2019-2020学年北京市门头沟区八下期末数学试卷

这是一份2019-2020学年北京市门头沟区八下期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 在平面直角坐标系中，以下各点坐标属于第二象限的点的坐标为
A. 2,0B. −1,2C. 0,2D. 2,−1

2. 已知一个多边形的内角和是 360∘，则这个多边形是
A. 四边形B. 五边形C. 六边形D. 七边形

3. 关于 x 的方程 xm2−7+x−3=0 是一元二次方程，则
A. m=−3B. m=2C. m=3D. m=±3

4. 下列图象中，y 是 x 的函数的是
A. B.
C. D.

5. 下面图形中是中心对称但不是轴对称图形的是
A. 平行四边形B. 长方形C. 菱形D. 正方形

6. 方差是表示一组数据的
A. 平均水平B. 数据个数
C. 最大值或最小值D. 波动大小

7. 关于 x 的一元二次方程 a−2x2+x+a2−4=0 的一个根是 0，则 a 的值是
A. 0B. 2C. −2D. 2 或 −2

8. 甲、乙二人约好沿同一路线去某地集合进行宣传活动，如图，是甲、乙二人行走的图象，点 O 代表的是学校，x 表示的是行走时间（单位：分），y 表示的是与学校的距离（单位：米），最后都到达了目的地，根据图中提供的信息，下面有四个推断：
①甲、乙二人第一次相遇后，停留了 10 分钟；
②甲先到达的目的地；
③甲在停留 10 分钟之后提高了行走速度；
④甲行走的平均速度要比乙行走的平均速度快．
所有正确推断的序号是
A. ①②B. ①②③C. ①③④D. ①②④

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 函数 y=x−5 自变量 x 的取值范围是 ．

10. 已知平行四边形邻边之比是 1:2，周长是 18，则较短的边的边长是 ．

11. 写出一个一元二次方程，两个根之中有一个为 2，此方程可以为 ．

12. 有一组样本容量为 20 的数据，分别是：7，10，8，14，9，7，12，11，10，8，13，10，8，11，10，9，12，9，13，11，那么该样本数据落在范围 8.5∼10.5 内的频率是 ．

13. 点 A−2,−4 到 x 轴的距离为 ．

14. 如图，在平行四边形 ABCD 中，ED=2，BC=5，∠ABC 的平分线交 AD 于点 E，则 CD 的长为 ．

15. 已知一次函数表达式为 y=x+2，该图象与坐标轴围成的三角形的面积为 ．

16. 如图所示，菱形 ABCD，在边 AB 上有一动点 E，过菱形对角线交点 O 作射线 EO 与 CD 边交于点 F，线段 EF 的垂直平分线分别交 BC，AD 边于点 G，H，得到四边形 EGFH，点 E 在运动过程中，有如下结论：
①可以得到无数个平行四边形 EGFH；
②可以得到无数个矩形 EGFH；
③可以得到无数个菱形 EGFH；
④至少得到一个正方形 EGFH．
所有正确结论的序号是 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形．
求作：菱形 AECF，使点 E，F 分别在 BC，AD 上．
小军的作法如下：
（1）连接 AC；
（2）作 AC 的垂直平分线 EF 分别交 BC，AD 于 E，F；
（3）连接 AE，CF．
所以四边形 AECF 是菱形．
老师说：“小军的作法正确．”以下是一种证明思路，请结合作图过程补全填空，
由作图和已知可以得到：△AOF≌△COE（依据： ）；
∴AF=CE；
∵ ；
∴ 四边形 AECF 是平行四边形（依据： ）；
∵EF 垂直平分 AC；
∴ （依据： ）；
∴ 四边形 AECF 是菱形．

18. 已知：一次函数 y=2−mx+m−3．
（1）如果此函数图象经过原点，那么 m 应满足的条件为 ；
（2）如果此函数图象经过第二、三、四象限，那么 m 应满足的条件为 ；
（3）如果此函数图象与 y 轴交点在 x 轴下方，那么 m 应满足的条件为 ；
（4）如果此函数图象与 y 轴交点到 x 轴的距离为 2，那么 m 应满足的条件为 ．

19. 用配方法解方程 x2−2x−1=0．

20. 判断方程 4x2−1=3x 是否有解，如果有，请求出该方程的解；如果没有，请说明理由．

21. 如图，已知在平行四边形 ABCD 中，E，F 是对角线 AC 上的两点，且 DF∥BE．求证：四边形 BEDF 是平行四边形．

22. 如图，直线 y=12x+2 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 和点 B，点 C 在线段 AB 上，点 C 到 x 轴的距离为 1．
（1）点 B 的坐标为 ；点 C 的坐标为 ；
（2）点 P 为线段 OA 上的一动点，当 PC+PB 最小时，画出示意图并直接写出最小值．

23. 如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是 BC 上一点，DF=DC，DF⊥AE 于 F．
（1）求证：AE=BC；
（2）如果 AB=3，AF=4，求 EC 的长．

24. 阅读理解：由所学一次函数知识可知，在平面直角坐标系内，一次函数 y=kx+bk≠0 的图象与 x 轴交点横坐标，是一元一次方程 kx+b=0k≠0 的解；在 x 轴下方的图象所对应的 x 的所有值是 kx+b<0k≠0 的解集，在 x 轴上方的图象所对应的 x 的所有值是的解集 kx+b>0k≠0 的解集．例，如图 1，一次函数 kx+b=0k≠0 的图象与 x 轴交于点 A1,0，则可以得到关于 x 的一元一次方程 kx+b=0k≠0 的解是 x=1；kx+b<0k≠0 的解集为 x<1．
结合以上信息，利用函数图象解决下列问题：
（1）通过图 1 可以得到 kx+b>0k≠0 的解集为 ；
（2）通过图 2 可以得到：
①关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0a≠0 的解为 ；
②关于 x 的不等式 ax2+bx+c>0a≠0 的解集为 ．

25. 垃圾分类全民开始行动，为了了解学生现阶段对于“垃圾分类”知识的掌握情况，某校组织全校 1000 名学生进行垃圾分类答题测试，从中抽取部分学生的成绩进行统计分析，根据测试成绩绘制出了频数分布表和频数分布直方图：
分组/分频数频率50≤x<60120.1260≤x<70a0.1070≤x<80320.3280≤x<90200.2090≤x≤100cb合计1001.00
（1）表中的 a= ，b= ，c= ；
（2）把上面的频数分布直方图补充完整；
（3）如果成绩达到 80 及 80 分以上者为测试通过，那么请你估计该校测试通过的学生大约有多少人；对于此结果你有什么建议．

26. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，我们把横纵坐标都为整数的点叫做“整点坐标”，正比例函数 y=kxk≠0 的图象与直线 x=3 及 x 轴围成三角形．
（1）正比例函数 y=kxk≠0 图象过点 1,1；
① k 的值为 ；
②该三角形内的“整点坐标”有 个；
（2）如果在 x 轴上方由已知形成的三角形内有 3 个“整点坐标”，求 k 的取值范围．

27. 如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 AB 上的一动点（不与点 A，B 重合），连接 DE，将线段 ED 绕点 E 顺时针旋转 90∘ 得到线段 EF，连接 BF．
（1）按已知补全图形；
（2）用等式表示线段 BF 与 AE 的数量关系并证明．
（提示：可以通过旋转的特征构造全等三角形，从而可以得到线段间的数量关系，再去发现生成的特殊的三角形，问题得以解决）

28. 我们给出如下定义：在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意一点 Px,y 如果满足 x=2∣y∣，我们就把点 Px,y 称作“特征点”．
（1）在直线 x=4 上的“特征点”为 ；
（2）一次函数 y=x−2 的图象上的“特征点”为 ；
（3）有线段 MN，点 M，N 的坐标分别为 M1,a，N4,a，如果线段 MN 上始终存在“特征点”，求 a 的取值范围．
答案
第一部分
1. B【解析】∵ 点在第二象限，
∴ 点的横坐标是负数，纵坐标是正数，
∴ 只有B符合要求．
故选：B．
2. A【解析】设这个多边形的边数为 n，
则有 n−2180∘=360∘，解得：n=4，
故这个多边形是四边形．
3. D【解析】∵ 关于 x 的方程 xm2−7−7+x−3=0 是一元二次方程，
∴m2−7=2，
解得 m=±3，故选：D．
4. B【解析】A，C，D选项中对于 x 的每一个确定的值，y 可能会有两个值与其对应，不符合函数的定义；
只有B选项对于 x 的每一个确定的值，y 有唯一的值与之对应，符合函数的定义．
5. A
【解析】A、平行四边形是中心对称但不是轴对称图形，故本选项正确；
B、长方形是中心对称也是轴对称图形，故本选项错误；
C、菱形是中心对称也是轴对称图形，故本选项错误；
D、正方形是中心对称也是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
6. D【解析】方差表示一组数据的波动大小，故选：D．
7. C【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 a−2x2+x+a2−4=0 的一个根是 0，
∴a2−4=0，
解得 a=±2，
∵a−2≠0，
∴a≠2，
∴a=−2．
8. D【解析】①甲、乙二人第一次相遇后，停留了 20−10=10 分钟，说法正确；
②甲在 35 分时到达，乙在 40 分时到达，所以甲先到达的目的地，说法正确；
⑧甲在停留 10 分钟之后减慢了行走速度，说法错误；
④甲行走的平均速度要比乙行走的平均速度快，说法正确．
第二部分
9. x≥5
【解析】根据题意得，x−5≥0，
解得 x≥5．
10. 3
【解析】∵ 平行四边形的周长是 18，一组邻边之比是 1:2，
∴ 设两邻边分别为 x，2x，则 2x+2x=18．
解得：x=3，
∴ 较短的边的边长是 3．
11. x2=4（答案不唯一）．
【解析】答案不唯一，如 x2=4 等．
12. 0.35
【解析】该样本数据落在范围 8.5∼10.5 内的有 10，9，10，10，10，9，9 这 7 个，
∴ 该样本数据落在范围 8.2∼10.5 内的频率是 720=0.35，故答案为：0.35．
13. 4
【解析】点 A−2,−4 到 x 轴的距离是 4．
14. 3
【解析】∵∠ABC 的平分线交 AD 于点 E，
∴∠ABE=∠EBC，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，
∴∠AED=∠EBC，
∴∠ABE=∠AED，
∴AB=AE，
∵BC=5，DE=2，
∴AB=AE=5−2=3，
∴CD=AB=3．
15. 2
【解析】∵ 令 y=0，则 x=−2；令 x=0，则 y=2，
∴ 一次函数 y=−x+2 的图象可以求出图象与 x 轴的交点 −2,0，与 y 轴的交点为 0,2，
∴S=12×2×2=2．
故答案为：2．
16. ①③④
【解析】如图．
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AO=CO，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠BAO=∠DCO，∠AEO=∠CFO，
∴△AOE≌△COFAAS，
∴OE=OF，
∵ 线段 EF 的垂直平分线分别交 BC，AD 边于点 G，H，
∴GH 过点 O，GH⊥EF，
∵AD∥BC，
∴∠DAO=∠BCO，∠AHO=∠CGO，
∴△AHO≌△CGOAAS，
∴HO=GO，
∴ 四边形 EGFH 是平行四边形，
∵EF⊥GH，
∴ 四边形 EGFH 是菱形，
∵ 点 E 是 AB 上的一个动点，
∴ 随着点 E 的移动可以得到无数个平行四边形 EGFH，
随着点 E 的移动可以得到无数个菱形 EGFH，故①③正确；
若四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BOC=90∘，∠GBO=∠FCO=45∘，OB=OC；
∵EF⊥GH，
∴∠GOF=90∘；
∠BOG+∠BOF=∠COF+∠BOF=90∘，
∴∠BOG=∠COF；
在 △BOG 和 △COF 中，
∠BOG=∠COF,BO=CO,∠GBO=∠FCO,
∴△BOG≌△COFASA；
∴OG=OF，
同理可得：EO=OH，
∴GH=EF；
∴ 四边形 EGFH 是正方形，
∵ 点 E 是 AB 上的一个动点，
∴ 至少得到一个正方形 EGFH，故④正确．
第三部分
17. ASA；AF∥CE；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；AF=FC；垂直平分线的上的点到线段两个端点的距离相等
【解析】根据作图过程可知：△AOF≌△COEASA；
∴AF=CE；
∵AF∥CE；
∴ 四边形 AECF 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
∵EF 垂直平分 AC；
∴AF=FC（垂直平分线的上的点到线段两个端点的距离相等）；
∴ 四边形 AECF 是菱形．
18. （1） m=3
【解析】∵ 一次函数 y=2−mx+m−3 的图象过原点，
∴m−3=0，
解得 m=3．
（2） 2【解析】∵ 该函数的图象经过第二、三、四象限，
∴2−m<0，且 m−3<0，
解得 2 （3） m<3 且 m≠2
【解析】∵y=2−mx+m−3，
∴ 当 x=0 时，y=m−3，
由题意，得 2−m≠0 且 m−3<0，
∴m<3 且 m≠2．
（4） m=5 或 m=1
【解析】∵y=2−mx+m−3，
∴ 当 x=0 时，y=m−3，
由题意，得 2−m≠0 且 ∣m−3∣=2，
∴m=5 或 m=1．
19.
∵x2−2x−1=0,∴x2−2x=1.
则
x2−2x+1=1+1.
即
x−12=2.∴x−1=±2.∴x=1±2.
即
x1=1+2,x2=1−2.
20. 4x2−1=3x，移项得 4x2−3x−1=0，
∵Δ=−32−4×4×−1=25>0，
∴ 原方程有解．
x1=3−258=−14，x2=3+258=1．
故方程的解为 x1=−14，x2=1．
21. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAF=∠BCE，
∵DF∥BE，
∴∠DFE=∠BEF，
∴∠AFD=∠CEB，
在 △ADF 和 △CBE 中，
∠DAF=∠BCE,∠AFD=∠CEB,AD=BC,
∴△ADF≌△CBEAAS，
∴DF=BE，
又 ∵DF∥BE，
∴ 四边形 BEDF 是平行四边形．
22. （1） 0,2；−2,1
【解析】因为直线 y=12x+2 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 和点 B，
所以 B0,2，
因为点 C 到 x 轴的距离为 1．
所以点 C 的纵坐标为 1，
所以 y=1 时，1=12x+2，
解得 x=−2，
所以 C−2,1．
（2） 作 B 点关于 x 轴的对称点 B′，连接 B′C，交 x 轴于 P 点，
此时 PC+PB=PC+PB′=B′C，则 PC+PB 的值最小，
因为 B0,2，
所以 B′0,−2，
所以 B′C=−2−02+1+22=13，
所以 PC+PB 的最小值为 13．
23. （1） ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠B=90∘，AB=DC，AD=BC，AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAF，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90∘=∠B，
∵DF=DC，
∴AB=DF，
在 △ABE 和 △DFA 中，
∠AEB=∠DAF,∠B=∠AFD,AB=DF,
∴△ABE≌△DFAAAS，
∴AE=AD，
∴AE=BC．
（2） 由（1）得：△ABE≌△DFA，
∴BE=AF=4，AE=BC，
∵∠B=90∘，
∴AE=AB2+BE2=32+42=5，
∴BC=5，
∴EC=BC−BE=5−4=1．
24. （1） x>1
【解析】通过图 1 可以得到 kx+b>0k≠0 的解集为 x>1．
（2） x1=−1，x2=2；x1<−1，x2>2
【解析】通过图 2 可以得到：
①关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0a≠0 的解为 x1=−1，x2=2；
②关于 x 的不等式 ax2+bx+c>0a≠0 的解集为 x1<−1，x2>2．
25. （1） 10；0.26；26
【解析】12÷0.12=100（人），a=100×0.10=10（人），
b=1−0.12−0.10−0.32−0.20=0.26，c=100×0.26=26（人）．
（2） 由（1）得，a=10，c=26，可补全频数分布直方图．
（3） 1000×26%+20%=460（人）．
由于测试通过的学生人数所占的百分比为 46%，不到一半，因此测试通过率较低，还需进一步加强学习，宣传，增强“垃圾分类”的意识，自觉进行“垃圾分类”．
26. （1） 1；1
【解析】① ∵ 正比例函数 y=kxk≠0 图象过点 1,1，
∴ 代入得：1=k，即 k=1；
②如图，直线 y=x 、直线 x=3 和 x 轴围成的三角形是 ABC，
则三角形 ABC 内的“整点坐标”有点，2,1，共 1 个．
（2） 当直线 y=kx 过点 D2,3 时，其关系式为 y=32x；
当直线 y=kx 过点 A3,3 时，其关系式为 y=x．
∴ 当三角形内有 3 个“整点坐标”，k 的取值范围为 127. （1） 图形如图所示．
（2） 结论：BF=2AE．
理由：过点 F 作 FH⊥AB，交 AB 的延长线于 H．
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AD=AB，∠A=90∘，
∵∠DEF=∠H=90∘，
∴∠A=∠H=90∘，
∵∠AED+∠FEH=90∘，∠FEH+∠EFH=90∘，
∴∠AED=∠AFH，
∵DE=EF，
∴△DAE≌△EHFAAS，
∴AE=FH，AD=EH，
∴AB=EH，
∴AE=BH=FH，
∴BF=2FH=2AE．
28. （1） 4,2 或 4,−2
【解析】因为 x=2∣y∣，且 x=4，
所以 y=±2，
所以在直线 x=4 上的“特征点”为 4,2 或 4,−2．
（2） 4,2 或 43,−23
【解析】因为 x=2∣y∣，
所以 y=x2 或 y=−x2，
所以“特征点”在直线 y=x2 或直线 y=−x2 上，
由题意可得：y=x−2,y=x2 或 y=x−2,y=−x2
解得 x=4.y=2 或 x=43,y=−23,
所以一次函数 y=x−2 的图象上的“特征点”为 4,2 或 43,−23．
（3） 如图，
当 M1,a 在直线 y=x2 上时，
所以 a=12，
当 N4,a 在直线 y=x2 上时，
所以 a=42=2，
所以当 12≤a≤2 时，线段 MN 上有“特征点”；
当 M1,a 在直线 y=−x2 上时，
所以 a=−12，
当 N4,a 在直线 y=−x2 上时，
所以 a=−42=−2，
所以当 −2≤a≤−12 时，线段 MN 上有“特征点”；
综上所述：当 12≤a≤2 或 −2≤a≤−12 时，线段 MN 上始终存在“特征点”．