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    选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.4 空间向量的应用练习题

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    这是一份选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.4 空间向量的应用练习题,共14页。试卷主要包含了选择题,解答题,填空题等内容,欢迎下载使用。

    空间向量:直线与直线与直线所成角问题

    一、选择题(本大题共9小题,共45.0分)

    1. 如图,正方体中,AB的中点的中点N,则异面直线CN所成的角是______



     

     

    1. 如图,在正方体中,MN分别是CD的中点,则异面直线DN所成角的大小是______


     

     

    1. 在长方体中,,则异面直线AC所成角的余弦值是
    2. 如图,在棱长均相等的正三棱柱中,异面直线的夹角为
       


     

     

    1. 矩形ABCD中,,将沿AC所在的直线进行随意翻折,在翻折过程中直线AD与直线BC成的角范围包含初始状态

     

     

     

     

    1. 在我国古代数学名著九章算术中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑,如图,在鳖臑ABCD中,平面BCD,且,则异面直线ACBD所成角的余弦值为

     

     

     

     

     

    1. 在三棱柱中,底面为正三角形,侧棱垂直底面,分别是棱上的点,且,则异面直线AF所成角的余弦值为



     

     

    1. 如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱,则直线与直线夹角的余弦值为


     

     

     

     

     

     

     

    1. 如图,已知正三棱柱的各条棱长都相等,则异面直线所成的角的余弦值大小为______


     

     

     

     

     

     

     

    1. 如图,已知正四棱锥中,,高,点M是侧棱PC的中点,则异面直线BMAC所成角的余弦值______


       

     

     

     

    1. 如图,已知分别是正方形ABCD的边ABCD的中点,现将正方形沿EF折成的二面角,则异面角直线AEBF所成角的余弦值是______


    1. 在长方体中,如果对角线与过点A的相邻三个面所成的角分别是,那么 ______
    2. 如图,在正方体,若EAD的中点,则异面直线所成角等于______



       

     

    三、解答题(本大题共2小题,共24.0分)

    1. 理科如图,在正方体AC的中点,E是线段上一点,且
      ,求异面直线DE所成角的余弦值;
      若二面角,求的值.



       

     


     


    1. 正方体中,MN分别为棱的中点求:
      异面直线AB所成的角的正切值;
      异面直线CM所成角的余弦值.


     

    空间向量:直线与直线与直线所成角问题

    一、选择题(本大题共9小题,共45.0分)

    1. 如图,正方体中,AB的中点的中点N,则异面直线CN所成的角是

    A.
    B.
    C.
    D.

     

     

    【答案】D

    【解析】解:由题意,在右面补一个正方体,如图:
    的中点M,取的中点P,连接CP
    可得:
    是异面直线CN所成的角的平面角.
    连接NP
    设正方体的边长为a
    可得:

    的三条边满足:

    即异面直线CN所成的角是
    故选:D
    利用补形法,在右面补一个正方体,平移相交,构造三角形根据余弦定理求解即可.
    本题考查两条异面直线所成角的大小的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
     

    1. 如图,在正方体中,MN分别是CD的中点,则异面直线DN所成角的大小是

    A.
    B.
    C.
    D.
     

     

    【答案】D

    【解析】解:以D为原点,DAx轴,DCy轴,z轴,建立空间直角坐标系,
    设正方体中棱长为2



    设异面直线DN所成角为

    异面直线DN所成角的大小为
    故选:D
    D为原点,DAx轴,DCy轴,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线DN所成角的大小.
    本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,考查正方体的结构特征,异面直线所成角等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.
     

    1. 在长方体中,,则异面直线AC所成角的余弦值是

    A.  B.  C.  D.

    【答案】A

    【解析】解:几何法
    在长方体中,
    连结,交于点O,取中点E,连结
    是矩形,
    BD中点,
    是异面直线AC所成角或所成角的补角


    异面直线AC所成角的余弦值是
    故选:A
    向量法
    在长方体中,
    D为原点,DAx轴,DCy轴,z轴,建立空间直角坐标系,


    设异面直线AC所成角为

    异面直线AC所成角的余弦值是
    故选:A
    几何法:
    连结,交于点O,取中点E,连结,则是异面直线AC所成角或所成角的补角,由此利用余弦定理能求出异面直线AC所成角的余弦值.
    向量法:
    D为原点,DAx轴,DCy轴,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线AC所成角的余弦值.
    本题考查两条异面直线所成角的大小的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
     

    1. 如图,在棱长均相等的正三棱柱中,异面直线的夹角为
       

    A.
    B.
    C.
    D.
     

     

    【答案】B

    【解析】解:在棱长均相等的正三棱柱中,

    是异面直线的夹角,
    在棱长均相等的正三棱柱中,
    ,且

    异面直线的夹角为
    故选:B
    ,知是异面直线的夹角,由此能求出结果.
    本题考查异面直线所成角的求法,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,考查运用意识,是基础题.
     

    1. 矩形ABCD中,,将沿AC所在的直线进行随意翻折,在翻折过程中直线AD与直线BC成的角范围包含初始状态

    A.  B.  C.  D.

    【答案】C

    【解析】解:由题意,初始状态,直线AD与直线BC成的角为0
    时,
    平面
    直线AD与直线BC成的角为
    在翻折过程中直线AD与直线BC成的角范围包含初始状态
    故选:C
    求出两个特殊位置,直线AD与直线BC成的角,即可得出结论.
    本题考查两直线所成的角的范围的求法,考查学生的计算求解能力、推理论证能力、空间思维能力,考查数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想,是中档题.
     

    1. 在我国古代数学名著九章算术中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑,如图,在鳖臑ABCD中,平面BCD,且,则异面直线ACBD所成角的余弦值为

    A.  B.  C.  D.

    【答案】A

    【解析】解:如图所示,分别取的中点,则
    为异面直线ACBD所成角.
    ,则

    异面直线ACBD所成角的余弦值为
    故选:A
    如图所示,分别取的中点,则为异面直线ACBD所成角.
    本题考查异面直线ACBD所成角,考查学生的计算能力,正确作出异面直线ACBD所成角是关键.
     

    1. 在三棱柱中,底面为正三角形,侧棱垂直底面,分别是棱上的点,且,则异面直线AF所成角的余弦值为

    A.
    B.
    C.
    D.

     

     

    【答案】D

    【解析】解:以AB中点为原点建立如图所示空间直角坐标系,

    ,且



    异面直线AF所成角的余弦值为
    故选:D
    由题意建立空间直角坐标系,利用空间向量求得所成角的余弦值,即可得到异面直线AF所成角的余弦值.
    本题考查异面直线所成角,训练了利用空间向量求异面直线所成角,是中档题.
     

    1. 如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱,则直线与直线夹角的余弦值为

    A.
    B.
    C.
    D.
     

     

    【答案】A

    【解析】解:设,根据条件可求以下几点坐标:



    直线与直线夹角的余弦值为
    故选:A
    ,由条件及建立的空间直角坐标系,可求出点几点的坐标,从而得到向量的坐标,由向量夹角余弦的坐标公式即可求出,从而便得出直线与直线夹角的余弦值.
    考查利用空间向量解决异面直线所成角问题的方法,能求空间点的坐标,由点的坐标求向量的坐标,向量夹角余弦的坐标公式,清楚两异面直线的方向向量的夹角和这两异面直线所成角的关系.
     

    1. 如图,已知正三棱柱的各条棱长都相等,则异面直线所成的角的余弦值大小为

    A.
    B.
    C.
    D.

     

     

    【答案】A

    【解析】解:以A为原点,在平面ABC内过AAC的垂线为x轴,以ACy轴,以z轴,建立空间直角坐标系,
    设正三棱柱的各条棱长为2


    设异面直线所成的角的余弦值为

    异面直线所成的角的余弦值大小为
    故选:A
    A为原点,在平面ABC内过AAC的垂线为x轴,以ACy轴,以z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线所成的角的余弦值大小.
    本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
     

    二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)

    1. 如图,已知正四棱锥中,,高,点M是侧棱PC的中点,则异面直线BMAC所成角的余弦值为______


       

     

    【答案】

    【解析】解:如图,以O为原点,OAx轴,OBy轴,OPz轴,建立空间直角坐标系,



    设异面直线BMAC所成角为

    异面直线BMAC所成角的余弦值为
    故答案为:
    O为原点,OAx轴,OBy轴,OPz轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线BMAC所成角的余弦值.
    本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用.
     

    1. 如图,已知分别是正方形ABCD的边ABCD的中点,现将正方形沿EF折成的二面角,则异面角直线AEBF所成角的余弦值是______


    【答案】

    【解析】解:如图,连接
    即为异面直线FBAE所成角
    设正方形ABCD的边长为2
    则在中,


    故答案为:
    连接BD,由,知即为异面直线FBAE所成角,由此能求出异面角直线AEBF所成角的余弦值.
    本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
     

    1. 在长方体中,如果对角线与过点A的相邻三个面所成的角分别是,那么 ______

    【答案】2

    【解析】解:在长方体中,
    与面所成的角为
    同理与面所成的角为
    与面AC所成的角为







    故答案为:2
    由已知得,由此能求出的值.
    本题考查线面角的余弦值的平方和的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意长方体的性质的合理运用.
     

    1. 如图,在正方体,若EAD的中点,则异面直线所成角等于______




       

     

    【答案】

    【解析】解:以A为原点,ABx轴,ADy轴,z轴,建立空间直角坐标系,
    设正方体的棱长为2


    设异面直线所成角为


    异面直线所成角等于
    故答案为:
    A为原点,ABx轴,ADy轴,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线所成角.
    本题考查异面直线所成角的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
     

    三、解答题(本大题共2小题,共24.0分)

    1. 理科如图,在正方体AC的中点,E是线段上一点,且
      ,求异面直线DE所成角的余弦值;
      若二面角,求的值.



       

     

    【答案】解:设正方体的棱长为1
    分别以DADC轴,建立空间直角坐标系,




    解得



    异面直线DE所成角的余弦值为
    设平面的法向量为

    ,取,得
    ,得
    设平面CDE的法向量
    ,取,得
    二面角

    解得

    【解析】设正方体的棱长为1,分别以DADC轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线DE所成角的余弦值.
    求出平面的法向量和平面CDE的法向量,利用向量法能求出结果.
    本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,考查实数值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
     

    1. 正方体中,MN分别为棱的中点求:
      异面直线AB所成的角的正切值;
      异面直线CM所成角的余弦值.


    【答案】解:正方体中,MN分别为棱的中点.

    异面直线CM所成角为
    设正方体中棱长为2,则

    异面直线AB所成的角的正切值为
    不妨设正方体棱长为2,取的中点E,连结BE
    由题意知BE相交于O点,
    四边形是平行四边形,
    是异面直线CM所成角,


    异面直线CM所成角的余弦值为

    【解析】,得异面直线CM所成角为,由此能求出异面直线AB所成的角的正切值.
    推导出四边形是平行四边形,从而,进而是异面直线CM所成角,由此能求出异面直线CM所成角的余弦值.
    本题考查异面直线所成角的正切值和余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力、数据处理能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合,考查创新意识、应用意识,是中档题.
     

     

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