人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆达标测试

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆达标测试，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

椭圆专项练习卷
一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）
1. 已知椭圆与双曲线x23-y22=1有共同的焦点,且离心率为15,则椭圆的标准方程为 (    )
A. x220+y225=1 B. x225+y220=1
C. x225+y25=1 D. x25+y225=1

2. 已知P是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上的点,F1,F2是其焦点,双曲线的离心率是54,且PF1⋅PF2=0,若△PF1F2的面积为9,则a+b的值为(    )
A. 8 B. 7
C. 6 D. 5

3. 过点M(1,1)作斜率为-14的直线与椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0),相交于A、B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为(    )
A. 32 B. 12
C. 13 D. 33

4. 已知A、B分别为椭圆x29+y2b2=1(00)的左右焦点为F1、F2,离心率为33,过F2的直线l交C与A、B两点,若△AF1B的周长为83,则C的方程为(    )
A. x23+y22=1 B. x23+y2=1
C. x212+y24=1 D. x212+y28=1

8. 曲线x=3cosϕy=5sinϕ(φ为参数)的离心率为(    )
A. 23 B. 35
C. 32 D. 53

9. 已知直线l过椭圆C：x22+y2=1的左焦点F且交椭圆C于A、B两点.O为坐标原点,若OA⊥OB,则点O到直线AB的距离为(    )
A. 63 B. 2
C. 52 D. 32






10. 设F1,F2是椭圆x24+y2b2=1(00)的左、右焦点为F1,F2,离心率为33,过F2的直线l交C于A,B两点,若ΔAF1B的周长为43,则C的方程为__________．
13. 椭圆x29+y22=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若PF1=4,则SΔPF1F2的大小为________．
14. 如图所示,A,B分别是椭圆的右、上顶点,C是AB的三等分点(靠近点B),F为椭圆的右焦点,OC的延长线交椭圆于点M,且MF⊥OA,则椭圆的离心率为____．







15. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于________．
16. 已知P是椭圆x216+y29=1上的点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,若PF1⋅PF2|PF1|⋅|PF2|=12,则ΔF1PF2的面积为____________．
17. 已知为椭圆的左焦点,直线与椭圆交于两点,那么=__________．
18. 如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点,直线y=b2与椭圆交于B,C两点,且,则该椭圆的离心率是________．
​
三、解答题（本大题共6小题，共60.0分）
19. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴是短轴的两倍,点A(3,12)在椭圆上.不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点,设直线OA、l、OB的斜率分别为k1、k、k2,且k1、k、k2恰好构成等比数列．

(Ⅰ)求椭圆C的方程．
(Ⅱ)试探究OA2+OB2是否为定值？若是,求出这个值；否则求出它的取值范围．









20. 已知椭圆4x2+y2=1及直线l：y=x+m．
(1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围；   
(2)求被椭圆截得的最长弦长及此时直线l的方程．








21. 求与椭圆4x2+9y2=36共焦点,且过点(3,-2)的椭圆方程．







22. 已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,右焦点到直线y=x的距离为3
(1)求椭圆E的方程；
(2)已知点M的坐标为(2,1),斜率为12的直线L交椭圆E于两个不同点A,B,设直线MA与MB的斜率为k1,k2,求：k1+k2的 值










23. 如图,小明想将短轴长为2,长轴长为4的一个半椭圆形纸片剪成等腰梯形ABDE,且梯形ABDE内接于半椭圆,DE//AB,AB为短轴,OC为长半轴．

(1)求梯形ABDE上底边DE与高OH长的关系式；
(2)若半椭圆上到H的距离最小的点恰好为C点,求底边DE的取值范围．







24. 在平面xOy中,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P(2,1),且离心率e=32．(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l方程为y=12x+m,直线l与椭圆C交于A,B两点,求△PAB面积的最大值．








椭圆专项练习卷
一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）
25. 已知椭圆与双曲线x23-y22=1有共同的焦点,且离心率为15,则椭圆的标准方程为 (    )
A. x220+y225=1 B. x225+y220=1 C. x225+y25=1 D. x25+y225=1
【答案】B
【解析】解：由题意,c=5,ca=15,
∴a=5,b=20,
∴椭圆的标准方程为x225+y220=1,
故选：B
由题意,c=5,ca=15,可得a=5,b=20,即可求出椭圆的标准方程．
本题考查椭圆的标准方程,考查双曲线、椭圆的性质,确定a,b是关键．

26. 已知P是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上的点,F1,F2是其焦点,双曲线的离心率是54,且PF1⋅PF2=0,若△PF1F2的面积为9,则a+b的值为(    )
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
【答案】B
【解析】解：如图所示,
不妨设点P在双曲线的右支上.设|PF1|=m,|PF2|=n．
则m-n=2a,12mn=9,m2+n2=4c2,
消去m,n可得：b=3．
ca=54,c2=a2+b2．
∴2516a2=a2+b2,解得a2=169b2=16,a=4．
∴a+b=7．
故选：B．
如图所示,不妨设点P在双曲线的右支上.设|PF1|=m,|PF2|=n.可得m-n=2a,12mn=9,m2+n2=4c2,消去m,n可得：b.再利用ca=54,c2=a2+b2可得a．
本题考查了双曲线的定义标准方程及其性质、向量垂直与数量积的关系、勾股定理,考查了推理能力和计算能力,属于中档题．

27. 过点M(1,1)作斜率为-14的直线与椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0),相交于A、B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为(    )
A. 32 B. 12 C. 13 D. 33
【答案】A
【解析】解：设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率为-14,即y2-y1x2-x1=-14,
直线AB的中点坐标为M(1,1),x1+x22=1y1+y22=1,
由x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,
两式相减得：得x12-x22a2+y12-y22b2=0,
∴2a2+(-14)2b2=0,
a2=4b2,
∴e=ca=1-b2a2=1-14=32,
故选：A．
利用点差法,结合M是线段AB的中点,斜率为-14,即可求出椭圆C的离心率．
本题考查椭圆的离心率,考查点差法的应用,考查学生的计算能力,属于基础题．

28. 已知A、B分别为椭圆x29+y2b2=1(00)的右焦点,直线y=b2与椭圆交于B,C两点,且,则该椭圆的离心率是________．
​
【答案】63
【解析】【分析】
本题考查椭圆的离心率的求法,注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1,考查化简整理的运算能力,属中档题．
设右焦点F(c,0),将y=b2代入椭圆方程求得B,C的坐标,运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1,结合离心率公式,计算即可得到所求值．
方法二：运用向量的数量积的性质,向量垂直的条件：数量积为0,结合离心率公式计算即可得到所求．
【解答】
解：设右焦点F(c,0),
将y=b2代入椭圆方程可得x=±a1-b24b2=±32a,
可得B(-32a,b2),C(32a,b2),
由,可得kBF⋅kCF=-1,
即有b2-32a-c⋅b232a-c=-1,
化简为b2=3a2-4c2,
由b2=a2-c2,即有3c2=2a2,
由e=ca,可得e2=c2a2=23,
可得e=63．
另解：设右焦点F(c,0),
将y=b2代入椭圆方程可得x=±a1-b24b2=±32a,
可得B(-32a,b2),C(32a,b2),
FB=(-32a-c,b2),FC=(32a-c,b2),
FB⋅FC=0,则c2-34a2十14b2=0,
因为b2=a2-c2,代入得3c2=2a2,
由e=ca,可得e2=c2a2=23,
可得e=63．
故答案为63．

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
43. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴是短轴的两倍,点A(3,12)在椭圆上.不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点,设直线OA、l、OB的斜率分别为k1、k、k2,且k1、k、k2恰好构成等比数列．

(Ⅰ)求椭圆C的方程．
(Ⅱ)试探究OA2+OB2是否为定值？若是,求出这个值；否则求出它的取值范围．
【答案】解：(1)由题意可知a=2b,且3a2+14b2=1,
解得：b2=1,a=2,
所以椭圆的方程为x24+y2=1;
(2)设直线l的方程为y=kx+m,Ax1,y1,Bx2,y2,
联立y=kx+mx2+4y2=4,消去y整理得,
1+4k2x2+8kmx+4m2-4=0,
则Δ=161+4k2-m2>0,
x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4m2-41+4k2,
∵k1,k,k2恰好构成等比数列,
∴k2=k1k2=y1y2x1x2=kx1+mkx2+mx1x2,
化简得-4k2m2+m2=0,
∵m≠0,
∴k2=14,k=±12,
此时Δ=162-m2>0,
即m∈-2,2,
∴x1+x2=±2m,x1x2=2m2-2,
故|OA|2+|OB|2=x12+y12+x22+y22
=34x12+x22+2
=34x1+x22-2x1x2+2
=5,
于是|OA|2+|OB|2是定值5．
【解析】(1)通过将点A代入椭圆方程可得3a2+14b2=1,结合a=2b计算可得结论;
(2)设出A,B点的坐标,通过设直线l的方程为y=kx+m,与椭圆联立方程组,可得x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4m2-41+4k2,计算可求k的值,进而化简可得x1+x2=±2m,x1x2=2m2-2,最后利用完全平方公式计算即可．

44. 已知椭圆4x2+y2=1及直线l：y=x+m．
(1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围；   
(2)求被椭圆截得的最长弦长及此时直线l的方程．
【答案】解：(1)由4x2+y2=1y=x+m  得5x2+2mx+m2-1=0,
当直线与椭圆有公共点时,△=4m2-4×5(m2-1)≥0,
即-4m2+5≥0,
解得-52≤m≤52,
所以实数m的取值范围是-52≤m≤52;
(2)设所截弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)知,x1+x2=-2m5,x1x2=m2-1 5 ,
所以弦长|AB|= 2|x1-x2|=2(x1+x2)2-4x1x2 =22×5-4m25,
当m=0时|AB|最大,此时所求直线方程为y=x．
【解析】(1)当直线与椭圆有公共点时,直线方程与椭圆方程构成的方程组有解,等价于消掉y后得到x的二次方程有解,故△≥0,解出即可；
(2)设所截弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)及韦达定理可把弦长|AB|表示为关于m的函数,根据函数表达式易求弦长最大时m的值．

45. 求与椭圆4x2+9y2=36共焦点,且过点(3,-2)的椭圆方程．
【答案】解：椭圆4x2+9y2-36=0,
∴焦点坐标为：5,0,-5,0,c=5．
椭圆的焦点与4x2+9y2-36=0有相同焦点,
∴椭圆的半焦距c=5,即a2-b2=5．
∵x2a2+y2b2=1过点(3,-2),即9a2+4b2=1
解得a2=15,b2=10．
∴椭圆的标准方程为x215+y210=1．
【解析】本题主要考查了椭圆的标准方程的问题.要熟练掌握椭圆方程中a,b和c的关系,求椭圆的方程时才能做到游刃有余.先根据椭圆4x2+9y2-36=0求得焦点坐标,进而求得椭圆的半焦距c,根据椭圆过点(3,-2)求得a和b,即可得到椭圆方程．

46. 已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,右焦点到直线y=x的距离为3
(1)求椭圆E的方程；
(2)已知点M的坐标为(2,1),斜率为12的直线L交椭圆E于两个不同点A,B,设直线MA与MB的斜率为k1,k2,求：k1+k2的 值
【答案】解：(1)依题意e=ca=32,右焦点到直线y=x的距离为d=c2=3,
所以c=6,a=22,b=a2-c2=8-6=2,
∴椭圆E的方程为x28+y22=1；
(2)由题意,设直线AB的方程为y=12x+m,联立x28+y22=1y=12x+m,
得2x2-4mx+4m2-8=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4,
又k1=y1-1x1-2,k2=y2-1x2-2,
∴k1+k2=y1-1x1-2+y2-1x2-2=y1-1x2-2+y2-1x1-2x1-2x2-2,
∵分子y1-1x2-2+y2-1x1-2=12x1+m-1x2-2+12x1+m-1x1-2=x1x2+m-2x1+x2-4m-1=2m2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1)=0,
∴k1+k2=0．
【解析】本题考查椭圆方程的求法,直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查转化思想以及计算能力．
(1)利用椭圆的几何性质及参数a,b,c之间的关系即可求出；
(2)直线AB的方程为y=12x+m,与椭圆联立求解,由根与系数的关系可得x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4,k1+k2=y1-1x1-2+y2-1x2-2=y1-1x2-2+y2-1x1-2x1-2x2-2,
分子=12x1+m-1x2-2+12x1+m-1x1-2,把根与系数的关系代入即可得出．

47. 如图,小明想将短轴长为2,长轴长为4的一个半椭圆形纸片剪成等腰梯形ABDE,且梯形ABDE内接于半椭圆,DE//AB,AB为短轴,OC为长半轴．

(1)求梯形ABDE上底边DE与高OH长的关系式；
(2)若半椭圆上到H的距离最小的点恰好为C点,求底边DE的取值范围．
【答案】解：(1)以AB所在直线为x轴,OC所在直线为y轴,建立直角坐标系,
所以半椭圆的方程：y24+x2=1y≥0,
设椭圆上点Ds,ts>0, t>0,
所以DE=2s,OH=t,且t24+s2=1t>0,s>0,
所以OH=4-DE200)过点P(2,1),且离心率e=32．(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l方程为y=12x+m,直线l与椭圆C交于A,B两点,求△PAB面积的最大值．
【答案】解：(1)椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P(2,1),且离心率e=32,
可得：4a2+1a2-c2=1ca=32,
解得a=22,c=6,则b=2,
椭圆方程为：x28+y22=1；
(2)直线方程为y=12x+m,
A(x1,y1)、B(x2,y2),
联立方程组y=12x+mx28+y22=1,
整理得：x2+2mx+2m2-4=0,
直线与椭圆要有两个交点,
所以Δ=2m2-42m2-4>0,
解得-2