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高中数学沪教版高中一年级 第一学期3.4函数的基本性质当堂达标检测题
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这是一份高中数学沪教版高中一年级 第一学期3.4函数的基本性质当堂达标检测题，共17页。试卷主要包含了＝ ，＝ ，＝ ，的值为 等内容，欢迎下载使用。
2021年新高一数学人教A版新课预习《1.3函数的基本性质》
一．选择题（共5小题）
1．（2020秋•福州期末）设函数，若f（a）＝3，则实数a的值为（ ）
A． B．﹣3 C．或﹣3 D．或﹣3
2．（2021•凉山州模拟）设 f（x）＝ax，且 f（1）＝2，则 f（0）+f（2）＝（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2021•上饶三模）已知函数g（x）＝f（x）+x2是奇函数，当x＞0时，函数f（x）的图象与函数y＝log2x的图象关于y＝x对称，则g（﹣1）＝（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．1
4．（2021•北京模拟）下列函数中，既是奇函数，又满足值域为R的是（ ）
A． B． C． D．y＝sinx
5．（2021•岳阳县模拟）设函数f（x）在（﹣∞，+∞）内有定义，下列函数必为奇函数的是（ ）
A．y＝﹣|f（x）| B．y＝xf（x2）
C．y＝﹣f（﹣x） D．y＝f（x）+f（﹣x）
二．填空题（共5小题）
6．（2021春•湖南月考）写出一个在区间[0，+∞）上单调递减的偶函数f（x）＝ ．
7．（2021春•湖南月考）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝f（﹣x），当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x2+2x，则f（2021）＝ ．
8．（2021•襄城区校级模拟）已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，f（x）+g（x）＝2•3x，则函数f（x）＝ ．
9．（2021•日照模拟）写出一个满足f（x）＝f（2﹣x）的奇函数f（x）＝ ．
10．（2021春•浦东新区校级期中）函数f（x）＝atanx﹣1，若f（3）＝﹣2，则f（﹣3）的值为 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2021春•郫都区校级月考）已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＞0时，f（x）＝log2x．
（1）求当x＜0时函数f（x）的解析式；
（2）解不等式f（x2﹣1）＞2．
12．（2020秋•鼓楼区校级期末）设a为正实数，且a≠1，函数f（x）＝loga（2x+1+﹣4），x∈R．
（1）若f（x）为偶函数，求a的值；
（2）若函数f（x）的值域为R，求a的取值范围．
13．（2020秋•安徽期末）已知函数f（x）＝log6（x+3）﹣log6（3﹣x）．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）用定义法证明f（x）是定义域内的增函数．
14．（2020秋•榆林期末）（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）已知函数f（x）＝mx2﹣mx﹣1（m≠0），若f（x）＜0对于一切实数x都成立，求m的取值范围．
15．（2020秋•宝安区期末）已知函数f（x）满足，且f（1）＝1．
（1）求a和函数f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在其定义域的单调性．
2021年新高一数学人教A版新课预习《1.3函数的基本性质》
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2020秋•福州期末）设函数，若f（a）＝3，则实数a的值为（ ）
A． B．﹣3 C．或﹣3 D．或﹣3
【考点】函数的值．菁优网版权所有
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】对a的取值分段讨论，分别求解f（a）＝3，即可得到答案．
【解答】解：因为函数，
当a＜1时，则有f（a）＝﹣a＝3，解得a＝﹣3，
当a≥1时，则有f（a）＝a2+1＝3，解得a＝．
所以实数a的值为或﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的求值问题，主要考查的是分段函数求值，解题的关键是根据自变量的值确定使用哪一段解析式求解，属于基础题．
2．（2021•凉山州模拟）设 f（x）＝ax，且 f（1）＝2，则 f（0）+f（2）＝（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】函数的值．菁优网版权所有
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】求出f(1)＝a＝2,由此能求出f（0）+f（2）的值。
【解答】解：∵f（x）＝ax，且 f（1）＝2，
∴f(1)＝a＝2,
则 f（0）+f（2）＝20+22＝5．
故选：B．
【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题。
3．（2021•上饶三模）已知函数g（x）＝f（x）+x2是奇函数，当x＞0时，函数f（x）的图象与函数y＝log2x的图象关于y＝x对称，则g（﹣1）＝（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．1
【考点】函数奇偶性的性质与判断；抽象函数及其应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据题意，由反函数的性质求出f（x）在（0，+∞）上的解析式，进而求出g（1）的值，利用函数奇偶性的性质计算可得答案．
【解答】解：根据题意，当x＞0时，函数f（x）的图象与函数y＝log2x的图象关于y＝x对称，
则当x＞0时，f（x）＝2x，
则g（1）＝f（1）+1＝3，
又由g（x）为奇函数，则g（﹣1）＝﹣3；
故选：B．
【点评】本题考查抽象函数的求值，涉及函数奇偶性的性质以及应用，属于基础题．
4．（2021•北京模拟）下列函数中，既是奇函数，又满足值域为R的是（ ）
A． B． C． D．y＝sinx
【考点】函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和值域，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝，是奇函数，但值域为{x|x≠0}，不符合题意；
对于B，y＝x+，是奇函数，但其值域为{x|x≥2或x≤﹣2}，不符合题意；
对于C，y＝x﹣，是奇函数，其值域为R，符合题意；
对于D，y＝sinx，是正弦函数，其值域为[﹣1，1]，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查函数奇偶性的判断，涉及函数值域的计算，属于基础题．
5．（2021•岳阳县模拟）设函数f（x）在（﹣∞，+∞）内有定义，下列函数必为奇函数的是（ ）
A．y＝﹣|f（x）| B．y＝xf（x2）
C．y＝﹣f（﹣x） D．y＝f（x）+f（﹣x）
【考点】函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理．
【分析】根据奇函数的定义进行判断即可．
【解答】解：A．﹣|f（﹣x）|＝﹣|f（x）不一定成立，故A不一定是奇函数，
B．设g（x）＝xf（x2），则g（﹣x）＝﹣xf（x2）＝﹣g（x），则g（x）是奇函数，满足条件．
C．设g（x）＝﹣f（﹣x），则g（﹣x）＝﹣f（x），则g（﹣x）＝﹣g（x）不一定成立，
D．设g（x）＝f（x）+f（﹣x），则g（﹣x）＝f（﹣x）+f（x）＝g（x），则g（x）为偶函数，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数奇偶性和判断，根据奇函数的定义是解决本题的关键，是基础题．
二．填空题（共5小题）
6．（2021春•湖南月考）写出一个在区间[0，+∞）上单调递减的偶函数f（x）＝ ﹣x2（答案不唯一） ．
【考点】函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象；数学运算．
【分析】根据题意，结合二次函数的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，要求函数在区间[0，+∞）上单调递减的偶函数，
可以是开口向下，对称轴为y轴的二次函数，
故符号条件的一个函数f（x）＝﹣x2，
故答案为：﹣x2（答案不唯一）．
【点评】本题考查常见函数的奇偶性和单调性，注意结合二次函数的性质分析，属于基础题．
7．（2021春•湖南月考）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝f（﹣x），当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x2+2x，则f（2021）＝ 1 ．
【考点】抽象函数及其应用；函数的值．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得f（x+4）＝f（x），即f（x）是以4为周期的周期函数，据此可得f（2021）＝f（4×505+1）＝f（1）＝﹣f（﹣1），计算可得答案．
【解答】解：根据题意，因为f（x）是奇函数，所以f（x+2）＝f（﹣x）＝﹣f（x），
所以f（x+4）＝f（x），即f（x）是以4为周期的周期函数，
则f（2021）＝f（4×505+1）＝f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣[（﹣1）2﹣2]＝1；
故答案为：1．
【点评】本题考查函数奇偶性、周期性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
8．（2021•襄城区校级模拟）已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，f（x）+g（x）＝2•3x，则函数f（x）＝ 3x+3﹣x ．
【考点】函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】整体思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】由已知结合奇偶奇偶性的即可直接求解．
【解答】解：因为函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，f（x）+g（x）＝2•3x，
所以f（﹣x）+g（﹣x）＝f（x）﹣g（x）＝2•3﹣x，
解得f（x）＝3x+3﹣x．
故答案为：3x+3﹣x．
【点评】本题主要考查了利用函数奇偶性求解函数解析式，属于基础题．
9．（2021•日照模拟）写出一个满足f（x）＝f（2﹣x）的奇函数f（x）＝ （答案不唯一） ．
【考点】抽象函数及其应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据题意，分析函数f（x）的对称性，利用三角函数的性质分析，可得答案．
【解答】解：根据题意，要求f（x）满足f（x）＝f（2﹣x），即函数f（x）关于直线x＝1对称，
又由f（x）为奇函数，
则f（x）可解析式可以为f（x）＝；
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查函数的奇偶性和对称性，涉及常见函数的奇偶性、对称性，属于基础题．
10．（2021春•浦东新区校级期中）函数f（x）＝atanx﹣1，若f（3）＝﹣2，则f（﹣3）的值为 0 ．
【考点】函数的值．菁优网版权所有
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】由f（3）＝atan3﹣1＝﹣2，得atan3＝﹣1，再由f（﹣3）＝atan（﹣3）﹣1＝﹣atan3﹣1，能求出结果．
【解答】解：∵函数f（x）＝atanx﹣1，f（3）＝﹣2，
∴f（3）＝atan3﹣1＝﹣2，
∴atan3＝﹣1，
∴f（﹣3）＝atan（﹣3）﹣1＝﹣atan3﹣1＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查函数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
三．解答题（共5小题）
11．（2021春•郫都区校级月考）已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＞0时，f（x）＝log2x．
（1）求当x＜0时函数f（x）的解析式；
（2）解不等式f（x2﹣1）＞2．
【考点】函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】（1）根据题意，当x＜0时，﹣x＞0，求出f（﹣x）的表达式，结合函数的奇偶性可得结论，
（2）根据题意，由对数函数的性质可得原不等式等价于|x2﹣1|＞4，解可得x的取值范围，即可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝log2（﹣x）．
因为函数f（x）是偶函数，所以f（﹣x）＝f（x）．
所以当x＜0时函数f（x）的解析式为f（x）＝log2（﹣x）．
（2）因为f（4）＝log24＝2，f（x）是偶函数，
所以不等式f（x2﹣1）＞2可化为f（|x2﹣1|）＞f（4）．又因为函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
所以|x2﹣1|＞4，解得，，即不等式的解集为．
【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的性质以及应用，涉及不等式的解法，属于基础题．
12．（2020秋•鼓楼区校级期末）设a为正实数，且a≠1，函数f（x）＝loga（2x+1+﹣4），x∈R．
（1）若f（x）为偶函数，求a的值；
（2）若函数f（x）的值域为R，求a的取值范围．
【考点】函数的值域；函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】（1）根据题意，求出f（﹣x）的表达式，由偶函数的定义可得f（﹣x）＝f（x），即loga（2x+1+﹣4）＝loga（+a•2x﹣4），分析可得答案；
（2）根据题意，g（x）＝2x+1+﹣4，由对数函数的性质可得g（x）min≤0，利用基本不等式求出g（x）的最小值，由此分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，f（x）＝loga（2x+1+﹣4），
则f（﹣x）＝loga（21﹣x+﹣4）＝loga（+a2x﹣4），
若f（x）为偶函数，则f（﹣x）＝f（x），
即loga（2x+1+﹣4）＝loga（+a•2x﹣4），
变形可得2x+1+＝+a•2x，
分析可得：a＝2．
（2）根据题意，f（x）＝loga（2x+1+﹣4），设g（x）＝2x+1+﹣4，
若函数f（x）的值域为R，必有g（x）min≤0，
又由a＞0，则g（x）＝2x+1+﹣4≥2﹣4＝2﹣4，
当且仅当2x＝a是等号成立，
即g（x）的最小值为2﹣4，
则有2﹣4≤0，解可得0＜a≤2，
故a的取值范围为（0，2]．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题．
13．（2020秋•安徽期末）已知函数f（x）＝log6（x+3）﹣log6（3﹣x）．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）用定义法证明f（x）是定义域内的增函数．
【考点】函数单调性的性质与判断；函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】（1）根据题意，先分析函数的定义域，由解析式可得f（﹣x）＝﹣f（x），即可得函数的奇偶性，
（2）根据题意，由作差法分析可得结论．
【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝log6（x+3）﹣log6（3﹣x），
则有，解可得﹣3＜x＜3，即函数的定义域为（﹣3，3），
有f（﹣x）＝log6（3﹣x）﹣log6（3+x）＝﹣f（x），
故函数f（x）为奇函数；
（2）证明：f（x）＝log6（x+3）﹣log6（3﹣x）＝log6，其定义域为（﹣3，3），
设﹣3＜x1＜x2＜3，
则f（x1）﹣f（x2）＝log6﹣log6＝log6＝log6，
又由﹣3＜x1＜x2＜3，则（x1﹣x2）＜0，则有＜1，
则有f（x1）﹣f（x2）＝log6＜0，
则f（x）是定义域内的增函数．
【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，注意函数的定义域，属于基础题．
14．（2020秋•榆林期末）（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）已知函数f（x）＝mx2﹣mx﹣1（m≠0），若f（x）＜0对于一切实数x都成立，求m的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；其他不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】（Ⅰ）根据题意，原不等式变形为（2x﹣5）（x﹣3）≥0，但x≠3，解可得x的取值范围，即可得答案，
（Ⅱ）根据题意，由二次函数的性质可得，解可得m的取值范围，即可得答案，
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，不等式可转化成不等式（2x﹣5）（x﹣3）≥0，但x≠3，
解得x＞3或，
故原不等式的解集为；
（Ⅱ）根据题意，由于m≠0，f（x）＝mx2﹣mx﹣1＜0对于一切实数x都成立，
则有，解之得﹣4＜m＜0，
故m的取值范围是（﹣4，0）．
【点评】本题考查不等式的解法以及应用，涉及二次函数的性质，属于基础题．
15．（2020秋•宝安区期末）已知函数f（x）满足，且f（1）＝1．
（1）求a和函数f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在其定义域的单调性．
【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】（1）根据题意，分析可得，有f（1）＝1可得a的值，即可得函数的解析式，
（2）根据题意，由作差法分析可得结论．
【解答】解：（1）由，则有，
又由，则a＝1；
所以；
（2）f（x）在其定义域为单调增函数．
证明：f（x）＝，其定义域为[0，+∞），
令x1＜x2，所以x2﹣x1＞0，
所以＝，
因为x2﹣x1＞0，，
所以f（x2）﹣f（x1）＞0，
所以f（x）在其定义域为单调增函数．
【点评】本题考查函数单调性的证明，涉及函数解析式的计算，属于基础题．
考点卡片
1．函数的值域
【知识点的认识】函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A是函数的定义域．
【解题方法点拨】（1）求函数的值域
此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等．
无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．
（2）函数的综合性题目
此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目．
此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力．
在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强．
（3）运用函数的值域解决实际问题
此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力．
【命题方向】函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一，有时在函数与导数的压轴题中出现，是常考题型．
2．函数解析式的求解及常用方法
【知识点的认识】通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求解．
求解函数解析式的几种常用方法主要有
1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等等．
【解题方法点拨】常常利用函数的基本性质，函数的图象特征，例如二次函数的对称轴，函数与坐标轴的交点等；利用函数的解析式的求解方法求解函数的解析式，有时利用待定系数法．
例1：已知曲线y＝x2+2x在点（1，f（1））处的切线为l．求l的方程．
解：∵y＝x2+2x，
∴y'＝2x+2，当x＝1时，y'＝4得切线的斜率为4，所以k＝4；
所以曲线在点（1，3）处的切线方程为：
y﹣3＝4×（x﹣1），即4x﹣y﹣1＝0．
故l的方程为：4x﹣y﹣1＝0
我们从这个题当中可以发现求直线方程的一般规律，第一：求出函数的斜率，切线的斜率就是该点的导数，如果是两个点的情况则可以用两点法求出斜率；第二：找到直线必过的一个点，用点斜式即可求出．（当然还有其他的，比方说截距式）
例2：若函数y＝f（x）与y＝ex+1的图象关于直线y＝x对称，则f（x）＝
解：函数y＝ex+1的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线y＝x对称，
所以f（x）是y＝ex+1的反函数，
x＝lny﹣1（y＞0）
即f（x）＝lnx﹣1，（x＞0）
故答案为：lnx﹣1，（x＞0）
本例题体现了根据函数图象或者两条曲线的关系来求另一条直线的途径，这里面根据关于y＝x对称，推知要求的是该函数的反函数，这也是常考的题型，望重视．
【命题方向】求解函数解析式是高考重点考查内容之一，在三角函数的解析式中常考．是基础题．
3．函数单调性的性质与判断
【知识点的认识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】
证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．
利用函数的导数证明函数单调性的步骤：
第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．
第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．
第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．
第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．
第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．
第六步：明确规范地表述结论
【命题方向】
从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
4．函数奇偶性的性质与判断
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（ ）
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶 D．与p有关
解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题方向】函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．
5．抽象函数及其应用
【知识点的认识】
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．
【解题方法点拨】
①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y＝kx；
②可通过赋特殊值法使问题得以解决
例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0
令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1）⇒f（1）＝0
令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0
③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性；
【命题方向】抽象函数及其应用．
抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考中一般以中档题和小题为主，要引起重视．
6．函数恒成立问题
【知识点的认识】
恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．例：要使函数f（x）＝ax^2+1恒大于0，就必须对a进行限制﹣﹣令a≥0，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，先分离参数的话做题较简单
【解题方法点拨】
一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量和求导．
例：f（x）＝x2+2x+3≥ax，（x＞0）求a的取值范围．
解：由题意可知：a≤恒成立
即a≤x++2
⇒a≤2+2
【命题方向】
恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全面的考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．
7．函数的值
【知识点的认识】
函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围．
【解题方法点拨】
求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种：
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较
例题：求f（x）＝lnx﹣x在（0，+∞）的值域
解：f′（x）＝﹣1＝
∴易知函数在（0，1]单调递增，（1，+∞）单调递减
∴最大值为：ln1﹣1＝﹣1，无最小值；
故值域为（﹣∞，﹣1）
【命题方向】
函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题难度小，方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主．
8．其他不等式的解法
【知识点的知识】
不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）．
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．
特例：
①一元一次不等式ax＞b解的讨论；
②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
．
（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．
（4）指数不等式：转化为代数不等式
（5）对数不等式：转化为代数不等式
（6）含绝对值不等式
①应用分类讨论思想去绝对值；
②应用数形思想；
③应用化归思想等价转化．
注：常用不等式的解法举例（x为正数）：
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日期：2021/6/23 16:14:53；用户：周晓丽；邮箱：17788760824；学号：25289867
2021年新高一数学人教A版新课预习《1.3函数的基本性质》
一．选择题（共5小题）
1．（2020秋•福州期末）设函数，若f（a）＝3，则实数a的值为（ ）
A． B．﹣3 C．或﹣3 D．或﹣3
2．（2021•凉山州模拟）设 f（x）＝ax，且 f（1）＝2，则 f（0）+f（2）＝（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2021•上饶三模）已知函数g（x）＝f（x）+x2是奇函数，当x＞0时，函数f（x）的图象与函数y＝log2x的图象关于y＝x对称，则g（﹣1）＝（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．1
4．（2021•北京模拟）下列函数中，既是奇函数，又满足值域为R的是（ ）
A． B． C． D．y＝sinx
5．（2021•岳阳县模拟）设函数f（x）在（﹣∞，+∞）内有定义，下列函数必为奇函数的是（ ）
A．y＝﹣|f（x）| B．y＝xf（x2）
C．y＝﹣f（﹣x） D．y＝f（x）+f（﹣x）
二．填空题（共5小题）
6．（2021春•湖南月考）写出一个在区间[0，+∞）上单调递减的偶函数f（x）＝ ．
7．（2021春•湖南月考）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝f（﹣x），当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x2+2x，则f（2021）＝ ．
8．（2021•襄城区校级模拟）已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，f（x）+g（x）＝2•3x，则函数f（x）＝ ．
9．（2021•日照模拟）写出一个满足f（x）＝f（2﹣x）的奇函数f（x）＝ ．
10．（2021春•浦东新区校级期中）函数f（x）＝atanx﹣1，若f（3）＝﹣2，则f（﹣3）的值为 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2021春•郫都区校级月考）已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＞0时，f（x）＝log2x．
（1）求当x＜0时函数f（x）的解析式；
（2）解不等式f（x2﹣1）＞2．
12．（2020秋•鼓楼区校级期末）设a为正实数，且a≠1，函数f（x）＝loga（2x+1+﹣4），x∈R．
（1）若f（x）为偶函数，求a的值；
（2）若函数f（x）的值域为R，求a的取值范围．
13．（2020秋•安徽期末）已知函数f（x）＝log6（x+3）﹣log6（3﹣x）．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）用定义法证明f（x）是定义域内的增函数．
14．（2020秋•榆林期末）（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）已知函数f（x）＝mx2﹣mx﹣1（m≠0），若f（x）＜0对于一切实数x都成立，求m的取值范围．
15．（2020秋•宝安区期末）已知函数f（x）满足，且f（1）＝1．
（1）求a和函数f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在其定义域的单调性．
2021年新高一数学人教A版新课预习《1.3函数的基本性质》
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2020秋•福州期末）设函数，若f（a）＝3，则实数a的值为（ ）
A． B．﹣3 C．或﹣3 D．或﹣3
【考点】函数的值．菁优网版权所有
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】对a的取值分段讨论，分别求解f（a）＝3，即可得到答案．
【解答】解：因为函数，
当a＜1时，则有f（a）＝﹣a＝3，解得a＝﹣3，
当a≥1时，则有f（a）＝a2+1＝3，解得a＝．
所以实数a的值为或﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的求值问题，主要考查的是分段函数求值，解题的关键是根据自变量的值确定使用哪一段解析式求解，属于基础题．
2．（2021•凉山州模拟）设 f（x）＝ax，且 f（1）＝2，则 f（0）+f（2）＝（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】函数的值．菁优网版权所有
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】求出f(1)＝a＝2,由此能求出f（0）+f（2）的值。
【解答】解：∵f（x）＝ax，且 f（1）＝2，
∴f(1)＝a＝2,
则 f（0）+f（2）＝20+22＝5．
故选：B．
【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题。
3．（2021•上饶三模）已知函数g（x）＝f（x）+x2是奇函数，当x＞0时，函数f（x）的图象与函数y＝log2x的图象关于y＝x对称，则g（﹣1）＝（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．1
【考点】函数奇偶性的性质与判断；抽象函数及其应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据题意，由反函数的性质求出f（x）在（0，+∞）上的解析式，进而求出g（1）的值，利用函数奇偶性的性质计算可得答案．
【解答】解：根据题意，当x＞0时，函数f（x）的图象与函数y＝log2x的图象关于y＝x对称，
则当x＞0时，f（x）＝2x，
则g（1）＝f（1）+1＝3，
又由g（x）为奇函数，则g（﹣1）＝﹣3；
故选：B．
【点评】本题考查抽象函数的求值，涉及函数奇偶性的性质以及应用，属于基础题．
4．（2021•北京模拟）下列函数中，既是奇函数，又满足值域为R的是（ ）
A． B． C． D．y＝sinx
【考点】函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和值域，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝，是奇函数，但值域为{x|x≠0}，不符合题意；
对于B，y＝x+，是奇函数，但其值域为{x|x≥2或x≤﹣2}，不符合题意；
对于C，y＝x﹣，是奇函数，其值域为R，符合题意；
对于D，y＝sinx，是正弦函数，其值域为[﹣1，1]，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查函数奇偶性的判断，涉及函数值域的计算，属于基础题．
5．（2021•岳阳县模拟）设函数f（x）在（﹣∞，+∞）内有定义，下列函数必为奇函数的是（ ）
A．y＝﹣|f（x）| B．y＝xf（x2）
C．y＝﹣f（﹣x） D．y＝f（x）+f（﹣x）
【考点】函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理．
【分析】根据奇函数的定义进行判断即可．
【解答】解：A．﹣|f（﹣x）|＝﹣|f（x）不一定成立，故A不一定是奇函数，
B．设g（x）＝xf（x2），则g（﹣x）＝﹣xf（x2）＝﹣g（x），则g（x）是奇函数，满足条件．
C．设g（x）＝﹣f（﹣x），则g（﹣x）＝﹣f（x），则g（﹣x）＝﹣g（x）不一定成立，
D．设g（x）＝f（x）+f（﹣x），则g（﹣x）＝f（﹣x）+f（x）＝g（x），则g（x）为偶函数，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数奇偶性和判断，根据奇函数的定义是解决本题的关键，是基础题．
二．填空题（共5小题）
6．（2021春•湖南月考）写出一个在区间[0，+∞）上单调递减的偶函数f（x）＝ ﹣x2（答案不唯一） ．
【考点】函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象；数学运算．
【分析】根据题意，结合二次函数的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，要求函数在区间[0，+∞）上单调递减的偶函数，
可以是开口向下，对称轴为y轴的二次函数，
故符号条件的一个函数f（x）＝﹣x2，
故答案为：﹣x2（答案不唯一）．
【点评】本题考查常见函数的奇偶性和单调性，注意结合二次函数的性质分析，属于基础题．
7．（2021春•湖南月考）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝f（﹣x），当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x2+2x，则f（2021）＝ 1 ．
【考点】抽象函数及其应用；函数的值．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得f（x+4）＝f（x），即f（x）是以4为周期的周期函数，据此可得f（2021）＝f（4×505+1）＝f（1）＝﹣f（﹣1），计算可得答案．
【解答】解：根据题意，因为f（x）是奇函数，所以f（x+2）＝f（﹣x）＝﹣f（x），
所以f（x+4）＝f（x），即f（x）是以4为周期的周期函数，
则f（2021）＝f（4×505+1）＝f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣[（﹣1）2﹣2]＝1；
故答案为：1．
【点评】本题考查函数奇偶性、周期性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
8．（2021•襄城区校级模拟）已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，f（x）+g（x）＝2•3x，则函数f（x）＝ 3x+3﹣x ．
【考点】函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】整体思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】由已知结合奇偶奇偶性的即可直接求解．
【解答】解：因为函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，f（x）+g（x）＝2•3x，
所以f（﹣x）+g（﹣x）＝f（x）﹣g（x）＝2•3﹣x，
解得f（x）＝3x+3﹣x．
故答案为：3x+3﹣x．
【点评】本题主要考查了利用函数奇偶性求解函数解析式，属于基础题．
9．（2021•日照模拟）写出一个满足f（x）＝f（2﹣x）的奇函数f（x）＝ （答案不唯一） ．
【考点】抽象函数及其应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据题意，分析函数f（x）的对称性，利用三角函数的性质分析，可得答案．
【解答】解：根据题意，要求f（x）满足f（x）＝f（2﹣x），即函数f（x）关于直线x＝1对称，
又由f（x）为奇函数，
则f（x）可解析式可以为f（x）＝；
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查函数的奇偶性和对称性，涉及常见函数的奇偶性、对称性，属于基础题．
10．（2021春•浦东新区校级期中）函数f（x）＝atanx﹣1，若f（3）＝﹣2，则f（﹣3）的值为 0 ．
【考点】函数的值．菁优网版权所有
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】由f（3）＝atan3﹣1＝﹣2，得atan3＝﹣1，再由f（﹣3）＝atan（﹣3）﹣1＝﹣atan3﹣1，能求出结果．
【解答】解：∵函数f（x）＝atanx﹣1，f（3）＝﹣2，
∴f（3）＝atan3﹣1＝﹣2，
∴atan3＝﹣1，
∴f（﹣3）＝atan（﹣3）﹣1＝﹣atan3﹣1＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查函数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
三．解答题（共5小题）
11．（2021春•郫都区校级月考）已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＞0时，f（x）＝log2x．
（1）求当x＜0时函数f（x）的解析式；
（2）解不等式f（x2﹣1）＞2．
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【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】（1）根据题意，当x＜0时，﹣x＞0，求出f（﹣x）的表达式，结合函数的奇偶性可得结论，
（2）根据题意，由对数函数的性质可得原不等式等价于|x2﹣1|＞4，解可得x的取值范围，即可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝log2（﹣x）．
因为函数f（x）是偶函数，所以f（﹣x）＝f（x）．
所以当x＜0时函数f（x）的解析式为f（x）＝log2（﹣x）．
（2）因为f（4）＝log24＝2，f（x）是偶函数，
所以不等式f（x2﹣1）＞2可化为f（|x2﹣1|）＞f（4）．又因为函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
所以|x2﹣1|＞4，解得，，即不等式的解集为．
【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的性质以及应用，涉及不等式的解法，属于基础题．
12．（2020秋•鼓楼区校级期末）设a为正实数，且a≠1，函数f（x）＝loga（2x+1+﹣4），x∈R．
（1）若f（x）为偶函数，求a的值；
（2）若函数f（x）的值域为R，求a的取值范围．
【考点】函数的值域；函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】（1）根据题意，求出f（﹣x）的表达式，由偶函数的定义可得f（﹣x）＝f（x），即loga（2x+1+﹣4）＝loga（+a•2x﹣4），分析可得答案；
（2）根据题意，g（x）＝2x+1+﹣4，由对数函数的性质可得g（x）min≤0，利用基本不等式求出g（x）的最小值，由此分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，f（x）＝loga（2x+1+﹣4），
则f（﹣x）＝loga（21﹣x+﹣4）＝loga（+a2x﹣4），
若f（x）为偶函数，则f（﹣x）＝f（x），
即loga（2x+1+﹣4）＝loga（+a•2x﹣4），
变形可得2x+1+＝+a•2x，
分析可得：a＝2．
（2）根据题意，f（x）＝loga（2x+1+﹣4），设g（x）＝2x+1+﹣4，
若函数f（x）的值域为R，必有g（x）min≤0，
又由a＞0，则g（x）＝2x+1+﹣4≥2﹣4＝2﹣4，
当且仅当2x＝a是等号成立，
即g（x）的最小值为2﹣4，
则有2﹣4≤0，解可得0＜a≤2，
故a的取值范围为（0，2]．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题．
13．（2020秋•安徽期末）已知函数f（x）＝log6（x+3）﹣log6（3﹣x）．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）用定义法证明f（x）是定义域内的增函数．
【考点】函数单调性的性质与判断；函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】（1）根据题意，先分析函数的定义域，由解析式可得f（﹣x）＝﹣f（x），即可得函数的奇偶性，
（2）根据题意，由作差法分析可得结论．
【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝log6（x+3）﹣log6（3﹣x），
则有，解可得﹣3＜x＜3，即函数的定义域为（﹣3，3），
有f（﹣x）＝log6（3﹣x）﹣log6（3+x）＝﹣f（x），
故函数f（x）为奇函数；
（2）证明：f（x）＝log6（x+3）﹣log6（3﹣x）＝log6，其定义域为（﹣3，3），
设﹣3＜x1＜x2＜3，
则f（x1）﹣f（x2）＝log6﹣log6＝log6＝log6，
又由﹣3＜x1＜x2＜3，则（x1﹣x2）＜0，则有＜1，
则有f（x1）﹣f（x2）＝log6＜0，
则f（x）是定义域内的增函数．
【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，注意函数的定义域，属于基础题．
14．（2020秋•榆林期末）（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）已知函数f（x）＝mx2﹣mx﹣1（m≠0），若f（x）＜0对于一切实数x都成立，求m的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；其他不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】（Ⅰ）根据题意，原不等式变形为（2x﹣5）（x﹣3）≥0，但x≠3，解可得x的取值范围，即可得答案，
（Ⅱ）根据题意，由二次函数的性质可得，解可得m的取值范围，即可得答案，
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，不等式可转化成不等式（2x﹣5）（x﹣3）≥0，但x≠3，
解得x＞3或，
故原不等式的解集为；
（Ⅱ）根据题意，由于m≠0，f（x）＝mx2﹣mx﹣1＜0对于一切实数x都成立，
则有，解之得﹣4＜m＜0，
故m的取值范围是（﹣4，0）．
【点评】本题考查不等式的解法以及应用，涉及二次函数的性质，属于基础题．
15．（2020秋•宝安区期末）已知函数f（x）满足，且f（1）＝1．
（1）求a和函数f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在其定义域的单调性．
【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】（1）根据题意，分析可得，有f（1）＝1可得a的值，即可得函数的解析式，
（2）根据题意，由作差法分析可得结论．
【解答】解：（1）由，则有，
又由，则a＝1；
所以；
（2）f（x）在其定义域为单调增函数．
证明：f（x）＝，其定义域为[0，+∞），
令x1＜x2，所以x2﹣x1＞0，
所以＝，
因为x2﹣x1＞0，，
所以f（x2）﹣f（x1）＞0，
所以f（x）在其定义域为单调增函数．
【点评】本题考查函数单调性的证明，涉及函数解析式的计算，属于基础题．
考点卡片
1．函数的值域
【知识点的认识】函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A是函数的定义域．
【解题方法点拨】（1）求函数的值域
此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等．
无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．
（2）函数的综合性题目
此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目．
此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力．
在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强．
（3）运用函数的值域解决实际问题
此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力．
【命题方向】函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一，有时在函数与导数的压轴题中出现，是常考题型．
2．函数解析式的求解及常用方法
【知识点的认识】通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求解．
求解函数解析式的几种常用方法主要有
1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等等．
【解题方法点拨】常常利用函数的基本性质，函数的图象特征，例如二次函数的对称轴，函数与坐标轴的交点等；利用函数的解析式的求解方法求解函数的解析式，有时利用待定系数法．
例1：已知曲线y＝x2+2x在点（1，f（1））处的切线为l．求l的方程．
解：∵y＝x2+2x，
∴y'＝2x+2，当x＝1时，y'＝4得切线的斜率为4，所以k＝4；
所以曲线在点（1，3）处的切线方程为：
y﹣3＝4×（x﹣1），即4x﹣y﹣1＝0．
故l的方程为：4x﹣y﹣1＝0
我们从这个题当中可以发现求直线方程的一般规律，第一：求出函数的斜率，切线的斜率就是该点的导数，如果是两个点的情况则可以用两点法求出斜率；第二：找到直线必过的一个点，用点斜式即可求出．（当然还有其他的，比方说截距式）
例2：若函数y＝f（x）与y＝ex+1的图象关于直线y＝x对称，则f（x）＝
解：函数y＝ex+1的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线y＝x对称，
所以f（x）是y＝ex+1的反函数，
x＝lny﹣1（y＞0）
即f（x）＝lnx﹣1，（x＞0）
故答案为：lnx﹣1，（x＞0）
本例题体现了根据函数图象或者两条曲线的关系来求另一条直线的途径，这里面根据关于y＝x对称，推知要求的是该函数的反函数，这也是常考的题型，望重视．
【命题方向】求解函数解析式是高考重点考查内容之一，在三角函数的解析式中常考．是基础题．
3．函数单调性的性质与判断
【知识点的认识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】
证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．
利用函数的导数证明函数单调性的步骤：
第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．
第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．
第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．
第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．
第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．
第六步：明确规范地表述结论
【命题方向】
从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
4．函数奇偶性的性质与判断
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（ ）
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶 D．与p有关
解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题方向】函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．
5．抽象函数及其应用
【知识点的认识】
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．
【解题方法点拨】
①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y＝kx；
②可通过赋特殊值法使问题得以解决
例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0
令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1）⇒f（1）＝0
令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0
③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性；
【命题方向】抽象函数及其应用．
抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考中一般以中档题和小题为主，要引起重视．
6．函数恒成立问题
【知识点的认识】
恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．例：要使函数f（x）＝ax^2+1恒大于0，就必须对a进行限制﹣﹣令a≥0，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，先分离参数的话做题较简单
【解题方法点拨】
一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量和求导．
例：f（x）＝x2+2x+3≥ax，（x＞0）求a的取值范围．
解：由题意可知：a≤恒成立
即a≤x++2
⇒a≤2+2
【命题方向】
恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全面的考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．
7．函数的值
【知识点的认识】
函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围．
【解题方法点拨】
求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种：
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较
例题：求f（x）＝lnx﹣x在（0，+∞）的值域
解：f′（x）＝﹣1＝
∴易知函数在（0，1]单调递增，（1，+∞）单调递减
∴最大值为：ln1﹣1＝﹣1，无最小值；
故值域为（﹣∞，﹣1）
【命题方向】
函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题难度小，方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主．
8．其他不等式的解法
【知识点的知识】
不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）．
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．
特例：
①一元一次不等式ax＞b解的讨论；
②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
．
（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．
（4）指数不等式：转化为代数不等式
（5）对数不等式：转化为代数不等式
（6）含绝对值不等式
①应用分类讨论思想去绝对值；
②应用数形思想；
③应用化归思想等价转化．
注：常用不等式的解法举例（x为正数）：
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