2019-2020学年北京市门头沟区七上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年北京市门头沟区七上期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果向东走 5 米记为 +5 米，那么向西走 3 米记为
A. −3 米B. −5 米C. +3 米D. +5 米

2. “嫦娥四号探月器”于 2019 年 1 月 3 日成功着陆在月球背面，通过“鹊桥”中继星传回了世界第一张近距离拍摄的月背影像图，开启了人类月球探测新篇章．当中继星成功运行于地月拉格朗日 L2 点时，它距离地球约 1500000 km．将数字 1500000 用科学记数法表示为
A. 15×105B. 1.5×105C. 0.15×107D. 1.5×106

3. 实数 a，b，c，d 在数轴上对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是
A. aB. bC. cD. d

4. 如图所示的圆柱体从正面看得到的图形可能是
A. B.
C. D.

5. 下列运用等式的性质，变形正确的是
A. 如果 2x=2y+1，那么 x=y+1B. 如果 2=5+3x，那么 3x=5−2
C. 如果 x−3=y−3，那么 x=yD. 如果 −8x=4，那么 x=−2

6. 如果 x=a 是关于 x 的方程 2x+3a=15 的解，那么 a 的值为
A. 5B. 2C. 3D. 13

7. 下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是
A. B.
C. D.

8. 如图，将一刻度尺放在数轴上．
①若刻度尺上 0cm 和 4cm 对应数轴上的点表示的数分别为 1 和 5，则 1cm 对应数轴上的点表示的数是 2；
②若刻度尺上 0cm 和 4cm 对应数轴上的点表示的数分别为 1 和 9，则 1cm 对应数轴上的点表示的数是 3；
③若刻度尺上 0cm 和 4cm 对应数轴上的点表示的数分别为 −2 和 2，则 1cm 对应数轴上的点表示的数是 −1；
④若刻度尺上 0cm 和 4cm 对应数轴上的点表示的数分别为 −1 和 1，则 1cm 对应数轴上的点表示的数是 −0.5．
上述结论中，所有正确结论的序号是
A. ①②B. ②④C. ①②③D. ①②③④

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 比较大小：−5 −6（填“>”，“<”或“=”）．

10. 按要求对下列各数取近似值：
31.92≈ （精确到个位）；0.2036≈ （精确到百分位）．

11. 计算：180∘−72∘48ʹ= ．

12. 写出 −12xy3 的一个同类项： ．

13. 如图，长方形纸片上画有两个完全相同的阴影长方形，那么剩余的非阴影长方形的周长为 ．（用含 a，b 的代数式表示）

14. 学习了有理数的相关内容后，张老师提出了这样一个问题：“在 8，−0.5，+13，−3.7 这五个有理数中，非负数有哪几个?”同学们经过思考后，小明举手回答说：“其中的非负数只有 8 和 +13 这两个．”
你认为小明的回答是否正确： （填“正确”或“不正确”），理由是： ．

15. 小明在完成“解方程 13x−12x−53=0”时，他的做法如图所示，同桌的小芳对小明说：“你做错了，第①步应该去分母”小明却认为自己没错．你认为小明做 了（填“对”或“错”），理由是 ．

16. 如图，这是一个运算的流程图，输入正整数 x 的值，按流程图进行操作并输出 y 的值．如果输出 y=3，那么输入的 x 的值为 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 计算：
（1）14+16−12×12．
（2）−110÷2+−123×16．

18. 解方程：
（1）2+x=−5x−1（写出检验过程）．
（2）3+x−53=2+x3．

19. 先化简，再求值：
已知 a=1，b=−3，求 2a2b+ab2−2a2b−1−ab2−2 的值．

20. 如图，在同一平面内有三点 A，B，C．
（1）作射线 CA，连接 BC．
（2）延长线段 BC，得到射线 CD，画 ∠ACD 平分线 CE．
（3）在射线 CD 上取一点 F，使得 CF=AC．
（4）在射线 CE 上作一点 P，使 PF+PA 最小．
（5）第（4）步作图的依据是 ．

21. 一项工程，甲队单独施工需要 15 天完成，乙队单独施工需要 9 天完成．现在由甲队先工作 3 天，剩下的由甲、乙两队合作，还需要几天才能完成任务?

22. 阅读材料，并回答问题：
材料：数学课上，老师给出了如下问题．
如图 1，
点 A，B，C 均在直线 l 上，AB=8，BC=2，M 是 AC 的中点，求 AM 的长．
小明的解答过程如下：
解：如图 2，
∵AB=8，BC=2，
∴AC=AB=BC=8−2=6．
∵M 是 AC 的中点，
∴AM=12AC=12×6=3（①）．
小芳说：“小明的解答不完整”．
（1）小明解答过程中的“①”为 ．
（2）你同意小芳的说法吗?如果同意，请将小明的解答过程补充完整；如果不同意，请说明理由．

23. 2019 年 7 月 9 日，北京市滴滴快车调整了价格，规定车费由“总里程费 + 总时长费”两部分构成，具体收费标准如下表：
（注：如果车费不足起步价，则按起步价收费．）
时间段里程费元/千米时长费元/分钟起步价元06:00−:00−:00−:00−
（1）小明 07:10 乘快车上学，行驶里程 6 千米，时长 10 分钟，应付车费 元；
（2）小芳 17:20 乘快车回家，行驶里程 1 千米，时长 15 分钟，应付车费 元；
（3）小华晩自习后乘快车回家，20:45 在学校上车，由于道路施工，车辆行驶缓慢，15 分钟后选择另外道路，改道后速度是改道前速度的 3 倍，10 分钟后到家，共付了车费 37.4 元，问从学校到小华家快车行驶了多少千米?

24. 已知，如图 1，OC 是 ∠AOB 的平分线．
（1）当 ∠AOB=60∘ 时，求 ∠AOC 的度数．
（2）在（1）的条件下，过点 O 作 OE⊥OC，补全图形，并求 ∠AOE 的度数．
（3）当 ∠AOB=α 时，过点 O 作 OE⊥OC，直接写出 ∠AOE 的度数（用含 α 代数式表示）．

25. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常用小石子摆成各种形状来研究数学问题．
如图 1，由于这些三角形是由 1 个，3 个，6 个，10 个，⋯ 小石子摆成的，所以他们称 1，3，6，10，⋯，这些数为三边形数；类似的，如图 2，他们称 1，4，9，16，⋯，这样的数为四边形数．
（1）既是三边形数，又是四边形数，且大于 1 的最小正整数是 ．
（2）如果记第 n 个 k 边形小石子的个数为 Mn,k（k≥3），
那么易得 M1,3=1，M2,3=3，M2,4=4．
① M3,3= ；M9,4= ；
② Mn,3= ；Mn,4= ；
③如果 Mn,3=55，那么 n= ；
（3）如果进一步研究发现 Mn,5=3n2−n2，Mn,6=4n2−2n2=2n2−n，⋯，那么 M10,24= ．
答案
第一部分
1. A【解析】如果向东走 5 米记为 +5 米，那么向西走 3 米记为 −3 米．
2. D【解析】1500000=1.5×106．
3. A
4. B【解析】方法一：圆柱体从正面看得到的图形可能是B图．
方法二：圆柱的主视图为长方形，故从正面看到的为长方形．
5. C
【解析】两边同时加 3 得 x=y．
6. C【解析】将 x=a 代入方程得：2a+3a=15，得 a=3．
7. B
8. D【解析】方法一：
① 0cm 和 4cm 表示 1 和 5，则每 1cm 表示 1 个单位长度，1cm 位于有理数 1 右边 1 个单位长度处，即为 2．
② 0cm 和 4cm 表示 1 和 9，则每 1cm 表示 2 个单位长度，1cm 位于有理数 1 右边 2 个单位长度处，即为 3．
③ 0cm 和 4cm 表示 −2 和 2，则每 1cm 表示 1 个单位长度，1cm 位于 −2 右边 1 个单位处，即为 −1．
④ 0cm 和 4cm 表示 −1 和 1，则每 1cm 表示 0.5 个单位长度，1cm 位于 −1 右边 0.5 个单位处，即为 −0.5．
方法二：
① ∵0cm 和 4cm 对应的数轴上的点表示的数分别是 1 和 5，
∴ 单位长度为 4−05−1=1cm，
∴1cm 对应数轴上的点表示的数是 1+1−01=2．故①正确．
② ∵0cm 和 4cm 对应数轴上的点表示的数分别是 1 和 9，
∴ 单位长度是 4−09−1=0.5cm，
∴1cm 对应数轴上的点表示的数是 1+1−00.5=3．故②正确．
③ ∵0cm 和 4cm 对应数轴上的点表示的数是 −2 和 2，
∴ 单位长度是 4−02−−2=1cm，
∴1cm 对应数轴上的点表示的数是 −2+1−01=−1．故③正确．
④ ∵0cm 和 4cm 对应数轴上的点表示的数分别是 −1 和 1，
∴ 单位长度为 4−01−−1=2cm，
∴1cm 对应数轴上的点表示的数是 −1+1−02=−0.5．故④正确．
第二部分
9. >
【解析】∵5<6，
∴−5>−6．
10. 32，0.20
【解析】31.92 精确到个位为 32，
0.2036 精确到百分位为 0.20．
故答案为：32；0.20．
11. 107∘12ʹ
【解析】180∘−72∘48ʹ=179∘60ʹ−72∘48ʹ=107∘12ʹ.
12. xy3，答案不唯一
【解析】必须有 xy3，系数自定．
13. 4b−2a
【解析】由图可知，剩余非阴影长方形有周长为
26+2b−a=2b+2b−2a=4b−2a.
故答案为：4b−2a．
14. 不正确，0 是非负数，所以非负数有 8，+13 和 0 三个
【解析】0 是非负数，所以非负数有 8，+13 和 0 三个．
15. 对，第①步合并同类项，计算没有错
【解析】小明做对了，理由是第①步合并同类项，计算没有错．
16. 5 或 6
【解析】若 x 是正偶数，
则 x÷2=3，解得 x=6，
若 x 不是正偶数，
则 x+1÷2=3，解得 x=5，
故输入的 x 的值为 5 或 6．
故答案为：5 或 6．
第三部分
17. （1） 原式=3+2−6=−1.
（2） 原式=12+−18×16=12−2=−32.
18. （1）
2+x=−5x+5,x+5x=5−2,6x=3,x=12.
检验：把 x=12 分别代入原方程的左、右两边得
左边=2+12=52，右边=−512−1=52，
∵ 左边 = 右边，
∴ x=12 是原方程的解．
（2）
18+3x−5=22+x,18+3x−15=4+2x,3x−2x=4+15−18,x=1.
19. 2a2b+ab2−2a2b−1−ab2−2=2a2b+2ab2−2a2b+2−ab2−2=ab2.
当 a=1，b=−3 时，
原式=1×−32=1×9=9.
20. （1） 如图所示：
（2） 如图所示：
（3） 如图所示：
（4） 如图所示：
（5） 两点之间线段最短
【解析】第（4）步作图的依据是两点之间线段最短．
21. 设还需 x 天才能完成任务．
根据题意得
315+115+19x=1.
解得
x=4.5.
答：甲、乙两队合作还需 4.5 天才能完成任务．
22. （1） 中点定义
【解析】∵M 是 AC 的中点，
∴AM=12AC=12×6=3（中点定义）．
（2） 我同意小芳的说法，将小明的解答补充如下：
如图，
∵AB=8，BC=2，
∴AC=AB+BC=8+2=10．
∵M 是 AC 的中点，
∴AM=12AC=12×10=5．
23. （1） 18.8
【解析】小明 07:10 乘快车上学，里程费 1.8 元/千米，时长费 0.8 元/分钟，
∴ 应付车费 =6×1.8+10×0.8=18.8 元．
（2） 14
【解析】小芳 17:20 乘快车回家，里程费 1.5 元/千米，时长费 0.8 元/分钟，
1×1.5+15×0.8=13.5<14，
∴ 应按起步价，应付车费 14 元．
（3） 设改道前的速度为 x 千米/时，则改道后的速度为 3x 千米/时，
根据题意得
25×0.8+1.5x⋅1560+2.153x⋅1060=37.4.
解得
x=12.∴3x=36
，
∴12×1560+36×1060=3+6=9，
从学校到小华家快车行驶了 9 千米．
24. （1） ∵OC 是 ∠AOB 的平分线，
∴∠AOC=12∠AOB，
∵∠AOB=60∘，
∴∠AOC=30∘．
（2） 如图 2，当点 E 在 OA 上方时，
∵OE⊥OC，
∴∠COE=90∘，
∵∠AOC=30∘，
∴∠AOE=∠COE+∠AOC=90∘+30∘=120∘.
如图 3，当点 E 在 OA 下方时，
∠AOE=∠COE−∠AOC=90∘−30∘=60∘.
（3） 90∘−12α．
【解析】∵OC 是 ∠AOB 的平分线，∠AOB=α，
∴∠AOC=12∠AOB=12α，
∵OE⊥OC，
∴∠COE=90∘，
如图 2，当点 E 在 OA 上方时，
∠AOE=∠AOC+∠COE=90∘+12α,
如图 3，当点 E 在 OA 下方时，
∠AOE=∠COE−∠AOC=90∘−12α.
25. （1） 36
【解析】∵ 四边形数点的个数是为 n2，
∴ 除 1 外，分别为 4，9，16，25，36，49，64，⋯，
∵ 图 1 中 1，3，6，10，⋯，第 n 个图中点的个数是 1+2+3+⋯+n，即三边形数点的个数是为 nn+12，
∵4=nn+12 无正整数解，
∴4 不是三边形数．
∵9=nn+12 无正整数解，
∴9 不是三边形数．
∵16=nn+12 无正整数解，
∴16 不是三边形数．
∵25=nn+12 无正整数解，
∴25 不是三边形数．
∵36=nn+12，解得︰ n=8，所以 36 是三边形数，
∴ 除 1 外，最小的既是三边形数又是四边形数的是 36．
（2） 6；81；nn+12；n2；10
【解析】由（1）知：Mn,3=nn+12，Mn,42；
故：① M3,3=3×3+12=6，M9,4=92=81，
② Mn,3=nn+12，Mn,4=n2；
③ Mn,3=nn+12=55，
∴n2+n−110=0，
∴n−10n+11=0，解得：n=10 或 n=−11（舍去），
∴n=10．
（3） 1000
【解析】∵Mn,3=nn+12=n2+n2=3−2n2+4−3n2，
Mn,4=n2=2n2+0×n2=4−2n2+4−4n2，
Mn,5=32n2−12n=3n2−n2=5−2n2+4−5n2，
Mn,6=2n2−n=4n2−2n2=6−2n2+4−6n2，
∴ 由此变化规律可推断 Mn,k=k−2n2+4−kn2k≥3，
∴M10,24=24−2×102+4−24×102=1000．