高中数学人教版新课标A选修1-12.2双曲线教案

这是一份高中数学人教版新课标A选修1-12.2双曲线教案，共24页。


第1课时　双曲线及其标准方程

(1)双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
(2)双曲线的标准方程
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形


标准方程
－=1(a>0，b>0)
－=1(a>0，b>0)
焦点坐标
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
a，b，c
的关系
c2=a2＋b2

[问题思考]
(1)双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？
提示：双曲线的一支．
(2)在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”，那么“常数等于|F1F2|”，“常数大于|F1F2|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？
提示：
①如果定义中常数等于|F1F2|，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)．
②如果定义中常数大于|F1F2|，此时动点轨迹不存在．
③如果定义中常数为0，此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．

(3)如何判断方程－=1(a>0，b>0)和－=1(a>0，b>0)所表示双曲线的焦点位置？
提示：若x2的系数为正，则焦点在x轴上，若y2的系数为正，则焦点在y轴上．
(4)方程＋=1表示哪种曲线呢？
提示：当m=n>0时表示圆；当m>n>0或n>m>0时表示椭圆；当mn<0时表示双曲线．
(5)椭圆标准方程和双曲线标准方程中的a，b，c之间的关系有什么区别？
提示：在椭圆中a2=b2＋c2，在双曲线中c2=a2＋b2．


[思考]　要求双曲线的标准方程，应确定哪些条件？
名师指津：(1)确定焦点的位置；(2)确定a和b的值．
讲一讲
1．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)经过点P，Q；
(2)c=，经过点(－5，2)，焦点在x轴上．
[尝试解答]　(1)法一：若焦点在x轴上，设双曲线的方程为－=1(a>0，b>0)，
由于点P和Q在双曲线上，
所以解得(舍去)．
若焦点在y轴上，设双曲线的方程为－=1(a>0，b>0)，
将P、Q两点坐标代入可得解得
所以双曲线的标准方程为－=1.

法二：设双曲线方程为＋=1(mn<0)．
∵P、Q两点在双曲线上，
∴解得
∴所求双曲线的标准方程为－=1.
(2)法一：依题意可设双曲线方程为－=1(a>0，b>0)．
依题设有解得
∴所求双曲线的标准方程为－y2=1.
法二：∵焦点在x轴上，c=，
∴设所求双曲线方程为－=1(其中0<λ<6)．
∵双曲线经过点(－5，2)，
∴－=1，∴λ=5或λ=30(舍去)．
∴所求双曲线的标准方程是－y2=1.

求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a，b的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2＋ny2=1(mn<0)，通过解方程组即可确定m、n，避免了讨论，实为一种好方法．
练一练
1．求满足下列条件的双曲线方程：
(1)焦点在y轴上，且过点(3，－4)和；
(2)与双曲线－=1有公共焦点，且过点(3，2)．



解：(1)由已知可设所求双曲线方程为－=1(a>0，b>0)，
则解得
∴双曲线的方程为－=1.
(2)法一：设双曲线方程为－=1.
由题意易求得c=2.
又双曲线过点(3，2)，
∴－=1.
又∵a2＋b2=(2)2，
∴a2=12，b2=8.
故所求双曲线的方程为－=1.
法二：设双曲线方程为－=1(－4 将点(3，2)代入得k=4，
∴所求双曲线方程为－=1.

讲一讲
2．如图，若F1，F2是双曲线－=1的两个焦点．

(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|=32，试求△F1PF2的面积．
[尝试解答]
双曲线的标准方程为－=1，故a=3，b=4，c==5.
(1)由双曲线的定义得=2a=6，
又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，
假设点M到另一个焦点的距离等于x，
则|16－x|=6，解得x=10或x=22.
故点M到另一个焦点的距离为10或22.
(2)将=2a=6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|=36，
∴|PF1|2＋|PF2|2=36＋2|PF1|·|PF2|=36＋2×32=100.
在△F1PF2中，由余弦定理得
cos ∠F1PF2===0，
∴∠F1PF2=90°，
∴S△F1PF2=|PF1|·|PF2|=×32=16.

(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据=2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c－a)．
(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件=2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．
练一练
2．已知双曲线－=1的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积．
解：由－=1，得a=3，b=4，c=5.
由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|=±6，
|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，
所以102=(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|=64，
则S△F1PF2=|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2=×64×=16.







讲一讲
3．如图，在△ABC中，已知|AB|=4，且三内角A，B，C满足2sin A＋sin C=2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．

[尝试解答]　
以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，

则A(－2，0)，B(2，0)．
由正弦定理，得sin A=，sin B=，sin C=(R为△ABC的外接圆半径)．
因为2sin A＋sin C=2sin B，所以2a＋c=2b，即b－a=，
从而有|CA|－|CB|=|AB|=2<|AB|.
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．
因为a=，c=2，所以b2=c2－a2=6，
即所求轨迹方程为－=1(x>)．

(1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：①列出等量关系，化简得到方程；②寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程．
(2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．
练一练
3．如图所示，已知定圆F1：(x＋5)2＋y2=1，定圆F2：(x－5)2＋y2=42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．



解：圆F1：(x＋5)2＋y2=1，圆心F1(－5，0)，半径r1=1；
圆F2：(x－5)2＋y2=42，圆心F2(5，0)，半径r2=4.
设动圆M的半径为R，
则有|MF1|=R＋1，|MF2|=R＋4，
∴|MF2|－|MF1|=3<10=|F1F2|.
∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a=，c=5，
于是b2=c2－a2=.
∴动圆圆心M的轨迹方程为－=1.
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是双曲线的定义及标准方程的求法，难点是双曲线定义的应用．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)双曲线标准方程的求法，见讲1；
(2)利用双曲线的定义解决与焦点有关的三角形问题，见讲2；
(3)求与双曲线有关的轨迹问题，见讲3.
3．双曲线定义中=2a(2a<|F1F2|)不要漏了绝对值符号，当2a=|F1F2|时表示两条射线．
在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立．要注意与椭圆中a，b，c的区别．在椭圆中a2=b2＋c2，在双曲线中c2=a2＋b2.这是本节课的两个易错点．

课时达标训练（一）
[即时达标对点练]
题组1　双曲线的标准方程
1．双曲线－=1的焦距为(　　)
A．3 B．4 C．3 D．4
答案为：D；
解析：由双曲线－=1可知，a=，b=，c2=a2＋b2=12.∴c=2，∴焦距为2c=4.
2．已知双曲线的a=5，c=7，则该双曲线的标准方程为(　　)
A.－=1 B.－=1
C.－=1或 －=1 D.－=0或 －=0
答案为：C；
解析：由于焦点所在轴不确定，∴有两种情况．
又∵a=5，c=7，∴b2=72－52=24.
3．若方程－=1表示双曲线，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－1，3) B．(－1，＋∞) C．(3，＋∞) D．(－∞，－1)
答案为：B；
解析：依题意，应有m＋1>0，即m>－1.
4．焦点分别为(－2，0)，(2，0)且经过点(2，3)的双曲线的标准方程为(　　)
A．x2－=1 B.－y2=1 C．y2－=1 D.－=1
答案为：A；
解析：由双曲线定义知，2a=－=5－3=2，∴a=1.
又c=2，∴b2=c2－a2=4－1=3，因此所求双曲线的标准方程为x2－=1.
题组2　双曲线定义的应用
5．已知F1(－8，3)，F2(2，3)，动点P满足|PF1|－|PF2|=10，则P点的轨迹是(　　)
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．直线 D．一条射线
答案为：D；
解析：F1，F2是定点，且|F1F2|=10，所以满足条件|PF1|－|PF2|=10的点P的轨迹应为一条射线．
6．双曲线 －=1的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P到焦点F1的距离是12，
则点P到焦点F2的距离是(　　)
A．17 B．7 C．7或17 D．2或22
答案为：D；
解析：依题意及双曲线定义知，=10，即12－|PF2|=±10，
∴|PF2|=2或22，故选D.




7．若椭圆＋=1(m>n>0)和双曲线－=1(s，t>0)有相同的焦点F1和F2，而P是这两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是(　　)
A．m－s B.(m－s) C．m2－s2 D.－
答案为：A；
解析：不妨设点P是两曲线在第一象限内的交点，由题意得
解得则|PF1|·|PF2|=(＋)(－)=m－s.
题组3　与双曲线有关的轨迹问题
8．已知动圆M过定点B(－4，0)，且和定圆(x－4)2＋y2=16相切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A.－=1(x>0) B.－=1(x<0) C.－=1 D.－=1
答案为：C；
解析：设动圆M的半径为r，依题意有|MB|=r，另设A(4，0)，则有|MA|=r±4，
即|MA|－|MB|=±4，亦即动圆圆心M到两定点A、B的距离之差的绝对值等于常数4，
又4<|AB|，因此动点M的轨迹为双曲线，且c=4，2a=4，∴a=2，a2=4，b2=c2－a2=12，
故轨迹方程是－=1.

9．△ABC的一边的两个顶点B(－a，0)，C(a，0)(a>0)，另两边的斜率之积等于m(m≠0)．
求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形．

解：设顶点A的坐标为(x，y)，则kAB=，kAC=.
由题意，得·=m，即－=1(y≠0)．
当m>0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(两顶点除外)；
当m<0且m≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交点)，其中当－1




[能力提升综合练]
1．双曲线8kx2－ky2=8的一个焦点坐标为(0，3)，则k的值是(　　)
A．1　　　 B．－1　　　 C.　　　 D．－
答案为：B；
解析：原方程可化为－=1，由焦点坐标是(0，3)可知c=3，且焦点在y轴上，
∴k<0.c2=－－=－=9，∴k=－1.
2．椭圆＋=1与双曲线－=1有相同的焦点，则a的值是(　　)
A. B．1或－2 C．1或 D．1
答案为：D；
解析：由于a>0，0 3．已知定点A，B且|AB|=4，动点P满足|PA|－|PB|=3，则|PA|的最小值为(　　)
A. B. C. D．5
答案为：C；
解析：如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，

当P在M处时，|PA|最小，最小值为a＋c=＋2=.
4．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(－，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0，2)，则该双曲线的方程是(　　)
A.－y2=1 B．x2－=1 C.－=1 D.－=1
答案为：B；
解析：由题意可设双曲线方程为－=1，
又由中点坐标公式可得P(，4)，∴－=1，解得a2=1.



5．已知方程＋=1表示的曲线为C.给出以下四个判断：
①当1 ②当t>4或t<1时， 曲线C表示双曲线；
③若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1 ④若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t>4.
其中判断正确的是________(只填正确命题的序号)．
答案为：②③④.
解析：①错误，当t=时，曲线C表示圆；
②正确，若C为双曲线，则(4－t)(t－1)<0，∴t<1或t>4;
③正确，若C为焦点在x轴上的椭圆，则4－t>t－1>0.∴1 ④正确，若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则∴t>4.
6．若双曲线x2－4y2=4的左、右焦点分别是F1、F2，过F2的直线交右支于A、B两点，
若|AB|=5，则△AF1B的周长为________．
答案为：18
解析：由双曲线定义可知|AF1|=2a＋|AF2|=4＋|AF2|；|BF1|=2a＋|BF2|=4＋|BF2|，
∴|AF1|＋|BF1|=8＋|AF2|＋|BF2|=8＋|AB|=13.
△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|=18.
7．双曲线－=1的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上．若PF1⊥PF2，求点P到x轴的距离．
解：设点P为(x0，y0)，而F1(－5，0)，F2(5，0)，

即(－5－x0)(5－x0)＋(－y0)·(－y0)=0，
整理，得x＋y=25.　①
∵P(x0，y0)在双曲线上，∴－=1.　②
联立①②，得y=，即|y0|=.
因此点P到x轴的距离为.

8．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2=36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|=6，试判别△MF1F2的形状．
解：(1)椭圆方程可化为＋=1，焦点在x轴上，且c==，
故设双曲线方程为－=1，
则有解得a2=3，b2=2，
所以双曲线的标准方程为－=1.
(2)不妨设点M在右支上，则有|MF1|－|MF2|=2，
又|MF1|＋|MF2|=6，故解得|MF1|=4，|MF2|=2.
又|F1F2|=2，
因此在△MF1F2中，边MF1最长，
因为cos ∠MF2F1=<0，
所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2为钝角三角形．

















第2课时　双曲线的简单几何性
[核心必知]
(1)双曲线的简单几何性质

标准方程
－=1(a>0，b>0)
－=1(a>0，b>0)


图形







性
质
焦点
(±c，0)
(0，±c)
焦距
2c
2c
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≥a或y≤－a，x∈R
对称性
对称轴：x轴和y轴，中心：(0，0)
顶点
(±a，0)
(0，±a)
轴长
实轴长=2a，虚轴长=2b
离心率
e=∈(1，＋∞)
渐近线
y=±x
y=±x
(2)等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是y=±x.
[问题思考]
(1)如何用a，b表示双曲线的离心率？
提示：e===．
(2)椭圆的离心率反映了椭圆的扁圆程度．那么，双曲线的离心率与开口大小有关系吗？怎样反映这种关系？
提示：e==，当e越大时，双曲线开口越大；当e越小，接近于1时，双曲线开口越小．
(3)双曲线－=1与－=1的渐近线有什么关系？
提示：双曲线－=1与－=1的渐近线相同．
(4)等轴双曲线的离心率为何值？
提示：e===，即等轴双曲线的离心率为．


讲一讲
1．求双曲线9x2－16y2＋144=0的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出这个双曲线的草图．
[尝试解答]　
把方程9x2－16y2＋144=0化为标准方程为－=1.
由此可知，半实轴长a=3，半虚轴长b=4，c===5，
焦点坐标为(0，－5)，(0，5)；离心率e==；
渐近线方程为y=±x=±x.
双曲线的草图如图所示．


已知双曲线方程求其几何性质时，若不是标准方程的先化成标准方程，确定方程中a，b的对应值，利用c2=a2＋b2得到c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．




练一练
1．求双曲线4y2－9x2=－4的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出该双曲线的草图．
解：将双曲线方程化成标准方程－=1，
可知半实轴长a==，半虚轴长b==1.
于是有c===，
所以焦点坐标为，离心率为e==，渐近线方程为y=±x，即y=±x.
双曲线的草图如图所示.


讲一讲
2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)一个焦点为(0，13)，且离心率为；
(2)与双曲线x2－2y2=2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．
[尝试解答]　
(1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c=13，又=，
所以a=5，b==12，
故其标准方程为－=1.
(2)∵所求双曲线与双曲线x2－2y2=2有公共渐近线，
∴设所求双曲线方程为x2－2y2=λ.
又双曲线过点M(2，－2)，则
22－2·(－2)2=λ，即λ=－4.
∴所求双曲线方程为－=1.


(1)根据双曲线几何性质求标准方程时，常用方法是先定型(焦点在哪个轴上)，再定量(确定a2，b2的值)．要特别注意a2＋b2=c2的应用，并注意不要与椭圆中的关系相混淆．
(2)如果已知双曲线的方程为标准形式，但不知焦点所处的位置，也可把双曲线方程设为mx2－ny2=1(m，n同号)，然后由条件求m，n.
(3)与双曲线－=1具有共同渐近线的双曲线的标准方程可设为－=λ(λ≠0)，然后再结合其他条件求出λ的值即可得到双曲线方程．
练一练
2．求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：
(1)与椭圆＋=1有公共焦点，且离心率e=；
(2)虚轴长为12，离心率为.
解：(1)设双曲线的方程为－=1(4<λ<9)，则a2=9－λ，b2=λ－4，
∴c2=a2＋b2=5.
∵e=，
∴e2===，解得λ=5，
∴所求双曲线的方程为－y2=1.
(2)设双曲线标准方程为－=1(a>0，b>0)或－=1(a>0，b>0)．由题设知2b=12，=且c2=a2＋b2，
∴b=6，c=10，a=8.
∴双曲线的标准方程为－=1或－=1.

讲一讲
3．(1)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为　　(　　)
A. B．2 C. D.
(2)过双曲线C：－=1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．
[尝试解答]　
(1)不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－=1(a>0，b>0)，
则|BM|=|AB|=2a，∠MBx=180°－120°=60°，∴M点的坐标为.
∵M点在双曲线上， ∴－=1，a=b，∴c=a，e==.故选D.
(2)如图所示，

不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为，又直线l过右焦点F(c，0)，
则直线l的方程为y=(x－c)．因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得－=1，
化简得y=－b或y=b(点P在x轴下方，故舍去)，故点P的坐标为(2a，－b)，
代入直线方程得－b=(2a－c)，化简可得离心率e==2＋.
[答案](1)D　(2)2＋.

求双曲线离心率的常用方法
(1)依据条件求出a，c.计算e=；
(2)依据条件建立a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化成离心率e的方程求解，
另一种方法是消去c转化成含的方程，求出后利用e=求解．
练一练
3．已知F1，F2是双曲线－=1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q=90°，求双曲线的离心率．
解：设F1(c，0)，将x=c代入双曲线的方程得－=1，则y=±.
由|PF2|=|QF2|，∠PF2Q=90°，知|PF1|=|F1F2|，∴=2c，∴b2=2ac.
∴c2－2ac－a2=0，∴（）2－2×－1=0.即e2－2e－1=0.∴e=1＋或e=1－(舍去)．
∴所求双曲线的离心率为1＋.

讲一讲
4．已知直线l：x＋y=1与双曲线C：－y2=1(a>0)．
(1)若a=，求l与C相交所得的弦长；
(2)若l与C有两个不同的交点，求双曲线C的离心率e的取值范围．
[尝试解答]　
(1)当a=时，双曲线C的方程为4x2－y2=1，
联立消去y，得3x2＋2x－2=0.
设两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2=－，x1x2=－，
则|AB|=
=
=·=×=.
(2)将y=－x＋1代入双曲线－y2=1，
得(1－a2)x2＋2a2x－2a2=0，
∴解得0 ∵双曲线的离心率e==，∴e>且e≠.
即离心率e的取值范围是∪(，＋∞)．

(1)判断直线与双曲线的位置关系时，通常是将直线方程与双曲线方程联立方程组，方程组解的个数就是直线与双曲线交点的个数，联立方程消去x或y中的一个后，得到的形如二次方程的式子中，要注意x2项或y2项系数是否为零的情况，否则容易漏解．
(2)直线y=kx＋b与双曲线相交所得的弦长d=·|x1－x2|= |y1－y2|.
练一练
4．若直线y=kx－1与双曲线x2－y2=4只有一个公共点，则k的值等于________．
解析：由得(1－k2)x2＋2kx－5=0.①
直线与双曲线只有一个公共点，则①式只有一个解．
当1－k2=0，即k=±1时，①式只有一个解；
当1－k2≠0时，应满足Δ=4k2＋20(1－k2)=0，
解得k=±，故k的值为±1或±.
答案为：±1或±
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是双曲线几何性质的求法，难点是直线与双曲线的位置关系．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)由双曲线的标准方程研究几何性质，见讲1；
(2)由双曲线的几何性质求标准方程，见讲2；
(3)双曲线离心率的求法，见讲3.
3．直线与双曲线有一个公共点有两种情况：(1)直线与双曲线相切；(2)直线与双曲线的渐近线平行．这也是本节课的易错点．
4．渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程－=1(a>0，b>0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax±by=0变为a2x2－b2y2=λ(λ≠0)，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程．


课时达标训练（二）
[即时达标对点练]
题组1　根据双曲线的标准方程研究几何性质
1．双曲线mx2＋y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为(　　)
A．－ B．－4 C．4 D.
答案为：A；
解析：由双曲线方程mx2＋y2=1，知m<0，则双曲线方程可化为y2－=1，
则a2=1，a=1.又虚轴长是实轴长的2倍，∴b=2，∴－=b2=4，∴m=－.


2．双曲线－=1的渐近线方程是(　　)
A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
答案为：A；
解析：由－=0，得y2=x2，即y=±x.
3．已知双曲线－=1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案为：B；
解析：由题意可知，此双曲线为等轴双曲线．等轴双曲线的实轴与虚轴相等，
则a=b，c==a，于是e==.
题组2　由双曲线的几何性质求标准方程
4．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线方程为(　　)
A.－=1 B.－=1 C.－=1 D.－=1
答案为：A；
解析：由题意知c=4，焦点在x轴上，所以（）2＋1=e2=4，所以=，
又由a2＋b2=4a2=c2=16，得a2=4，b2=12.所以双曲线方程为－=1.
5．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12=0上的等轴双曲线方程是(　　)
A．x2－y2=8 B．x2－y2=4 C．y2－x2=8 D．y2－x2=4
答案为：A；
解析：令y=0得，x=－4，∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4，0)，
∴c=4，a2=c2=×16=8，故选A.
6．已知双曲线两顶点间距离为6，渐近线方程为y=±x，求双曲线的标准方程．
解：设以y=±x为渐近线的双曲线方程为－=λ(λ≠0)，
当λ>0时，a2=4λ，∴2a=2=6⇒λ=.
当λ<0时，a2=－9λ，∴2a=2=6⇒λ=－1.
∴双曲线的标准方程为－=1和－=1.
题组3　求双曲线的离心率
7．设F1，F2分别为双曲线－=1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得
(|PF1|－|PF2|)2=b2－3ab，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B. C．4 D.
答案为：D；
解析：由双曲线的定义知，(|PF1|－|PF2|)2=4a2，
所以4a2=b2－3ab，即－3·=4，解得=4(－1舍去)．
因为双曲线的离心率e==，所以e=，故选D.
8．已知F1，F2是双曲线－=1(a>0，b>0)的两个焦点，以线段F1F2为边作等边三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率e=________．
答案为：＋1.
解析：依题意知，F1(－c，0)，F2(c，0)，不妨设M在x轴上方，则M(0，c)，
所以MF1的中点为，代入双曲线方程可得
－=1，又c2=a2＋b2，所以－=1，整理得e4－8e2＋4=0，
解得e2=4＋2(e2=4－2<1舍去)，所以e=＋1.
题组4　直线与双曲线的位置关系
9．已知双曲线方程为x2－=1，过P(1，0)的直线l与双曲线只有一个公共点，
则l的条数为(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
答案为：B；
解析：∵双曲线方程为x2－=1，故P(1，0)为双曲线右顶点，
∴过P点且与双曲线只有一个公共点的直线共3条(一条切线和两条与渐近线平行的直线)．
10．若直线y=kx＋2与双曲线x2－y2=6的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是________．
答案为：（-，-1）.
解析：由得x2－(kx＋2)2=6.则(1－k2)x2－4kx－10=0有两个不同的正根．
则得－ [能力提升综合练]
1．如图，ax－y＋b=0和bx2＋ay2=ab(ab≠0)所表示的曲线只可能是(　　)

答案为：C；
解析：直线方程可化为y=ax＋b，曲线方程可化为＋=1，若a>0，b>0，则曲线表示椭圆，可排除A、B、D，若a>0，b<0，C符合．
2．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴长相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为(　　)
A．x2－y2=2　　 B．x2－y2= C．x2－y2=1 D．x2－y2=
答案为：A；
解析：设双曲线方程为x2－y2=λ(λ>0)，渐近线方程为y=±x，
焦点到渐近线的距离=，∴c=2.∵2λ=c2=4，∴λ=2.
3．已知双曲线C：－=1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　　)
A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
答案为：C；
解析：因为双曲线－=1的焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为y=±x.
又离心率为e====，所以=，所以双曲线的渐近线方程为y=±x.
4．已知椭圆C1：＋=1(a>b>0)与双曲线C2：x2－=1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则(　　)
A．a2= B．a2=13 C．b2= D．b2=2
答案为：C；
解析：双曲线的渐近线方程为y=±2x，设直线AB：y=2x与椭圆C1的一个交点为C(第一象限的交点)，则|OC|=，∵tan ∠COx=2，∴sin ∠COx=，cos ∠COx=，
则C的坐标为，代入椭圆方程得＋=1，∴a2=11b2.
∵5=a2－b2，∴b2=.
5．已知双曲线－=1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________．
答案为：[2，＋∞)
解析：由题可得直线的斜率为，要使直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，
只要≥，∴e2=1＋≥4.

6．已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为________．
答案为：－=1.
解析：设双曲线的标准方程为－=1(a>0，b>0)，由题意知c=3，a2＋b2=9，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有：
两式作差得，===，
又AB的斜率是=1，所以4b2=5a2，代入a2＋b2=9得a2=4，b2=5，
所以双曲线标准方程是－=1.
7．双曲线－=1(0

解：由l过两点(a，0)，(0，b)，设l的方程为bx＋ay－ab=0.
由原点到l的距离为c，得=c.
将b=代入，平方后整理，得16（）2－16×＋3=0.
令=x，则16x2－16x＋3=0，解得x=或x=.
因为e=，有e=.故e=或e=2.
因为0，所以离心率e为2.

8．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|=2，椭圆的半长轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求这两曲线方程；
(2)若P为这两曲线的一个交点，求△F1PF2的面积．
解：(1)设椭圆方程为＋=1，双曲线方程为－=1(a，b，m，n>0，且a>b)，
则解得a=7，m=3，所以b=6，n=2，
所以椭圆方程为＋=1，双曲线方程为－=1.
(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，
则|PF1|＋|PF2|=14，|PF1|－|PF2|=6，
所以|PF1|=10，|PF2|=4，
所以cos ∠F1PF2==，
所以S△F1PF2=|PF1|·|PF2|sin ∠F1PF2=×10×4×=12.