2019-2020学年天津市西青区九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年天津市西青区九上期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 下列事件中，是随机事件的是
A. 向空中抛一枚硬币，不向地面掉落
B. 通常温度降到 0∘C 以下，纯净的水结冰
C. 度量多边形的外角和，结果是 520∘
D. 射击运动员射击一次，命中 10 环

2. 在同一副扑克牌中抽取 2 张“方块”，3 张“梅花”，1 张“红桃”，将这 6 张牌背面朝上，从中任意抽取 1 张，是“红桃”的概率为
A. 23B. 12C. 13D. 16

3. 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 80 千米/小时的平均速度用了 4 小时到达乙地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度 v（千米/小时）与时间 t（小时）的函数关系是
A. v=320tB. v=320tC. v=20tD. v=20t

4. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

5. 如图，平面直角坐标系中，点 B 在第一象限，点 A 在 x 轴的正半轴上，∠AOB=∠B=30∘，OA=2，将 △AOB 绕 O 逆时针旋转 90∘，点 B 的对应点 Bʹ 的坐标是
A. −1,2+3B. −3,3
C. −3,2+3D. −3,3

6. 如图，点 A，点 B，点 C，点 P 均为 ⊙O 上的点，若 ∠ACB=50∘，∠AOP=55∘，则 ∠POB 的度数为
A. 30∘B. 45∘C. 55∘D. 60∘

7. 如图，已知半径 OD 与弦 AB 互相垂直，垂足为 C．若 AB=8 cm，CD=3 cm，则 ⊙O 的半径为
A. 256 cmB. 5 cmC. 4 cmD. 196 cm

8. 已知圆锥底面圆的半径为 3 cm，其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为
A. 12 cmB. 9 cmC. 6 cmD. 3 cm

9. 正六边形的边心距与边长之比为
A. 3:2B. 3:3C. 1:2D. 2:2

10. 两年前生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元，现在生产 1 吨甲种药品的成本是 3000 元．设甲种药品成本的年平均下降率为 x，则 x 满足的方程是
A. 50001−x−1−x2=3000
B. 50001−x2=3000
C. 50001−x2=3000
D. 50001−x2=2000

11. 若点 A−1,y1，B−2,y2，C4,y3 都在反比例函数 y=4x 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是
A. y1y2
12. 二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）的自变量 x 与函数值 y 的部分对应值如下表：
x⋯−1013⋯y=ax2+bx+c⋯−1353⋯
有下列结论：
① ac<0；
② x=3 是方程 ax2+b−1x+c=0 的一个根；
③当 x>1 时，y 的值随 x 值的增大而减小；
④当 −10．
其中，正确结论的个数是
A. 4B. 3C. 2D. 1

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员下次投篮，投中的概率约是 （精确到 0.1）．
投篮次数n50100150200250300500投中次数m286078104123152251投中频率

14. 已知反比例函数 y=2−kx 的图象在第一、三象限内，则 k 的值可以是 ．（写出满足条件的一个 k 的值即可）

15. 抛物线 y=x2 的图象向右平移 1 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度，所得图象的顶点坐标为 ．

16. 如图，邻边不等的矩形花圃 ABCD，它的一边 AD 利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是 6 m．若矩形的面积为 4 m2，则 AB 的长度是 m（可利用的围墙长度超过 6 m）．

17. 如图，将等边 △AOB 放在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 4,0，点 B 在第一象限，将等边 △AOB 绕点 O 顺时针旋转 180∘ 得到 △AʹOBʹ，则点 Bʹ 的坐标是 ．

18. 如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，经过格点 A，B，C 的圆的圆心在 BC 上．
（1）∠BAC 的大小为 （度）；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点 D，使其满足 ∠ACD=∠DCB，并简要说明点 D 的位置是如何找到的 ．（不要求证明）

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 已知一次函数 y=x+1 的图象交 y 轴于点 A，与反比例函数 y=kxx>0 的图象交于点 Bm,2．
（1）求此反比例函数的解析式．
（2）求 △AOB 的面积．

20. 如图，△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径作 ⊙O，交 BC 于点 D，交 CA 的延长线于点 E，连接 AD，DE．
（1）求证：BD=DC．
（2）求证：ED=DC．
（3）若 DE=3，BD−AD=2，求 ⊙O 的半径．

21. 甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为 1，2，3 的三个小球（除标号外无其它差异）．从口袋中随机摸出一个小球，记下标号后放回口袋中，充分摇匀后，再从口袋中随机摸出一个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用 x，y 表示．若 x+y 为奇数，则甲获胜；若 x+y 为偶数，则乙获胜．
（1）请你用画树状图法（或列表法）列出 x,y 所有可能出现的结果．
（2）你认为这个游戏对双方公平吗?请说明理由．

22. 过 ⊙O 外一点 P 向 ⊙O 作切线 PA，A 为切点，连接 AO 并延长交 ⊙O 于点 C，B 为 ⊙O 上一点，连接 BP．
（1）如图，过点 C 作 CD⊥PB，分别交 PB 于点 E，交 ⊙O 于点 D，连接 DA，当 ∠DAC=67∘ 时，求 ∠P 的大小．
（2）如图，点 Q 为 ⊙O 上一点，当四边形 ABQP 为菱形时，求 ∠APB 的大小．

23. 某款童装每件售价为 60 元，每星期可卖 100 件．为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反映：每降价 1 元，每星期可多卖 10 件．已知该款童装每件成本 30 元．
设该款童装每件售价 x 元，每星期的销售利润为 y 元．
（1）根据题意，填写下表：
每件售价元605958⋯x每星期售出商品的数量件100110⋯每星期售出商品的利润元30003190⋯
（2）求 y 与 x 的函数解析式．
（3）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少?

24. 在 △ABC 中，AB=AC=5，BC=6，将 △ABC 绕点 C 顺时针旋转，得到 △A1B1C．
（1）如图，当点 B 的对应点 B1 在线段 BA 延长线上时．
①求 △A1B1C 的周长．
②求证：BB1∥CA1．
（2）如图，点 E 是 BC 边的中点，点 F 为线段 AB 上的动点，在 △ABC 绕点 C 顺时针旋转过程中，点 F 的对应点是 F1，求线段 EF1 长度的最大值与最小值（直接写出结果即可）．

25. 已知抛物线 y=ax2+bx+3a≠0 经过点 A−3,0，与 y 轴交于点 B，其对称轴为直线 x=−1．
（1）求此抛物线对应的函数解析式．
（2）求此抛物线的顶点坐标．
（3）若 P 是抛物线上点 A 与点 B 之间的动点（不包括点 A，B），求 △PAB 面积的最大值，并求出此时点 P 的坐标．
答案
第一部分
1. D
2. D【解析】从中任意抽取 1 张，是“红桃”的概率为 12+3+1=16．
故选D．
3. B【解析】由题意得 vt=80×4，则 v=320t．
4. C
5. B
【解析】方法一：
如图，
作 BʹH⊥y 轴于 H，
由题意：OAʹ=AʹBʹ=2，∠BʹAʹH=60∘，
∴∠AʹBʹH=30∘，
∴AʹH=12AʹBʹ=1，BʹH=3，
∴OH=3，
∴Bʹ−3,3．
方法二：
如图，过点 Bʹ 作 BʹC⊥y 轴于点 C，
则 ∠AʹOBʹ=∠B=∠AOB=∠AʹBʹO=30∘，OAʹ=OA=2，
∴AʹBʹ=AʹO=2，∠CAʹBʹ=∠AʹBʹO+∠AʹOBʹ=60∘，
∴sin∠CAʹBʹ=BʹCBʹAʹ=BʹC2=32，
解得 BʹC=3，
cs∠CAʹBʹ=AʹCBʹAʹ=AʹC2=12，
解得 AʹC=1，CO=2+1=3，
∴ 点 Bʹ 的坐标是 −3,3．
6. B【解析】∵∠ACB=50∘，
∴∠AOB=2∠ACB=100∘，
∵∠AOP=55∘，
∴∠POB=45∘．
7. A【解析】如图，连接 OB；
因为 OD⊥AB，且 AB=8，
所以 AC=BC=4；
设 O 的半径为 r，则 OC=r−3；
由勾股定理得：r2=r−32+42，
解得 r=256．故选A．
8. C【解析】设母线长为 x，根据题意得 2πx÷2=2π×3，解得 x=6．
故圆锥的母线长为 6 cm．
故选C．
9. A【解析】如图：设六边形的边长是 a，
则半径长也是 a；
经过正六边形的中心 O 作边 AB 的垂线 OC，
则 AC=12AB=12a，
∴OC=OA2−AC2=3a2，
∴ 正六边形的边心距与边长之比为：32a:a=3:2．
10. C
【解析】去年的成本为 50001−x，则现在的成本表示为 50001−x1−x，即 50001−x2=3000．
11. A【解析】x=−1 时，y1=−4，
x=−2 时，y2=−2，
x=4 时，y3=1，
故 y1故选A．
12. B【解析】∵x=−1 时，y=−1，x=0 时，y=3，x=1 时，y=5，
∴a−b+c=−1,c=3,a+b+c=5, 解得 a=−1,b=3,c=3,
∴y=−x2+3x+3，
∴ac=−1×3=−3<0，故①正确；
对称轴为直线 x=−32×−1=32，
∴ 当 x>32，y 的值随 x 值的增大而减小，故③错误；
方程为 −x2+2x+3=0，
整理得，x2−2x−3=0，
解得 x1=−1，x2=3，
∴3 是方程 ax2+b−1x+c=0 的一个根，正确，故②正确；
−10 正确，故④正确；
综上所述，结论正确的是①②④．
故选B．
第二部分
13. 0.5
14. −1（答案不唯一，k<2 即可）
15. 1,3
【解析】抛物线 y=x2 向右平移 1 个单位长度，得到抛物线的解析式是 y=x−12，再向上平移 3 个单位长度，得到抛物线的解析式是 y=x−12+3．顶点是 1,3．
16. 1
【解析】设 AB 的长为 x m．
根据题意，得
x6−2x=4.
整理得
x2−3x+2=0.
解得
x=1或x=2舍去.
所以 AB=1 m．
17. −2,−23
【解析】作 BH⊥y 轴于 H，如图，
∵△OAB 为等边三角形，
∴OH=AH=2，∠BOA=60∘，
∴BH=3OH=23，
∴B 点坐标为 2,23，
∵ 等边 △AOB 绕点 O 顺时针旋转 180∘ 得到 △AʹOBʹ，
∴ 点 Bʹ 坐标是 −2,−23．
故答案为 −2,−23．
18. 90，如图，取格点 E，M，连 AE 交 BC 于 O 点，连 OM 并延长交 ⊙O 于 D 点，D 点即为所求．
【解析】（1）AB=5，AC=5，BC=10，
AB2+AC2=BC2，
故 △ABC 为直角三角形，
所以 ∠BAC=90∘．
第三部分
19. （1） ∵ 点 Bm,2 在直线 y=x+1 上，
∴2=m+1，得 m=1，
∴ 点 B 的坐标为 1,2，
∵ 点 B1,2 在反比例函数 y=kxx>0 的图象上，
∴2=k1，得 k=2，
即反比例函数的表达式是 y=2x．
（2） 将 x=0 代入 y=x+1，得 y=1，则点 A 的坐标为 0,1，
∵ 点 B 的坐标为 1,2，
∴△AOB 的面积是 1×12=12．
20. （1） ∵AB 是圆 O 的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=DC．
（2） ∵AB=AC，∠B=∠C，
∵∠B=∠E，
∴∠E=∠C．
∴BD=DC=DE=3．
（3） ∵BD−AD=2，
∴AD=1，
在 Rt△ABD 中，AB=AD2+BD2=10，
∴⊙O 的半径为 102．
21. （1） 共有 16 种等可能的结果数．画树状图如图所示：
（2） 这个游戏对双方公平．
x+y 为奇数的结果数为 8，x+y 为偶数的结果数为 8，
∴ 甲获胜的概率 816=12，乙获胜的概率 =816=12，
∴ 甲获胜的概率=乙获胜的概率，
∴ 这个游戏对双方公平．
22. （1） ∵AC 为 ⊙O 直径，
∴∠ADC=90∘，
∵CD⊥PB，
∴AD∥BP，
∴∠POA=∠DAC=67∘，
∵AP 为 ⊙O 的切线，
∴∠PAC=90∘，
∴∠P=90∘−∠POA=90∘−67∘=23∘．
（2） ∵ 四边形 ABQP 为菱形，
∴AB=AP，
∴∠ABP=∠APB，
∵∠AOP=2∠ABP，
∴∠AOP=2∠APB，
∴∠APB+2∠APB=90∘，
∴∠APB=30∘．
23. （1） 120，3360；100+10x，−10x2+1000x−21000
【解析】x=58 时，售出商品数量 100+10×2=120，利润：58−30×120=3360．
售价 x 时，售出商品数量 100+10x，利润：x−30100+1060−x=−10x2+1000x−21000．
（2） y=100+1060−x=−10x+700．
（3） 设每星期利润为 W 元，
W=x−30−10x+700=−10x−502+4000．
∴x=50 时，W 最大值 =4000．
∴ 每件售价定价为 50 元时，每星期的销售利润最大，
最大利润 4000 元．
24. （1） ①由旋转性质可得：
AB=A1B1=5，AC=A1C=5，BC=B1C=6，
△A1B1C 的周长为：5+5+6=16．
② ∵AB=AC，B1C=BC，
∴∠AB1C=∠B，∠B=∠ACB，
∵∠AB1C=∠ACB（旋转角相等），
∴∠B1CA1=∠AB1C，
∴BB1∥CA1．
（2） 365．
【解析】如图，过 C 作 CF⊥AB 于 F，以 C 为圆心 CF 为半径画圆交 BC 于 F1，EF1 有最小值，
此时在 Rt△BFC 中，CF=245，
∴CF1=245，
∴EF1 的最小值为 245−3=95；
如图，以 C 为圆心 BC 为半径画圆交 BC 的延长线于 F1，EF1 有最大值；
此时 EF1=EC+CF1=3+6=9，
∴ 线段 EF1 的最大值与最小值的差为 9−95=365．
25. （1） 由题意可得：9a−3b+3=0,−b2a=1, 解得：a=−1,b=−2.
∴ 抛物线解析式为：y=−x2−2x+3．
（2） 化成顶点式：y=−x+12+4，
顶点坐标 −1,4．
（3） 过点 P 作 y 轴的平行线交 AB 于点 H，
直线 AB 的表达式为：y=x+3，
直线 AB 的表达式为：y=x+3，
设点 Px,−x2−2x+3，则点 Hx,x+3，则
S△PAB×12PH×OA=12×−x2−2x+3−x−3×3=−32x2−92x,
∵−32<0，
∴S△PAB 有最大值 278，
此时 x=−32，点 P−32,154．