高中数学2.3 二次函数与一元二次方程、不等式课后作业题

这是一份高中数学2.3 二次函数与一元二次方程、不等式课后作业题，共16页。
2021年新高一数学人教A版（2019）新课预习《2.3二次函数与一元二次方程、不等式》
一．选择题（共5小题）
1．（2021春•河南月考）关于x的不等式（ax﹣b）（x+3）＜0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），则关于x的不等式ax+b＞0的解集为（　　）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，1） D．（1，+∞）
2．（2021•漳州模拟）已知实数x，y满足x2+3y2＝3，则x+y的最大值为（　　）
A．1 B． C．2 D．4
3．（2020秋•赣州期末）若不等式x2﹣2x﹣m＜0在上有解，则实数m的取值范围是（　　）
A．[﹣1，+∞） B．（﹣1，+∞） C． D．（0，+∞）
4．（2021•下城区校级模拟）已知二次函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）有两个不同的零点，若f（x2+2x﹣1）＝0有四个不同的根x1＜x2＜x3＜x4，且x1，x2，x3，x4成等差数列，则a﹣b不可能是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2021•浙江模拟）已知f（x）＝x2﹣2x，对任意的x1，x2∈[0，3]．方程|f（x）﹣f（x1）|+|f（x）﹣f（x2）|＝m在[0，3]上有解，则m的取值范围是（　　）
A．[0，3] B．[0，4] C．{3} D．{4}
二．填空题（共5小题）
6．（2021春•莲池区校级期中）已知不等式x2+ax+b≥0的解集为{x|x≤2或x≥3}，则a+b＝　 　．
7．（2021春•渝中区校级月考）若关于x的不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为，则实数m＝　 　．
8．（2021春•奉贤区期中）已知tcosx+1＝2t，x∈R，则实数t的取值范围是　 　．
9．（2021•凉山州模拟）定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）＝0，当x≥0时，f（x）＝x2﹣x，则不等式f（x）≤x的解集用区间表示为　 　．
10．（2021•日照模拟）已知a，b，c为正整数，方程ax2+bx+c＝0的两实根为x1，x2（x1≠x2），且|x1|＜1，|x2|＜1，则a+b+c的最小值为　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2020秋•阎良区期末）已知函数f（x）＝x2﹣2bx+3（b∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在区间[﹣2，2]上单调递减，求实数b的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为9，求实数b的值．
12．（2021春•南山区校级期中）已知函数f（x）＝x2+2（k﹣1）x+k2+2．
（1）若不等式f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜3}，求实数k的值；
（2）若函数f（x）在区间[2，4]上不单调，求实数k的取值范围．
13．（2021春•莲池区校级期中）已知f（x）＝x2﹣a（a2+1）x+a4（a∈R）．
（1）若f（8）＞0，求实数a的取值范围；
（2）解关于x的不等式f（x）＜0．
14．（2021春•让胡路区校级月考）已知二次函数f（x）＝x2﹣2ax+3．
（1）若f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，求实数a的最小值；
（2）存在x∈[﹣4，﹣2]，使得f（x）≥a有解，求实数a的取值范围．
15．（2021•贵溪市校级模拟）已知函数g（x）＝ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）＝．
（1）求a，b的值；
（2）若不等式f（log2x）﹣2klog2x≥0在x∈[2，4]上有解，求实数k的取值范围．

2021年新高一数学人教A版（2019）新课预习《2.3二次函数与一元二次方程、不等式》
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2021春•河南月考）关于x的不等式（ax﹣b）（x+3）＜0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），则关于x的不等式ax+b＞0的解集为（　　）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，1） D．（1，+∞）
【考点】一元二次不等式及其应用；其他不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】根据不等式的解集可得a＜0，且1，﹣3是方程（ax﹣b）（x+3）＝0的两根，得到a＝b，即可求解．
【解答】解：由题意可得a＜0，且1，﹣3是方程（ax﹣b）（x+3）＝0的两根，
∴x＝1为方程ax﹣b＝0的根，∴a＝b，
则不等式ax+b＞0可化为x+1＜0，即x＜﹣1，
∴不等式ax+b＞0的解集为（﹣∞，﹣1）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，属于基础题．
2．（2021•漳州模拟）已知实数x，y满足x2+3y2＝3，则x+y的最大值为（　　）
A．1 B． C．2 D．4
【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】设t＝x+y，则y＝t﹣x，则可得到4x2﹣6tx+（3t2﹣3）＝0，此方程有解，根据判别式的意义得到△≥0，解得t的范围，于是可求出x+y的最大值．
【解答】解：设t＝x+y，则y＝t﹣x，
∵x2+3y2＝3，
∴x2+3（t﹣x）2＝3，整理得4x2﹣6tx+（3t2﹣3）＝0，
∵x为实数，
∴△＝（﹣6t）2﹣4×4（3t2﹣3）≥0，
∴﹣2≤t≤2，
∴x+y的最大值为2．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根，本题属于基础题．
3．（2020秋•赣州期末）若不等式x2﹣2x﹣m＜0在上有解，则实数m的取值范围是（　　）
A．[﹣1，+∞） B．（﹣1，+∞） C． D．（0，+∞）
【考点】一元二次不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】函数思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】把不等式化为m＞x2﹣2x，设f（x）＝x2﹣2x，求出f（x）在x∈[，2]上的最小值，即可求得m的取值范围．
【解答】解：不等式x2﹣2x﹣m＜0可化为m＞x2﹣2x，
设f（x）＝x2﹣2x，则f（x）＝（x﹣1）2﹣1≥f（1）＝﹣1，
所以不等式x2﹣2x﹣m＜0在x∈[，2]上有解，
实数m的取值范围是m＞﹣1，即m∈（﹣1，+∞）．
故选：B．
【点评】本题考查了不等式在闭区间上有解的应用问题，是基础题．
4．（2021•下城区校级模拟）已知二次函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）有两个不同的零点，若f（x2+2x﹣1）＝0有四个不同的根x1＜x2＜x3＜x4，且x1，x2，x3，x4成等差数列，则a﹣b不可能是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】二次函数的性质与图象．菁优网版权所有
【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】设f(x)的两个零点为m,n，运用韦达定理可得a﹣b＝﹣m﹣n﹣mn，再结合条件x1，x2，x3，x4成等差数列，即可求解．
【解答】解：设f(x)的两个零点为m,n其中m＜n，
则x1,x4 为x2+2x﹣1﹣n＝0 的两根，x2,x3为x2+2x﹣1﹣m＝0 的两根，
根据韦达定理可得，x1+x4＝x2+x3＝﹣2，x1x4＝﹣1﹣n,x2x3＝﹣1﹣m，
∵二次函数f（x）＝x2+ax+b，
∴﹣a＝m+n，b＝mn，
∴a﹣b＝﹣m﹣n﹣mn＝1﹣(1+m)(1+n)＝1﹣x1x2x3x4，
又∵x1，x2，x3，x4成等差数列，
设x1＝1﹣3d,x2＝1﹣d,x3＝1+d,x4＝1+3d，
a﹣b＝1﹣(1﹣3d)(1﹣d)(1+d)(1+3d)＝，
∴a﹣b的最大值为，
故D选项不符合，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的韦达定理，以及等差数列，需要学生有较综合的知识储备，属于中档题．
5．（2021•浙江模拟）已知f（x）＝x2﹣2x，对任意的x1，x2∈[0，3]．方程|f（x）﹣f（x1）|+|f（x）﹣f（x2）|＝m在[0，3]上有解，则m的取值范围是（　　）
A．[0，3] B．[0，4] C．{3} D．{4}
【考点】二次函数的性质与图象．菁优网版权所有
【专题】计算题；函数思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】由已知利用二次函数的性质可得f（x）min＝﹣1，f（x）max＝3，由题意可得|[（f（x）﹣f（x1）]﹣[f（x）﹣f（x2）]|≤|f（x）﹣f（x1）|+|f（x）﹣f（x2）|＝m，可得|f（x1）﹣f（x2）|≤m，对任意x1，x2∈[0，3]，可得|f（x1）﹣f（x2）|max＝|3﹣（﹣1）|＝4，即可解得m的取值范围．
【解答】解：因为f（x）＝x2﹣2x在[0，1]上单调递减，[1，3]上单调递增，
所以f（x）min＝f（1）＝﹣1，f（x）max＝f（3）＝32﹣6＝3，
由于方程|f（x）﹣f（x1）|+|f（x）﹣f（x2）|＝m在[0，3]上有解，
所以|[（f（x）﹣f（x1）]﹣[f（x）﹣f（x2）]|≤|f（x）﹣f（x1）|+|f（x）﹣f（x2）|＝m，
可得|f（x1）﹣f（x2）|≤m，
对任意x1，x2∈[0，3]，从而|f（x1）﹣f（x2）|max＝|3﹣（﹣1）|＝4，
解得m＝4，
故m的取值范围是{4}．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质的应用，考查了绝对值不等式的解法，属于中档题．
二．填空题（共5小题）
6．（2021春•莲池区校级期中）已知不等式x2+ax+b≥0的解集为{x|x≤2或x≥3}，则a+b＝　1　．
【考点】一元二次不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】根据不等式的解集可得方程x2+ax+b＝0的两根为x＝2或x＝3，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可．
【解答】解：∵不等式x2+ax+b≥0解集为{x|x≤2或x≥3}，
故方程x2+ax+b＝0的两根为x＝2或x＝3，
由根与系数的关系可得，∴，∴a+b＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，属于基础题．
7．（2021春•渝中区校级月考）若关于x的不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为，则实数m＝　1　．
【考点】一元二次不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】方程思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】先根据题意求得a，再解该不等式，由此即可求得m的值．
【解答】解：依题意，，解得a＝1，
则不等式即为2x2﹣3x+1＜0，解得，则实数m的值为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．
8．（2021春•奉贤区期中）已知tcosx+1＝2t，x∈R，则实数t的取值范围是　[，1]　．
【考点】二次函数的性质与图象．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化法；三角函数的图象与性质；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】用t表示cosx，再根据cosx∈[﹣1，1]可解得t的取值范围．
【解答】解：∵tcosx+1＝2t，∴cosx＝．
又∵cosx∈[﹣1，1]，∴﹣1≤≤1，
解得：≤t≤1．
故答案为：[，1]．
【点评】本题考查余弦函数的值域、不等式解法，考查数学运算能力，属于容易题．
9．（2021•凉山州模拟）定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）＝0，当x≥0时，f（x）＝x2﹣x，则不等式f（x）≤x的解集用区间表示为　（﹣∞，﹣2]∪[0，2]　．
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【专题】分类讨论；定义法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】根据题意知f（x）是定义域R上的奇函数，求出f（x）的解析式，再求不等式f（x）≤x的解集．
【解答】解：定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）＝0，
所以f（x）是定义域R上的奇函数；
当x≥0时，f（x）＝x2﹣x，
所以x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）＝（﹣x）2﹣（﹣x）＝x2+x，
又f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x）＝﹣x2﹣x，
所以f（x）＝；
当x≥0时，不等式f（x）≤x可化为x2﹣x≤x，解得0≤x≤2；
当x＜0时，不等式f（x）≤x可化为﹣x2﹣x≤x，解得x≤﹣2；
综上知，不等式f（x）≤x的解集用区间表示为（﹣∞，﹣2]∪[0，2]．
故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[0，2]．
【点评】本题考查了奇函数的定义与应用问题，也考查了分段函数的应用问题，是基础题．
10．（2021•日照模拟）已知a，b，c为正整数，方程ax2+bx+c＝0的两实根为x1，x2（x1≠x2），且|x1|＜1，|x2|＜1，则a+b+c的最小值为　11　．
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【专题】方程思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理．
【分析】根据题意先判断出x1，x2∈（﹣1，0），得到a，b，c需要满足的关系，先取c＝1，求出此时a+b+c最小值为11，再证明c≥2时，a+b+c≥11即可．
【解答】解：由题意，a，b，c为正整数，∴x1+x2＝＜0，，
又|x1|＜1，|x2|＜1，∴x1，x2∈（﹣1，0），
∴，即，①
∵a，b，c为正整数，取c＝1，则a+1＞b，∴a≥b，∴a2≥b2＞4ac＝4a，
∴a＞4，∴a≥5，∴b2＞4ac≥20，∴b≥5，
当a＝b＝5，c＝1时，符合①式，即符合题意，此时a+b+c＝11，
当c≥2时，∵x1，x2∈（﹣1，0），∴＜1，∴c＜a，∴a≥3，
∴b2＞4ac≥24，∴b≥5，又a+c＞b≥5，∴a+c≥6，∴a+b+c≥11，
∴a+b+c最小值为11．
故答案为：11．
【点评】本题考查了一元二次方程根的分布问题，并结合了系数为整数的难点进行了考查，对学生的逻辑思维能力要求很高，属于难题．
三．解答题（共5小题）
11．（2020秋•阎良区期末）已知函数f（x）＝x2﹣2bx+3（b∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在区间[﹣2，2]上单调递减，求实数b的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为9，求实数b的值．
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【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】（Ⅰ）函数的解析式变形可得f（x）＝x2﹣2bx+3＝（x﹣b）2+3﹣b2，结合二次函数的单调性的性质可得答案，
（Ⅱ）根据题意，分析可得或解可得b的值，即可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数f（x）＝x2﹣2bx+3＝（x﹣b）2+3﹣b2，是开口向上，对称轴为x＝b的二次函数，
若f（x）在区间[﹣2，2]上单调递减，则b≥2，
（Ⅱ）根据题意，函数f（x）＝x2﹣2bx+3＝（x﹣b）2+3﹣b2，其开口向上，对称轴为x＝b，
若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为9，
则或
解可得：b＝±，
故b＝±．
【点评】本题考查二次函数的性质，涉及函数的单调性和最值，属于基础题．
12．（2021春•南山区校级期中）已知函数f（x）＝x2+2（k﹣1）x+k2+2．
（1）若不等式f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜3}，求实数k的值；
（2）若函数f（x）在区间[2，4]上不单调，求实数k的取值范围．
【考点】一元二次不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】函数思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】（1）由一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出k的值．
（2）根据二次函数的图象与性质，利用对称轴两侧单调性相反列不等式求出k的取值范围．
【解答】解：（1）由函数f（x）＝x2+2（k﹣1）x+k2+2，且不等式f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜3}，
所以方程x2+2（k﹣1）x+k2+2＝0的两根为1和3，由△＝4（k﹣1）2﹣4（k2+2）＞0，解得，
由根与系数的关系知，解得符合要求，
所以k＝﹣1．
（2）根据二次函数f（x）＝x2+2（k﹣1）x+k2+2在区间[2，4]上不单调，
所以对称轴x＝﹣（k﹣1）满足2＜﹣（k﹣1）＜4，
解得﹣3＜k＜﹣1，
所以k的取值范围为（﹣3，﹣1）．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
13．（2021春•莲池区校级期中）已知f（x）＝x2﹣a（a2+1）x+a4（a∈R）．
（1）若f（8）＞0，求实数a的取值范围；
（2）解关于x的不等式f（x）＜0．
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【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】（1）由f（8）＞0，得（a﹣8）（a3﹣8）＞0，解一元二次不等式即可．
（2）把不等式f（x）＜0化为（x﹣a）（x﹣a3）＜0，再分类讨论a与a3的大小，然后写出解集即可．
【解答】解：（1）由f（x）＝x2﹣a（a2+1）x+a4，
若f（8）＞0，得（a﹣8）（a3﹣8）＞0，
可得a＜2或a＞8，
故实数a的取值范围为（﹣∞，2）∪（8，+∞）．
（2）不等式f（x）＜0可化为（x﹣a）（x﹣a3）＜0，
又由a3﹣a＝a（a+1）（a﹣1），
①当a＝0或a＝﹣1或a＝1时，不等式f（x）＜0的解集为∅，
②当a＞0时，
若0＜a＜1时，a＞a3，此时不等式f（x）＜0的解集为（a3，a），
若a＞1时，a＜a3，此时不等式f（x）＜0的解集为（a，a3），
③当a＜0时，
若﹣1＜a＜0时，a＜a3，此时不等式f（x）＜0的解集为（a，a3），
若a＜﹣1时，a＞a3，此时不等式f（x）＜0的解集为（a3，a），
综上：当a＝0或一1或1时，不等式f（x）＜0的解集为∅，
当0＜a＜1或a＜﹣1时，不等式f（x）＜0的解集为（a3，a），
当﹣1＜a＜0或a＞1时，不等式f（x）＜0的解集（a，a3）．
【点评】本题考查一元二次不等式的解法，注意转化思想，分类讨论思想的应用，考查计算能力，属于中档题．
14．（2021春•让胡路区校级月考）已知二次函数f（x）＝x2﹣2ax+3．
（1）若f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，求实数a的最小值；
（2）存在x∈[﹣4，﹣2]，使得f（x）≥a有解，求实数a的取值范围．
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【专题】综合题；数形结合；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】（1）结合该图象，使用对称轴可解决此问题；
（2）存在x∈[﹣4，﹣2]，使得f（x）≥a有解⇔f（﹣4）≥0或f（﹣2）≥0，可解决此问题．
【解答】解：（1）∵二次函数f（x）＝x2﹣2ax+3是开口向上的抛物线且对称轴方程为x＝a，
∴若f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，则a≥1，
故a的最小值是1；
（2）存在x∈[﹣4，﹣2]，使得f（x）≥a有解，即存在x∈[﹣4，﹣2]，使得x2﹣2ax+3﹣a≥0有解，
则f（﹣4）≥0或f（﹣2）≥0，解得：a≥﹣，
故a的取值范围是：[﹣，+∞）．
【点评】本题考查二次函数图象性质，考查数学运算能力，属于中档题．
15．（2021•贵溪市校级模拟）已知函数g（x）＝ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）＝．
（1）求a，b的值；
（2）若不等式f（log2x）﹣2klog2x≥0在x∈[2，4]上有解，求实数k的取值范围．
【考点】二次函数的性质与图象．菁优网版权所有
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】（1）由函数g（x）＝a（x﹣1）2+1+b﹣a，a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故 g（2）＝1，g（3）＝4，由此解得a、b的值；
（2）不等式可化为log2x+﹣2≥2klog2x在x∈[2，4]上有解，即2k≤﹣+1在x∈[2，4]上有解，通过换元法和对数函数的单调性，以及二次函数的单调性求得不等式右边函数的最大值，即可得到所求范围．
【解答】解：（1）函数g（x）＝ax2﹣2ax+b+1＝a（x﹣1）2+1+b﹣a，
因为a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，
故，即，解得：；
（2）由（1）可得f（x）＝＝x+﹣2，
不等式f（log2x）﹣2klog2x≥0在x∈[2，4]上有解，
等价为log2x+﹣2≥2klog2x在x∈[2，4]上有解，
即2k≤﹣+1在x∈[2，4]上有解，
令t＝，则2k≤t2﹣2t+1，∵x∈[2，4]，∴t∈[，1]，
则函数m（t）＝t2﹣2t+1在t∈[，1]递减，
可得m（t）的最大值为m（）＝，
则2k≤，即k≤，即k的取值范围是（﹣∞，]．
【点评】本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查方程有解的条件以及不等式成立问题的解法，考查等价转化、函数与方程思想的综合应用，属于中档题．

考点卡片
1．二次函数的性质与图象
【二次函数】
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）
【二次函数的性质】
二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．
这里面略谈一下他的一些性质．
①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x＝﹣；最值为：f（﹣）；判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0时，函数与x轴只有一个交点；△＞0时，与x轴有两个交点；当△＜0时无交点．
②根与系数的关系．若△≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝；
③二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，），准线方程为y＝﹣，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．
④平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；
【命题方向】
熟悉二次函数的性质，会画出抛物线的准确形状，特别是注意抛物线焦点和准线的关系，抛物线最值得取得，这也是一个常考点．
2．一元二次不等式及其应用
【概念】
含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0 或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．
【特征】
当△＝b2﹣4ac＞0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）
当△＝b2﹣4ac＝0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．
当△＝b2﹣4ac＜0时．
一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．
【实例解析】
例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．
解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0
所以，﹣2＜x＜3
故答案为：（﹣2，3）．
这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．

【一元二次不等式的常见应用类型】
①一元二次不等式恒成立问题：
一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等价条件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等价条件是：a＜0且△＜0．

②分式不等式问题：
＞0⇔f（x）•g（x）＞0；

＜0⇔f（x）•g（x）＜0；

≥0⇔；

≤0⇔．
3．其他不等式的解法
【知识点的知识】
不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）．
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．
特例：
①一元一次不等式ax＞b解的讨论；
②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
．
（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．

（4）指数不等式：转化为代数不等式

（5）对数不等式：转化为代数不等式

（6）含绝对值不等式
①应用分类讨论思想去绝对值；
②应用数形思想；
③应用化归思想等价转化．

注：常用不等式的解法举例（x为正数）：

4．一元二次方程的根的分布与系数的关系
【概述】
一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当ax2+bx+c＝0（a≠0）有解时，不妨设它的解为x1，x2，那么这个方程可以写成ax2﹣a（x1+x2）x+ax1•x2＝0．即x2﹣（x1+x2）x+x1•x2＝0．它表示根与系数有如下关系：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
【例题解析】
例：利用根与系数的关系求出二次项系数为1的一元二次方程，使它的两根分别是方程x2﹣3x+1＝0两根的平方．
解：方程x2﹣3x+1＝0中，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∴△＝9﹣4＝5＞0，即方程有两个不相等的实数根，
设方程两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝3，x1x2＝1，
∴（x1+x2）2＝x12+x22+2x1x2，即9＝x12+x22+2，
∴x12+x22＝7，又x12x22＝（x1x2）2＝1，且所求方程二次项系数为1，
则所求方程为x2﹣7x+1＝0．
这个题基本上是套用定理，唯一注意的是x1+x2与x1•x2可以变换，不管是变成加还是减还是倒数，都可以应用上面的公式（韦达定理）．
【考点分析】
首先申明，这是必考点．一般都是在解析几何里面，通过联立方程，求出两交点的横坐标与系数的关系，然后通过这个关系去求距离，或者斜率的积等等．所以在复习的时候要结合解析几何一同复习效果更佳．
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日期：2021/7/2 8:43:34；用户：周晓丽；邮箱：17788760824；学号：25289867