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高中数学人教版新课标A必修11.2.1函数的概念当堂达标检测题
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这是一份高中数学人教版新课标A必修11.2.1函数的概念当堂达标检测题，共18页。试卷主要包含了+的定义域为 ，的定义域是 等内容，欢迎下载使用。
2021年新高一数学人教A版新课预习《1.2函数及其表示》
一．选择题（共5小题）
1．（2021•桃城区校级模拟）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征．已知函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（ ）
A．f（x）＝ln|x|﹣cosx B．f（x）＝ln|x|﹣sinx
C．f（x）＝ln|x|+cosx D．f（x）＝ln|x|+sinx
2．（2021•衡水模拟）函数g（x）＝的图象向右平移1个单位长度得到函数f（x）的图象，则f（x）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021春•南山区校级期中）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）
A．y＝x﹣1与y＝ B．y＝与y＝
C．y＝4lgx与y＝2lgx2 D．y＝（）3与y＝x
4．（2021春•高安市校级期中）已知函数，则f（2）的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．（2021春•天心区校级期中）函数y＝lg（2﹣x）的定义域是（ ）
A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（0，2] D．（0，2）
二．填空题（共5小题）
6．（2020秋•台江区校级期末）已知函数f（2x﹣1）＝4x+3(x∈R），若f(a)＝15，则实数a的值为 ．
7．（2021•广东模拟）规定记号“△”表示一种运算，即a△b＝（a2﹣1）（b2﹣2b），a，b∈R，若k＞0，函数f（x）＝（kx）△x的图象关于直线x＝对称，则k＝ ．
8．（2021春•徐汇区校级期中）函数y＝lg（cosx﹣）的定义域为 ．
9．（2021春•瑶海区月考）函数f（x）＝ln（2﹣x）+的定义域为 ．
10．（2021•平谷区一模）函数f（x）＝+ln（x﹣1）的定义域是 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2020秋•阎良区期末）已知函数f（x）＝x2﹣2bx+3（b∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在区间[﹣2，2]上单调递减，求实数b的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为9，求实数b的值．
12．（2021春•江州区校级月考）已知f（x）为二次函数，f（0）＝0，f（2x+1）﹣f（x）＝x2+3x+2，求f（x）的解析式．
13．（2020秋•贵溪市校级期末）已知二次函数y＝f（x）的图像与x轴的交点（﹣1，0），（3，0），与y轴的交点为（0，﹣3）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）+m＞0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
14．（2020秋•宁县校级期末）若不等式0≤x+1≤2成立时，关于x的不等式x﹣a﹣1＞0也成立，求实数a的取值范围．
15．（2020秋•洛龙区校级月考）已知函数f（x）＝的定义域是A，函数g（x）＝x2+2x在[m，1]上的值域是[﹣1，3]，且实数m的取值范围所组成的集合是B．
（1）分别求出定义域A与集合B；
（2）设集合C＝{x|x＜2a﹣6或x＞a}．若B∩C＝∅，求实数a的取值范围．
2021年新高一数学人教A版新课预习《1.2函数及其表示》
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2021•桃城区校级模拟）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征．已知函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（ ）
A．f（x）＝ln|x|﹣cosx B．f（x）＝ln|x|﹣sinx
C．f（x）＝ln|x|+cosx D．f（x）＝ln|x|+sinx
【考点】函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有
【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】结合偶函数的性质，以及x时，通过判断函数的大小，即可判断．
【解答】解：由图象可知f(x)不为偶函数，A选项、C选项为偶函数，故A选项、C选项错误，
当y＝ln|x|+sinx，当，
令x1 ＜0，x2 ＞0，且|x1|＝|x2|，可得y(x1)＜y(x2)，通过观察图图象可知y(x1)＞y(x2)，故D选项错误，
故选：B．
【点评】本题考查了函数的奇偶性，以及三角函数的性质，需要学生一定的数形结合的能力．
2．（2021•衡水模拟）函数g（x）＝的图象向右平移1个单位长度得到函数f（x）的图象，则f（x）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有
【专题】计算题；数形结合；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．
【分析】根据题意，求出f（x）的解析式，进而计算f（﹣1）和f（）的值，分析其符号，用排除法分析选项，可得答案．
【解答】解：根据题意，f（x）＝g（x﹣1）＝，其定义域为{x|x≠0且x≠1}，
且f（﹣1）＝＝﹣lg2＜0，排除A、B，
f（）＝＝﹣lg2＜0，排除C，
故选：D．
【点评】本题考查函数的图象变换，涉及函数值符号的分析，属于基础题．
3．（2021春•南山区校级期中）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）
A．y＝x﹣1与y＝ B．y＝与y＝
C．y＝4lgx与y＝2lgx2 D．y＝（）3与y＝x
【考点】判断两个函数是否为同一函数．菁优网版权所有
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】通过化简解析式可发现选项A、C的两函数的解析式不同，两函数不相同，而选项B的两函数定义域不同，两函数也不相同，只能选D．
【解答】解：A．y＝x﹣1与的解析式不同，两函数不相同；
B.的定义域为[1，+∞），的定义域为（1，+∞），定义域不同，两函数不相同；
C．y＝4lgx与y＝2lgx2＝4lg|x|的解析式不同，两函数不相同；
D.的定义域为R，y＝x的定义域为R，定义域和解析式都相同，两函数相同．
故选：D．
【点评】考查函数的定义，判断两函数是否相同的方法：看解析式和定义域是否都相同．
4．（2021春•高安市校级期中）已知函数，则f（2）的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值．菁优网版权所有
【专题】计算题；数形结合；方程思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据题意，令+1＝2可得x的值，将x的值代入，即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数，若+1＝2，解可得x＝1，
将x＝1代入，可得f（2）＝5，
故选：B．
【点评】本题考查函数值的计算，涉及函数解析式的求法，属于基础题．
5．（2021春•天心区校级期中）函数y＝lg（2﹣x）的定义域是（ ）
A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（0，2] D．（0，2）
【考点】函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．菁优网版权所有
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】可看出，要使得原函数有意义，则需满足2﹣x＞0，然后解出x的范围即可．
【解答】解：要使原函数有意义，则2﹣x＞0，解得x＜2，
∴原函数的定义域是（﹣∞，2）．
故选：A．
【点评】本题考查了对数函数的定义域，函数定义域的定义及求法，考查了计算能力，属于基础题．
二．填空题（共5小题）
6．（2020秋•台江区校级期末）已知函数f（2x﹣1）＝4x+3(x∈R），若f(a)＝15，则实数a的值为 5 ．
【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（2x﹣1）＝2（2x﹣1）+5，即可得f（x）＝2x+5，可得函数的解析式，据此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（2x﹣1）＝4x+3，即f（2x﹣1）＝2（2x﹣1）+5，
则f（x）＝2x+5，
若f（a）＝15，则f（a）＝2a+5＝15，解可得a＝5；
故答案为：5．
【点评】本题考查函数值的计算，注意函数解析式的定义，属于基础题．
7．（2021•广东模拟）规定记号“△”表示一种运算，即a△b＝（a2﹣1）（b2﹣2b），a，b∈R，若k＞0，函数f（x）＝（kx）△x的图象关于直线x＝对称，则k＝ 1 ．
【考点】函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学抽象．
【分析】根据定义先求出f（x）的解析式，利用对称性进行求解即可．
【解答】解：f（x）＝（kx）△x＝（k2x2﹣1）（x2﹣2x）＝（kx﹣1）（kx+1）x（x﹣2）．
因为函数f（x）的图象关于直线对称，
所以f（x）的零点也关于x＝对称，
f（x）的几个零点为0，2，，﹣，
则满足0+＝1且2﹣＝1，解得k＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查新定义与函数的性质，考查数形结合的数学思想，求出函数的解析式，利用对称性是解决本题的关键，是基础题．
8．（2021春•徐汇区校级期中）函数y＝lg（cosx﹣）的定义域为 {x|2kπ﹣＜x＜2kπ+，k∈Z} ．
【考点】函数的定义域及其求法．菁优网版权所有
【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】由对数式的真数大于0，然后求解三角不等式即可得答案．
【解答】解：由cosx﹣＞0，得cosx＞，
即2kπ﹣＜x＜2kπ+，k∈Z，
∴函数y＝lg（cosx﹣）的定义域为{x|2kπ﹣＜x＜2kπ+，k∈Z}．
故答案为：{x|2kπ﹣＜x＜2kπ+，k∈Z}．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查三角不等式的解法，是基础题．
9．（2021春•瑶海区月考）函数f（x）＝ln（2﹣x）+的定义域为 [﹣1，2） ．
【考点】函数的定义域及其求法．菁优网版权所有
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据对数函数研究二次根式的性质求出函数的定义域即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：﹣1≤x＜2，
故函数的定义域是[﹣1，2），
故答案为：[﹣1，2）．
【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数研究二次根式的性质，是基础题．
10．（2021•平谷区一模）函数f（x）＝+ln（x﹣1）的定义域是 （1，3] ．
【考点】函数的定义域及其求法．菁优网版权所有
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：1＜x≤3，
故函数的定义域是（1，3]，
故答案为：（1，3]．
【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式以及对数函数的性质，是基础题．
三．解答题（共5小题）
11．（2020秋•阎良区期末）已知函数f（x）＝x2﹣2bx+3（b∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在区间[﹣2，2]上单调递减，求实数b的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为9，求实数b的值．
【考点】二次函数的性质与图象．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】（Ⅰ）函数的解析式变形可得f（x）＝x2﹣2bx+3＝（x﹣b）2+3﹣b2，结合二次函数的单调性的性质可得答案，
（Ⅱ）根据题意，分析可得或解可得b的值，即可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数f（x）＝x2﹣2bx+3＝（x﹣b）2+3﹣b2，是开口向上，对称轴为x＝b的二次函数，
若f（x）在区间[﹣2，2]上单调递减，则b≥2，
（Ⅱ）根据题意，函数f（x）＝x2﹣2bx+3＝（x﹣b）2+3﹣b2，其开口向上，对称轴为x＝b，
若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为9，
则或
解可得：b＝±，
故b＝±．
【点评】本题考查二次函数的性质，涉及函数的单调性和最值，属于基础题．
12．（2021春•江州区校级月考）已知f（x）为二次函数，f（0）＝0，f（2x+1）﹣f（x）＝x2+3x+2，求f（x）的解析式．
【考点】函数解析式的求解及常用方法．菁优网版权所有
【专题】计算题；函数思想；待定系数法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】由f（x）为二次函数，可设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），然后用待定系数法即可求解．
【解答】解：因为f（x）为二次函数，所以设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），
∵f（0）＝0，∴c＝0，则f（x）＝ax2+bx，
∵f（2x+1）＝a（2x+1）2+b（2x+1）＝4ax2+（4a+2b）x+（a+b），
又∵f（2x+1）﹣f（x）＝x2+3x+2，∴3ax2+（4a+b）x+（a+b）＝x2+3x+2，
∴3a＝1，4a+b＝3，a+b＝2，∴a＝，b＝，∴f（x）＝x2+x．
【点评】本题考查了函数解析式的求法，利用了待定系数法，属于基础题．
13．（2020秋•贵溪市校级期末）已知二次函数y＝f（x）的图像与x轴的交点（﹣1，0），（3，0），与y轴的交点为（0，﹣3）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）+m＞0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质与图象．菁优网版权所有
【专题】常规题型；转化思想；综合法；数学运算．
【分析】（1）由题意设一般式，代点可求a，b，c值，可得解析式．
（2把）恒成立问题分参，转化为求最值问题即可．
【解答】解：（1）设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）
把点（﹣1，0），（3，0），（0，﹣3）代入f（x）得，
，∴，
∴f（x）＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵f（x）+m＞0对一切实数x恒成立，
∴x2﹣2x﹣3+m＞0对一切实数x恒成立，
∴m＞（﹣x2+2x+3）max，
∵y＝﹣x2+2x+3开口向下且对称轴为x＝1，
∴（﹣x2+2x+3）max＝4，∴m＞4．
【点评】本题考查二次函数解析式的求解，利用待定系数法并设为两根式是解决问题的关键，属基础题
14．（2020秋•宁县校级期末）若不等式0≤x+1≤2成立时，关于x的不等式x﹣a﹣1＞0也成立，求实数a的取值范围．
【考点】一次函数的性质与图象．菁优网版权所有
【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】由0≤x+1≤2，得﹣1≤x≤1，关于x的不等式x﹣a﹣1＞0也成立，可化为x＞a+1成立，转化为x的最小值即可．
【解答】解：由0≤x+1≤2，得﹣1≤x≤1，
则不等式0≤x+1≤2成立时，关于x的不等式x﹣a﹣1＞0也成立，
即﹣1≤x≤1时，x＞a+1成立，
∴﹣1＞a+1，
解得a＜﹣2，
故实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．
【点评】本题考查一次不等式的求解、恒成立问题及一次函数的性质，考查学生分析解决问题的能力．
15．（2020秋•洛龙区校级月考）已知函数f（x）＝的定义域是A，函数g（x）＝x2+2x在[m，1]上的值域是[﹣1，3]，且实数m的取值范围所组成的集合是B．
（1）分别求出定义域A与集合B；
（2）设集合C＝{x|x＜2a﹣6或x＞a}．若B∩C＝∅，求实数a的取值范围．
【考点】交集及其运算；函数的定义域及其求法．菁优网版权所有
【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；数学运算．
【分析】（1）求解f（x）中x的范围可得集合A，根据二次函数的性质求解值域可得集合B．
（2）根据B∩C＝∅得到，即可求解a的范围．
【解答】解：（1）由题意得，∴﹣1≤x＜2，∴A＝[﹣1，2），
∵g（x）＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴当x＝﹣1时，g（x）的最小值为﹣1，
∵函数g（x）在[m，1]的值域为[﹣1，3]，∴﹣3≤m≤﹣1，∴B＝[﹣3，﹣1]，
（2）∵B∩C＝∅，∴，∴﹣1≤a≤，
∴a的取值范围为[﹣1，]．
【点评】本题考查了集合的基本运算和定义域值域的求法．属于基础题．
考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．判断两个函数是否为同一函数
【知识点的认识】函数的构成要素：定义域、对应关系、值域．
所以判断两个函数是不是同一函数，就看定义域和对应法则是否一样．
【解题方法点拨】判断函数是否是同一个函数，一般是同解变形化简函数的表达式，考察两个函数的定义域是否相同，对应法则是否相同．
【命题方向】高考中以小题出现，选择题与填空题的形式，由于函数涉及知识面广，所以函数是否为相同函数命题比较少．
3．函数的定义域及其求法
【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．
求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；
②根式（开偶次方）被开方式≥0；
③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；
④指数为零时，底数不为零．
⑤实际问题中函数的定义域；
【解题方法点拨】
求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．
【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题．
4．函数解析式的求解及常用方法
【知识点的认识】通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求解．
求解函数解析式的几种常用方法主要有
1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等等．
【解题方法点拨】常常利用函数的基本性质，函数的图象特征，例如二次函数的对称轴，函数与坐标轴的交点等；利用函数的解析式的求解方法求解函数的解析式，有时利用待定系数法．
例1：已知曲线y＝x2+2x在点（1，f（1））处的切线为l．求l的方程．
解：∵y＝x2+2x，
∴y'＝2x+2，当x＝1时，y'＝4得切线的斜率为4，所以k＝4；
所以曲线在点（1，3）处的切线方程为：
y﹣3＝4×（x﹣1），即4x﹣y﹣1＝0．
故l的方程为：4x﹣y﹣1＝0
我们从这个题当中可以发现求直线方程的一般规律，第一：求出函数的斜率，切线的斜率就是该点的导数，如果是两个点的情况则可以用两点法求出斜率；第二：找到直线必过的一个点，用点斜式即可求出．（当然还有其他的，比方说截距式）
例2：若函数y＝f（x）与y＝ex+1的图象关于直线y＝x对称，则f（x）＝
解：函数y＝ex+1的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线y＝x对称，
所以f（x）是y＝ex+1的反函数，
x＝lny﹣1（y＞0）
即f（x）＝lnx﹣1，（x＞0）
故答案为：lnx﹣1，（x＞0）
本例题体现了根据函数图象或者两条曲线的关系来求另一条直线的途径，这里面根据关于y＝x对称，推知要求的是该函数的反函数，这也是常考的题型，望重视．
【命题方向】求解函数解析式是高考重点考查内容之一，在三角函数的解析式中常考．是基础题．
5．函数的图象与图象的变换
【函数图象的作法】函数图象的作法：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线．
解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．
命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．
【图象的变换】
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．
其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
（1）平移变换：
y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位）⇒y＝f（x﹣a）；
y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位）⇒y＝f（x）+b．
（2）伸缩变换：
y＝f（x） y＝f（ωx）；
y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍）⇒y＝Af（x）．
（3）对称变换：
y＝f（x）关于x轴对称⇒y＝﹣f（x）；
y＝f（x）关于y轴对称⇒y＝f（﹣x）；
y＝f（x）关于原点对称⇒y＝﹣f（﹣x）．
（4）翻折变换：
y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边⇒y＝f（|x|）；
y＝f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f（x）|．
解题方法点拨
1、画函数图象的一般方法
（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．
（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．
2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法
（1）知图选式：
①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；
②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；
③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；
④从图象的循环往复，观察函数的周期性．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．
（2）知式选图：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化 趋势；
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
④从函数的周期性，判断图象的循环往复．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．
注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．
3、（1）利有函数的图象研究函数的性质
从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
（2）利用函数的图象研究方程根的个数
有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．
4、方法归纳：
（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点
在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．
（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点
为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：
①正确求出函数的定义域；
②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x+的函数；
③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．
（3）3种方法﹣﹣识图的方法
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：
①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；
②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；
③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
6．函数恒成立问题
【知识点的认识】
恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．例：要使函数f（x）＝ax^2+1恒大于0，就必须对a进行限制﹣﹣令a≥0，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，先分离参数的话做题较简单
【解题方法点拨】
一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量和求导．
例：f（x）＝x2+2x+3≥ax，（x＞0）求a的取值范围．
解：由题意可知：a≤恒成立
即a≤x++2
⇒a≤2+2
【命题方向】
恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全面的考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．
7．函数的值
【知识点的认识】
函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围．
【解题方法点拨】
求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种：
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较
例题：求f（x）＝lnx﹣x在（0，+∞）的值域
解：f′（x）＝﹣1＝
∴易知函数在（0，1]单调递增，（1，+∞）单调递减
∴最大值为：ln1﹣1＝﹣1，无最小值；
故值域为（﹣∞，﹣1）
【命题方向】
函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题难度小，方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主．
8．一次函数的性质与图象
【知识点的认识】
所谓一次函数，就是指只有一个自变量，自变量的次数为1，且因变量随着自变量的变化而变化，其表达形式有y＝kx+b（k≠0）、ay+bx+c＝0（ab≠0）、（ab≠0），名称一次为点斜式、一般式、截距式．
【解题方法点拨】
一次函数作为最基本的函数，作为一个单独的考点的可能性甚低，一般能涉及到一次函数的地方一般都是关于恒成立问题和解析几何里，但我们也有必要了解一次函数的一些重要性质．
①一次函数的斜率：点斜式的斜率为k，一般式的斜率和截距式的斜率为﹣．
②一次函数的图象：是一条直线，注意必过的点和斜率即可，如点斜式必过（0，b）点；
③点到直线的距离：如（m，n）到直线y＝kx+b的距离公式为；d＝
【命题方向】
一次函数是最基本的函数，大家理应掌握，其中比较重要的是图形的画法和点到直线的距离和直线截某曲线的弦长是一个要重视的地方．
9．二次函数的性质与图象
【二次函数】
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）
【二次函数的性质】
二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．
这里面略谈一下他的一些性质．
①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x＝﹣；最值为：f（﹣）；判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0时，函数与x轴只有一个交点；△＞0时，与x轴有两个交点；当△＜0时无交点．
②根与系数的关系．若△≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝；
③二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，），准线方程为y＝﹣，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．
④平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；
【命题方向】
熟悉二次函数的性质，会画出抛物线的准确形状，特别是注意抛物线焦点和准线的关系，抛物线最值得取得，这也是一个常考点．
10．对数函数的定义域
【知识点归纳】
一般地，我们把函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．
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日期：2021/6/23 16:13:01；用户：周晓丽；邮箱：17788760824；学号：25289867
2021年新高一数学人教A版新课预习《1.2函数及其表示》
一．选择题（共5小题）
1．（2021•桃城区校级模拟）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征．已知函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（ ）
A．f（x）＝ln|x|﹣cosx B．f（x）＝ln|x|﹣sinx
C．f（x）＝ln|x|+cosx D．f（x）＝ln|x|+sinx
2．（2021•衡水模拟）函数g（x）＝的图象向右平移1个单位长度得到函数f（x）的图象，则f（x）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021春•南山区校级期中）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）
A．y＝x﹣1与y＝ B．y＝与y＝
C．y＝4lgx与y＝2lgx2 D．y＝（）3与y＝x
4．（2021春•高安市校级期中）已知函数，则f（2）的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．（2021春•天心区校级期中）函数y＝lg（2﹣x）的定义域是（ ）
A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（0，2] D．（0，2）
二．填空题（共5小题）
6．（2020秋•台江区校级期末）已知函数f（2x﹣1）＝4x+3(x∈R），若f(a)＝15，则实数a的值为 ．
7．（2021•广东模拟）规定记号“△”表示一种运算，即a△b＝（a2﹣1）（b2﹣2b），a，b∈R，若k＞0，函数f（x）＝（kx）△x的图象关于直线x＝对称，则k＝ ．
8．（2021春•徐汇区校级期中）函数y＝lg（cosx﹣）的定义域为 ．
9．（2021春•瑶海区月考）函数f（x）＝ln（2﹣x）+的定义域为 ．
10．（2021•平谷区一模）函数f（x）＝+ln（x﹣1）的定义域是 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2020秋•阎良区期末）已知函数f（x）＝x2﹣2bx+3（b∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在区间[﹣2，2]上单调递减，求实数b的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为9，求实数b的值．
12．（2021春•江州区校级月考）已知f（x）为二次函数，f（0）＝0，f（2x+1）﹣f（x）＝x2+3x+2，求f（x）的解析式．
13．（2020秋•贵溪市校级期末）已知二次函数y＝f（x）的图像与x轴的交点（﹣1，0），（3，0），与y轴的交点为（0，﹣3）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）+m＞0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
14．（2020秋•宁县校级期末）若不等式0≤x+1≤2成立时，关于x的不等式x﹣a﹣1＞0也成立，求实数a的取值范围．
15．（2020秋•洛龙区校级月考）已知函数f（x）＝的定义域是A，函数g（x）＝x2+2x在[m，1]上的值域是[﹣1，3]，且实数m的取值范围所组成的集合是B．
（1）分别求出定义域A与集合B；
（2）设集合C＝{x|x＜2a﹣6或x＞a}．若B∩C＝∅，求实数a的取值范围．
2021年新高一数学人教A版新课预习《1.2函数及其表示》
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2021•桃城区校级模拟）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征．已知函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（ ）
A．f（x）＝ln|x|﹣cosx B．f（x）＝ln|x|﹣sinx
C．f（x）＝ln|x|+cosx D．f（x）＝ln|x|+sinx
【考点】函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有
【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】结合偶函数的性质，以及x时，通过判断函数的大小，即可判断．
【解答】解：由图象可知f(x)不为偶函数，A选项、C选项为偶函数，故A选项、C选项错误，
当y＝ln|x|+sinx，当，
令x1 ＜0，x2 ＞0，且|x1|＝|x2|，可得y(x1)＜y(x2)，通过观察图图象可知y(x1)＞y(x2)，故D选项错误，
故选：B．
【点评】本题考查了函数的奇偶性，以及三角函数的性质，需要学生一定的数形结合的能力．
2．（2021•衡水模拟）函数g（x）＝的图象向右平移1个单位长度得到函数f（x）的图象，则f（x）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有
【专题】计算题；数形结合；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．
【分析】根据题意，求出f（x）的解析式，进而计算f（﹣1）和f（）的值，分析其符号，用排除法分析选项，可得答案．
【解答】解：根据题意，f（x）＝g（x﹣1）＝，其定义域为{x|x≠0且x≠1}，
且f（﹣1）＝＝﹣lg2＜0，排除A、B，
f（）＝＝﹣lg2＜0，排除C，
故选：D．
【点评】本题考查函数的图象变换，涉及函数值符号的分析，属于基础题．
3．（2021春•南山区校级期中）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）
A．y＝x﹣1与y＝ B．y＝与y＝
C．y＝4lgx与y＝2lgx2 D．y＝（）3与y＝x
【考点】判断两个函数是否为同一函数．菁优网版权所有
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】通过化简解析式可发现选项A、C的两函数的解析式不同，两函数不相同，而选项B的两函数定义域不同，两函数也不相同，只能选D．
【解答】解：A．y＝x﹣1与的解析式不同，两函数不相同；
B.的定义域为[1，+∞），的定义域为（1，+∞），定义域不同，两函数不相同；
C．y＝4lgx与y＝2lgx2＝4lg|x|的解析式不同，两函数不相同；
D.的定义域为R，y＝x的定义域为R，定义域和解析式都相同，两函数相同．
故选：D．
【点评】考查函数的定义，判断两函数是否相同的方法：看解析式和定义域是否都相同．
4．（2021春•高安市校级期中）已知函数，则f（2）的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值．菁优网版权所有
【专题】计算题；数形结合；方程思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据题意，令+1＝2可得x的值，将x的值代入，即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数，若+1＝2，解可得x＝1，
将x＝1代入，可得f（2）＝5，
故选：B．
【点评】本题考查函数值的计算，涉及函数解析式的求法，属于基础题．
5．（2021春•天心区校级期中）函数y＝lg（2﹣x）的定义域是（ ）
A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（0，2] D．（0，2）
【考点】函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．菁优网版权所有
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】可看出，要使得原函数有意义，则需满足2﹣x＞0，然后解出x的范围即可．
【解答】解：要使原函数有意义，则2﹣x＞0，解得x＜2，
∴原函数的定义域是（﹣∞，2）．
故选：A．
【点评】本题考查了对数函数的定义域，函数定义域的定义及求法，考查了计算能力，属于基础题．
二．填空题（共5小题）
6．（2020秋•台江区校级期末）已知函数f（2x﹣1）＝4x+3(x∈R），若f(a)＝15，则实数a的值为 5 ．
【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（2x﹣1）＝2（2x﹣1）+5，即可得f（x）＝2x+5，可得函数的解析式，据此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（2x﹣1）＝4x+3，即f（2x﹣1）＝2（2x﹣1）+5，
则f（x）＝2x+5，
若f（a）＝15，则f（a）＝2a+5＝15，解可得a＝5；
故答案为：5．
【点评】本题考查函数值的计算，注意函数解析式的定义，属于基础题．
7．（2021•广东模拟）规定记号“△”表示一种运算，即a△b＝（a2﹣1）（b2﹣2b），a，b∈R，若k＞0，函数f（x）＝（kx）△x的图象关于直线x＝对称，则k＝ 1 ．
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【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学抽象．
【分析】根据定义先求出f（x）的解析式，利用对称性进行求解即可．
【解答】解：f（x）＝（kx）△x＝（k2x2﹣1）（x2﹣2x）＝（kx﹣1）（kx+1）x（x﹣2）．
因为函数f（x）的图象关于直线对称，
所以f（x）的零点也关于x＝对称，
f（x）的几个零点为0，2，，﹣，
则满足0+＝1且2﹣＝1，解得k＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查新定义与函数的性质，考查数形结合的数学思想，求出函数的解析式，利用对称性是解决本题的关键，是基础题．
8．（2021春•徐汇区校级期中）函数y＝lg（cosx﹣）的定义域为 {x|2kπ﹣＜x＜2kπ+，k∈Z} ．
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【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】由对数式的真数大于0，然后求解三角不等式即可得答案．
【解答】解：由cosx﹣＞0，得cosx＞，
即2kπ﹣＜x＜2kπ+，k∈Z，
∴函数y＝lg（cosx﹣）的定义域为{x|2kπ﹣＜x＜2kπ+，k∈Z}．
故答案为：{x|2kπ﹣＜x＜2kπ+，k∈Z}．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查三角不等式的解法，是基础题．
9．（2021春•瑶海区月考）函数f（x）＝ln（2﹣x）+的定义域为 [﹣1，2） ．
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【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据对数函数研究二次根式的性质求出函数的定义域即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：﹣1≤x＜2，
故函数的定义域是[﹣1，2），
故答案为：[﹣1，2）．
【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数研究二次根式的性质，是基础题．
10．（2021•平谷区一模）函数f（x）＝+ln（x﹣1）的定义域是 （1，3] ．
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【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：1＜x≤3，
故函数的定义域是（1，3]，
故答案为：（1，3]．
【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式以及对数函数的性质，是基础题．
三．解答题（共5小题）
11．（2020秋•阎良区期末）已知函数f（x）＝x2﹣2bx+3（b∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在区间[﹣2，2]上单调递减，求实数b的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为9，求实数b的值．
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【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】（Ⅰ）函数的解析式变形可得f（x）＝x2﹣2bx+3＝（x﹣b）2+3﹣b2，结合二次函数的单调性的性质可得答案，
（Ⅱ）根据题意，分析可得或解可得b的值，即可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数f（x）＝x2﹣2bx+3＝（x﹣b）2+3﹣b2，是开口向上，对称轴为x＝b的二次函数，
若f（x）在区间[﹣2，2]上单调递减，则b≥2，
（Ⅱ）根据题意，函数f（x）＝x2﹣2bx+3＝（x﹣b）2+3﹣b2，其开口向上，对称轴为x＝b，
若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为9，
则或
解可得：b＝±，
故b＝±．
【点评】本题考查二次函数的性质，涉及函数的单调性和最值，属于基础题．
12．（2021春•江州区校级月考）已知f（x）为二次函数，f（0）＝0，f（2x+1）﹣f（x）＝x2+3x+2，求f（x）的解析式．
【考点】函数解析式的求解及常用方法．菁优网版权所有
【专题】计算题；函数思想；待定系数法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】由f（x）为二次函数，可设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），然后用待定系数法即可求解．
【解答】解：因为f（x）为二次函数，所以设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），
∵f（0）＝0，∴c＝0，则f（x）＝ax2+bx，
∵f（2x+1）＝a（2x+1）2+b（2x+1）＝4ax2+（4a+2b）x+（a+b），
又∵f（2x+1）﹣f（x）＝x2+3x+2，∴3ax2+（4a+b）x+（a+b）＝x2+3x+2，
∴3a＝1，4a+b＝3，a+b＝2，∴a＝，b＝，∴f（x）＝x2+x．
【点评】本题考查了函数解析式的求法，利用了待定系数法，属于基础题．
13．（2020秋•贵溪市校级期末）已知二次函数y＝f（x）的图像与x轴的交点（﹣1，0），（3，0），与y轴的交点为（0，﹣3）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）+m＞0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质与图象．菁优网版权所有
【专题】常规题型；转化思想；综合法；数学运算．
【分析】（1）由题意设一般式，代点可求a，b，c值，可得解析式．
（2把）恒成立问题分参，转化为求最值问题即可．
【解答】解：（1）设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）
把点（﹣1，0），（3，0），（0，﹣3）代入f（x）得，
，∴，
∴f（x）＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵f（x）+m＞0对一切实数x恒成立，
∴x2﹣2x﹣3+m＞0对一切实数x恒成立，
∴m＞（﹣x2+2x+3）max，
∵y＝﹣x2+2x+3开口向下且对称轴为x＝1，
∴（﹣x2+2x+3）max＝4，∴m＞4．
【点评】本题考查二次函数解析式的求解，利用待定系数法并设为两根式是解决问题的关键，属基础题
14．（2020秋•宁县校级期末）若不等式0≤x+1≤2成立时，关于x的不等式x﹣a﹣1＞0也成立，求实数a的取值范围．
【考点】一次函数的性质与图象．菁优网版权所有
【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】由0≤x+1≤2，得﹣1≤x≤1，关于x的不等式x﹣a﹣1＞0也成立，可化为x＞a+1成立，转化为x的最小值即可．
【解答】解：由0≤x+1≤2，得﹣1≤x≤1，
则不等式0≤x+1≤2成立时，关于x的不等式x﹣a﹣1＞0也成立，
即﹣1≤x≤1时，x＞a+1成立，
∴﹣1＞a+1，
解得a＜﹣2，
故实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．
【点评】本题考查一次不等式的求解、恒成立问题及一次函数的性质，考查学生分析解决问题的能力．
15．（2020秋•洛龙区校级月考）已知函数f（x）＝的定义域是A，函数g（x）＝x2+2x在[m，1]上的值域是[﹣1，3]，且实数m的取值范围所组成的集合是B．
（1）分别求出定义域A与集合B；
（2）设集合C＝{x|x＜2a﹣6或x＞a}．若B∩C＝∅，求实数a的取值范围．
【考点】交集及其运算；函数的定义域及其求法．菁优网版权所有
【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；数学运算．
【分析】（1）求解f（x）中x的范围可得集合A，根据二次函数的性质求解值域可得集合B．
（2）根据B∩C＝∅得到，即可求解a的范围．
【解答】解：（1）由题意得，∴﹣1≤x＜2，∴A＝[﹣1，2），
∵g（x）＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴当x＝﹣1时，g（x）的最小值为﹣1，
∵函数g（x）在[m，1]的值域为[﹣1，3]，∴﹣3≤m≤﹣1，∴B＝[﹣3，﹣1]，
（2）∵B∩C＝∅，∴，∴﹣1≤a≤，
∴a的取值范围为[﹣1，]．
【点评】本题考查了集合的基本运算和定义域值域的求法．属于基础题．
考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．判断两个函数是否为同一函数
【知识点的认识】函数的构成要素：定义域、对应关系、值域．
所以判断两个函数是不是同一函数，就看定义域和对应法则是否一样．
【解题方法点拨】判断函数是否是同一个函数，一般是同解变形化简函数的表达式，考察两个函数的定义域是否相同，对应法则是否相同．
【命题方向】高考中以小题出现，选择题与填空题的形式，由于函数涉及知识面广，所以函数是否为相同函数命题比较少．
3．函数的定义域及其求法
【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．
求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；
②根式（开偶次方）被开方式≥0；
③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；
④指数为零时，底数不为零．
⑤实际问题中函数的定义域；
【解题方法点拨】
求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．
【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题．
4．函数解析式的求解及常用方法
【知识点的认识】通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求解．
求解函数解析式的几种常用方法主要有
1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等等．
【解题方法点拨】常常利用函数的基本性质，函数的图象特征，例如二次函数的对称轴，函数与坐标轴的交点等；利用函数的解析式的求解方法求解函数的解析式，有时利用待定系数法．
例1：已知曲线y＝x2+2x在点（1，f（1））处的切线为l．求l的方程．
解：∵y＝x2+2x，
∴y'＝2x+2，当x＝1时，y'＝4得切线的斜率为4，所以k＝4；
所以曲线在点（1，3）处的切线方程为：
y﹣3＝4×（x﹣1），即4x﹣y﹣1＝0．
故l的方程为：4x﹣y﹣1＝0
我们从这个题当中可以发现求直线方程的一般规律，第一：求出函数的斜率，切线的斜率就是该点的导数，如果是两个点的情况则可以用两点法求出斜率；第二：找到直线必过的一个点，用点斜式即可求出．（当然还有其他的，比方说截距式）
例2：若函数y＝f（x）与y＝ex+1的图象关于直线y＝x对称，则f（x）＝
解：函数y＝ex+1的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线y＝x对称，
所以f（x）是y＝ex+1的反函数，
x＝lny﹣1（y＞0）
即f（x）＝lnx﹣1，（x＞0）
故答案为：lnx﹣1，（x＞0）
本例题体现了根据函数图象或者两条曲线的关系来求另一条直线的途径，这里面根据关于y＝x对称，推知要求的是该函数的反函数，这也是常考的题型，望重视．
【命题方向】求解函数解析式是高考重点考查内容之一，在三角函数的解析式中常考．是基础题．
5．函数的图象与图象的变换
【函数图象的作法】函数图象的作法：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线．
解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．
命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．
【图象的变换】
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．
其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
（1）平移变换：
y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位）⇒y＝f（x﹣a）；
y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位）⇒y＝f（x）+b．
（2）伸缩变换：
y＝f（x） y＝f（ωx）；
y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍）⇒y＝Af（x）．
（3）对称变换：
y＝f（x）关于x轴对称⇒y＝﹣f（x）；
y＝f（x）关于y轴对称⇒y＝f（﹣x）；
y＝f（x）关于原点对称⇒y＝﹣f（﹣x）．
（4）翻折变换：
y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边⇒y＝f（|x|）；
y＝f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f（x）|．
解题方法点拨
1、画函数图象的一般方法
（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．
（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．
2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法
（1）知图选式：
①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；
②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；
③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；
④从图象的循环往复，观察函数的周期性．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．
（2）知式选图：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化 趋势；
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
④从函数的周期性，判断图象的循环往复．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．
注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．
3、（1）利有函数的图象研究函数的性质
从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
（2）利用函数的图象研究方程根的个数
有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．
4、方法归纳：
（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点
在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．
（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点
为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：
①正确求出函数的定义域；
②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x+的函数；
③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．
（3）3种方法﹣﹣识图的方法
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：
①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；
②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；
③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
6．函数恒成立问题
【知识点的认识】
恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．例：要使函数f（x）＝ax^2+1恒大于0，就必须对a进行限制﹣﹣令a≥0，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，先分离参数的话做题较简单
【解题方法点拨】
一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量和求导．
例：f（x）＝x2+2x+3≥ax，（x＞0）求a的取值范围．
解：由题意可知：a≤恒成立
即a≤x++2
⇒a≤2+2
【命题方向】
恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全面的考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．
7．函数的值
【知识点的认识】
函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围．
【解题方法点拨】
求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种：
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较
例题：求f（x）＝lnx﹣x在（0，+∞）的值域
解：f′（x）＝﹣1＝
∴易知函数在（0，1]单调递增，（1，+∞）单调递减
∴最大值为：ln1﹣1＝﹣1，无最小值；
故值域为（﹣∞，﹣1）
【命题方向】
函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题难度小，方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主．
8．一次函数的性质与图象
【知识点的认识】
所谓一次函数，就是指只有一个自变量，自变量的次数为1，且因变量随着自变量的变化而变化，其表达形式有y＝kx+b（k≠0）、ay+bx+c＝0（ab≠0）、（ab≠0），名称一次为点斜式、一般式、截距式．
【解题方法点拨】
一次函数作为最基本的函数，作为一个单独的考点的可能性甚低，一般能涉及到一次函数的地方一般都是关于恒成立问题和解析几何里，但我们也有必要了解一次函数的一些重要性质．
①一次函数的斜率：点斜式的斜率为k，一般式的斜率和截距式的斜率为﹣．
②一次函数的图象：是一条直线，注意必过的点和斜率即可，如点斜式必过（0，b）点；
③点到直线的距离：如（m，n）到直线y＝kx+b的距离公式为；d＝
【命题方向】
一次函数是最基本的函数，大家理应掌握，其中比较重要的是图形的画法和点到直线的距离和直线截某曲线的弦长是一个要重视的地方．
9．二次函数的性质与图象
【二次函数】
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）
【二次函数的性质】
二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．
这里面略谈一下他的一些性质．
①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x＝﹣；最值为：f（﹣）；判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0时，函数与x轴只有一个交点；△＞0时，与x轴有两个交点；当△＜0时无交点．
②根与系数的关系．若△≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝；
③二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，），准线方程为y＝﹣，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．
④平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；
【命题方向】
熟悉二次函数的性质，会画出抛物线的准确形状，特别是注意抛物线焦点和准线的关系，抛物线最值得取得，这也是一个常考点．
10．对数函数的定义域
【知识点归纳】
一般地，我们把函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．
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