2021学年1.4 空间向量的应用测试题

空间向量解决二面角问题

一、填空题空间向量：平面法向量与线面角问题

1. 过正方形ABCD的顶点A，作平面ABCD，若，则平面ABP和平面CDP所成的锐二面角的大小是

2. 如图，在空间直角坐标系中，四棱柱为长方体，，点E为的中点，则二面角的余弦值为

3. 如图所示，是棱长为6的正方体，分别是棱上的动点，且当共面时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为

4. 如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，侧棱底面是PC的中点则二面角的平面角的余弦值是______ ．
   
   
    

5. 若正四棱锥的底面边长为，体积为，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是______ ．
6. 如图，在长方体中，已知是线段AB上的点，且，则二面角的正切值为______ ．

7. 如图长方体中，，则二面角的大小为______ ．
   
   
   
    

三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）

8. 如图，在四棱锥中，平面，四边形ABCD为正方形，点分别为线段上的点，．
   Ⅰ求证：平面PAB；
   Ⅱ当，二面角大小为时，求PN的长．

9. 底面是正方形的四棱锥中中，侧面底面ABCD，且是等腰直角三角形，其中分别为线段的中点，问在线段AB上是否存在点G，使得二面角的余弦值为，若存在，请求出点G的位置；若不存在，请说明理由．
   
   
   
   
   
   
    
10. 已知正三棱柱如图所示，其中G是BC的中点，分别在线段上运动，使得平面．
    求二面角的余弦值；
    求线段DE的最小值．

11. 如图，直三棱柱中，分别是的中点，．
    Ⅰ证明：平面；
    Ⅱ求锐二面角的余弦值．
    
    
     

12. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面是PC的中点，作交PB于点建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量方法解答以下问题：
    求证：平面EDB；
    求二面角的正弦值．
    
    
    
     

13. 如图，直三棱柱的棱长均相等，点F为棱BC的中点，点E在棱上，且．
    若，求的值；
    求二面角所成平面角的余弦值．
    
    
    
    
    
    
     
14. 如图，直三棱柱中是的中点，D.
    证明：；
    求二面角的余弦值．
    
    
    
     

15. 如图，在直三棱柱中，，点E、F分别在棱、上，且．
    求异面直线AE与 F所成角的大小；
    求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值．
    
    
    
     

空间向量解决二面角问题

一、选择题（本大题共3小题，共15.0分）

16. 过正方形ABCD的顶点A，作平面ABCD，若，则平面ABP和平面CDP所成的锐二面角的大小是

A.
B.
C.
D.


 

【答案】B

【解析】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，
设，
则，
，
设平面PCD的法向量，
则，取，得，
平面ABP的法向量，
设平面ABP和平面CDP所成的锐二面角的大小为，
则，
，
平面ABP和平面CDP所成的锐二面角的大小为．
故选：B．
以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ABP和平面CDP所成的锐二面角的大小．
本题考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．
 

17. 如图，在空间直角坐标系中，四棱柱为长方体，，点E为的中点，则二面角的余弦值为

A.
B.
C.
D.

 

【答案】C

【解析】解：设，
分别为、的中点，，
，
设是平面的一个法向量，
，
取，得平面的一个法向量为，
又平面，
是平面的一个法向量，且二面角为锐二面角，
二面角的余弦值为．
故选C．
分别求出两个平面的法向量，再求出其夹角即可得出结论．
熟练掌握通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角得出二面角的大小的方法是解题的关键．
 

18. 如图所示，是棱长为6的正方体，分别是棱上的动点，且当共面时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】解：以D为原点， 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
由题意知：当时，、 共面，
设平面 DE的法向量为，
，
则，取，得，
设平面 DF的一个法向量为，
，
则，取，得，
设平面与平面所成锐二面角为，
则，
平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
故选：B．
以D为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，由题意知：当时，、共面，由此利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角的余弦值．
本题考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
 

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

19. 如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，侧棱底面是PC的中点则二面角的平面角的余弦值是______ ．
    
    
     

【答案】

【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，
设，则，
，
，
，
，
设平面BDE的法向量，
则，取，
得，
平面DEC的法向量，
设二面角的平面角为，
则．
二面角的平面角的余弦值是．
故答案为：．
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的平面角的余弦值．
本题考查二面角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
 

20. 若正四棱锥的底面边长为，体积为，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是______ ．

【答案】

【解析】解：作出几何体的图形，底面ABCD，连接BC的中点EO，则就是侧面与底面所成的二面角的平面角．
底面面积为：，所以，
所以
故答案为：
求出正四棱锥的底面面积，利用体积求出正四棱锥的高，找出侧面与底面所成的二面角，然后求出它的大小．
本题是基础题，考查二面角的平面角的求法，本题的关键是求出正四棱锥的高，找出二面角的平面角，考查计算能力，逻辑推理能力．
 

21. 如图，在长方体中，已知是线段AB上的点，且，则二面角的正切值为______ ．

【答案】

【解析】解：过点C作于F，连结，因为，所以平面，所以，
所以就是二面角的平面角，
在中，．
所以．
故答案为：．
过点C作于F，连结，说明就是二面角的平面角，在中，，求解的值即可．
本题考查二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，转化思想的应用．
 

22. 如图长方体中，，则二面角的大小为______ ．
    
    
    
     

【答案】

【解析】解：取BD的中点E，连接
，
，根据三垂线定理可知
为二面角的平面角
，而，

二面角的大小为
故答案为：
取BD的中点E，连接，根据三垂线定理可知，从而为二面角的平面角，在三角形中求出此角即可．
本题主要考查了二面角的平面角及求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题．
 

三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）

23. 如图，在四棱锥中，平面，四边形ABCD为正方形，点分别为线段上的点，．
    Ⅰ求证：平面PAB；
    Ⅱ当，二面角大小为时，求PN的长．

【答案】Ⅰ证明：在正方形ABCD中，，
平面平面．
，且平面PAB，
平面PAB，则，
，
则平面PAB；
Ⅱ解：平面平面ABCD，
，又，
如图，以A为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则．
设平面DAN的一个法向量为，
平面CAN的一个法向量为，
设，
，
又，
，取，得，
，
，取得，到，
二面大小为，
，解得，
，
则．

【解析】Ⅰ由已知可得，由此能证明平面PAB，结合，可得平面PAB；
Ⅱ以A为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PN的长．
本题考查线面垂直的判断，考查线段长的求法，求解过程中注意向量的灵活运用，是中档题．
 

24. 底面是正方形的四棱锥中中，侧面底面ABCD，且是等腰直角三角形，其中分别为线段的中点，问在线段AB上是否存在点G，使得二面角的余弦值为，若存在，请求出点G的位置；若不存在，请说明理由．

【答案】解：假设在线段AB上存在点G，使得二面角的余弦值为．
取AD中点O，连结PO，
底面是正方形的四棱锥中中，侧面底面ABCD，且是等腰直角三角形，其中，
平面ABCD，
以O为原点，OA为x轴，在平面ABCD中过O作AD的垂线为y轴，以OP为z轴，
建立空间直角坐标系，设，
则，
，
设平面PCD的法向量，
则，取，得，
设平面PDG的法向量，
则，取，得，
二面角的余弦值为，
，解得，
在线段AB上存在点G，使得二面角的余弦值为，且．

【解析】取AD中点O，连结PO，以O为原点，OA为x轴，在平面ABCD中过O作AD的垂线为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出在线段AB上存在点G，使得二面角的余弦值为，且．
本题考查满足条件的点的位置的确定与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．
 

25. 已知正三棱柱如图所示，其中G是BC的中点，分别在线段上运动，使得平面．
    求二面角的余弦值；
    求线段DE的最小值．

【答案】解：如图，为正三棱柱，G是BC的中点，
平面，以GB所在直线为x轴，以过G且垂直于BG的直线为y轴，以GA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
则，
，
平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
由，取，得．
，
．
二面角的余弦值为；
设，
则，即．
，
由平面，得，得．
，
当时，有最小值，
线段DE的最小值为．

【解析】由题意画出图形，以GB所在直线为x轴，以过G且垂直于BG的直线为y轴，以GA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得二面角的余弦值；
设，由，结合平面把用含有t的代数式表示，然后求出的最小值得答案．
本题考查二面角的平面角的求法，训练了利用空间向量求二面角的大小，考查数学转化思想方法，属中档题．
 

26. 如图，直三棱柱中，分别是的中点，．
    Ⅰ证明：平面；
    Ⅱ求锐二面角的余弦值．
    
    
     

【答案】解：Ⅰ连结，交于点O，连结DO，则O为的中点，因为D为AB的中点，所以，又因为平面平面平面分
Ⅱ由，可知，以C为坐标原点，方向为x轴正方向，方向为y轴正方向，方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系Cxyz，
则
设是平面的法向量，则即
可取分
同理，设是平面的法向量，则，
可取分
从而分
所以锐二面角的余弦值为分

【解析】Ⅰ连结，交于点O，连结DO，证明，然后证明平面．
Ⅱ由以C为坐标原点，方向为x轴正方向，方向为y轴正方向，方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系Cxyz，求出相关点的坐标，平面的法向量，平面的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．
本题考查空间向量的数量积的应用，二面角的平面角的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查计算能力．
 

27. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面是PC的中点，作交PB于点建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量方法解答以下问题：
    求证：平面EDB；
    求二面角的正弦值．
    
    
    
     

【答案】证明：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，如图建立空间直角坐标系，
设分
连结交BD于点G，连结EG．
依题意得
底面ABCD是正方形，点G是此正方形的中心，
故点，且
，即，而平面EDB，且平面EDB，
平面  分
解：，
又，故．
由已知，且平面分
平面EFD的一个法向量为．
，
不妨设平面DEB的法向量为，
则，取，得分
设二面角的平面角为，
．
二面角的正弦值大小为 分

【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面EDB．
求出平面EFD的一个法向量和平面DEB的法向量，利用向量法能求出二面角的正弦值．
本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
 

28. 如图，直三棱柱的棱长均相等，点F为棱BC的中点，点E在棱上，且．
    若，求的值；
    求二面角所成平面角的余弦值．

【答案】解：连接，
由直棱柱的性质知，底面侧面，
为BC的中点，
，
侧面．
又，
平面F.
又，
∽，
，
，
．
设G为的中点，以F为原点，分别以所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，
设三棱柱的棱长为1，
则，
，
设平面AEF的法向量为，
则，即，令得．
同理可得平面的一个法向量为，
，
二面角为钝二面角，
二面角所成平面角的余弦值为．

【解析】连结，证明平面得出，结合得出平面，于是，利用∽得出；
以F为原点建立坐标系，求出平面AEF和平面的法向量，则两法向量的夹角或补交为所求二面角．
本题考查了线面垂直的判定与性质，二面角的计算，空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．
 

29. 如图，直三棱柱中是的中点，D.
    证明：；
    求二面角的余弦值．
    
    
    
     

【答案】证明：由题意知直三棱柱的侧面为矩形，
是的中点，，
又，
，
而，
平面，
平面．
解：由知，且，
平面，
两两垂直，
以C为原点，CA为x轴，设，
建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量，
则，
取，得，
设平面的法向量，
则，
取，得，
．
二面角的余弦值为．

【解析】由题意知直三棱柱的侧面为矩形，，由此能证明．
以C为原点，CA为x轴，设，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．
本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
 

30. 如图，在直三棱柱中，，点E、F分别在棱、上，且．
    求异面直线AE与 F所成角的大小；
    求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值．
    
    
    
     

【答案】解：建立如图所示的直角坐标系，
则，
从而分
记与的夹角为，则有：
．
由异面直线AE与所成角的范围为，
得异面直线AE与所成角为分
记平面AEF和平面ABC的法向量分别为和，
则由题设可令，且有平面ABC的法向量为，
．
由，取，得分
记平面AEF与平面ABC所成的角为，
则．
平面AEF与平面ABC所成角的余弦值为分．

【解析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE与所成角．
求出平面AEF和平面ABC的法向量，利用向量法能求出平面AEF与平面ABC所成角的余弦值．
本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查平面与平面所成角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．