C，D四个等级进行统计，绘制成如下不完整的统计表和扇形统计图：
成绩等级
频数（人数）
频率
A
4
0.04
B
m
0.51
C
n
D
合计
100
1
（1）求m＝ 51 ，n＝ 30 ；
（2）在扇形统计图中，求“C等级”所对应圆心角的度数；
（3）成绩等级为A的4名同学中有1名男生和3名女生，现从中随机挑选2名同学代表学校参加全市比赛，请用树状图法或者列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．
【考点】频数（率）分布表；扇形统计图；列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用．
【分析】（1）由A的人数和其所占的百分比即可求出总人数，由此即可解决问题；
（2）由总人数求出C等级人数，根据其占被调查人数的百分比可求出其所对应扇形的圆心角的度数；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率；
【解答】解：（1）参加本次比赛的学生有：4÷0.04＝100（人）；
m＝0.51×100＝51（人），
D组人数＝100×15%＝15（人），
n＝100﹣4﹣51﹣15＝30（人）
故答案为51，30；
（2）C等级的学生共有：30（人）．
∴所占的百分比为：30%
∴C等级所对应扇形的圆心角度数为：360°×30%＝108°．
（3）列表如下：
男
女1
女2
女3
男
﹣﹣﹣
（女1，男）
（女2，男）
（女3，男）
女1
（男，女）
﹣﹣﹣
（女1，女2）
（女1，女3）
女2
（男，女）
（女1，女2）
﹣﹣﹣
（女2，女3）
女3
（男，女）
（女1，女3）
（女2，女3）
﹣﹣﹣
∵共有12种等可能的结果，选中1名男生和1名女生结果的有6种．
∴P（选中1名男生和1名女生）＝＝．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（2021•江川区模拟）甲、乙两人进行摸牌游戏，现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5，将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．
（1）甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法写出所有可能的结果；
（2）若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．
【考点】列表法与树状图法；游戏公平性．菁优网版权所有
【分析】（1）根据题意直接列表，即可得出所有可能出现的结果；
（2）根据概率的意义分别求出甲、乙获胜的概率，再进行比较，即可得出答案．
【解答】解：（1）所有可能出现的结果如图：
2
3
5
2
（2，2）
（2，3）
（2，5）
3
（3，2）
（3，3）
（3，5）
5
（5，2）
（5，3）
（5，5）
从表格可以看出，总共有9种结果；
（2）不公平．
从表格可以看出，两人抽取数字和为2的倍数有5种，两人抽取数字和为5的倍数有3种，所以甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．
∵＞，
∴甲获胜的概率大，游戏不公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
24．（2021•岐山县一模）甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练，球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传三次．
（1）求三次传球后，球回到甲脚下的概率；
（2）三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？
【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
【分析】（1）画出树状图，根据树形图，利用概率公式列式求出球回到甲脚下的概率即可得解；
（2）计算出传到乙脚下的概率，比较大小即可．
【解答】解：（1）根据题意画出树状图如下：
由树形图可知三次传球有8种等可能结果；
三次传球后，球回到甲脚下的概率＝＝；
（2）由（1）可知球回到乙脚下的概率＝，
所以球回到乙脚下的概率大．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
25．（2020秋•海东市期末）在一个不透明的口袋里装有若干个除颜色外其余均相同的红、黄、蓝三种颜色的小球，其中红球2个，蓝球1个，若从中任意摸出一个球，摸到球是红球的概率为．
（1）求袋中黄球的个数；
（2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，求两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合（不考虑红、黄球顺序）的概率．
【考点】概率公式；列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】常规题型；概率及其应用．
【分析】（1）首先设袋中的黄球个数为x个，然后根据古典概率的知识列方程，求解即可求得答案；
（2）首先画树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目，求其二者的比值即可．
【解答】解：（1）设袋中的黄球个数为x个，
∴＝，
解得：x＝1，
经检验，x＝1是原方程的解，
∴袋中黄球的个数1个；
（2）画树状图得：
，
∴一共有12种情况，两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合的有4种，
∴两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合的概率为：＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意方程思想的应用．
26．（2020秋•紫金县期末）盒中有若干枚黑棋和白棋，这些棋除颜色外无其他差别，现让学生进行摸棋试验：每次摸出一枚棋，记录颜色后放回摇匀．重复进行这样的试验得到以下数据：
摸棋的次数n
100
200
300
500
800
1000
摸到黑棋的次数m
24
51
76
124
201
250
摸到黑棋的频率（精确到0.001）
0.240
0.255
0.253
0.248
0.251
0.250
（1）根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是 0.25 ；（精确到0.01）
（2）若盒中黑棋与白棋共有4枚，某同学一次摸出两枚棋，请计算这两枚棋颜色不同的概率，并说明理由
【考点】利用频率估计概率．菁优网版权所有
【专题】常规题型；概率及其应用．
【分析】（1）大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率，据此求解；
（2）画树状图列出所有等可能结果，再找到符合条件的结果数，根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是0.25，
故答案为：0.25；
（2）由（1）可知，黑棋的个数为4×0.25＝1，则白棋子的个数为3，
画树状图如下：
由表可知，所有等可能结果共有12种情况，
其中这两枚棋颜色不同的有6种结果，
所以这两枚棋颜色不同的概率为．
【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率．
27．（2020秋•路北区期末）甲袋里装有红球5个，白球2个和黑球12个，乙袋里装有红球20个，白球20个和黑球10个．
（1）如果你取出1个黑球，选哪个袋子成功的机会大？请说明理由．
（2）某同学说“从乙袋取出10个红球后，乙袋中的红球个数仍比甲袋中红球个数多，所以此时想取出1个红球，选乙袋成功的机会大．”你认为此说法正确吗？为什么？
【考点】概率公式．菁优网版权所有
【分析】（1）利用小球个数，直接利用概率公式计算得出答案；
（2）利用小球个数，直接利用概率公式计算得出答案．
【解答】解：（1）∵甲袋里装有红球5个，白球2个和黑球12个，
∴取出1个黑球的概率为：＝；
∵乙袋里装有红球20个，白球20个和黑球10个，
∴取出1个黑球的概率为：＝；
∵＞，
∴取出1个黑球，选甲袋子成功的机会大；
（2）说法错误，
理由：∵从乙袋取出10个红球后，乙袋中的红球个数为10，
∴此时从乙袋中摸到红球的概率为：，
从甲袋中摸到红球的概率为：，
∴＞，
∴选甲袋成功的机会大．
【点评】此题主要考查了概率公式，正确应用概率公式是解题关键．
28．（2021•铁岭模拟）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字﹣2，﹣1，1，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，小强先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为a；放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为b．
（1）用列表法或画树状图表示出（a，b）的所有可能出现的结果；
（2）求小强、小华各取一次小球所确定的点（a，b）落在二次函数y＝x2的图象上的概率；
（3）求小强、小华各取一次小球所确定的数a，b满足直线y＝ax+b经过一、二、三象限的概率．
【考点】一次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】（1）利用树状图展示所有16种等可能的结果；
（2）根据二次函数图象上点的坐标特征得到点（﹣2，4），（﹣1，1），（1，1）落在二次函数y＝x2的图象上，然后根据概率公式求解；
（3）根据一次函数图象与系数的关系可得到a＞0，b＞0，则点（1，1），（1，4），（4，1），（4，4）满足直线y＝ax+b经过一、二、三象限，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，它们为（﹣2，﹣2）、（﹣2，﹣1）、（﹣2，1）、（﹣2，4）、（﹣1，﹣2）、（﹣1，﹣1）、（﹣1，1）、（﹣1，4）、（1，﹣2）、（1，﹣1）、（1，1）、（1，4）、（4，﹣2）、（4，﹣1）、（4，1）、（4，4）；
（2）落在二次函数y＝x2的图象上的点有（﹣2，4），（﹣1，1），（1，1），
所以落在二次函数y＝x2的图象上的概率＝；
（3）满足直线y＝ax+b经过一、二、三象限的点有（1，1），（1，4），（4，1），（4，4），
所以满足直线y＝ax+b经过一、二、三象限的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了一次函数图象与系数的关系和二次函数图象上点的坐标特征．
29．（2018•江阴市二模）在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字1，2，3的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字．请你用画树形图或列表的方法，求下列事件的概率：
（1）两次取出小球上的数字相同的概率；
（2）两次取出小球上的数字之和不小于4的概率．
【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】常规题型；概率及其应用．
【分析】（1）画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次取出小球上的数字相同的结果数，然后根据概率公式求解；
（2）找出两次取出小球上的数字之和不小于4的结果数，然后利用概率公式求解．
【解答】解：（1）画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两次取出小球上的数字相同的结果数为3，
所以两次取出小球上的数字相同的概率＝＝；
（2）因为两次取出小球上的数字之和不小于4的结果数为6，
所以两次取出小球上的数字之和不小于4的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
30．（2018•官渡区一模）在甲、乙两个不透明的布袋里，都装有3个大小、材质完全相同的小球，其中甲袋中的小球上分别标有数字0，1，2，乙袋中的小球上分别标有数字﹣1，﹣2，0．现从甲袋中任意摸出一个小球，把球上的数字记为x，再从乙袋中任意摸出一个小球，把球上的数字记为y，以此确定点M的坐标（x，y）．
（1）请你用画树状图或列表的方法（只选其中一种），写出点M所有可能的坐标；
（2）求点M（x，y）在函数y＝﹣2x的图象上的概率．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】常规题型；概率及其应用．
【分析】（1）首先根据题意列出表格，然后由表格可得所有等可能的结果；
（2）由点M（x，y）在函数y＝﹣2x的图象上的有：（1，﹣2），（0，0），直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）列表如下：
﹣1
﹣2
0
0
（0，﹣1）
（0，﹣2）
（0，0）
1
（1，﹣1）
（1，﹣2）
（1，0）
2
（2，﹣1）
（2，﹣2）
（2，0）
共有9种结果，且每种结果发生的可能性相同；
（2）∵点M （x，y）在函数y＝﹣2x的图象上有两种情况，分别为（0，0），（1，﹣2）
∴．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
考点卡片
1．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
2．一次函数图象与系数的关系
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
3．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
4．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
5．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
6．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
7．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
8．抽样调查的可靠性
（1）抽样调查是实际中经常采用的调查方式．
（2）如果抽取的样本得当，就能很好地反映总体的情况，否则抽样调查的结果会偏离总体情况．
（3）抽样调查除了具有花费少，省时的特点外，还适用一些不宜使用全面调查的情况（如具有破坏性的调查）．
（4）分层抽样获取的样本与直接进行简单的随机抽样相比一般能更好地反映总体．其特点是：通过划类分层，增大了各类型中单位间的共同性，容易抽出具有代表性的调查样本，该方法适用于总体情况复杂，各单位之间差异较大，单位较多的情况．
9．频数（率）分布表
1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．
2、列频率分布表的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．
（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．
（3）将数据分组．
（4）列频率分布表．
10．频数（率）分布直方图
画频率分布直方图的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．（3）确定分点，将数据分组．（4）列频率分布表．（5）绘制频率分布直方图．
注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距×＝频率．②各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1．③频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容．
11．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
12．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
13．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
14．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）＝．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
15．几何概率
所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P＝g的测度G的测度
简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
16．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
17．游戏公平性
（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
（2）概率＝．
18．利用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
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