人教A版 (2019)第一章 空间向量与立体几何本章综合与测试随堂练习题

这是一份人教A版 (2019)第一章 空间向量与立体几何本章综合与测试随堂练习题，共31页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。


空间向量综合练习题
一、解答题
1. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的正方形ABCD，PD⊥面ABCD且PD=DC，点E是线段PA的中点，
(1)求证：DE⊥平面PAB；
(3)求二面角A-PB-C的大小．








2. (理科)如图，在三棱锥A-BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=3，BD=CD=1，另一个侧面ABC是正三角形．
(1)求证：AD⊥BC；
(2)求二面角B-AC-D的余弦值．








3. 等腰△ABC，E为底边BC的中点，沿AE折叠，如图，将C折到点P的位置，使二面角P-AE-C的大小为120∘，设点P在面ABE上的射影为H．
(I)证明：点H为BE的中点；
(II)若AB=AC=22，AB⊥AC，求直线BE与平面ABP所成角的正切值．













4. 如图，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角．
(1)证明：AC⊥BO1；
(2)求二面角O-AC-O1的余弦值．








5. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求异面直线AD1与A1C1所成的角．













6. 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD//BC，AB⊥AD，BC=233，AB=1，BD=PA=2.求二面角A-PD-C的余弦值．















7. 如图，在棱长为1的正方体中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m
(1)试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为42；
(2)在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论．

















8. 在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=AC=AA1，∠CAB=90∘，M、N分别是AA1和AC的中点．
(1)求证：MN⊥BC1
(2)求直线MN与平面BCC1B1所成角．

















9. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中点．
(1)用向量法证明平面A1BD//平面B1CD1；
(2)用向量法证明MN⊥面A1BD．
























10. 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点，且BQ=λBB1(λ≠0)．
(1)若λ=12，求AP与AQ所成角的余弦值；
(2)若直线AA1与平面APQ所成的角为45∘，求实数λ的值．









11. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，AC=BC=AA1=2，D为侧棱AA1的中点．
(1)求异面直线DC1，B1C所成角的余弦值；
(2)求二面角B1-DC-C1的平面角的余弦值．




















12. 如图所示，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=6，平面PAC⊥平面ABC，PD⊥AC于点D，AD=1，CD=3，PD=3
(Ⅰ)证明：BC⊥PB；
(Ⅱ)求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．










13. 如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD=1，D1D=2，点P为棱CC1的中点．
(1)设二面角A-A1B-P的大小为θ，求sinθ的值；
(2)设M为线段A1B上得一点，求AMAP的取值范围．

















14. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E为BB1中点．
(Ⅰ)证明：AC⊥D1E；
(Ⅱ)求DE与平面AD1E所成角的正弦值．
















15. 如图，在四面体ABCD中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120∘，且OA=OB=OC=3，D是AC的中点，点E在AB上，AB=3AE．
(Ⅰ)求证：AO⊥DE；
(Ⅱ)求二面角O-AC-B的余弦值．

















16. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD.PA=AB=2，∠BAD=120∘，E是PC上的一点，且BE与平面PAB所成角的正弦值为34．
(1)证明：E为PC的中点；
(2)求二面角A-BE-C的大小．














17. 如图，ABCD-A1B1C1D1是长方体，AB=BC=2，E、F分别是棱BC、BB1上一点，BE=BF=1，经过D、E、F三点的平面与棱AA1相交于G．
(1)求AG；
(2)求二面角A-FG-D的余弦值．








18. 棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为C1D1的中点．
①求证：AE⊥DA1；
②求异面直线AE与CC1所成的角的正弦值．










19. 如图，在△ABC中，∠BAC=90∘，AC=2AB，PA垂直△ABC所在的平面，PC与△ABC所在的平面成30∘角，点D在线段PC上，点E在线段BC上．
(Ⅰ)若AD⊥PC，求证：BD⊥PC；
(Ⅱ)若PD：PC=1：4，EC：BC=1：4，求二面角B-AD-E的余弦值．







20. 如图，已知PA⊥平面ABC，等腰直角三角形ABC中，AB=BC=2，AB⊥BC，AD⊥PB于D，AE⊥PC于E．
(Ⅰ)求证：PC⊥DE；
(Ⅱ)若直线AB与平面ADE所成角的正弦值为23，求PA的值．










21. 如图，平面ABEF⊥平面ABC，四边形ABEF为矩形，AC=BC.O为AB的中点，OF⊥EC．
(Ⅰ)求证：OE⊥FC；
(Ⅱ)若二面角F-CE-B的余弦值为-13时，求ACAB的值．








22. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=2，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1//平面BDA1．
(Ⅰ)求证：CD=C1D；
(Ⅱ)求二面角A1-B1D-P的平面角的正弦值．














空间向量综合练习题
一、解答题（本大题共22小题，共264.0分）
23. 如图，四棱锥P-ABCD 中，底面是边长为2的正方形ABCD，PD⊥面ABCD且PD=DC，点E是线段PA的中点，
(1)求证：DE⊥平面PAB；
(3)求二面角A-PB-C的大小．

【答案】(1)证明：以D为原点，直线DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则D(0，0，0)，P(0，0，2)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，E(1，0，1)，
∴DE=(1，0，1)，PA=(2，0，-2)，AB=(0，2，0)，
由DE⋅PA=2+0-2=0，DE⋅AB=0，得DE⊥PA，DE⊥AB，
又PA∩AB=A，∴DE⊥平面PAB；
(2)解由(1)知，平面PAB的法向量为DE=(1，0，1)．
设平面PBC的一个法向量为n=(x，y，z)，
又PB=(2，2，-2)，BC=(-2，0，0)，
则n⋅PB=2x+2y-2z=0n⋅BC=-2x=0，取z=1，得n=(0，1，1)．
∴cos=n⋅DE|n|⋅|DE|=12×2=12．
由图可知，二面角A-PB-C为钝角，
∴二面角A-PB-C的大小为120∘．
【解析】(1)以D为原点，直线DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，然后利用向量垂直证明DE⊥平面PAB；
(2)分别求出平面PAB与平面PBC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求解二面角A-PB-C的大小．
本题考查线面垂直的判定，考查利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．

24. (理科)如图，在三棱锥A-BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=3，BD=CD=1，另一个侧面ABC是正三角形．
(1)求证：AD⊥BC；
(2)求二面角B-AC-D的余弦值．

【答案】证明：(1)方法一：作AH⊥面BCD于H，连DH．
AB⊥BD，HB⊥BD，又AD=3，BD=1，
∴AB=2=BC=AC，∴BD⊥DC，
又BD=CD，则BHCD是正方形，
则DH⊥BC，∴AD⊥BC．
方法二：取BC的中点O，连AO、DO，
则有AO⊥BC，DO⊥BC，∴BC⊥面AOD，
∴BC⊥AD
(2)作BM⊥AC于M，作MN⊥AC交AD于N，
则∠BMN就是二面角B-AC-D的平面角，
因为AB=AC=BC=2，
∵M是AC的中点，则BM=62，MN=12CD=12，
BN=12AD=32，
由余弦定理可求得cos∠BMN=63，
∴二面角B-AC-D的余弦值为63．
【解析】(1)方法一：根据三垂线定理可得：作AH⊥面BCD于H，连DH.由长度计算可得：BHCD是正方形，所以DH⊥BC，则AD⊥BC．
方法二：证明异面直线垂直，也可以先证明直线与平面垂直：取BC的中点O，连AO、DO，则有AO⊥BC，DO⊥BC，所以BC⊥面AOD．
(2)二面角的度量关键在于作出它的平面角，常用的方法就是三垂线定理.作BM⊥AC于M，作MN⊥AC交AD于N，则∠BMN就是二面角B-AC-D的平面角，再根据余弦定理即可求得二面角B-AC-D的余弦值．
本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．

25. 等腰△ABC，E为底边BC的中点，沿AE折叠，如图，将C折到点P的位置，使二面角P-AE-C的大小为120∘，设点P在面ABE上的射影为H．
(I)证明：点H为BE的中点；
(II)若AB=AC=22，AB⊥AC，求直线BE与平面ABP所成角的正切值．



【答案】(I)证明：依题意，AE⊥BC，则AE⊥EB，AE⊥EP，EB∩EP=E．
∴AE⊥面EPB．
故∠CEP为二面角C-AE-P的平面角，则点P在面ABE上的射影H在EB上．
由∠CEP=120∘得∠PEB=60∘.…(3分)
∴EH=12EP=12EB．
∴H为EB的中点.…(6分)
(II)解：过H作HM⊥AB于M，连PM，过H作HN⊥PM于N，连BN，
则有三垂线定理得AB⊥面PHM.即面PHM⊥面PAB，
∴HN⊥面PAB.故HB在面PAB上的射影为NB．
∴∠HBN为直线BE与面ABP所成的角.…(9分)
依题意，BE=12BC=2，BH=12BE=1．
在△HMB中，HM=22，
在△EPB中，PH=3，
∴在Rt△PHM中，HN=217．
∴sin∠HBN=217，tan∠HBN=32.…(12分)
【解析】(I)证明：∠CEP为二面角C-AE-P的平面角，则点P在面ABE上的射影H在EB上，即可证明点H为EB的中点；
(II)过H作HM⊥AB于M，连PM，过H作HN⊥PM于N，连BN，则有三垂线定理得AB⊥面PHM.即面PHM⊥面PAB，HN⊥面PAB.故HB在面PAB上的射影为NB，∠HBN为直线BE与面ABP所成的角，即可求直线BE与平面ABP所成角的正弦值．
本题考查线面垂直，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

26. 如图，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角．
(1)证明：AC⊥BO1；
(2)求二面角O-AC-O1的余弦值．

【答案】证明：(1)由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1，
所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，
即OA⊥OB
从而AO⊥平面OBCO1，
OC是AC在面OBCO1内的射影
因为tan∠OO1A=OBOO1=3，tan∠O1OC=O1COO1=33，
所以∠OO1B=60∘，∠O1OC=30∘，
从而OC⊥BO1
由三垂线定理得AC⊥BO1．
解：(2)由(1)AC⊥BO1，OC⊥BO1，知BO1⊥平面AOC
设OC∩O1B=E，过点E作EF⊥AC于F，连结O1F(如图)，
则EF是O1F在平面AOC内的射影，
由三垂线定理得O1F⊥AC
所以∠O1FE是二面角O-AC-O1的平面角
由题设知OA=3，OO1=3，O1C=1，
所以O1A=OA2+OO12=23，AC=O1A2+O1C2=13，
从而O1F=O1A⋅O1CAC=2313，
又O1E=OO1⋅sin30∘=32，
所以sin∠O1FE=O1EO1F=134，
cos∠O1FE=1-(134)2=34，
∴二面角O-AC-O1的余弦值为34．
【解析】(1)由OA⊥OO1，OB⊥OO1，知∠AOB是所折成的直二面角的平面角，从而OA⊥OB，进而推导出OC⊥BO1，由此能证明AC⊥BO1．
(2)推导出BO1⊥平面AOC，设OC∩O1B=E，过点E作EF⊥AC于F，连结O1F，则∠O1FE是二面角O-AC-O1的平面角，由此能求出二面角O-AC-O1的余弦值．
本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

27. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求异面直线AD1与A1C1所成的角．





【答案】解：连接AC，由题意AC//A1C1，
从而∠D1AC是异面直线AD1与A1C1所成的角，
∵AC=AD1=D1C
∴∠D1AC=60∘，
∴异面直线AD1与A1C1所成的角为60∘．
【解析】连接AC，由题意AC//A1C1，从而∠D1AC是异面直线AD1与A1C1所成的角，由此能求出异面直线AD1与A1C1所成的角．
本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

28. 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD//BC，AB⊥AD，BC=233，AB=1，BD=PA=2.求二面角A-PD-C的余弦值．





【答案】解：因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD. 又AD⊥AB，
故分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
根据条件得AD=3.所以B(1，0，0)，D(0，3，0)，C(1，233，0)，P(0，0，2). 
因为AB⊥平面PAD，所以平面PAD的一个法向量为AB=(1，0，0)．
 设平面PCD的一个法向量为n=(x，y，z)，
由n⊥PC，n⊥PD，PC=(1，233，-2)，PD=(0，3，-2)，
得x+233y-2z=03y-2z=0，解得x=23zy=233z，不妨取z=3，则得n=(2，23，3)．
设二面角A-PD-C的大小为⊕，则cosϕ=cos=AB⋅n|AB|⋅|n|=(1，0，0)⋅(2，23，3)1×5=25.  
即二面角A-PD-C的余弦值为25．
【解析】以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，由此利用向量法能求出二面角A-PD-C的余弦值．
本题考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

29. 如图，在棱长为1的正方体中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m
(1)试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为42；
(2)在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论．




【答案】解：(1)连AC，设AC与BD相交于点O，AP与平面BDD1B1相交于点G，
连接OG，因为PC//平面BDD1B1，平面BDD1B1∩平面APC=OG，
故OG//PC，所以，OG=12PC=m2．
又AO⊥BD，AO⊥BB1，所以AO⊥平面BDD1B1，
故∠AGO是AP与平面BDD1B1所成的角．
在Rt△AOG中，tan∠AGO=22m2=42，即m=14．
所以，当m=14时，直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为42．
(2)可以推测，点Q应当是AICI的中点，当是中点时
因为D1O1⊥A1C1，且 D1O1⊥A1A，A1C1∩A1A=A1，
所以 D1O1⊥平面ACC1A1，
又AP⊂平面ACC1A1，故 D1O1⊥AP．
那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直．
【解析】(1)连AC，设AC与BD相交于点O，AP与平面BDD1B1相交于点，连接OG，证明AO⊥平面BDD1B1，说明∠AGO是AP与平面BDD1B1所成的角.在Rt△AOG中，利用直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为42.求出m的值．
(2)点Q应当是AICI的中点，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，通过证明 D1O1⊥平面ACC1A1，D1O1⊥AP.利用三垂线定理推出结论．
本题考查直线与平面所成的角，考查直线与平面垂直的判定，三垂线定理的应用，考查空间想象能力，逻辑推理能力．

30. 在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=AC=AA1，∠CAB=90∘，M、N分别是AA1和AC的中点．
(1)求证：MN⊥BC1
(2)求直线MN与平面BCC1B1所成角．





【答案】(1)证明：连接A1C、AC1
在平面AA1C1C内，∵AA1⊥平面ABC，AA1=AC
∴A1C⊥AC1
又∵∠CAB=90∘即AB⊥AC、AA1⊥AB
且 AA1∩AC=A∴AB⊥平面AA1C1C
又∵A1C在平面AA1C1C内
∴A1C⊥AB
又∵AB∩AC1=A，∴A1C⊥平面ABC1
又∵BC1在平面ABC1内
∴A1C⊥BC1
又∵M，N分别是AA1和AC的中点.∴A1C//MN，∴MN⊥BC1．
(2)解：取C1B1的中点D，连接CD
∵A1B1=A1C1，∴A1D⊥B1C1
又∵CC1//AA1，AA1⊥平面ABC
∴CC1⊥平面ABC，即CC1平面A1B1C1，
又∵A1D在平面A1B1C1内
∴A1D⊥CC1且CC1∩C1B1=C，CD在平面CBB1C1内，∴A1D⊥CD
∴cos∠A1CD=CDA1C=32，∴∠A1CD=30∘，
又∵MN//A1C
即MN与平面BCC1B1所成角为30∘
【解析】(1)连接A1C、AC1，证明A1C⊥平面ABC1，利用A1C//MN，即可证明MN⊥BC1
(2)取C1B1的中点D，连接CD，求出∠A1CD=30∘，即可求直线MN与平面BCC1B1所成角．
本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

31. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中点．
(1)用向量法证明平面A1BD//平面B1CD1；
(2)用向量法证明MN⊥面A1BD．





【答案】证明：(1)建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0，0，0)，A1(2，0，2)，B(2，2，0)，B1(2，2，2)，C(0，2，0)，D1(0，0，2)，
设平面A1BD的法向量为m=(x，y，z)，
∵DA1=(2，0，2)，DB=(2，2，0)，
∴2x+2z=02x+2y=0，
∴取m=(-1，1，1)，
同理平面B1CD1的法向量为n=(-1，1，1)，
∴m//n，
∴平面A1BD//平面B1CD1；
(2)∵M、N分别为AB、B1C的中点，
∴MN=(-1，1，1)，
∴MN//m，
∴MN⊥面A1BD．
【解析】(1)建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，求出平面A1BD、平面B1CD1的法向量，证明法向量平行，即可证明结论；
(2)求出MN=(-1，1，1)，可得MN//m，即可证明结论．
本题考查平面与平面平行的证明，考查直线与平面垂直，正确建立坐标系，求出平面的法向量是关键．

32. 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点，且BQ=λBB1(λ≠0)．
(1)若λ=12，求AP与AQ所成角的余弦值；
(2)若直线AA1与平面APQ所成的角为45∘，求实数λ的值．

【答案】解：以{AB ， AD ， AA1}为正交基底，建立如图所示空
间直角坐标系A-xyz．
(1)因为AP=(1， 2， 2)，AQ=(2， 0， 1)，
所以cos=AP⋅AQ|AP||AQ|=1×2+2×0+2×19×5=4515．
所以AP与AQ所成角的余弦值为4515.…4分
(2)由题意可知，AA1=(0， 0， 2)，AQ=(2， 0， 2λ)．
设平面APQ的法向量为n=(x，y，z)，
则n⋅AP=0n⋅AQ=0即x+2y+2z=02x+2λz=0
令z=-2，则x=2λ，y=2-λ．
所以n=(2λ，2-λ，-2).…6分
又因为直线AA1与平面APQ所成角为45∘，
所以|cos|=|n⋅AA1|n||AA1||=42(2λ)2+(2-λ)2+(-2)2=22，
可得5λ2-4λ=0，又因为λ≠0，所以λ=45.  …10分．
【解析】(1)以{AB ， AD ， AA1}为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A-xyz.求出AP=(1， 2， 2)，AQ=(2， 0， 1)，利用数量积求解AP与AQ所成角的余弦值．
(2)AA1=(0， 0， 2)，AQ=(2， 0， 2λ).求出平面APQ的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．
本题考查空间向量数量积的应用，直线与平面所成角的求法，异面直线所成角的求法，考查计算能力．

33. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，AC=BC=AA1=2，D为侧棱AA1的中点．
(1)求异面直线DC1，B1C所成角的余弦值；
(2)求二面角B1-DC-C1的平面角的余弦值．






【答案】解：(1)如图所示，以C为原点，CA、CB、CC1为坐标轴，建立空间直角坐标系
C-xyz．
则C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，D(2，0，1)．
所以DC1=(-2，0，1)，B1C=(0，-2，-2). 
所以cos=DC1⋅B1C|DC1||B1C|=-25×8=-1010．
即异面直线DC1与B1C所成角的余弦值为1010．
(2)因为CB=(0，2，0)，CA=(2，0，0)，CC1=(0，0，2)，
所以CB⋅CA=0，CB⋅CC1=0，
所以CB为平面ACC1A1的一个法向量.         
因为B1C=(0，-2，-2)，CD=(2，0，1)，
设平面B1DC的一个法向量为n，n=(x，y，z)．
由n⋅B1C=0n⋅CD=0，得-2y-2z=02x+z=0
令x=1，则y=2，z=-2，n=(1，2，-2)．
所以cos=n⋅CB|n|⋅|CB|=43×2=23．
所以二面角B1-DC-C1的余弦值为23．
【解析】(1)以C为原点，CA、CB、CC1为坐标轴，建立空间直角坐标系C-xyz，写出要用的点的坐标，写出两个向量的方向向量，根据两个向量所成的角得到两条异面直线所成的角．
(2)先求两个平面的法向量，在第一问的基础上，有一个平面的法向量是已知的，只要写出向量的表示形式就可以，另一个平面的向量需要求出，根据两个法向量所成的角得到结果．
本题考查利用空间向量解决几何体中的夹角问题，包括两条异面直线的夹角和两个平面的夹角，本题解题的关键是建立坐标系．

34. 如图所示，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=6，平面PAC⊥平面ABC，PD⊥AC于点D，AD=1，CD=3，PD=3
(Ⅰ)证明：BC⊥PB；
(Ⅱ)求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．

【答案】证明：(Ⅰ)因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PD⊂平面PAC，PD⊥AC，
所以PD⊥平面ABC．
记AC边上的中点为E，在△ABC中，因为AB=BC，所以BE⊥AC．
因为AB=BC=6，AC=4，所以BE=BC2-CE2=(6)2-22=2．
连接BD，在Rt△BDE中，因为∠BED=90∘，BE=2，DE=1，
所以BD=BE2+DE2=(2)2+12=3．
在△DCB中，因为CD=3，BC=6，BD=3，
所以BC2+BD2=CD2，所以BC⊥BD．

因为PD⊥平面AC，BC⊂平面ABC，
所以BC⊥PD．
因为BD∩PD=D，所以BC⊥平面PBD．
因为PB⊄平面PBD，所以BC⊥PB．
(Ⅱ)解：过点A作平面PBC的垂线，垂足为H，连PH，
则∠APH为直线AP与平面PBC所成的角．
由(Ⅰ)知，△ABC的面积S△ABC=12AC⋅BE=22．
因为PD=3，所以VP-ABC=13S△ABC⋅PD=13×22×3=263．
由(Ⅰ)知△PBC为直角三角形，BC=6，PB=6，

所以△PBC的面积S△PBC=12×BC×PB=12×6×6=3．
因为三棱锥A-PBC与三棱锥P-ABC的体积相等，
即13×3×AH=263，所以AH=263．
在Rt△PAD中，因为PD=3，AD=1，
所以AP=PD2+AD2=(3)2+12=2．
因为sin∠APH=AHAP=2632=63．
所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为63．
【解析】(Ⅰ)证明PD⊥平面ABC.AC边上的中点为E，求出BE，连接BD，在Rt△BDE中，求解BD，通过BC2+BD2=CD2，证明BC⊥BD.BC⊥PD.推出BC⊥平面PBD.得到BC⊥PB．
(Ⅱ)过点A作平面PBC的垂线，垂足为H，连PH，则∠APH为直线AP与平面PBC所成的角.利用三棱锥A-PBC与三棱锥P-ABC的体积相等，求出AH.在Rt△PAD中，求出AP，即可求解直线AP与平面PBC所成角的正弦值．
本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面市场价的求法，考查计算能力以及转化思想的应用．

35. 如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD=1，D1D=2，点P为棱CC1的中点．
(1)设二面角A-A1B-P的大小为θ，求sinθ的值；
(2)设M为线段A1B上得一点，求AMAP的取值范围．




【答案】(1)建立以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
∵AD=1，D1D=2，点P为棱CC1的中点，
∴A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，1)，D(0，0，0)，P(0，1，1)，A1(1，0，2)，
设平面A1BP的法向量为m=(x，y，z)，则A1B=(0，-1，2)，BP=(-1，0，1)，
则由m⋅A1B=-y+2z=0，m⋅BP=-x+z=0，得x=zy=2z，
令z=1则y=2，x=1，则m=(1，2，1)，
同理可得平面AA1B的法向量为n=(1，0，0)，
则cos=m⋅n|m|⋅|n|=11+4+1=16，
则sinθ=1-(16)2=56=306．
(2)AP=(-1，1，1)，则AP=|AP|=1+1+1=3，
∵A1B=1+22=5，
∴0≤AM≤5，
则0≤AMAP≤53=153，
即AMAP的取值范围是[0，153].
【解析】(1)建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可；
(2)分别求出AP和AM的取值范围进行求解即可．
本题主要考查二面角的求解以及线段长度的范围，建立坐标系利用向量法是解决空间角常用的方法．

36. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E为BB1中点．
(Ⅰ)证明：AC⊥D1E；
(Ⅱ)求DE与平面AD1E所成角的正弦值．








【答案】(Ⅰ)证明：连接BD
∵ABCD-A1B1C1D1是长方体，
∴D1D⊥平面ABCD，
又AC⊂平面ABCD
∴D1D⊥AC…(1分)
在长方形ABCD中，AB=BC
∴BD⊥AC…(2分)
又BD∩D1D=D
∴AC⊥平面BB1D1D，…(3分)      
而D1E⊂平面BB1D1D
∴AC⊥D1E…(4分)
(Ⅱ)解：如图建立空间直角坐标系D-xyz，则A(1，0，0)，D1(0，0，2)，E(1，1，1)，B(1，1，0)，AE=(0，1，1)，AD1=(-1，0，2)，DE=(1，1，1)
设平面AD1E的法向量为n=(x，y，z)，则-x+2z=0y+z=0，
令z=1，则n=(2，-1，1)…(8分)
∴cos=2-1+13⋅6=23          …(10分)
∴DE与平面AD1E所成角的正弦值为23…(12分)
【解析】(I)根据已知中长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是侧棱BB1的中点，结合长方体的几何特征，我们可得D1D⊥AC，BD⊥AC，结合线面垂直的判定定理即可得到AC⊥平面BB1D1D，即可得出结论；
(Ⅱ)建立空间直角坐标系，求出平面AD1E的法向量，利用向量的夹角公式，即可求DE与平面AD1E所成角的正弦值．
本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定与性质，考查线面角，正确运用直线与平面垂直的判定与性质是关键．

37. 如图，在四面体ABCD中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120∘，且OA=OB=OC=3，D是AC的中点，点E在AB上，AB=3AE．
(Ⅰ)求证：AO⊥DE；
(Ⅱ)求二面角O-AC-B的余弦值．
【答案】(Ⅰ)证明：取BE中点F，连结OF，依题意有DE//CF，
在△AOB中，∠AOB=120∘，且OA=OB=3，
由余弦定理得AB=3，∵AB=3AE，∴AF=2，OF=1，
∴AO⊥OF，又OC⊥AO，
∴AO⊥面COF，∴AO⊥CF，
∴AO⊥DE．
(Ⅱ)解：连结DF、OD、OF，
由OC⊥OA，OC⊥OB知CO⊥平面AOB，
∴OP是DF在平面AOC内的射影，
在等腰三角形AOC中，D为AC的中点，AC⊥OD，且OD=62，
由三垂线定理知AC⊥DF，
∴∠ODF为二面角的平面角，
∴在Rt△DOF中，DF=OD2+OF2=102，
∴cos∠ODF=ODDF=62102=155．
∴二面角O-AC-B的余弦值为155．
【解析】(Ⅰ)取BE中点F，连结OF，由已知条件推导出AO⊥OF，又OC⊥AO，从而得到AO⊥面COF，由此能证明AO⊥DE．
(Ⅱ)连结DF、OD、OF，由已知得CO⊥平面AOB，OP是DF在平面AOC内的射影，从而推导出∠ODF为二面角的平面角，由此能求出二面角O-AC-B的余弦值．
本题考查异面垂直垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

38. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD.PA=AB=2，∠BAD=120∘，E是PC上的一点，且BE与平面PAB所成角的正弦值为34．
(1)证明：E为PC的中点；
(2)求二面角A-BE-C的大小．





【答案】(1)证明：∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
设对角线交点为O，由平面几何知识知：AC=2，BD=23．
以O为原点，OC、OD、OP分别为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系O-xyz
则A(1，0，0)、B(0，-3，0)C(1，0，0)P(-1，0，2)…(2分)
∴AB=(1，-3，0)，AP=(0，0，2)，
设平面PAB的一个法向量m=(x，y，z)，
AB⋅m=0AP⋅m=0⇒x-3y=02z=0⇒m=(3，1，0).…(3分)
设PE=λEC(λ>0)，则E(λ-1λ+1，3，2λ+1)，
∴BE=(λ-1λ+1，3，2λ+1)
由已知34=|cos|=|BE⋅m||BE||m|.…(4分)
即34=|3λ-3λ+1+3|(λ-1λ+1)2+(3)2+(2λ+1)2×2
解得：λ=1或λ=-2(舍去)…(5分)
即E为PC的中点.…(6分)
(2)解：由(1)知BE=(0，3，1)，又AB=(1，-3，0)，
设平面ABE的一个法向量n1=(x1，y1，z1)，
则BE⋅n1=0AB⋅n1=0⇒3y1+z1=0x1-3y1=0⇒n1=(3，1，-3)…(8分)
又BC=(1，3，0)，
设平面BEC的一个法向量n2=(x2，y2，z2)
则BE⋅n2=0BC⋅n2=0⇒3y2+z2=0x2-3y2=0⇒n2=(3，-1，3)…(10分)
∴|cos|=|n1⋅n2||n1||n2|=|3×3+1×(-1)+(-3)×3|7×7=17…(11分)
又∵二面角A-BE-C为钝角，
∴二面角A-BE-C的大小为arccos(-17).…(12分)
【解析】(1)设对角线交点为O，以O为原点，OC、OD、OP分别为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能证明E为PC的中点．
(2)求出平面ABE的一个法向量和平面BEC的一个法向量，利用向量法能求出二面角A-BE-C的大小．
本题考查点是线段中点的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

39. 如图，ABCD-A1B1C1D1是长方体，AB=BC=2，E、F分别是棱BC、BB1上一点，BE=BF=1，经过D、E、F三点的平面与棱AA1相交于G．
(1)求AG；
(2)求二面角A-FG-D的余弦值．

【答案】解：(1)∵ABCD-A1B1C1D1是长方体，∴面BCC1B1//面ADD1A1…(1分)
∵DEFG在同一平面上，∴EF//DG…(2分)，
∴∠BEF=∠ADG…(3分)
由已知得△BEF和△ADG都是等腰直角三角形，
∴AG=AD=2.…(4分)
(2)几何法：
在平面ABB1A1内作AH⊥FG，垂足为H，
连接DH…(5分)
∵AD⊥面ABB1A1，∴AD⊥FG…(6分)
∵AD∩AH=A，∴AD⊥面ADH…(7分)
∴FG⊥AH，
∴∠AHD是二面角A-FG-D的平面角…(8分)
在△AFG中，AF=FG=5，AG=2…(9分)
由余弦定理得cos∠AFG=35…(11分)
∴sin∠AFG=45，
AH=AF×sin∠AFG=455…(12分)
∴DH=AH2+AD2=655…(13分)，
cos∠AHD=AHDH=23，
∴二面角A-FG-D的余弦值为23.…(14分)
(2)向量法：
以B为原点，BC、BA、BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系…(5分)，
平面AFG的一个法向量为n1=(1，0，0)…(6分)
由题意知D(2，2，0)，E(1，0，0)，F(0，0，1)，…(7分)
设平面DFG即平面DEF的一个法向量为n2=(a，b，c)，
则n2⋅DE=0n2⋅EF=0…(9分)，
即a+2b=0-a+c=0…(11分)，a=c=-2b，不妨取n2=(2，-1，2)…(12分)
∴二面角A-FG-D的余弦值cosθ=|n1⋅n2||n1|⋅|n2|=23…(14分)
【解析】(1)由已知条件推导出面BCC1B1//面ADD1A1，EF//DG，从而得到∠BEF=∠ADG，由此能求出AG．
(2)几何法：在平面ABB1A1内作AH⊥FG，垂足为H，连接DH，则∠AHD是二面角A-FG-D的平面角，由此能求出二面角A-FG-D的余弦值．
(2)向量法二：以B为原点，BC、BA、BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-FG-D的余弦值．
本题考查线段长的求法，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

40. 棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为C1D1的中点．
①求证：AE⊥DA1；
②求异面直线AE与CC1所成的角的正弦值．






【答案】(1)证明：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
连接AD1，DA1，则AD1⊥DA1，
∵C1D1⊥面AA1D1D，
∴ED1⊥DA1，∴A1D⊥面AED1，
∴AE⊥DA1.(6分)
(2)解：∵AA1//CC1，
∴异面直线AE与CC1所成的角的平面角为∠EAA1，
在Rt△EA1A中，∵AE=3，A1E=5，
∴sin∠EAA1=A1EAE=53，
∴异面直线AE与CC1所成的角的正弦值为53.(12分)
【解析】(1)连接AD1，DA1，则AD1⊥DA1，从而得到A1D⊥面AED1，由此能证明AE⊥DA1．
(2)由AA1//CC1，知异面直线AE与CC1所成的角的平面角为∠EAA1，由此能求出异面直线AE与CC1所成的角的正弦值．
本题考查异面直线垂直的证明，考查异面直线所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

41. 如图，在△ABC中，∠BAC=90∘，AC=2AB，PA垂直△ABC所在的平面，PC与△ABC所在的平面成30∘角，点D在线段PC上，点E在线段BC上．
(Ⅰ)若AD⊥PC，求证：BD⊥PC；
(Ⅱ)若PD：PC=1：4，EC：BC=1：4，求二面角B-AD-E的余弦值．

【答案】(Ⅰ)证明：∵∠BAC=90∘，∴AB⊥AC，
又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，
又∵AB∩AC=A，∴AB⊥面PAC，∴AB⊥PC，
∵AD⊥PC，AB∩AD=A，∴PC⊥面ABD，
∴BD⊥PC．
(Ⅱ)解：由题意分别以AB，AC，AP为轴建立空间直角坐标系，
令AC=2AB=2，则由已知条件得：
A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，2，0)，
P(0，0，23)，D(0，12，32)，E(14，32，0)，
∴AB=(1，0，0)，AD=(0，12，32)，AE=(14，32，0)，
设平面ABD的一个法向量n=(x，y，z)，
则n⋅AB=0，n⋅AD=0，
∴x=012y+32z=0，
取y=3，得z=-1，
∴n=(0，3，-1)，
设平面ADE的法向量m=(x1，y1，z1)，则m⋅AD=0，m⋅AE=0，
∴12y2+32z2=014x2+32y2=0，取x2=-63，得y2=3，z2=-1，
∴m=(-63，3，-1)，
∵cos=0×63+3×3+(-1)×(-1)2×47=714，
∴二面角B-AD-E的余弦值为714．
【解析】(Ⅰ)由已知条件推导出PA⊥AB，AB⊥PC，由此能够证明PC⊥面ABD，从而得到BD⊥PC．
(Ⅱ)由题意分别以AB，AC，AP为轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-AD-E的余弦值．
本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

42. 如图，已知PA⊥平面ABC，等腰直角三角形ABC中，AB=BC=2，AB⊥BC，AD⊥PB于D，AE⊥PC于E．
(Ⅰ)求证：PC⊥DE；
(Ⅱ)若直线AB与平面ADE所成角的正弦值为23，求PA的值．





【答案】(Ⅰ)证明：因为PA⊥平面ABC，
所以PA⊥BC，
又AB⊥BC，PA∩AB=A，
所以BC⊥平面PAB，
因为AD⊂平面PAB，
所以BC⊥AD.…(2分)
又AD⊥PB，BC∩PB=B，
所以AD⊥平面PBC，得PC⊥AD，…(4分)
又PC⊥AE，AD∩AE=A，
所以PC⊥平面ADE，
因为DE⊄平面ADE，
所以PC⊥DE…(6分)
(Ⅱ)解：过点B作BE//AP，则BZ⊥平面ABC，如图所示，分别以BA，BC，BZ所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.   …(7分)
设PA=a，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，P(2，0，a)，
因为PC⊥平面ADE，所以PC=(-1，1，-a)是平面ADE的一个法向量，
所以向量PC与AB所成的角的余弦值的绝对值为23，…(9分)
又AB=(-2，0，0)
则|cos|=|PC⋅AB|PC|⋅|AB||=|(-2，2，-a)⋅(-2，0，0)a2+8|=23，解得a=1
所以PA=1…(12分)
【解析】(Ⅰ)先证明BC⊥平面PAB，可得BC⊥AD，证明AD⊥平面PBC，得PC⊥AD，再证明PC⊥平面ADE，即可证明PC⊥DE；
(Ⅱ)过点B作BE//AP，则BZ⊥平面ABC，分别以BA，BC，BZ所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，根据PC⊥平面ADE，可得PC=(-1，1，-a)是平面ADE的一个法向量，从而向量PC与AB所成的角的余弦值的绝对值为23，即可求PA的值．
本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．

43. 如图，平面ABEF⊥平面ABC，四边形ABEF为矩形，AC=BC.O为AB的中点，OF⊥EC．
(Ⅰ)求证：OE⊥FC；
(Ⅱ)若二面角F-CE-B的余弦值为-13时，求ACAB的值．

【答案】(Ⅰ)证明：连结OC，∵AC=BC，O是AB的中点，
故OC⊥AB.  
又∵平面ABC⊥平面ABEF，
故OC⊥平面ABE，于是OC⊥OF．
又OF⊥EC，∵OF⊥平面OEC，
∴OF⊥OE，
又∵OC⊥OE，∴OE⊥平面OFC，
∴OE⊥FC；
(Ⅱ)解：由(I)得AB=2AF.不妨设AF=1，AB=2，取EF的中点为O，建立坐标系，设OC=k，
则F(0，-1，1)，E(0，1，1)，B(0，1，0)，C(k，0，0)，则
CE=(-k，1，1)，EF=(0，-2，0)，
设平面FCE的法向量为m=(x，y，z)，
则-kx+y+z=0-2y=0．
∴m=(1，0，k)，
∵BE=(0，0，1)，BC=(k，-1，0)，
∴同理可得平面CEB的法向量为n=(1，k，0)，
∴cos=1k2+1=13，
∴k=2，
∴AC=k2+1=3，
∴ACAB=32．
【解析】(Ⅰ)连结OC，则OC⊥AB，从而得到OC⊥OF，进而得到OF⊥OE，由此能证明OE⊥FC．
(Ⅱ)由(I)得AB=2AF.不妨设AF=1，AB=2，取EF的中点为O，建立坐标系，求出平面FCE的法向量、平面CEB的法向量，利用向量的夹角公式，结合若二面角F-CE-B的余弦值为-13，求出k的值，即可求ACAB的值．
本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查向量方法的运用，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

44. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=2，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1//平面BDA1．
(Ⅰ)求证：CD=C1D；
(Ⅱ)求二面角A1-B1D-P的平面角的正弦值．

【答案】(Ⅰ)证明：连接B1A交BA1于O，
∵PB1//平面BDA1，B1P⊂面AB1P，面AB1P∩面BA1D=OD，…(2分)
∴B1P//OD，又O为B1A的中点，
∴D为AP中点，∴C1为A1P中点，…(3分)
∴△ACD≌△PC1D，∴CD=C1D.…(4分)
(Ⅱ)解：∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=2，AB=AC=1，
∴AB⊥AC，…(5分)
以A1为坐标原点，以A1B1，A1C1A1A所在直线建立空间直角坐标系如图所示．
由(Ⅰ)知C1为A1P中点，
∴A1(0，0，0)，B1(1，0，0)，D(0，1，12)，P(0，2，0)，…(6分)
∴A1B1=(1，0，0)，A1D=(0，1，12)，
设平面A1B1D的法向量m=(x，y，z)
∵m⊥A1B1且m⊥A1D，
∴x=0y+12z=0，取z=2，得y=-1，∴m=(0，-1，2)…(8分)
PB1=(1，-2，0)，PD=(0，-1，12)，
设平面PB1D的法向量n=(x1，y1，z1)，
则n⋅PB1=0，n⋅PD=0，
∴x2-2y2=0-y2+12z2=0，取x=2，得y=1，2，
∴平面PB1D的法向量n=(2，1，2)…(10分)
设二面角A1-B1D-P平面角为θ，
则cosθ=m⋅n|m||n|=-55，…(11分)
∴sinθ=1-cos2θ=255.…(12分)
【解析】(Ⅰ)连接B1A交BA1于O，由已知条件推导出△ACD≌△PC1D，由此能够证明CD=C1D；
(Ⅱ)以A1为坐标原点，以A1B1，A1C1A1A所在直线建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出二面角A1-B1D-P的正弦值．
本题考查线段相等的证明，考查二面角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．