2019-2020学年上海市黄浦区九上期末数学试卷（一模）

这是一份2019-2020学年上海市黄浦区九上期末数学试卷（一模），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 已知线段 a=2，b=4，如果线段 b 是线段 a 和 c 的比例中项，那么线段 c 的长度是
A. 8B. 6C. 22D. 2

2. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，如果 ∠A=α，AB=m，那么线段 AC 的长可表示为
A. m⋅sinαB. m⋅csαC. m⋅tanαD. m⋅ctα

3. 已知一个单位向量 e，设 a，b 是非零向量，那么下列等式中正确的是
A. 1aa=eB. ea=a
C. be=bD. 1aa=1bb

4. 将二次函数 y=x2 的图象先向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得图象对应的函数表达式是
A. y=x+12+2B. y=x+12−2
C. y=x−12−2D. y=x−12+2

5. 在 △ABC 与 △DEF 中，∠A=∠D=60∘，ABDF=ACDE，如果 ∠B=50∘，那么 ∠E 的度数是
A. 50∘B. 60∘C. 70∘D. 80∘

6. 如图点 D，E 分别在 △ABC 的两边 BA，CA 的延长线上，下列条件能判定 ED∥BC 的是
A. ADAB=DEBCB. ADAC=AEAB
C. AD⋅AB=DE⋅BCD. AD⋅AC=AB⋅AE

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 计算：23b−2a+a−2b= ．

8. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在 △ABC 的两边 AB，AC 上，且 DE∥BC，如果 AE=5，EC=3，DE=4，那么线段 BC 的长是 ．

9. 如图，已知 AD∥BE∥CF，它们依次交直线 l1，l2 于点 A，B，C 和点 D，E，F．如果 ABBC=23，DF=15，那么线段 DE 的长是 ．

10. 点 P 是线段 AB 的黄金分割点 AP>BP，则 BPAP= ．

11. 写出一个对称轴是直线 x=1，且经过原点的抛物线的表达式 ．

12. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90∘，BD⊥AC，垂足为点 D，如果 BC=4，sin∠DBC=23，那么线段 AB 的长是 ．

13. 如果等腰 △ABC 中，AB=AC=3，cs∠B=13，那么 cs∠A= ．

14. 如图，在 △ABC 中，BC=12，BC 上的高 AH=8，矩形 DEFG 的边 EF 在边 BC 上，顶点 D，G 分别在边 AB，AC 上．设 DE=x，矩形 DEFG 的面积为 y，那么 y 关于 x 的函数关系式是 （不需写出 x 的取值范围）．

15. 如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽 BC=6 厘米，长 CD=16 厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，边 CD 恰有一半露出水面，那么此时水面高度是 厘米．

16. 在 △ABC 中，AB=12，AC=9，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且 △ADE 与 △ABC 与相似，如果 AE=6，那么线段 AD 的长是 ．

17. 如图，在 △ABC 中，中线 BF，CE 交于点 G，且 CE⊥BF，如果 AG=5，BF=6，那么线段 CE 的长是 ．

18. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，点 D，E 在边 BC 上，∠DAE=∠B=30∘，且 ADAE=32，那么 DEBC 的值是 .

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：cs30∘tan60∘−sin60∘−ct45∘．

20. 已知，如图，点 E 在平行四边形 ABCD 的边 CD 上，且 DECE=12，设 AB=a，AD=b．
（1）用 a，b 表示 AE；（直接写出答案）
（2）设 AE=c，在答题卷中所给的图上画出 a−3c 的结果．

21. 某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验．如图，两台测角仪分别放在 A，B 位置，且离地面高均为 1 米（即 AD=BE=1 米），两台测角仪相距 50 米（即 AB=50 米）．在某一时刻无人机位于点 C（点 C 与点 A，B 在同一平面内），A 处测得其仰角为 30∘，B 处测得其仰角为 45∘．
（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，sin40∘≈0.64，cs40∘≈0.77，tan40∘≈0.84）
（1）求该时刻无人机的离地高度；（单位：米，结果保留整数）
（2）无人机沿水平方向向左飞行 2 秒后到达点 F（点 F 与点 A，B，C 在同一平面内），此时于 A 处测得无人机的仰角为 40∘，求无人机水平飞行的平均速度．（单位：米/秒，结果保留整数）

22. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y=−14x2−x+2，其顶点为 A．
（1）写出这条抛物线开口方向、顶点 A 的坐标，并说明它的变化情况；
（2）直线 BC 平行于 x 轴，交这条抛物线于 B 、 C 两点（点 B 在点 C 左侧），且 ct∠ABC=2，求点 B 坐标．

23. 已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 C 分别作 AD，AB 的垂线，交边 AD，AB 延长线于点 E，F．
（1）求证：AD⋅DE=AB⋅BF；
（2）连接 AC，如果 CFDE=ACCD，求证：AC2BC2=AFBF．

24. 在平面直角坐标系 xOy 中，平移一条抛物线，如果平移后的新抛物线经过原抛物线顶点，且新抛物线的对称轴是 y 轴，那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线”．
（1）已知原抛物线表达式是 y=x2−2x+5，求它的“影子抛物线”的表达式；
（2）已知原抛物线经过点 1,0，且它的“影子抛物线”的表达式是 y=−x2+5，求原抛物线的表达式；
（3）小明研究后提出：“如果两条不重合的抛物线交 y 轴于同一点，且它们有相同的“影子抛物线”，那么这两条抛物线的顶点一定关于 y 轴对称．”你认为这个结论成立吗?请说明理由．

25. 如图，△ABC 是边长为 2 的等边三角形，点 D 与点 B 分别位于直线 AC 的两侧，且 AD=AC，连接 BD，CD，BD 交直线 AC 于点 E．
（1）当 ∠CAD=90∘ 时，求线段 AE 的长．
（2）过点 A 作 AH⊥CD，垂足为点 H，直线 AH 交 BD 于点 F．
①当 ∠CAD<120∘ 时，设 AE=x，y=S△BCES△AEF（其中 S△BCE 表示 △BCE 的面积，S△AEF 表示 △AEF 的面积），求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；
②当 S△BCES△AEF=7 时，请直接写出线段 AE 的长．
答案
第一部分
1. A【解析】若 b 是 a，c 的比例中项，即 b2=ac，
∴42=2c，
∴c=8，
故选：A．
2. B【解析】由题意，得
csA=ACAB，
AC=AB⋅csA=m⋅csα，
故选：B．
3. B【解析】A、左边得出的是 a 的方向不是单位向量，故错误；
B、符合向量的长度及方向，正确；
C、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；
D、左边得出的是 a 的方向，右边得出的是 b 的方向，两者方向不一定相同，故错误．
故选：B．
4. B【解析】原抛物线的顶点为 0,0，向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，那么新抛物线的顶点为 −1,−2，
可设新抛物线的解析式为：y=x−h2+k，
代入得：y=x+12−2，
∴ 所得图象的解析式为：y=x+12−2．
5. C
【解析】∵∠A=∠D=60∘，ABDF=ACDE，
∴△ABC∽△DFE，
∴∠B 与 ∠F 是对应角，∠C 与 ∠E 是对应角，
故 ∠E=∠C=180∘−∠A+∠B=180∘−60∘+50∘=70∘．
故选：C．
6. D【解析】A．∵ADAB=DEBC，∠EAD=∠BAC，不符合两边对应成比例及夹角相等的相似三角形判定定理．
无法判断 △ADE 与 △ABC 相似，即不能推出 DE∥BC，故本选项错误；
B．∵ADAC=AEAB
∵∠EAD=∠BAC，
∴△ADE∽△ACB，
∴∠E=∠B，∠D=∠C，
即不能推出 DE∥BC，故本选项错误；
C．由 AD⋅AB=DE⋅BC 可知 ABBC=DEAD，不能推出 △DAE∽△BAC，
即不能推出 ∠D=∠B，即不能推出两直线平行，故本选项错误；
D．∵AD⋅AC=AB⋅AE，
∴ADAB=AEAC，
∵∠EAD=∠BAC，
∴△DAE∽△BAC，
∴∠D=∠B，
∴DE∥BC，故本选项正确．
第二部分
7. −3a+4b
【解析】23b−2a+a−2b=6b−4a+a−2b=−3a+4b．
故答案为：−3a+4b．
8. 325
【解析】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AEAC=DEBC，
又 ∵AE=5，EC=3，DE=4，
∴55+3=4BC，
解得：BC=325．
9. 6
【解析】∵AD∥BE∥FC，
∴ABBC=DEEF=23，
∵DF=15，
∴DE15−DE=23，
解得：DE=6，
故答案为：6．
10. 5−12．
【解析】∵ 点 P 是线段 AB 的黄金分割点 AP>BP，
∴BPAP=APAB=5−12．
故答案为 5−12．
11. 答案不唯一（如 y=x2−2x）
【解析】∵ 对称轴是直线 x=1 的抛物线可为：y=x−12=x2−2x+1，
又 ∵ 抛物线经过原点，即 c=0，
∴ 对称轴是直线 x=1，且经过原点的抛物线的表达式可以为：y=x2−2x，
故本题答案：y=x2−2x（答案不唯一）．
12. 25
【解析】在 Rt△BDC 中，
∵BC=4，sin∠DBC=23，
∴CD=BC×sin∠DBC=4×23=83，
∴BD=BC2−CD2=453，
∵∠ABC=90∘，BD⊥AC，
∴∠A=∠DBC，
在 Rt△ABD 中，
∴AB=BDsin∠A=453×32=25，
故答案为：25．
13. 79
【解析】过点 A 作 AE⊥BC 于点 E，过点 B 作 BD⊥AC 于点 D，
∵cs∠B=13，
∴BEAB=13，BDBC=13，
∵AB=AC=3，
∴BE=EC=1，BC=2，
又 ∵BDBC=13，
∴BD=23，
∴AD=AC−CD=3−23=73，
∵cs∠A=ADAC，
∴ADAC=733=79，
故答案为：79．
14. y=−32x2+12x
【解析】∵ 四边形 DEFG 是矩形，BC=12，BC 上的高 AH=8，DE=x，矩形 DEFG 的面积为 y，
∴DG∥EF，
∴△ADG∽△ABC，
∴8−x8=DG12，得 DG=38−x2，
∴y=x⋅38−x2=−32x2+12x．
15. 485
【解析】过点 B 作 BF⊥AF 于 F，如图所示：
∵BC=6 厘米，CD=16 厘米，CE=12CD，
∴CE=8 厘米，
∵∠C=90∘，
由勾股定理得：BE=BC2+CE2=62+82=10，
∵∠BCE=∠FBE=90∘，
∴∠EBC=∠ABF，
∵∠BCE=∠BFA=90∘，
∴△CBE∽△FBA，
∴BEAB=BCBF，
即 1016=6BF，
∴BF=485，
故答案为：485．
16. 8 或 92
【解析】∵∠DAE=∠BAC，
∴ 当 △ADE∽△ABC，则 ADAB=AEAC，即 AD12=69，解得 AD=8；
当 △AED∽△ABC，则 AEAB=ADAC，即 612=AD9，解得 AD=92．
综上所述，AD 的长为 8 或 92．
17. 92
【解析】延长 AG 交 BC 于 D 点，
∵ 中线 BF，CE 交于点 G，
∵△ABC 的两条中线 AD，CE 交于点 G，
∴ 点 G 是 △ABC 的重心，D 是 BC 的中点，
∴AG=23AD，CG=23CE，BG=23BF，
∵AG=5，BF=6，
∴DG=52，BG=4．
∵CE⊥BF，即 ∠BGC=90∘，
∴BC=2DG=5，
在 Rt△BGC 中，CG=BC2−BG2=52−42=3，
∴CG=32CG=92，
故答案为：92．
18. 13318−1
【解析】∵∠BAE=∠DAE+∠BAD，∠ADE=∠B+∠BAD，
又 ∵∠DAE=∠B=30∘，
∴∠BAE=∠ADE，
∴△ABE∽△DAE，
∴ABBE=ADAE=32，AE2=BE⋅DE，
过 A 点作 AH⊥BC，垂足为 H，
设 AB=3x，则 BE=2x，
∵∠B=30∘，
∴AH=12AB=32x，BH=332AB=332x，
∴EH=BH−BE=332−2x，
在 Rt△AHE 中，AE2=AH2+EH2=32x2+332x−2x2=13−63x2，
又 ∵AE2=BE⋅DE，
∴13−63x2=2x⋅DE，
∴DE=13−632x，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BC=2BH=33x，
∴DEBC=13−632x33x=13318−1，
故答案为：DEBC=13−632x33x=13318−1 .
第三部分
19. 原式=323−32−1=0.
20. （1） 13a+b．
【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴CD=AB=a，
∵DECE=12，
∴DE=13BC=13a，
∴AE=AD+DE=b+13a=13a+b．
（2） 如图，延长 AE，BC 交与 G，则 GB 即为所求．
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴DECE=AEEG=12，
∴AG=3AE，
又 ∵AE=c，
∴AG=3c，
∴GB=AB−AG=a−3c．
21. （1） 如图，过点 C 作 CH⊥AB，垂足为点 H．
∵∠CBA=45∘，
∴BH=CH．
设 CH=x，则 BH=x．
∵ 在 Rt△ACH 中，∠CAB=30∘，
∴AH=3CH=3x．
∴x+3x=50．解得：x=503+1≈18．
∴18+1=19．
答：计算得到的无人机的高约为 19 m．
（2） 过点 F 作 FG⊥AB，垂足为点 G．
在 Rt△AGF 中，tan∠FAG=FGAG，FG=CH=18，
∴AG=FGtan40∘≈180.84≈21.4．
又 AH=3CH≈31.14．
∴31.14−21.42≈5 或 31.14+21.42≈26．
答：计算得到的无人机的平均速度约为 5 米/秒或 26 米/秒．
22. （1） 抛物线 y=−14x2−x+2=−14x+22+3 的开口方向向下，顶点 A 的坐标是 −2,3，
抛物线的变化情况是：在对称轴直线 x=−2 左侧部分是上升的，右侧部分是下降的；
（2） 如图，设直线 BC 与对称轴交于点 D，则 AD⊥BD．
设线段 AD 的长为 m，则 BD=AD⋅ct∠ABC=2m，
∴ 点 B 的坐标可表示为 −2m−2,3−m，
代入 y=−14x2−x+2，得 3−m=−14−2m−22−−2m−2+2．
解得 m1=0（舍），m2=1，
∴ 点 B 的坐标为 −4,2．
23. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴CD∥AB，AD∥BC，
∴∠CDE=∠DAB，∠CBF=∠DAB，
∴∠CDE=∠CBF，
∵CE⊥AE，CF⊥AF，
∴∠CED=∠CFB=90∘，
∴△CDE∽△CBF，
BCBF=CDDE，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴BC=AD，CD=AB，
∴ADBF=ABDE，
∴AD⋅DE=AB⋅BF．
（2） 如图：
∵CFDE=ACCD，∠CED=∠CFB=90∘，
∴△ACF∽△CDE，
又 ∵△CDE∽△CBF，
∴△ACF∽△CBF，
∴S△ACFS△CBF=AC2BC2，
又 ∵S△ACFS△CBF=12AF⋅CF12BF⋅CF=AFBF，
∴AC2BC2=AFBF．
24. （1） ∵ 原抛物线表达式是 y=x2−2x+5=x−12+4
∴ 原抛物线的顶点是 1,4，
设影子抛物线表达式是 y=x2+n，
将 1,4 代入 y=x2+n，解得 n=3，
所以“影子抛物线”的表达式是 y=x2+3．
（2） 设原抛物线表达式是 y=−x+m2+k，
则原抛物线顶点是 −m,k，
将 −m,k 代入 y=−x2+5，得 −−m2+5=k⋯⋯①，
将 1,0 代入 y=−x+m2+k,0=−1+m2+k⋯⋯②，
由①，②解得 m1=1k1=4，m2=−2k2=1
所以，原抛物线表达式是 y=−x+12+4 或 y=−x−22+1．
（3） 结论成立．
设影子抛物线表达式是 y=ax2+n，原抛物线于 y 轴交点坐标为 0,c
则两条原抛物线可表示为 y1=ax2+b1x+c 与抛物线 y2=ax2+b2x+c（其中 a，b1，b2，c 是常数，且 a≠0，b1≠b2）
由题意，可知两个抛物线的顶点分别是 P1−b12a,4ac−b124a，P2−b22a,4ac−b224a
将 P1 、 P2 分别代入 y=ax2+n，
得 a−b12a2+n=4ac−b124a,a−b22a2+n=4ac−b224a.
消去 n 得 b12=b22，
∵b1≠b2，
∴b1=−b2，
∴P1b22a,4ac−b224a，P2−b22a,4ac−b224a，
∴P1 、 P2 关于 y 轴对称．
25. （1） ∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=BC−AC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60∘．
∵AD=AC，
∴AD=AB，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ABD+∠ADB+∠BAC+∠CAD=180∘，∠CAD=90∘，∠ABD=15∘，
∴∠EBC=45∘．
过点 E 作 EG⊥BC，垂足为点 G．
设 AE=x，则 EC=2−x．
在 Rt△CGE 中，∠ACB=60∘，
∴EG=EC⋅sin∠ACB=322−x，CG=EC⋅cs∠ACB=1−12x，
∴BG=2−CG=1+12x，
在 Rt△BGE 中，∠EBC=45∘，
∴1+12x=322−x，解得 x=4−23．
∴ 线段 AE 的长是 4−23．
（2） ①设 ∠ABD=α，则 ∠BDA=α，∠DAC=∠BAD−∠BAC=120∘−2α．
∵AD=AC，AH⊥CD，
∴∠CAF=12∠DAC=60∘−α，
又 ∵∠AEF=60∘+α，
∴∠AFE=60∘，
∴∠AFE=∠ACB，
又 ∵∠AEF=∠BEC，
∴△AEF∽△BEC，
∴S△BCES△AEF=BE2AE2，
由（1）得，在 Rt△CGE 中，BG=1+12x，EG=322−x，
∴BE2=BG2+EG2=x2−2x+4，
∴y=x2−2x+4x20② AE=23 或 AE=1．
【解析】②当 ∠CAD<120∘ 时，
y=7，则有 7=x2−2x+4x2，
整理得 3x2+x−2=0，解得 x=23 或 −1（舍弃），
AE=23．
当 120∘<∠CAD<180∘ 时，
同法可得 y=x2+2x+4x2，
当 y=7 时，7=x2+2x+4x2，
整理得 3x2−x−2=0，解得 x=−23舍弃或 1，
∴AE=1．
综上所述：当 ∠CAD<120∘ 时，AE=23；
当 120∘<∠CAD<180∘ 时，AE=1．