高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线课后测评

双曲线专项练习

一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）

1. 若抛物线上一点到轴的距离为3,则点到抛物线的焦点的距离为(    )

A.  B.  

C.  D.

2. 已知是双曲线C：的右焦点,若双曲线C的渐近线与圆M：相切,则双曲线的离心率为(    )

A.  B.  

C.  D.

3. 双曲线的两渐近线的夹角是

A.  B.  

C.  D.

4. “双曲线的方程为”是“双曲线的渐近线方程为”的   

A. 充分而不必要条件 

B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 

D. 既不充分也不必要条件

5. 以的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为 

A.  B.  

C.  D.

6. 已知m,n为两个不相等的非零实数,则方程与所表示的曲线可能是(    )

A.  

B.
C.  

D.

7. 如图,中,,,若以A,B为焦点的双曲线的渐近线经过点C,则该双曲线的离心率为(    )

A.
B.
C.
D.

8.    已知m,n为两个不相等的非零实数,则方程与所表示的曲线可能是(    )

A.   

B.  
C.  

D.

9. 已知、是双曲线的上、下焦点 ,点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心 ,为半径的圆上 ,则双曲线的离心率为

A.  B.  

C.  D.

10. 已知、是双曲线的上、下焦点 ,点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心 ,为半径的圆上 ,则双曲线的离心率为

A.  B.  

C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）

11. 过双曲线左焦点的弦AB长为6,则为右焦点的周长是___________．
12. 已知点F、A分别为双曲线C：的左焦点、右顶点,点满足,则双曲线的离心率为____________．
13. 双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于1,则M到另一个焦点的距离为__________．
14. 已知方程表示双曲线,则实数t的取值范围是__________．
15. 过双曲线的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于___________．
16. 双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍,且一个顶点的坐标为,则双曲线的标准方程为___________．
17. 与椭圆共焦点,一条渐近线为的双曲线的方程为_______________．
18. 双曲线的离心率,则b的取值范围是________________．

三、解答题（本大题共6小题，共60.0分）

19. 双曲线C与双曲线有共同的渐近线,且过点．

求双曲线C的方程；

若直线与双曲线C左支交于两点,求K的取值范围；






 

20. 过双曲线的右焦点,倾斜角为的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,求的面积．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图所示,双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,、分别为左、右焦点,双曲线的左支上有一点P,,且的面积为,又双曲线的离心率为2,求该双曲线的方程．

22. 已知表示焦点在轴上的双曲线 ,表示椭圆．

若为真命题 ,求实数的取值范围；

若“且”为假命题 ,求的取值范围．






 

23. 求经过两点的椭圆的标准方程；

求与椭圆有相同的焦点且经过点的双曲线的标准方程．






 

24. 已知双曲线过点 ,且与椭圆有相同的焦点．

求双曲线的标准方程；

求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．






 

双曲线专项练习

一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）

25. 若抛物线上一点到轴的距离为3,则点到抛物线的焦点的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】试题分析：由题意可知准线,由到轴的距离为3,所以到准线的距离为4,由抛物线定义可知到抛物线的焦点的距离为4
考点：抛物线定义
点评：椭圆,双曲线,抛物线在解题中的应用非常广泛,应加以重视
 

26. 已知是双曲线C：的右焦点,若双曲线C的渐近线与圆M：相切,则双曲线的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】【分析】
本题给出双曲线的渐近线与已知圆相切,求双曲线的离心率,着重考查了直线与圆的位置关系和双曲线的简单性质等知识,属于基础题．
根据双曲线C的渐近线与圆M：相切,利用点到直线的距离公式即可得到,解出即可．
【解答】
解：双曲线C的渐近线方程为．
双曲线C的渐近线与圆M：相切,
,
,
,
．
故选：A．
 

27. 双曲线的两渐近线的夹角是

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】
 

28. “双曲线的方程为”是“双曲线的渐近线方程为”的   

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】试题分析：令可得的渐近线方程为：,而的渐近线方程为,
利用充要条件的有关定义得到“双曲线的方程为”是“双曲线的渐近线方程为”的充分而不必要条件．
因为双曲线的方程为,
所以双曲线的渐近线方程为,即,
所以双曲线的渐近线方程为：；
若双曲线的渐近线方程为成立,
例如为,其渐近线方程为,即,
所以“双曲线的方程为”是“双曲线的渐近线方程为”的充分而不必要条件．
故选A．
 

29. 以的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为 

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】本题考查双曲线和椭圆性质的应用。先求出双曲线的顶点和焦点,从而得到椭圆的焦点和顶点,进而得到椭圆方程。
 

30. 已知m,n为两个不相等的非零实数,则方程与所表示的曲线可能是(    )

A.  B.
C.  D.

【答案】C

【解析】此题考查直线的点斜式中的斜率和截距,椭圆和双曲线的标准方程．

将直线化简为：,化为：,当m,n同正时,表示椭圆,当m,n异号时,表示双曲线。

A中观察直线可知,,此时应表示双曲线,不符；

B中观察直线可知,,此时应表示双曲线,不符；

C中观察直线可知,,此时应表示双曲线,符合；

D中观察直线可知,,此时应表示椭圆,不符．

故选C．

31. 如图,中,,,若以A,B为焦点的双曲线的渐近线经过点C,则该双曲线的离心率为(    )

A.
B.
C.
D.
 

【答案】D

【解析】解：设,
取AB的中点为O,
由题意可得双曲线的一条渐近线为直线OC,
在三角形OBC中,
,
,
,
则,
可得,
,
可得双曲线的渐近线的斜率为,
不妨设双曲线的方程为,
渐近线方程为,
可得,
可得．
故选：D．
设,取AB的中点为O,由题意可得双曲线的一条渐近线为直线OC,由余弦定理可得OC,,求得,即为渐近线的斜率,由a,b,c的关系和离心率公式,即可得到．
本题考查双曲线的方程和性质,主要是渐近线和离心率,考查学生的计算能力,属于中档题．
 

32.    已知m,n为两个不相等的非零实数,则方程与所表示的曲线可能是(    )

A.   B.  
C.  D.

【答案】C

【解析】方程表示直线,与坐标轴的交点分别为, , 
若方程表示椭圆,则m,n同为正, ,故A,B不满足题意； 
若方程表示双曲线,则m,n异号, ,故C符合题意,D不满足题意 
故选C．
 

33. 已知、是双曲线的上、下焦点 ,点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心 ,为半径的圆上 ,则双曲线的离心率为

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】​
 

34. 已知、是双曲线的上、下焦点 ,点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心 ,为半径的圆上 ,则双曲线的离心率为

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】​
 

二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）

35. 过双曲线左焦点的弦AB长为6,则为右焦点的周长是___________．

【答案】略

【解析】略
 

36. 已知点F、A分别为双曲线C：的左焦点、右顶点,点满足,则双曲线的离心率为____________．

【答案】略

【解析】略
 

37. 双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于1,则M到另一个焦点的距离为__________．

【答案】略

【解析】略
 

38. 已知方程表示双曲线,则实数t的取值范围是__________．

【答案】略

【解析】略
 

39. 过双曲线的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于___________．

【答案】略

【解析】略
 

40. 双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍,且一个顶点的坐标为,则双曲线的标准方程为___________．

【答案】略

【解析】略
 

41. 与椭圆共焦点,一条渐近线为的双曲线的方程为_______________．

【答案】略

【解析】略
 

42. 双曲线的离心率,则b的取值范围是________________．

【答案】略

【解析】略
 

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

43. 双曲线C与双曲线有共同的渐近线,且过点．

求双曲线C的方程；

若直线与双曲线C左支交于两点,求K的取值范围；

【答案】解：设双曲线C的方程为,把点代入可得,
所以双曲线C的方程为；
设联立
消去y得：,    
与左支有两个交点等价于方程有两个不相等的负根,
解不等式得：,且；
解不等式得：；
综上可以k的取值范围是．

【解析】本题考查双曲线的性质以及直线与双曲线的位置关系；
利用双曲线有共同的渐近线,设双曲线C的方程为,把点代入可得,得到双曲线方程；
设联立,消去y得：,   与左支有两个交点等价于方程有两个不相等的负根,分别解不等式和,得到所求．
 

44. 过双曲线的右焦点,倾斜角为的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,求的面积．

【答案】略

【解析】略
 

45. 如图所示,双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,、分别为左、右焦点,双曲线的左支上有一点P,,且的面积为,又双曲线的离心率为2,求该双曲线的方程．

【答案】略

【解析】略
 

46. 已知表示焦点在轴上的双曲线 ,表示椭圆．

若为真命题 ,求实数的取值范围；

若“且”为假命题 ,求的取值范围．

【答案】解：真： ,得  ,

 “p且q”为假,即p假或q假,

 q真：  ,得  且  ,

P假：  或 ,

q假：  或  或 ,

  或  或 ．

【解析】本题考查了椭圆、双曲线的标准方程及复合命题的真假判断,解决此类问题的关键是熟练掌握命题真假的判定方法,由复合命题的真假判断出简单命题的真假结合椭圆与双曲线的有关知识进行判断解题即可根据双曲线标准的方程与双曲线的有关性质可得 ,进而求出m的范围根据题意分别求出命题p、q为假时m的范围,再结合命题“”是假命题,p假或q假,求出m的范围．
 

47. 求经过两点的椭圆的标准方程；

求与椭圆有相同的焦点且经过点的双曲线的标准方程．

【答案】解：设椭圆的方程为,
因为在椭圆上,
所以,
解得．
所以椭圆的标准方程是；
由题意知椭圆的焦点是,
可设双曲线的方程为,
点在双曲线上,所以,
,
,
所以,
即双曲线的标准方程为

【解析】本题主要考查如何通过椭圆上的点坐标及相关信息,求出椭圆的标准方程．
由椭圆的焦点为,可设双曲线的方程为,将点的坐标代入,求出,从而求出双曲线方程．
 

48. 已知双曲线过点 ,且与椭圆有相同的焦点．

求双曲线的标准方程；

求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．

【答案】

【解析】由题意,椭圆的焦点为,,即,
设所求双曲线的方程为,双曲线过点,
,或舍去故所求双曲线的方程为．
由可知双曲线的右准线为设所求抛物线的标准方程为,则,故所求抛物线的标准方程为