2019-2020学年北京市平谷区八上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年北京市平谷区八上期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8小题；共40分）
1. 4 的平方根是
A. ±2B. 2C. −2D. 16

2. 下面是一些北京著名建筑物的简笔画，其中不是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 下列实数中，是有理数的是
A. 2B. πC. 227D. 0.131131113⋯

4. 已知如图 DC∥EG，∠C＝40∘，∠A＝70∘，则 ∠AFE 的度数为
A. 140∘B. 110∘C. 90∘D. 30∘

5. 下列二次根式中，与 5 是同类二次根式的是
A. 25B. 15C. 10D. 50

6. 【例 1 】如图，△ABC 是等边三角形，AB=2，AD 是 BC 边上的高，E 是 AC 的中点，P 是 AD 上的一个动点，则 PE+PC 的最小值为
A. 1B. 2C. 3D. 23

7. 下列等式成立的是
A. y−xx−y=−1B. a−ma−n=mnC. x8x2=x4D. x2+y2x+y=x+y

8. 已知锐角 ∠AOB．如图，
（1）在射线 OA 上取一点 C，以点 O 为圆心，OC 长为半径作弧 DE，交射线 OB 于点 F，连接 CF；
（2）以点 F 为圆心，CF 长为半径作弧，交弧 DE 于点 G；
（3）连接 FG，CG．作射线 OG．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是
A. ∠BOG=∠AOBB. 若 CG=OC，则 ∠AOB=30∘
C. OF 垂直平分 CGD. CG=2FG

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 若使分式 xx−2 有意义，则 x 的取值范围是 ．

10. 若 a+1+∣b−2020∣=0，则 ab= ．

11. 如图，已知 △ABC，通过测量、计算得 △ABC 的面积约为 cm2．（结果保留一位小数）

12. 化简 π−32= ．

13. 已知：如图，AE 与 BD 相交于点 C，BC=CE，请添加一个条件，使得 △ABC≌△DEC ．

14. 对于两个非零的实数 a，b，定义运算 ※ 如下：a※b=1b−1a．例如：3※4＝14−13=−112．若 x※y＝2，则 xyx−y 的值为 ．

15. 某小组计划在本周的一个下午借用 A，B，C 三个艺术教室其中的一个进行元旦节目的彩排，他们去教学处查看了上一周 A，B，C 三个艺术教室每天下午的使用次数（一节课记为一次）情况，列出如下统计表：
日期次数教室星期一星期二星期三星期四星期五A 教室41120B 教室34032C 教室12143
通过调查，本次彩排安排在星期 的下午找到空教室的可能性最大．

16. 如图，为了庆祝祖国 70 周年大庆，某彩灯工厂设计了一款彩灯．平面上，不同颜色的彩色线段从 O 点发出，恰好依次落到边长为 1 的小正方形格点上，形成美丽的灯光效果，烘托了快乐的节日氛围．则 OA1 的长度为 ．照此规律，OAn 的长度为（n 为正整数） ．

三、解答题（共13小题；共169分）
17. 计算：18+22−3．

18. 计算：12−20190+∣2−3∣+3−8．

19. 如图，已知 ∠AOB，作 ∠AOB 的平分线 OC，将直角尺 DEMN 如图所示摆放，使 EM 边与 OB 边重合，顶点 D 落在 OA 边上，DN 边与 OC 交于点 P．
（1）猜想 △DOP 是 三角形；
（2）补全下面证明过程：
∵ OC 平分 ∠AOB，
∴ = ，
∵ DN∥EM，
∴ = ，
∴ = ，
∴ = ．

20. 6a2−9+1a+3.

21. 计算：3−23+2+5−12．

22. 解分式方程：2x−3x−1=0．

23. 已知：如图，点 A，F，C，D 在同一直线上，AB=DE，AB∥DE，BC∥EF，求证：BC=EF．

24. 已知 a2−a−1=0，求代数式 1−1a+1÷a3a2+2a+1 的值．

25. 已知：如图 CB＝CD，分别过点 B 和点 D 作 AB⊥BC，AD⊥DC，两垂线相交于点 A．求证：AB＝AD．

26. 列方程解应用题：
京张高铁是一条连接北京市与河北省张家口市的城际铁路. 2019 年底，京张高铁正式开通，京张高铁是我国“八纵八横”高铁网的重要组成部分，也是 2022 年北京冬奥会重要的交通保障设施．已知该高铁全长约 180 千米，按照设计，京张高铁列车的平均行驶速度是普通快车的 3 倍，全程用时比普通快车少用 1 个小时，求京张高铁列车的平均行驶速度．

27. 已知：在 △ABC 中，∠ABC=45∘，BD⊥AC 于点 D，过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，交 BD 于点 F．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：∠ABD=∠ACE；
（3）求证：EF=AE．

28. 在学习了不等式的知识后，我们发现如下正确结论：
若 A−B=0⇔ 则 A=B；
若 A−B>0⇔ 则 A>B；
若 A−Bx2−3xy−y2．
试仿照小明的做法，解决下面的问题：
（1）试比较 36−27 与 26−7 的大小．
（2）若 n>0，试比较 n+1n 与 n+2n+1 的大小．

29. 如图，∠MON=60∘，点 A 是 OM 边上一点，点 B，C 是 ON 边上两点，且 AB=AC，作点 B 关于 OM 的对称点点 D，连接 AD，CD，OD．
（1）依题意补全图形；
（2）猜想 ∠DAC＝ ∘，并证明；
（3）猜想线段 OA，OD，OC 的数量关系，并证明．
答案
第一部分
1. A【解析】∵ ±22=4，
∴ 4 的平方根是 ±2．
故选：A．
2. D
3. C【解析】A、 2 是无理数，故此选项错误；
B、 π 是无理数，故此选项错误；
C、 227 是有理数，故此选项正确；
D、 0.131131113⋯ 是无理数，故此选项错误；
故选：C．
4. B【解析】∵∠C＝40∘，∠A＝70∘，
∴∠ABD＝40∘+70∘＝110∘，
∵DC∥EG，
∴∠AFE＝110∘．
5. B
【解析】A、 25=5，与 5 不是同类二次根式；
B、 15=55，与 5 是同类二次根式；
C、 10 与 5 不是同类二次根式；
D、 50=52，与 5 不是同类二次根式．
6. C【解析】如图，连接 BE 交 AD 于点 Pʹ，
∵△ABC 是等边三角形，AB=2，AD 是 BC 边上的高，E 是 AC 的中点，
∴AD，BE 分别是等边三角形 ABC 边 BC，AC 的垂直平分线，
∴PʹB=PʹC，PʹE+PʹC=PʹE+PʹB=BE，
根据两点之间线段最短，
点 P 在点 Pʹ 时，PE+PC 有最小值，最小值即为 BE 的长．
BE=BC2−CE2=3，
所以 PʹE+PʹC 的最小值为 3．
故选：C．
7. A【解析】A．y−xx−y＝−x−yx−y=−1，故A正确；
B．a−ma−n≠mn，故B错误；
C．x8x2＝x6，故C错误；
D．x2+y2x+y≠x+y，故D错误；
故选：A．
8. D
第二部分
9. x≠2
【解析】当分母 x−2≠0，即 x≠2 时，分式 xx−2 有意义，
故答案为：x≠2．
10. 1
【解析】∵a+1+∣b−2020∣=0，a+1≥0，∣b−2020∣≥0，
∴a+1=0，∣b−2020∣=0，
则 a+1=0，b−2020=0，
解得，a=−1，b=2020，
则 ab=1，
故答案为：1．
11. 1.9
【解析】过点 C 作 CD⊥AB 的延长线于点 D，如图所示．
经过测量，AB=2.2 cm，CD=1.7 cm，
∴S△ABC=12AB⋅CD=12×2.2×1.7≈1.9cm2．
12. π−3
【解析】∵ π>3，
∴ π−3>0；
∴ π−32=π−3．
13. AC=CD 或 ∠A=∠D 或 ∠B＝∠E
【解析】∵∠ACB=∠DCE，BC=CE，
∴ 利用添加 AC=CD 或 ∠A=∠D 或 ∠B＝∠E 即可判定两个三角形全等．
14. 12
【解析】根据题中的新定义化简得：1y−1x＝2，
通分化简得：x−yxy＝2，
则 xyx−y＝12．
15. 三
【解析】观察表格发现星期三下午使用 1+0+1=2 次，最少，
∴ 本次彩排安排在星期三的下午找到空教室的可能性最大．
16. 2，n2+1
【解析】由勾股定理可得，OA1 的长度为 12+12=2．
照此规律，OAn 的长度为（n 为正整数）n2+1．
故答案为：2，n2+1．
第三部分
17. 原式=32+2−32=2.
18. 原式=23−1+2−3−2=3−1.
19. （1） 等腰
【解析】我们猜想 △DOP 是等腰三角形；
（2） ∠DOP；∠BOP；∠DPO；∠BOP；∠DOP；∠DPO；OD；PD
【解析】∵ OC 平分 ∠AOB，
∴ ∠DOP=∠BOP，
∵ DN∥EM，
∴ ∠DPO=∠BOP，
∴ ∠DOP=∠DPO，
∴ OD=PD．
20. 原式=6a+3a−3+a−3a+3a−3=6+a−3a+3a−3=a+3a+3a−3=1a−3.
21. 原式=3−2+5−25+1=7−25.
22. 去分母得：
2x−1−3x=0,
去括号得：
2x−2−3x=0,
解得：
x=−2,
经检验：x=−2 是原方程的解，
∴ 原方程的解是 x=−2．
23. ∵AB∥DE，
∴∠A=∠D，
∵EF∥BC，
∴∠ACB=∠DFE，
在 △ABC 和 △DEF 中，
∠ACB=∠DFE,∠A=∠D,AB=DE,
∴△ABC≌△DEFAAS，
∴BC=EF．
24. 1−1a+1÷a3a2+2a+1=a+1−1a+1⋅a+12a3=aa+1⋅a+12a3=a+1a2.
因为 a2−a−1=0，
所以 a2=a+1，
所以 原式=a+1a+1=1．
25. 连接 AC，
∵AB⊥BC，AD⊥CD，
∴∠B＝∠D＝90∘，
在 Rt△ABC 和 Rt△ADC
AC=AC,BC=DC
∴Rt△ABC≌Rt△ADCHL
∴AB＝AD
26. 设普通快车的平均行驶速度为 x 千米/时，则高铁列车的平均行驶速度为 3x 千米/时，
由题意，得
180x=1803x+1.
解得
x＝120.
经检验，x＝120 是原方程的解，且符合题意．
∴3x＝360．
高铁列车的平均行驶速度为 360 千米/时．
27. （1） 如图所示，CE 即为所求．
（2） ∵BD⊥AC 于点 D，过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，
∴∠A+∠ABD=∠A+∠ACE=90∘，
∴∠ABD=∠ACE．
（3） ∵∠ABC=45∘，CE⊥AB，
∴∠BCE=∠CBE，∠AEC=∠FEB=90∘，
∴CE=BE，
∴△BEF≌△CEAASA，
∴EF=AE．
28. （1） 36−27−26−7=36−27−26+7=6−7，
∵60，
∴n+1n>n+2n+1．
29. （1） 依题意补全图形如图 1 所示，
（2） 60∘，
理由：设 ∠OAB＝α∘
因为点 B 与点 D 关于 OM 轴对称
所以 ∠DAO=∠OAB=α∘，
因为 ∠AOB＝60∘
所以 ∠ABC=α+60∘
因为 AB=AC，
所以 ∠ACB=∠ABC=α+60∘
所以 ∠BAC=180−2α+60=60−2α∘
所以 ∠DAC=∠DAO+∠OAB+∠BAC=60∘，
故答案为 60；
（3） AO=OD+OC；
理由：如图 2，
在 OA 上截取 OE=OD，连接 DE，
因为点 B 与点 D 关于 OM 轴对称，
所以 ∠DAO=∠AOB=60∘，
所以 △DOC 是等边三角形，
由（2）可知，∠DAC=60∘，
因为 AC=AB=AD，
所以 △ADC 是等边三角形，
在 △ADE 和 △DOC 中，
AD=DC,∠ADE=∠CDO,DE=DO,
所以 ∠ADE≌△CDOSAS，
所以 AE=OC，
所以 OA=OD+OC．