2019-2020学年北京市东城区北京二中分校八上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年北京市东城区北京二中分校八上期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 从 2019 年 8 月 1 日开始，温州市实行垃圾分类，以下是几种垃圾分类的图标，其中哪个图标是轴对称图形
A. B.
C. D.

2. 下列运算中错误的是
A. 2+3=5B. 2×3=6C. 8÷2=2D. −32=3

3. 若多项式 a2+ka+9 是完全平方式，则常数 k 的值为
A. 6B. 3C. ±6D. ±3

4. 如图所示，一场台风过后，垂直于地面的一棵树在距地面 1 米处折断，树尖 B 恰好碰到地面，经测量 AB=2，则树高为 米．
A. 1+5B. 1+3C. 25−1D. 3

5. 若一次函数 y=k−2x+1 的函数值 y 随 x 的增大而增大，则
A. k<2B. k>2C. k>0D. k<0

6. 下列分解因式正确的是
A. a2−9=a−32B. −4a+a2=−a4+a
C. a2+6a+9=a+32D. a2−2a+1=aa−2+1

7. 如图，已知等腰三角形 ABC，AB=AC，若以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰 AC 于点 E，则下列结论一定正确的是
A. AE=ECB. AE=BE
C. ∠EBC=∠BACD. ∠EBC=∠ABE

8. 如图直线 y1=x2 与 y2=−x+3 相交于点 A，若 y1>y2，则 x 的取值范围是
A. x>2B. x<2C. x>1D. x<1

9. 把分式 xyx+y（x+y≠0）中的 x，y 都扩大 3 倍，那么分式的值
A. 扩大为原来的 3 倍B. 缩小为原来的 13
C. 扩大为原来的 9 倍D. 不变

10. 如图，有四个三角形，各有一边长为 6，一边长为 8，若第三边为 6，8，10，12，则面积最大的三角形是
A. B.
C. D.

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 函数 y=1x−2 中，自变量 x 的取值范围是 ．

12. 因式分解：x2+7x+6= ．

13. 如图，在数轴上点 A 表示的实数是 ．

14. 将一次函数 y=2x 的图象向下平移 2 个单位长度后得到的解析式是 ．

15. 已知 a=−20，b=−12−2，c=−32，那么 a，b，c 的大小关系为（用“>”连接） ．

16. 如图，平面内 4 条直线 l1，l2，l3，l4 是一组平行线，相邻 2 条平行线的距离都是 1 个单位长度，正方形 ABCD 的 4 个顶点 A，B，C，D 都在这些平行线上，其中点 A，C 分别在直线 l1，l4 上，该正方形的面积是 平方单位．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 分解因式：2x2−8y2．

18. 计算：x+2x−3−x−12．

19. 计算：a2+aba2−b2−ba−b．

20. 解方程：xx−1−2x=1．

21. 计算：2+3×2−6．

22. 先化简，再求值：1x−2+1x+2÷x2x−4，其中 x=2−2．

23. 已知：如图，在 Rt△ABC 中，AC=6，AB=10，∠ACB=90∘．
（1）在线段 AB 上求作点 P，使点 P 到 CA，CB 的距离相等（保留作图痕迹）；
（2）点 D 在线段 CB 上，且 DB=2，在直线 CP 上一动点 M，则 MB+MD 的最小值是 ．

24. 如图，△ABC 中，AB=BC，∠B=120∘，AB 的垂直平分线 DE 交于 D，交 AB 于 E．
（1）若 AD=4，则 △ABC 的周长 ．
（2）求证：AD2+BC2=CD2．

25. 列方程解应用题：中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因．为传承传统文化，某校为各班购进《三国演义》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《三国演义》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵 60 元，用 4800 元购买《水浒传》连环画的套数是用 3600 元购买《三国演义》连环画的套数的 2 倍，求毎套 《水浒传》连环画的价格．

26. 如图，直线 y=kx+6（k≠0）与 x 轴、 y 轴分别相交于点 E，F，点 E 的坐标为 −8,0，点 A 的坐标为 −6,0，点 P 是直线 EF 上的一个动点．
（1）求 k 的值．
（2）点 P 在第二象限内的直线 EF 上的运动过程中，写出 △OPA 的面积 S 与点 P 横坐标 x 的函数表达式，并写出自变量 x 的取值范围．
（3）探究，当点 P 在直线 EF 上运动时，△OPA 的面积可能是 15 吗，若能，请求出点 P 的坐标；若不能，说明理由．

27. 如图，在等边三角形 ABC 的外侧作直线 AP，点 C 关于直线 AP 的对称点为点 D，连接 AD，BD，其中 BD 交直线 AP 于点 E．
（1）依题意补全图形；
（2）若 ∠PAC=20∘，求 ∠AEB 的度数；
（3）连接 CE，写出 AE，BE，CE 之间的数量关系，并证明你的结论．

28. 在平面直角坐标系 xOy 中，A，B 为平面内不重合的两个点，若 Q 到 A，B 两点的距离相等，则称点 Q 是线段 AB 的“似中点”．
（1）已知 A1,0，B3,2，在点 C1,3，D2,1，E4,−2，F3,0 中，线段 AB 的“似中点”是点 ．
（2）直线 y=3x+3 与 x 轴交于点 M，与 y 轴交于点 N．
①若点 H 是线段 MN 的“似中点”，且在坐标轴上，求 H 点的坐标．
②若等边 △KQG 的边长为 6，K，Q 在 x 轴上，点 G 在 x 轴下方，KQ 的中点 P 为 t,0，△KQG 上存在线段 MN 的“似中点”，请直接写出 t 的取值范围．
答案
第一部分
1. B
2. A【解析】A、 2+3 无法计算，故此选项正确；
B、 2×3=6，正确，不合题意；
C、 8÷2=2，正确，不合题意；
D、 −32=3，正确，不合题意．
3. C【解析】由完全平方公式 a±b2=a2±2ab+b2 可知，
原式=a±32=a2±6a+9，即 k=±6．
4. A【解析】由勾股定理可知，BC=AC2+AB2=12+22=5，
∴AC+BC=1+5．
5. B
【解析】y=k−2x+1 的函数值 y 随 x 的增大而增大，
∴k−2>0，解得 k>2．
6. C【解析】A、 原式=a+3a−3，错误；
B、 原式=−a4−a，错误；
C、 原式=a+32，正确；
D、 原式=a−12，错误．
7. C【解析】∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又 ∵BC=BE，
∴∠BCA=∠BEC，
∴∠ABC=∠ACB=∠BEC，
在 △ABC 中，∠A=180∘−∠ABC−∠ACB，
在 △BEC 中，∠EBC=180∘−∠ACB−∠BEC，
又 ∵∠ABC=∠ACB=∠BEC，
∴∠A=∠EBC，即 ∠EBC=∠BAC，
故C正确，A，B，D均无法证明．
8. A【解析】从图象上得出，y1>y2，
即 y1 的图象在 y2 上方时，x 的取值范围为 x>2．
故选A．
9. A【解析】x⋅yx+y 中 x，y 都扩大 3 倍，
扩大后为 3x⋅3y3x+3y=9xy3x+y=3⋅x⋅yx+y，
故扩大为原来的 3 倍．
10. C
【解析】A，S△=12×8×25=65．
B，S△=12×6×55=355．
C，S△=6×8×12=24．
D，12×12×4556=455．
第二部分
11. x≠2
【解析】要使分式有意义，即：x−2≠0，
解得：x≠2．
12. x+1x+6
【解析】x2+7x+6=x2+1+6x+1×6=x+1x+6.
13. −5
【解析】OA2=12+22=1+4=5.
∴OA=5，
∵A 在 O 点左侧，
∴A 表示 0−5 即 −5．
14. y=2x−2
【解析】y=2x 向下平移 2 个单位，解析式为 y=2x−2．
15. b>c>a
【解析】a=−20=1，
b=−12−2=1−122=114=4，
c=−32=9=3，
∵4>3>1，
∴b>c>a．
16. 5
【解析】如图所示．
由题意可得 AM=1，AE=2，CN=1，CF=2．
△AED≌△BMA≌△CFB≌△DNC．
∴CN=DE=1．
∴AD2=AE2+DE2=22+12=4+1=5.
∴ 正方形 ABCD 面积为 5．
第三部分
17. 2x2−8y2=2x2−4y2=2x+2yx−2y.
18. x+2x−3−x−12=x2−3x+2x−6−x2−2x+1=x2−3x+2x−6−x2+2x−1=x−7.
19. a2+aba2−b2−ba−b=aa+ba+ba−b−ba−b=aa−b−ba−b=a−ba−b=1.
20. 去分母得：
x2−2x+2=x2−x.
移项合并得：
−x=−2.
解得：
x=2.
经检验 x=2 是分式方程的解．
∴x=2 是原方程的解．
21. 2+3×2−6=2×2+3×2−6=2+6−6=2.
22. 1x−2+1x+2÷x2x−4=x+2x−2x+2+x−2x+2x−2⋅2x−4x=x+2+x−2x−2x+2⋅2x−2x=2xx−2x+2⋅2x−2x=4x+2.
∵x=2−2，
∴原式=42−2+2=42=4×22×2=422=22.
23. （1）
（2） 10
【解析】∵AC=6，AB=10，∠ACB=90∘，
∴BC=AB2−AC2=102−62=64=8，
又 ∵BD=2，
∴CD=BC−BD=8−2=6，
∴CD=CA，由（1）得 CP 平分 ∠ACB，
∴∠ACP=∠BCP，在 △ACP 和 △DCP 中，AC=DC,∠ACP=∠DCP,CP=CP.
∴△ACP≌△DCPSAS，
∴PA=PD，
又 ∵CA=CD，
∴CP 为 AD 的垂直平分线，
∴AD 关于 CP 对称，
∵M 在 CP 上，
∴MD=MA，
∴MB+MD=MB+MA，
∴ 当 M 在 P 点时，MB+MA 最小，最小为 AB，
∴MB+MD 最小值为 10．
24. （1） 12+83
【解析】连接 BD．
∵AB=BC，∠B=120∘，
∴∠A=∠C=180∘−∠B2=30∘．
∵DE 垂直平分 AB，
∴∠DEA=90∘，AE=BE，∠A=∠DBA=30∘，DA=DB．
在 Rt△AED 中，∠A=30∘，∠DEA=90∘，
∴DE=12AD．
又 ∵AD=4，
∴DE=2，BD=AD=4，
∴AE2=AD2−DE2，
∴AE=AD2−DE2=42−22=23，
∴BE=AE=23，
∴AB=43，
∴BC=AB=43，
∵∠ABC=120∘，∠DBA=30∘，
∴∠DBC=∠ABC−∠DBA=120∘−30∘=90∘，
又 ∵∠C=30∘，
∴CD=2BD=8，
∴△ABC 的周长为 AB+BC+CD+DA=43+43+8+4=12+83．
（2） ∵∠DBC=90∘，
∴BD2+BC2=CD2．
又 ∵AD=BD，
∴AD2+BC2=CD2．
25. 设每套《水浒传》连环画的价格为 x 元，则每套《三国演义》连环画的价格为 x+60 元．
由题意，得
4800x=2⋅3600x+60.
解得
x=120.
经检验，x=120 是原方程的解，且符合题意．
答：每套《水浒传》 连环画的价格为 120 元．
26. （1） 点 E 的坐标为 −8,0，且在直线 y=kx+6 上，
∴−8k+6=0，解得，k=34．
（2） 点 Px,y 是第二象限内的直线上的一个动点，
∴y=34x+6，
S=12×6×34x+6=94x+18−8 （3） 当点 P 在 x 轴的上方时，由题意得，94x+18=15，
解得，x=−43，
则 y=34×−43+6=5；
当点 P 在 x 轴的下方时，y=−5，此时 x=−443，
∴△OPA 的面积是 15 时，点 P 的坐标为 −43,5 或 −443,−5．
27. （1）
（2） 在等边 △ABC 中，AC=AB，∠BAC=60∘，
由对称可知：AC=AD，∠PAC=∠PAD，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠D，
∵∠PAC=20∘，
∴∠PAD=20∘，
∴∠BAD=∠BAC+∠PAC+∠PAD=100∘，
∴∠D=12180∘−∠BAD=40∘，
∴∠AEB=∠D+∠PAD=60∘．
（3） 在 BE 上取点 M 使 ME=AE，
在等边 △ABC 中，AC=AB，∠BAC=60∘，
由对称可知：AC=AD，∠EAC=∠EAD，
设 ∠EAC=∠DAE=x，
∵AD=AC=AB，
∴∠D=12180∘−∠BAC−2x=60∘−x，
∴∠AEB=60∘−x+x=60∘．
∴△AME 为等边三角形，
易证：△AEC≌△AMB，
∴CE=BM，
∴CE+AE=BE．
28. （1） D，F
【解析】由题意得：线段 AB 的“似中点”在线段 AB 的中垂线上．
∵A1,0，B3,2，C1,3，D2,1，E4,−2，F3,0，
∴CA=3，CB=22+12=5，
∵CA≠CB，
∴C 点不是 AB 的似中点．
∵DA=2，DB=2，
∴DA=DB，
∴D 点是 AB 的似中点．
∵EA=32+22=13，EB=1+42=17，
∴EA≠EB，
∴E 点不是 AB 的似中点．
又 ∵FA=2，FB=2，
∴FA=FB，
∴F 点是 AB 的似中点．
∴C，D，E，F 中是 AB 的似中点的是 D，F．
（2） ①：∵ 直线 y=3x+3，令 y=0 得，x=−1，
∴M−1,0，
令 x=0，得 y=3，
∴N0,3．
①若 H 在 x 轴上，设 Hm,0，则 HM2=m+12=m2+2m+1，HN2=m2+3，令 HM=HN，
∴m2+2m+1=m2+3，解得 m=1，
∴H1,0．
②若 H 在 y 轴上，设 H0,n，则 HM2=1+n2，
HN2=n−32=n2−23n+3，令 HM=HN，
∴n2+1=n2−23n+3，解得 n=33，
∴H0,33．
综上，H 的坐标为 1,0 或 0,33．
②：
由图象得：若 △KGQ 有线段 MN 的似中点，则应介于图中两三角形之间，
∵Q1,0，K1Q1=6，
∴K1−5,0，
∴P1−3,0．
求得 MN 的中垂线解析式为 y=−33x+33．
令 y=−33 得：x=10．
∴−2≤t≤10．