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2019-2020学年北京市朝阳区八下期末数学试卷
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这是一份2019-2020学年北京市朝阳区八下期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8小题；共40分）
1. 若二次根式 x−8 有意义，则实数 x 的取值范围是
A. x≠8B. x≥8C. x≤8D. x=8
2. 满足下列关系的三条线段 a，b，c 组成的三角形一定是直角三角形的是
A. ab−cC. a=b=cD. a2=b2−c2
3. 若菱形的两条对角线的长分别为 6 和 10，则菱形的面积为
A. 60B. 30C. 24D. 15
4. 下列曲线中，表示 y 是 x 的函数的是
A. B.
C. D.
5. 《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何?”其内容可以表述为：“有一面墙，高一丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动 1 尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺?”（说明：1 丈 =10 尺）
设木杆长 x 尺，依题意，下列方程正确的是
A. x2=x−12+102B. x+12=x2+102
C. x2=x−12+12D. x+12=x2+12
6. 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，AB=2，∠ABO=60∘，线段 EF 绕点 O 转动，与 AD，BC 分别相交于点 E，F．当 ∠AOE=60∘ 时，EF 的长为
A. 1B. 3C. 2D. 4
7. 想要计算一组数据：197，202，200，201，199，198，203 的方差 s2，在计算平均数的过程中，将这组数据的每一个数都减去 200，得到一组新数据 −3，2，0，1，−1，−2，3，且新的这组数据的方差为 4，则 s2 为
A. 4B. 16C. 196D. 204
8. 已知 O 为数轴原点．如图，
（1）在数轴上截取线段 OA=2；
（2）过点 A 作直线 n 垂直于 OA；
（3）在直线 n 上截取线段 AB=3；
（4）以 O 为圆心，OB 的长为半径作弧，交数轴于点 C．
根据以上作图过程及所作图形，有如下四个结论：
① OC=5；
② OB=13；
③ 3④ AC=1．
上述结论中，所有正确结论的序号是
A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④
二、填空题（共8小题；共40分）
9. 已知 x=5+3，y=5−3，则 xy= ．
10. 下列命题，①对顶角相等；②两直线平行，同位角相等；③平行四边形的对角相等．其中逆命题是真命题的命题共有 个．
11. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的面积均为 1，正方形 ABCM，CDEN，MNPQ 的顶点都在格点上，则正方形 MNPQ 的面积为 ．
12. 某校八年级同学 2020 年 4 月平均每天自主学习时间统计如图所示，则这组数据的众数是 ．
13. 下列问题，①某登山队大本营所在地气温为 4∘C，海拔每升高 1 km 气温下降 6∘C，登山队员由大本营向上登高 x km，他们所在位置的气温是 y∘C；②铜的密度为 8.9 g/cm3，铜块的质量 y g 随它的体积 x cm3 的变化而变化；③圆的面积 y 随半径 x 的变化而变化．其中 y 与 x 的函数关系是正比例函数的是 （只需填写序号）．
14. 为了践行“首都市民卫生健康公约”，某班级举办“七步洗手法”比赛活动，小明的单项成绩如下表所示（各项成绩均按百分制计）：
项目书面测试实际操作宣传展示成绩分969896
若按书面测试占 30% 、实际操作占 50% 、宣传展示占 20%，计算参赛个人的综合成绩（百分制），则小明的最后得分是 ．
15. 在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 y=2x+3 向下平移 n 个单位长度后，与直线 y=−x+2 的交点在第一象限，则 n 的取值范围是 ．
16. 如图 1，在矩形 ABCD 中，动点 P 从点 B 出发，沿 B→C→D→A 的路径匀速运动到点 A 处停止．设点 P 运动的路程为 x，△PAB 的面积为 y，表示 y 与 x 的函数关系的图象如图 2 所示，则下列结论：① a=4；② b=20；③当 x=9 时，点 P 运动到点 D 处；④当 y=9 时，点 P 在线段 BC 或 DA 上．其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（共10小题；共130分）
17. 计算．
（1）26+23×3−32．
（2）已知 x=3+1，求代数式 x2−2x 的值．
18. 阅读下面材料，并回答问题．
在几何学习中，经常通过添加辅助线构造图形，将未知问题转化为已知问题．以下给出的“三角形中位线定理”的两种不同证明方法，就体现了三角形问题和平行四边形问题的相互转化
方法一
已知：如图①，在 △ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 的中点，连接 DE．
求证：DE∥BC，且 DE=12BC．
证明：延长 DE 到点 F，使 EF=DE，连接 FC，DC，AF，
∵AE=CE，EF=DE，
∴ 四边形 ADCF 是平行四边形（依据 a），
∴CF∥DA，CF=DA，
∴CF∥BD，CF=BD，
∴ 四边形 DBCF 是平行四边形（依据 b），
∴DF∥BC，DF=BC，
又 DE=12DF，
∴DE∥BC，且 DE=12BC．
方法二
已知：如图②，在 △ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 的中点，连接 DE．
求证：DE∥BC，且 DE=12BC．
证明：过点 C 作 CF∥AB，与 DE 的延长线交于点 F，
∴∠A=∠FCE，
∵AE=CE，∠AED=∠CEF，
∴△ADE≌△CFE（依据 c），
∴AD=CF（依据 d），
又 AD=BD，
∴CF=BD，
∴ 四边形 DBCF 是平行四边形，
∴DF∥BC，DF=BC（依据 e），
又 DE=12DF，
∴DE∥BC，且 DE=12BC．
写出上述证明过程中所标注的推理依据的具体内容：
依据 a： ；
依据 b： ；
依据 c： ；
依据 d： ；
依据 e： ．
19. 如图，矩形 ABCD 中，AB=4，AD=3，将矩形 ABCD 沿对角线 AC 折叠，点 B 落在点 E 处，AE 交 CD 于点 F．
（1）写出折叠后的图形中的等腰三角形： ；
（2）求 CF 的长．
20. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1：y=kx−1 与直线 l2：y=12x+2 交于点 Am,1．
（1）求 m 的值和直线 l1 的表达式；
（2）设直线 l1，l2 分别与 y 轴交于点 B，C，求 △ABC 的面积；
（3）结合图象，直接写出不等式 kx−1<12x+2 的解集．
21. 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，延长 CD 到 E，使 DE=CD，连接 AE，OE．
（1）求证：四边形 ABDE 是平行四边形；
（2）若 AD=DE=4，求 OE 的长．
22. 某水果商从外地购进某种水果若干箱，需要租赁货车运回．经了解，当地运输公司有大、小两种型号货车，其运力和租金如表：
运力箱/辆租金元/辆大货车45400小货车35320
（1）若该水果商计划租用大、小货车共 8 辆，其中大货车 x 辆，共需付租金 y 元，请写出 y 与 x 的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，若这批水果共 340 箱，所租用的 8 辆货车可一次将购进的水果全部运回，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．
23. 下面给出了我国 31 个省份 2019 年居民人均可支配收入（单位：万元）：
对上述数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
收入x1.0≤x<1.51.5≤x<2.02.0≤x<2.52.5≤x<3.03.0≤x<3.53.5≤x<4.0频数02a732收入x4.0≤x<4.54.5≤x<5.05.0≤x<5.55.5≤x<6.06.0≤x<6.56.5≤x<7.0频数21000b
回答下列问题：
（1）写出表中 a，b 的值；
（2）这 31 个省份 2019 年居民人均可支配收入的中位数为 ；
（3）下列推断合理的是 （填写序号）．
①这 31 个省份 2019 年居民人均可支配收入的平均数不低于 2.5000 万元；
② 2015∼2018 年全国居民人均可支配收入如下表所示（单位：万元）：
年份2015年2016年2017年2018年全国居民人均可支配收入
根据上述信息，2019 年全国居民人均可支配收入继续增长．
24. 有这样一个问题：探究函数 y=∣x−2∣2 的图象与性质．
小明根据学习函数的经验，对函数 y=∣x−2∣2 的图象与性质进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）函数 y=∣x−2∣2 的自变量 x 的取值范围是 ；
（2）如表是 y 与 x 的几组对应值．
x⋯−3−2−101234567⋯y⋯⋯
求 m 的值；
（3）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（4）进一步探究发现该函数的性质：当 x 时，y 随 x 的增大而增大．
25. 已知菱形 ABCD，∠BAD=60∘，直线 BH 不经过点 A，D，点 A 关于直线 BH 的对称点为 E，CE 交直线 BH 于点 P，连接 AP．
（1）如图 1，当直线 BH 经过点 C 时，点 E 恰好在 DB 的延长线上，点 P 与点 C 重合，则 ∠AEP= ∘，线段 EA 与 EP 之间的数量关系为 ；
（2）当直线 BH 不经过点 C，且在菱形 ABCD 外部，∠CBH<30∘ 时，如图 2，
①依题意补全图 2；
②（1）中的结论是否发生改变?若不改变，请证明；若改变，说明理由．
26. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 OABC 是平行四边形，点 A8,0，B10,6．
（1）求直线 AC 的表达式；
（2）点 M 从点 O 出发以每秒 1 个单位长度的速度沿 x 轴向右运动，点 N 从点 A 出发以每秒 3 个单位长度的速度沿 x 轴向左运动，两点同时出发．过点 M，N 作 x 轴的垂线分别交直线 OC，AC 于点 P，Q，猜想四边形 PMNQ 的形状（点 M，N 重合时除外），并证明你的猜想；
（3）在（2）的条件下，当点 M 运动 秒时，四边形 PMNQ 是正方形（直接写出结论）．
答案
第一部分
1. B
2. D
3. B
4. D
5. A
6. C
7. A
8. C
第二部分
9. 2
10. 2
11. 45
12. 6
13. ②
14. 97
15. 116. ①③④
第三部分
17. （1） 原式=62+2−42=32.
（2） 原式=3+12−23+1=4+23−23−2=2.
18. 对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应边相等；平行四边形对边平行且相等
19. （1） △AFC
（2） 设 CF=x，
根据题意可知，∠EAC=∠BAC．
因为四边形 ABCD 是矩形，
所以 CD=AB=4．AB∥CD．
所以 ∠FCA=∠BAC．
所以 ∠EAC=∠FCA．
所以 AF=CF=x．
在 Rt△ADF 中，由勾股定理可得 AD2+DF2=AF2．
所以 32+4−x2=x2．
解得 x=258．
所以 CF=258．
20. （1） 因为点 Am,1 在直线 l2：y=12x+2 上，
所以 12m+2=1．
解得 m=−2．
所以点 A−2,1．
因为点 A−2,1 在直线 l1：y=kx−1 上，
所以 −2k−1=1．
解得 k=−1．
所以直线 l1 的表达式为 y=−x−1．
（2） 因为直线 l1：y=−x−1，直线 l2：y=12x+2，
所以点 B0,−1，点 C0,2．
所以 BC=3．
所以 S△ABC=12×3×2=3．
（3） x>−2．
21. （1） ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵DE=CD，
∴DE=AB，
∴ 四边形 ABDE 是平行四边形．
（2） ∵AD=DE=4，∠ADE=90∘，
∴AE=42，
∴BD=AE=42，
在 Rt△BAD 中，O 为 BD 中点，
∴AO=12BD=22，
∵AD=CD，
∴ 矩形 ABCD 是正方形，
∴∠EAO=∠OAD+∠DAE=45∘+45∘=90∘，
∴OE=210．
22. （1） y=400x+3208−x=80x+2560．
（2） 由 45x+358−x≥340，得 x≥6，
∵y=80x+2560，其中 80>0，
∴y 随 x 的增大而增大，
∴ 当 x=6 时，y 值最小，
∴ 最节省费用的方案为：租用大货车 6 辆，小货车 2 辆．
最低费用为 y=80×6+2560=3040（元）．
23. （1） 12；2．
（2） 2.6262
（3） ①②
24. （1） 全体实数
（2） 1．
（3） 如图所示．
（4） x>2
25. （1） 60；EA=EP
（2） ①补全图形．
②不改变．
证明：连接 EB 并延长 EB 交 CD 于点 Q，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，∠BAD=60∘，
∴∠ABC=120∘，BA=BC，
∵ 点 A 与点 E 关于直线 BH 对称，
∴PA=PE，BA=BE，
∴BE=BC，
∴∠BAE=∠BEA，∠BEC=∠BCE，
∴∠ABQ=2∠BEA，∠CBQ=2∠BEC，
∵∠ABC=∠ABQ+∠CBQ，∠AEP=∠BEA+∠BEC，
∴∠AEP=12∠ABC=60∘，
∴△AEP 是等边三角形，
∴EA=EP．
26. （1） ∵ 四边形 OABC 是平行四边形，A8,0，B10,6，
∴C2,6，
设直线 AC 的表达式为 y=kx+b，
∵ 点 A8,0，C2,6，
∴8k+b=0,2k+b=6.
解得 k=−1,b=8.
∴ 直线 AC 的表达式为 y=−x+8．
（2） 猜想：四边形 PMNQ 是矩形．
证明：如图，
∵ 点 C2,6，
∴ 直线 OC 的表达式为 y=3x，
设点 M，N 的运动时间为 t 秒，则 OM=t，AN=3t，
∴Mt,0，N8−3t,0，
∵PM，QN 垂直于 x 轴，点 P，Q 分别在直线 OC，AC 上，
∴Pt,3t，Q8−3t,3t，
∴PM=QN=3t，
∵PM∥QN，
∴ 四边形 PMNQ 是平行四边形，
又 PM⊥x轴，
∴ 平行四边形 PMNQ 是矩形．
（3） 87 或 8
一、选择题（共8小题；共40分）
1. 若二次根式 x−8 有意义，则实数 x 的取值范围是
A. x≠8B. x≥8C. x≤8D. x=8
2. 满足下列关系的三条线段 a，b，c 组成的三角形一定是直角三角形的是
A. a
3. 若菱形的两条对角线的长分别为 6 和 10，则菱形的面积为
A. 60B. 30C. 24D. 15
4. 下列曲线中，表示 y 是 x 的函数的是
A. B.
C. D.
5. 《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何?”其内容可以表述为：“有一面墙，高一丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动 1 尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺?”（说明：1 丈 =10 尺）
设木杆长 x 尺，依题意，下列方程正确的是
A. x2=x−12+102B. x+12=x2+102
C. x2=x−12+12D. x+12=x2+12
6. 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，AB=2，∠ABO=60∘，线段 EF 绕点 O 转动，与 AD，BC 分别相交于点 E，F．当 ∠AOE=60∘ 时，EF 的长为
A. 1B. 3C. 2D. 4
7. 想要计算一组数据：197，202，200，201，199，198，203 的方差 s2，在计算平均数的过程中，将这组数据的每一个数都减去 200，得到一组新数据 −3，2，0，1，−1，−2，3，且新的这组数据的方差为 4，则 s2 为
A. 4B. 16C. 196D. 204
8. 已知 O 为数轴原点．如图，
（1）在数轴上截取线段 OA=2；
（2）过点 A 作直线 n 垂直于 OA；
（3）在直线 n 上截取线段 AB=3；
（4）以 O 为圆心，OB 的长为半径作弧，交数轴于点 C．
根据以上作图过程及所作图形，有如下四个结论：
① OC=5；
② OB=13；
③ 3
上述结论中，所有正确结论的序号是
A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④
二、填空题（共8小题；共40分）
9. 已知 x=5+3，y=5−3，则 xy= ．
10. 下列命题，①对顶角相等；②两直线平行，同位角相等；③平行四边形的对角相等．其中逆命题是真命题的命题共有 个．
11. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的面积均为 1，正方形 ABCM，CDEN，MNPQ 的顶点都在格点上，则正方形 MNPQ 的面积为 ．
12. 某校八年级同学 2020 年 4 月平均每天自主学习时间统计如图所示，则这组数据的众数是 ．
13. 下列问题，①某登山队大本营所在地气温为 4∘C，海拔每升高 1 km 气温下降 6∘C，登山队员由大本营向上登高 x km，他们所在位置的气温是 y∘C；②铜的密度为 8.9 g/cm3，铜块的质量 y g 随它的体积 x cm3 的变化而变化；③圆的面积 y 随半径 x 的变化而变化．其中 y 与 x 的函数关系是正比例函数的是 （只需填写序号）．
14. 为了践行“首都市民卫生健康公约”，某班级举办“七步洗手法”比赛活动，小明的单项成绩如下表所示（各项成绩均按百分制计）：
项目书面测试实际操作宣传展示成绩分969896
若按书面测试占 30% 、实际操作占 50% 、宣传展示占 20%，计算参赛个人的综合成绩（百分制），则小明的最后得分是 ．
15. 在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 y=2x+3 向下平移 n 个单位长度后，与直线 y=−x+2 的交点在第一象限，则 n 的取值范围是 ．
16. 如图 1，在矩形 ABCD 中，动点 P 从点 B 出发，沿 B→C→D→A 的路径匀速运动到点 A 处停止．设点 P 运动的路程为 x，△PAB 的面积为 y，表示 y 与 x 的函数关系的图象如图 2 所示，则下列结论：① a=4；② b=20；③当 x=9 时，点 P 运动到点 D 处；④当 y=9 时，点 P 在线段 BC 或 DA 上．其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（共10小题；共130分）
17. 计算．
（1）26+23×3−32．
（2）已知 x=3+1，求代数式 x2−2x 的值．
18. 阅读下面材料，并回答问题．
在几何学习中，经常通过添加辅助线构造图形，将未知问题转化为已知问题．以下给出的“三角形中位线定理”的两种不同证明方法，就体现了三角形问题和平行四边形问题的相互转化
方法一
已知：如图①，在 △ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 的中点，连接 DE．
求证：DE∥BC，且 DE=12BC．
证明：延长 DE 到点 F，使 EF=DE，连接 FC，DC，AF，
∵AE=CE，EF=DE，
∴ 四边形 ADCF 是平行四边形（依据 a），
∴CF∥DA，CF=DA，
∴CF∥BD，CF=BD，
∴ 四边形 DBCF 是平行四边形（依据 b），
∴DF∥BC，DF=BC，
又 DE=12DF，
∴DE∥BC，且 DE=12BC．
方法二
已知：如图②，在 △ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 的中点，连接 DE．
求证：DE∥BC，且 DE=12BC．
证明：过点 C 作 CF∥AB，与 DE 的延长线交于点 F，
∴∠A=∠FCE，
∵AE=CE，∠AED=∠CEF，
∴△ADE≌△CFE（依据 c），
∴AD=CF（依据 d），
又 AD=BD，
∴CF=BD，
∴ 四边形 DBCF 是平行四边形，
∴DF∥BC，DF=BC（依据 e），
又 DE=12DF，
∴DE∥BC，且 DE=12BC．
写出上述证明过程中所标注的推理依据的具体内容：
依据 a： ；
依据 b： ；
依据 c： ；
依据 d： ；
依据 e： ．
19. 如图，矩形 ABCD 中，AB=4，AD=3，将矩形 ABCD 沿对角线 AC 折叠，点 B 落在点 E 处，AE 交 CD 于点 F．
（1）写出折叠后的图形中的等腰三角形： ；
（2）求 CF 的长．
20. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1：y=kx−1 与直线 l2：y=12x+2 交于点 Am,1．
（1）求 m 的值和直线 l1 的表达式；
（2）设直线 l1，l2 分别与 y 轴交于点 B，C，求 △ABC 的面积；
（3）结合图象，直接写出不等式 kx−1<12x+2 的解集．
21. 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，延长 CD 到 E，使 DE=CD，连接 AE，OE．
（1）求证：四边形 ABDE 是平行四边形；
（2）若 AD=DE=4，求 OE 的长．
22. 某水果商从外地购进某种水果若干箱，需要租赁货车运回．经了解，当地运输公司有大、小两种型号货车，其运力和租金如表：
运力箱/辆租金元/辆大货车45400小货车35320
（1）若该水果商计划租用大、小货车共 8 辆，其中大货车 x 辆，共需付租金 y 元，请写出 y 与 x 的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，若这批水果共 340 箱，所租用的 8 辆货车可一次将购进的水果全部运回，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．
23. 下面给出了我国 31 个省份 2019 年居民人均可支配收入（单位：万元）：
对上述数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
收入x1.0≤x<1.51.5≤x<2.02.0≤x<2.52.5≤x<3.03.0≤x<3.53.5≤x<4.0频数02a732收入x4.0≤x<4.54.5≤x<5.05.0≤x<5.55.5≤x<6.06.0≤x<6.56.5≤x<7.0频数21000b
回答下列问题：
（1）写出表中 a，b 的值；
（2）这 31 个省份 2019 年居民人均可支配收入的中位数为 ；
（3）下列推断合理的是 （填写序号）．
①这 31 个省份 2019 年居民人均可支配收入的平均数不低于 2.5000 万元；
② 2015∼2018 年全国居民人均可支配收入如下表所示（单位：万元）：
年份2015年2016年2017年2018年全国居民人均可支配收入
根据上述信息，2019 年全国居民人均可支配收入继续增长．
24. 有这样一个问题：探究函数 y=∣x−2∣2 的图象与性质．
小明根据学习函数的经验，对函数 y=∣x−2∣2 的图象与性质进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）函数 y=∣x−2∣2 的自变量 x 的取值范围是 ；
（2）如表是 y 与 x 的几组对应值．
x⋯−3−2−101234567⋯y⋯⋯
求 m 的值；
（3）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（4）进一步探究发现该函数的性质：当 x 时，y 随 x 的增大而增大．
25. 已知菱形 ABCD，∠BAD=60∘，直线 BH 不经过点 A，D，点 A 关于直线 BH 的对称点为 E，CE 交直线 BH 于点 P，连接 AP．
（1）如图 1，当直线 BH 经过点 C 时，点 E 恰好在 DB 的延长线上，点 P 与点 C 重合，则 ∠AEP= ∘，线段 EA 与 EP 之间的数量关系为 ；
（2）当直线 BH 不经过点 C，且在菱形 ABCD 外部，∠CBH<30∘ 时，如图 2，
①依题意补全图 2；
②（1）中的结论是否发生改变?若不改变，请证明；若改变，说明理由．
26. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 OABC 是平行四边形，点 A8,0，B10,6．
（1）求直线 AC 的表达式；
（2）点 M 从点 O 出发以每秒 1 个单位长度的速度沿 x 轴向右运动，点 N 从点 A 出发以每秒 3 个单位长度的速度沿 x 轴向左运动，两点同时出发．过点 M，N 作 x 轴的垂线分别交直线 OC，AC 于点 P，Q，猜想四边形 PMNQ 的形状（点 M，N 重合时除外），并证明你的猜想；
（3）在（2）的条件下，当点 M 运动 秒时，四边形 PMNQ 是正方形（直接写出结论）．
答案
第一部分
1. B
2. D
3. B
4. D
5. A
6. C
7. A
8. C
第二部分
9. 2
10. 2
11. 45
12. 6
13. ②
14. 97
15. 1
第三部分
17. （1） 原式=62+2−42=32.
（2） 原式=3+12−23+1=4+23−23−2=2.
18. 对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应边相等；平行四边形对边平行且相等
19. （1） △AFC
（2） 设 CF=x，
根据题意可知，∠EAC=∠BAC．
因为四边形 ABCD 是矩形，
所以 CD=AB=4．AB∥CD．
所以 ∠FCA=∠BAC．
所以 ∠EAC=∠FCA．
所以 AF=CF=x．
在 Rt△ADF 中，由勾股定理可得 AD2+DF2=AF2．
所以 32+4−x2=x2．
解得 x=258．
所以 CF=258．
20. （1） 因为点 Am,1 在直线 l2：y=12x+2 上，
所以 12m+2=1．
解得 m=−2．
所以点 A−2,1．
因为点 A−2,1 在直线 l1：y=kx−1 上，
所以 −2k−1=1．
解得 k=−1．
所以直线 l1 的表达式为 y=−x−1．
（2） 因为直线 l1：y=−x−1，直线 l2：y=12x+2，
所以点 B0,−1，点 C0,2．
所以 BC=3．
所以 S△ABC=12×3×2=3．
（3） x>−2．
21. （1） ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵DE=CD，
∴DE=AB，
∴ 四边形 ABDE 是平行四边形．
（2） ∵AD=DE=4，∠ADE=90∘，
∴AE=42，
∴BD=AE=42，
在 Rt△BAD 中，O 为 BD 中点，
∴AO=12BD=22，
∵AD=CD，
∴ 矩形 ABCD 是正方形，
∴∠EAO=∠OAD+∠DAE=45∘+45∘=90∘，
∴OE=210．
22. （1） y=400x+3208−x=80x+2560．
（2） 由 45x+358−x≥340，得 x≥6，
∵y=80x+2560，其中 80>0，
∴y 随 x 的增大而增大，
∴ 当 x=6 时，y 值最小，
∴ 最节省费用的方案为：租用大货车 6 辆，小货车 2 辆．
最低费用为 y=80×6+2560=3040（元）．
23. （1） 12；2．
（2） 2.6262
（3） ①②
24. （1） 全体实数
（2） 1．
（3） 如图所示．
（4） x>2
25. （1） 60；EA=EP
（2） ①补全图形．
②不改变．
证明：连接 EB 并延长 EB 交 CD 于点 Q，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，∠BAD=60∘，
∴∠ABC=120∘，BA=BC，
∵ 点 A 与点 E 关于直线 BH 对称，
∴PA=PE，BA=BE，
∴BE=BC，
∴∠BAE=∠BEA，∠BEC=∠BCE，
∴∠ABQ=2∠BEA，∠CBQ=2∠BEC，
∵∠ABC=∠ABQ+∠CBQ，∠AEP=∠BEA+∠BEC，
∴∠AEP=12∠ABC=60∘，
∴△AEP 是等边三角形，
∴EA=EP．
26. （1） ∵ 四边形 OABC 是平行四边形，A8,0，B10,6，
∴C2,6，
设直线 AC 的表达式为 y=kx+b，
∵ 点 A8,0，C2,6，
∴8k+b=0,2k+b=6.
解得 k=−1,b=8.
∴ 直线 AC 的表达式为 y=−x+8．
（2） 猜想：四边形 PMNQ 是矩形．
证明：如图，
∵ 点 C2,6，
∴ 直线 OC 的表达式为 y=3x，
设点 M，N 的运动时间为 t 秒，则 OM=t，AN=3t，
∴Mt,0，N8−3t,0，
∵PM，QN 垂直于 x 轴，点 P，Q 分别在直线 OC，AC 上，
∴Pt,3t，Q8−3t,3t，
∴PM=QN=3t，
∵PM∥QN，
∴ 四边形 PMNQ 是平行四边形，
又 PM⊥x轴，
∴ 平行四边形 PMNQ 是矩形．
（3） 87 或 8
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