高中人教A版 (2019)2.5 直线与圆、圆与圆的位置测试题

                直线和圆的基本关系

1. 直线被圆截得的弦长为___________

2. 直线l过点，被圆C：截得的弦长为，则直线l的方程是

3. 过点作圆的切线有且只有一条，则圆的半径为________该切线的方程为_____

4. 在平面直角坐标系xOy中，，求过点A与圆C：相切的直线方程______．

1. 若圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则半径r的值为______ ．

2. 已知直线与圆相切，则______

3. 若过点有两条直线与圆相切，则实数m的取值范围是__________．

4. 已知直线l：与圆相交于A，B两点，若，则______．

5. 已知圆：，：，则两圆的位置关系为　　

A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切

6. 若圆与圆的公共弦长为，则______．

7. 若圆与圆外切，则实数t的值为______．

8. 已知圆：，圆：．

试判断两圆的位置关系； 求公共弦所在直线的方程；  求公共弦的长度．

9. 圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是(    )

A.  B.  C. 4 D.

10. 已知点满足，则的最大值为　　

A.  B.  C.  D. 1

11. 若实数x，y满足，则的最大值是________．

12. 已知实数x，y满足方程．求的取值范围；  求的取值范围． （3）求的取值范围

13. 圆内有一点，AB为过点P且倾斜角为的弦，
    当时，求；
    当弦AB被点P平分时，求出直线AB的方程；
    设过P点的弦的中点为M，求点M的坐标所满足的关系式．
    
    
     

14. 已知点，，圆C是以的中点为圆心，为半径的圆．

若圆C的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线方程；

若是圆C外一点，从P向圆C引切线，M为切点，O为坐标原点，，求使最小的点P的坐标．






 

15. 已知圆C：，直线l：．
    Ⅰ求证：对，直线l与圆C总有两个不同的交点A，B；
    Ⅱ若，求m的值；
    Ⅲ当取最小值时，求直线l的方程．
    
    
    
    
    
    
     
16. 在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是AC和BD，求四边形ABCD的面积．
    
     

【答案】

1. 直线l过点，被圆C：截得的弦长为，则直线l的方程是　　

A.  B.
C.  D. 或

【答案】D

【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，弦心距与半径以及半弦长的关系，考查计算能力．
求出圆的圆心与半径，利用弦心距、半径、半弦长满足勾股定理，求出所求直线的斜率，然后求出直线方程．
【解答】
解：圆C：的圆心坐标，半径为2，
直线l过点，被圆C：截得的弦长为，
圆心到所求直线的距离为：1，
设所求直线为：即，
，
解得或，
所求直线方程为或．
故选D．
 

2. 直线被圆截得的弦长为　　

A.  B. 1 C. 4 D. 2

【答案】D

【解析】解：圆的圆心，半径等于1，圆心在直线上，
故直线被圆截得的弦长为2，
故选D．
由圆的方程可得圆心坐标和半径，圆心在直线上，即可求出弦长．
本题主要考查直线和圆的位置关系，正确确定圆心在直线上是关键．
 

3. 过点作圆的切线有且只有一条，则该切线的方程为　　

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】解：如图，
过点作圆的切线有且只有一条，
点在圆上，
连接圆心与切点连线的斜率为，
切线的斜率为，
则圆的切线方程为，即．
故选：B．
由题意画出图形，可得点在圆上，求出圆心与切点连线的斜率，再由直线方程的点斜式得答案．
本题考查圆的切线方程，考查直线与圆的位置关系，训练了直线方程的求法，是基础题．
 

二、填空题（本大题共1小题，共5.0分）

4. 在平面直角坐标系xOy中，，求过点A与圆C：相切的直线方程______．

【答案】或

【解析】解：当斜率不存在时，直线方程为，经验证，与圆C相切，成立．
当直线斜率存在是，设斜率为k，则直线方程可化为：，又直线与圆C相切，
，解得，故直线方程为：．
综上直线方程为：或
故答案为：或．
根据斜率是否存在分类讨论，即可．
本题考查了直线与圆的位置关系，直线方程的求法等知识，考查简单的计算，属基础题．
 

5. 若圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则半径r的值为______ ．

【答案】6

【解析】【分析】
由题意画出图形，把圆上恰有3个点到直线的距离等于1转化为圆心到直线的距离等于再由点到直线的距离公式列式求得r值．
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点到直线的距离公式，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．
【解答】
解：如图，

要使圆上恰有3个点到直线的距离等于1，
则圆心到直线的距离等于．
由点到直线的距离公式得，解得．
故答案为：6．
 

6. 已知直线与圆相切，则______．

【答案】

【解析】【分析】
本题考查实数值的求法，考查圆、直线方程、直线与圆相切等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是基础题．
由直线l：与圆C：相切，得到圆心到直线l的距离，由此能求出结果．
【解答】
解：直线l：与圆C：相切，
圆心到直线l的距离，
即，
解得，
故答案为．
 

7. 若过点有两条直线与圆相切，则实数m的取值范围是__________．

【答案】

【解析】【分析】
本题考查实数的取值范围的求法，考查直线方程、圆、点到直线的距离公式等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是中档题由过点有两条直线与圆相切，得点在圆外，由此能求出实数m的取值范围．
【解答】
解：过点有两条直线与圆相切，
点在圆外，
圆心，半径，
点到圆心的距离，
，解得，
实数m的取值范围是．
故答案为．
 

8. 已知直线l：与圆相交于A，B两点，若，则______．

【答案】或；

【解析】
解：圆圆心为，半径为3，
在中，，
即圆心到直线l：的距离为1，由点到直线的距离公式得，，
所以或；
故答案为或；
由已知直线l：与圆相交于A，B两点，若，则由点到直线的距离公式求得k值．
本题考查了直线与圆，弦长，点到直线的距离公式，属于简单题．
 

9. 已知圆：，：，则两圆的位置关系为　　

A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切

【答案】D

【解析】【分析】
本题考查圆与圆的位置关系的判断与应用，考查计算能力，属于中档题求出圆的圆心与半径，利用圆心距与半径和与差的关系判断即可．
【解答】
解：由于圆，即 ，表示以为圆心，半径等于1的圆．
圆，即，表示以为圆心，半径等于3的圆．
由于两圆的圆心距等于，等于半径之差，故两个圆内切．
故选：D．
 

10. 若圆与圆的公共弦长为，则______．

【答案】5

【解析】解：

两式相减得：，此即为公共弦的方程．
圆的圆心为，半径．
两个圆的公共弦长为，
圆心到直线的距离为：．
，，
．
故答案为：5．
将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在的直线方程，根据弦长与半径以及弦心距之间的关系即可得到从而解得．
本题考查两圆相交的性质，公共弦以及点到直线的距离公式等知识，属于中档题．
 

11. 若圆与圆外切，则实数t的值为______．

【答案】

【解析】解：由题意，圆心距，，
故答案为．
利用圆与圆外切，圆心距等于半径的和，即可求出实数t的值．
本题主要考查圆的标准方程，两个圆的位置关系的判定方法，属于基础题．
 

12. 已知圆：，圆：．

试判断两圆的位置关系；

求公共弦所在直线的方程；

求公共弦的长度．

【答案】解：圆：，化为，圆心坐标为，半径为；
圆：化为，圆心坐标，半径为．
圆心距为：，
因为，
所以两圆相交．
将两圆的方程相减，得，
化简得：，
公共弦所在直线的方程是；
由知圆的圆心到直线的距离，
由此可得，公共弦的长．

【解析】本题给出两个定圆，求它们的公共弦所在直线方程并求弦长，着重考查了圆的标准方程与一般方程、圆与圆的位置关系和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．
将两圆化成标准方程，得到它们的圆心和半径，用两点距离公式求出圆心距，最后用圆心距离与两圆的半径和与差进行比较，即可得到两圆的位置关系；
两圆的一般式方程相减，再化简整理得到，即为两圆公共弦所在直线的方程；
求出第一个圆的圆心到直线的距离，再结合垂直于直径的弦的性质，即可得到两圆的公共弦长．
 

13. 圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是(    )

A.  B.  C. 4 D.

【答案】B

【解析】【分析】

此题考查与圆有关的最值问题及直线与圆的位置关系，先求圆心到直线的距离得出直线与圆相离，圆心到直线的距离加上半径为最大值，减去半径为最小值，最大距离与最小距离的差是．

【解答】

解：圆的圆心为，半径为，
圆心到到直线的距离为，

直线与圆相离，
圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是．
故选B．

14. 已知点满足，则的最大值为　　

A.  B.  C.  D. 1

【答案】C

【解析】【分析】
本题考查将求最值几何化转化为两点间的距离问题，由点在上即以为圆心，1为半径的的圆，即可转化为到圆心距离加半径，属简单题．
【解答】
解：可以表示点与点间的距离，
又点满足即点在以为圆心，1为半径的圆周上的点，
所以的最大值为到圆心的距离加上半径即．
故选C．
 

二、填空题（本大题共1小题，共5.0分）

15. 若实数x，y满足，则的最大值是________．

【答案】

【解析】【分析】
本题考查圆上动点到定点的距离．
【解答】
解：实数x，y满足方程，
所以为方程所表示的曲线上的动点．
表示动点到原点的距离，
对方程进行配方，得，
它表示以为圆心，3为半径的圆，而原点在圆内，
连结CO交圆于点M，N，则，
由圆的几何性质可知，MO的长即为所求的最大值．
故答案为．

三、解答题（本大题共1小题，共12.0分）

16. 已知实数x，y满足方程．

求的取值范围；

求的取值范围；

求的取值范围．

【答案】解：如图，方程表示以点为圆心，以为半径的圆．
设，即，由圆心到的距离为半径时直线与圆相切，
斜率取得最大、最小值由，
解得．
所以，．
所以的取值范围；
设，则，仅当直线与圆切于第四象限时，纵轴截距b取最小值．
由点到直线的距离公式，得，即，
故的取值范围；
是圆上点与原点距离之平方，故连接OC，与圆交于B点，并延长交圆于，可知B到原点的距离最近，点到原点的距离最大，此时有，
，
则，．
所以的取值范围．

【解析】本题主要考查了圆的方程的综合运用考查了学生转化和化归的思想和数形结合的思想．
整理方程可知，方程表示以点为圆心，以为半径的圆，设，进而根据圆心到的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．
设，仅当直线与圆分别切于第一、四象限时，纵轴截距b取最值进而利用点到直线的距离求得的最值；
是圆上点与原点距离之平方，故连接OC，与圆交于B点，并延长交圆于，进而可知的最大值和最小值分别为和，答案可得．
 

17. 圆内有一点，AB为过点P且倾斜角为的弦，
    当时，求；
    当弦AB被点P平分时，求出直线AB的方程；
    设过P点的弦的中点为M，求点M的坐标所满足的关系式．
    
    
     

【答案】解：过点O做于G，连接OA，
当时，直线AB的斜率为，
故直线AB的方程，

，
，
；
当弦AB被P平分时，，此时，
为过点P，
的点斜式方程为，即
设AB的中点为，AB的斜率为k，，则
消去k，得，
当AB的斜率k不存在时也成立，
故过点P的弦的中点的轨迹方程为．

【解析】过点O做于G，连接OA，依题意可知直线AB的斜率，求得AB的方程，利用点到直线的距离求得OG即圆的半径，进而求得OA的长，则OB可求得．
弦AB被P平分时，，则OP的斜率可知，利用点斜式求得AB的方程．
设出AB的中点的坐标，依据题意联立方程组，消去k求得x和y的关系式，即P的轨迹方程．
本题主要考查了直线与圆的方程的综合运用解题的过程通过代数的运算解决代数问题，最后翻译成几何结论．
 

18. 已知点，，圆C是以的中点为圆心，为半径的圆．

若圆C的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线方程；

若是圆C外一点，从P向圆C引切线，M为切点，O为坐标原点，，求使最小的点P的坐标．

【答案】解：Ⅰ点，，圆C是以的中点为圆心，为半径的圆
，
圆C的方程为，
当切线过原点时，设切线方程为，则，
，即切线方程为．
当切线不过原点时，设切线方程为，则，
或，即切线方程为或．
综上知，切线方程为或或；
Ⅱ因为，所以，即．
要使最小，只要最小即可．
当直线PO垂直于直线时，即直线PO的方程为时，最小，
此时P点即为两直线的交点，得P点坐标

【解析】Ⅰ求出圆心与半径，可得圆C的方程，再分类讨论，设出切线方程，利用直线是切线建立方程，即可得出结论；
Ⅱ先确定P的轨迹方程，再利用要使最小，只要最小即可．
本题考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
 

19. 已知圆C：，直线l：．
    Ⅰ求证：对，直线l与圆C总有两个不同的交点A，B；
    Ⅱ若，求m的值；
    Ⅲ当取最小值时，求直线l的方程．

【答案】解：Ⅰ证明：直线l：可化为：直线l：恒过点，
将代入可得：，
即在圆C：内部，
故对，直线l与圆C总有两个不同的交点A、B；
Ⅱ，圆的半径为：，圆心到直线的距离为：，
可得：，解得．
Ⅲ由Ⅰ可得，
弦AB最短时，直线l的斜率，即，
故此时直线l的方程为，即，
此时圆心C到直线的距离，
故．

【解析】Ⅰ求出直线l：恒过点，判断点与圆的位置关系推出结果．
Ⅱ利用角，转化为圆心到直线的距离，求解即可．
Ⅲ判断弦AB最短时，直线l的斜率，即，推出直线方程，然后利用半径，半弦长，弦心距的关系求解即可．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．
 

20. 在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是AC和BD，求四边形ABCD的面积．

【答案】解：根据平面几何知识可知，过点最长弦为直径，即，

又因为点圆心的距离为

最短弦为过点E与直径垂直的弦，即，

所以四边形ABCD的面积为．

【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系，关键是平面几何知识的应用．