2018-2019学年浙江省温州市瑞安市安阳实验中学九上期末数学试卷

这是一份2018-2019学年浙江省温州市瑞安市安阳实验中学九上期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 抛物线 y=ax2 的开口向上，则 a 的值可以是
A. 1B. −1C. −2D. −3

2. 一个布袋里装有 4 个只有颜色不同的球，其中红球 3 个，白球 1 个．则随机摸出一个球是红球的概率为
A. 12B. 13C. 14D. 34

3. 如图，已知 D 为 △ABC 中点，DE∥BC 交 AC 于 E，DE=3，则 BC 的长为
A. 9B. 6C. 5D. 4

4. 如图，已知 ⊙O 内两条弦 AB，AC，AB⊥AC，AB=2，AC=4，则 ⊙O 的半径为
A. 5B. 10C. 5D. 25

5. 抛物线 y=2x2+c 上有点 P1,y1 和 Q2,y2，则 y1 与 y2 的大小比较为
A. y1≤y2B. y1≥y2C. y1y2

6. 在一个暗箱里放有 P 个除颜色外完全相同的球，这 P 个球中红球只有 3 个．每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回．通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率在 20%，由此可推算出 P 约为
A. 15B. 12C. 9D. 6

7. 如图，已知 ⊙O 半径为 3，A，B，C 为圆周上三个点，∠ACB=45∘，则扇形 AOB 的面积为
A. 92πB. 94πC. 34πD. 32π

8. 如图，已知矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，点 E 为 BC 中点，EF⊥AE 交 CD 于 F，则 CF 的长为
A. 1B. 53C. 32D. 43

9. 如图，已知抛物线 y=ax+1x−4 与 x 轴的交点为 A，B，与 y 轴的交点为 C，若 ∠ACB=90∘，则点 C 的坐标为
A. 0,1B. 0,2C. 0,2D. 2,0

10. 在网格图中，每个小正方形的顶点称为格点．以顶点都是格点的正方形 ABCD 的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点 E，F，G，H 都是格点，且四边形 EFGH 为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图，例如，在如图所示的格点弦图中，延长 BE 交 AD 于 P，正方形 ABCD 的边长为 10，此时 AE=EH．问：当格点弦图中的正方形 ABCD 的边长为 10，且 AEA. 19B. 49C. 27D. 18

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 若 a3=b5，则 a+bb= ．

12. 抛掷一枚质地均匀的硬币，前两次硬币均正面朝上，那么第三次抛硬币正面朝上的概率为 ．

13. 如图，已知经过 B，C 的 ⊙O，分别交 △ABC 的 AB，AC 两边于 D，E，∠A=56∘，∠AED=47∘，则 ∠C 的度数为 ．

14. 如图，已知 △ABC 中，边 BC=5，D，E 为 BC 上两点，DE=3，以 DE 为边的矩形 DEFG，顶点 G，F 恰好落在 △ABC 的边 AB，AC 上，GD=1，则 △AGF 的高 AH 的长为 ．

15. 如图 1，有一个圆形标志，中间有两个全等的三角形，经观察和测量发现：如图 2，△ABC 内接于 ⊙O，△DEF≌△ABC，点 E，F 在圆周上，BC∥EF，AD 所在直线恰好经过圆心 O，若 AB=AC=25，AD=3，则 ⊙O 的半径长为 ．

16. 如图，高楼 AB 发生火灾，有 A，C 两个着火点．以地面 OB 为 x 轴，消防员站在 O 处，高压水枪出水口 P 在 O 点上方，把水喷到 A 处进行灭火，水流路线呈抛物线 y=−19x2+b1x+c，且经过图中所示的正六边形 MACEDF 的另一个顶点 F．AB⊥OB，M⊥OB，OH=93 m，AB=25 m，A 处的火被灭了后，消防员保持出水口 P 不变，调整水流路线再把水喷到 C 处灭火，此时水流路线抛物线为 y=−112x2+b2x+c，且经过点 D，则 AC 的距离为 m．

三、解答题（共8小题；共104分）
17. 如图，二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交与 A1,0，B3,0 两点，与 y 轴交于点 C，顶点为 D．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）求点 C 、点 D 的坐标．

18. 从 1，2，12，−1 这四个数中先取出一个数，记作 m，再从剩下的三个数中取出第二个数 n．
（1）试用列表或画树状图的方法列举出所有的可能．
（2）求出 m
19. 如图，在四边形 ABCD 中，∠A=∠ABC=∠CDB=90∘．
（1）求证：△ABD∽△DCB．
（2）若 AD=2，BC=6.5，求 AB 的长．

20. 如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，A，B，C，D，E 的坐标分别为：1,0，2,0，2,2，3,1，0,4，请从这六个点中任意取 4∼6 个点，作为两个三角形的顶点，使得这两个三角形相似，请在图（1）、图（2）中各画出一组相似三角形．

21. 如图，在 △ABC 中，AC=BC，∠ACB=90∘，⊙O （圆心 O 在 △ABC 内部）经过 B，C 两点，交 AC 于点 D，交 AB 于点 E．
（1）求证：△ADE 是等腰直角三角形．
（2）若点 D 恰好是 CE 的中点，且 CE=42，求 BC 的长．

22. 小明准备给单位会议室地面铺设瓷砖，现将其划分成一个长方形 ABCD 区域 I（阴影部分）和一个环形区域 II（空白部分），其中区域 I 用甲、乙两种瓷砖铺设，区域 II 用丙瓷砖铺设，且满足 AE=BE=CF=DF，如图所示．
（1）若 EF=6 米，且用乙瓷砖铺设的两块区域可以拼成一个正六边形，求 AB 的长．
（2）若 AB=8 米，BC=11 米，区域 II 四周宽度相等，会议室地面的长与宽之比为 5:4．
①求会议室地面的面积．
②若甲、丙瓷砖的单价为 50 元/米2，乙瓷砖的单价随着购买数量乙的增加而降低，当购买 44 米2 时，单价为 80 元/米2，每增加 1 米2，单价就减少 0.5 元，求铺好会议室地面最多需要付多少钱?

23. 如图，抛物线 y=−25x2+125x 与 x 轴交于点 A，点 P 是抛物线上第一象限内一个动点，过点 P 作 x 轴的平行线，交抛物线于另一点 Q，过点 P 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 H．
（1）求抛物线的对称轴和点 A 的坐标．
（2）若点 P 的横坐标为 5，连接 QH，试判断 △PHA 与 △HPQ 是否相似，并说明理由．
（3）当 △PHA≌△HPQ 时．
①求点 P 的坐标．
②设 ∠APH=α∘，将线段 OH 绕点 O 按逆时针方向旋转 α∘，得到 QHʹ，请直接写出 QHʹ 与 QH 的交点 M 的坐标．

24. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，AC=8，BC=6，D 是 AB 的中点，点 P 是射线 CD 上的一个动点，点 Q 是射线 BC 上的一个动点，且满足 QB=QP，作 ⊙O 过 C，P，Q 三点．
（1）当点 Q 落在 BC 边上时，若 CP=100∘，求 ∠BPQ 的度数．
（2）设 ⊙O 与 AC 交于点 E，若 EC=EP，求证：BP⊥CD．
（3）当点 O 落在 CB 或 CD 边上时，求 ⊙O 的半径．
（4）设 ⊙O 与直线 AC 交于点 E，当 PE∥AB 时，求 PQ 的长．（直接写出答案即可）
答案
第一部分
1. A【解析】∵ 抛物线开口向上，
∴a>0．
故选A．
2. D【解析】一个布袋里装有 4 个只有颜色不同的球，其中红球 3 个，白球 1 个．
则随机摸出一个球是红球的概率为 34．
3. B【解析】∵D 为 △ABC 边 AB 和中点，
∴AD=BD，
∵DE∥BC，
∴AE=CE，
∴DE=12BC=3，
∴BC=6．
4. A【解析】如图：连接 BC．
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90∘，
∴BC 是 ⊙O 的直径．
∵BC=AB2+AC2=22+42=25，
∴⊙O 的半径为 12BC=12×25=5．
5. C
【解析】抛物线 y=2x2+c 上有点 P1,y1，Q2,y2，
∴y1=2×12+c=c+2，y2=2×22+c=c+8，
∵c+8>c+2，
∴y2>y1．
6. A【解析】在每次试验中，摸到某一颜色的球的概率为 =该种颜色球的数量口袋中球的总数，
根据利用频率估计概率的知识，可知 3P=20%，解得 P=15，
经检验，P=15 是原分式方程的解，
因此，P 大约是 15．
7. B【解析】∵∠ACB=45∘，
∴∠AOB=2∠ACB=90∘，
∵⊙O 半径为 3，
∴ 扇形 AOB 的面积为 90π⋅32360=9π4．
8. D【解析】∵∠AEF=90∘，
∴∠AEB+∠FEC=90∘，
又 ∵∠BAE+∠AEB=90∘，
∴∠FEC=∠BAE，
又 ∵∠B=∠C=90∘，
∴△BAE∽△CEF，
∴ABBE=ECCF，
∴CF=BE⋅ECAB=2×23=43．
9. C【解析】∵y=ax+1x−4 与 x 轴交于 A，B 两点，
∴A 点坐标为 −1,0，B 点坐标为 4,0，
∴OA=1，OB=4，
∵∠ACB=90∘，∠AOC=∠BOC=90∘，
∴ 由射影定理可得：OC2=OA×OB，
∴OC2=1×4=4，
∴OC=2，
∴C 点坐标为 0,2．
10. D
【解析】由图可得 AP=3+13=103，
∴S△AFP=12⋅AP⋅7=72×103×353，SPEHD=PE+DH⋅EH×12
∵PE=132+12=109=103，
DH=12+32=10，EH=22+62=210，
∴S梯形PEHD=12×103+10×210=403，
∴S△AFPS梯形PEHD=353×340=3540=78．
没有答案，我猜测应该求的是 S△APE 与 S梯形PEHD，
∵S△APE=12×103×1=53，
∴S△APES梯形PEHD=53×340=18．
第二部分
11. 85
【解析】设 a3=b5=x，则 a=3x，b=5x，
∴a+bb=3x+5x5x=85．
12. 12
【解析】掷一枚均匀的硬币，前两次抛掷的结果都是正面朝上，
那么第三次抛掷的结果正面朝上的概率为 12．
13. 77∘
【解析】∵∠A=56∘，∠AED=47∘，
∴∠ADE=180∘−∠A−∠AED=180∘−56∘−47∘=77∘，
∵∠ADE=∠C，
∴∠C=77∘．
14. 32
【解析】∵DEFG 为矩形，
∴GF∥DE 且 GF=DE，
∴AGAB=GFBC=35，则 AGGB=35−3=32，
∵∠B=∠AGH，∠AHG=∠BDG=90∘，
∴△AGH∽△GBD，
∴AHGD=AGGB=32，
又 ∵GD=1，
∴AH=32×1=32．
15. 4
【解析】如图，连接 BE，CF，CE，BF．
∵AB=AC，AG 为直径，
∴AG⊥BC，∠GAC=12∠BAC，
∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，AC=DF，∠EDF=∠BAC，
∴∠HDF=∠GAC=12∠BAC，
∴AC 平行且等于 DF，
∴ 四边形 ADFC 为平行四边形，
∴AC 平行且等于 CF，
∴CF=AD=3，CF⊥BC，
∵BC∥EF，BC=EF，
∴ 四边形 ECFC 为平行四边形，
∵CF⊥BC，
∴ 平行四边形 BCFE 为矩形，
由题意，设半径为 r，AI=DH=x，
∵ 四边形 BCFE 为矩形，
∴OI=OH=12CF=32，
∴AI=OA−OI，即 x=r−32，
在 Rt△BCF 中，BC2=BF2−CF2，即 BC2=4r2−9，
在 Rt△ABI 中，BI2=AB2−AI2，即 BI2=252−r−322，
∵BC2=4BI2，
∴4r2−9=4252−r−322，
∴2r2−3r−20=0，
∴r1=4，r2=−52（舍），
∴ 综上，⊙O 的半径为 4．
16. 254
【解析】如图，以 OB 为 x 轴，以 HM 为 y 轴建立平面直角坐标系．
∵ 六边形 MACEDF 是正六边形，
∴A，F 关于 MH 对称，M 为顶点，
∴ 抛物线 y=−19x2+b1x+c 的对称轴为 y 轴，
∴b1=0，
∵OH=93 m，
∴O−93,0，即 0=−19×932+c，解得 c=27，
∴ 抛物线的解析式为 y=−19x2+27．
∵AB=25，
∴25=−19x2+27，x=±32．
∴A32,25，
同理，
∵ 六边形 MACED 是正六边形，
∴C，D 关于 MH 对称，E 为顶点，
∴ 抛物线 y=−112x2+b2x+c 的对称轴为 y 轴，
∴b2=0，
∵P−93,0，即 0=−112932+c，c=814．
∴ 抛物线的解析式为 y=−112x2+814，
当 x=32 时，y=754，
∴C32,754，
∴AC=25−754=254．
第三部分
17. （1） 用交点式函数表达式得：y=x−1x−3=x2−4x+3．
故二次函数表达式为：y=x2−4x+3．
（2） y=x2−4x+3=x−22−1，
∴D2,−1，
令 x=0，y=3，
∴C0,3．
18. （1） 用树状图表示如下：
（2） 共有 12 种等可能情况，
其中 m故其概率为 612=12．
19. （1） ∵∠A=∠ABC=∠CDB=90∘，
∴∠ABD+∠ADB=90∘，∠ABD+∠CBD=90∘
∴∠ADB=∠CBD，
∴△ABD∽△DCB．
（2） ∵△ABD∽△DCB，
∴ADBD=BDBC，
又 ∵AD=2，BC=6.5，
∴2BD=BD6.5，解得 BD=13．
在 Rt△ABD 中，由勾股定理得：AB=BD2−AD2=13−22=3．
20. 图 1 中，△OCE∽△BDC，
OC=22+22=22，CE=22+22=22，
OE=4，BD=12+12=2，CD=12+12=2，BC=2，
OCBD=222=2，CEDC=222=2，OEBC=42=2，
∴OCBD=CEDC=OEBC=2，
∴△OCE∽△BOC；
图 2 中，△OBE∽△CDO，
OB=2，OE=4，BE=22+42=25，
CD=12+12=2，CO=22+22=22，OD=32+12=10，
OBCD=22=2，OECO=422=2，BEDO=2510=2，
∴OBCD=OECO=BEDO=2，
∴△OBE∽△CDO．
21. （1） ∵BCDE 四点共圆，∠C=90∘
∴∠AED=90∘，
∵AC=BC，∠C=90∘，
∴∠A=45∘，
∴∠ADE=90∘−45∘=45∘=∠A，
∴△ADE 为等腰 Rt△．
（2） 连接 BD，OE，CE=ED，
则 BD⊥CE，
∴∠DOE=45∘，
∴△EOH 为等腰 Rt△，
∴OE=2，HE=4=γ，
∠BOE=180∘−45∘=135∘，
∴BC=135∘π180⋅4=3π．
22. （1） 过点 E 作 EM⊥AB 交 AB 于 M，
过点 F 作 FN⊥CD 交 CD 于 N，
∵ 用乙瓷砖铺设的两块区域可以拼成一个正六边形，
∴AD=2EF=12，AE=EF=6，
∵ 四边形 ABCD 是长方形，
∴AB=CD，
在 △ABE 和 △DCF 中，
AE=DF,EB=FC,AB=CD,
∴△ABE≌△DCF，
∴EM=FN=12AD−EF=3，
在 Rt△AEM 中，AM=AE2−ME2=62−32=33，
∵AE=BE，EM⊥AB，
∴AB=2AM=63．
（2） ①设区域 II 的宽度为 x，则会议室的长为 11+2x 米，宽为 8+2x 米，
∵ 会议室地面的长与宽之比为 5:4，
∴11+2x8+2x=54，解得 x=2，
∴ 会议室地面的长为 15 米，宽为 12 米．
S=15×12=180 平方米，
答：会议室地面面积为 180 平方米．
② ∵AB=8，BC=11，
∴S长方形ABCD=8×11=88 m2，
SII=15×2×2+8×2×2=92 m2，
设阴影部分的面积为 x 平方米 x<88，
当阴影部分的面积越大时，铺好会议室所需要的费用越高．
∴x>44，
设铺好会议时所需费用为 y，
y=92×50+88−x×50+80−x−44×0.5x=−0.5x2+58x+9000=−0.5x−582+10682.
∴ 当阴影部分面积为 58 m2 时，铺好会议室地面需要支付钱最多需要 10682 元．
23. （1） y=−25x2+125x=−25x−32+185，
∴ 对称轴：x=3，
令 y=−25x2+125x=0，x1=0，x2=6．
∴ A6,0．
（2） △QPH∽△PHA．
将 xP=5，代入 y=−25x2+125x，
∴ yP=2，
∵ PQ∥x轴，
∴ yQ=2，代入 y=−25x2+125x，2=−25x2+125x
∴ x1=1，x2=5，
∴ Q1,2，
∴ PQ=4，
∵ PH⊥x轴，
∴ H5,0，∠QPH=∠PHA=90∘，
∴ AH=1，PH=2，
∴ QPPH=PHAH=12，
∴ △QPH∽△PHA．
（3） ① ∵ △PHA≌△HPQ，
∴ PA=HQ，HA=PQ，
∴ 四边形 PQHA 为平行四边形，
①设 PQ=HA=a，
则 H6−a,0，
∴ xP=6−a，xQ=6−2a，
∵ PQ∥x轴，
∴ PQ 关于 x=3 对称，
∴ 6−a+6−2a=3×2，a=2，
∴ xP=4，
∴ yP=−25×42+125×4=165，
∴ P4,165．
② M25689,16089．
【解析】② ∵ 平形四边形 QHAP，
∴ QH∥PA，
∴ ∠APH=∠QHP=α，
∵ ∠QHP+∠OHQ=α+∠OHQ=90∘，
∴ 当 OH 旋转 α 时，DH′⊥QH．
由①知，Q2,165，H4,0．
易知：QH：y=−85x+325，
∴ QHʹ：y=58x．
联立 y=58x,y=−58x+325, x=25689,y=16089,
∴ M25689,16089．
24. （1） 如图 1，连接 OC，OP，
∵CP=100∘，
∴∠COP=100∘，
∴∠CQP=12∠COP=12×100∘=50∘，
∵BQ=PQ，
∴∠BPQ=∠PBQ，
∵∠CQP=∠BPQ+∠PBQ，
∴∠BPQ=12∠CQP=12×50∘=25∘．
（2） ∵∠ACB=90∘，
∴∠EPQ=180∘−∠ECQ=180∘−90∘=90∘，
∵BQ=QP，CE=EP，
∴BQCE=PQEP，
又 ∵∠BQP=∠CEP，
∴△BPQ∽△CPE，
∴∠BPQ=∠CPE，
∴∠BPC=∠BPQ+∠CPQ=∠CPE+∠CPQ=∠EPQ=90∘，
∴BP⊥CD．
（3） 在 Rt△ABC 中，由勾股定理，有 AB=AC2+BC2=82+62=10，
∴sin∠ABC=ACAB=810=45，tan∠ABC=ACBC=86=43，
∵tan∠ACB=90∘，D 是 AB 的中点，
∴AD=BD=CD=12AB=12×10=5，
∴∠BCD=∠CBD，
∴sin∠BCD=sin∠CBD=45，
tan∠BCD=tan∠CBD=43，
设 ⊙O 的半径为 r，
①当 O 落在 CB 边上，
∴CQ 是 ⊙O 的直径，
∴∠CPQ=90∘，
设 BQ=PQ=a，
则 CQ=BC−BQ=6−a，
在 Rt△CPQ，sin∠PCQ=PQCQ=a6−a=45，解得 a=83，
∴CQ=6−a=6−83=103，
∴r=12CQ=12×103=53；
②点 O 落在 CD 边上，
∴CP 是 ⊙O 的直径，
∴∠CQP=90∘，
设 BQ=PQ=b，
则 CQ=BC−BQ=6−b，
在 Rt△CPQ 中，tan∠PCQ=PQCQ=b6−b=43，解得 b=247，
∴PQ=b=247，CQ=6−b=6−247=187，
在 Rt△CPQ 中，由勾股定理，
有 CP=CQ2+PQ2=1872+2472=307，
∴r=12CP=12×307=157，
综上所述，当点 O 落在 CB 边上时，⊙O 的半径为 53；
当点 O 落在 CD 边上时，⊙O 的半径为 157．
（4） PQ=12013
【解析】①点 Q 在 BC 上，
如图 2，连接 EQ，
则 ∠CPE=∠CQE，
∵PE∥AB，
∴∠CPE=∠CDA（两直线平行，同位角相等），
∴∠CDA=∠CQE=∠CPE，
∵AC=8，BC=6，
∴AC>BC，
∴∠ABC>∠A，
∵∠A+∠ABC=90∘，
∴∠A<45∘，
∵AD=CD，
∴∠A=∠ACD，
∴∠ADC=180∘−∠A−∠ACD=180∘−2∠A>90∘，即 ∠ADC 是钝角，
∵∠CQE 始终是锐角，
∴∠ADC≠∠CQE，
这与 ∠CDA=∠CQE 矛盾，
故此种情况不存在，舍去；
②点 Q 在 BC 的延长线上，
如图 3，设 CE 与 PQ 交于 F，连接 EQ，
∵PE∥AB，
∴∠CEP=∠CAD（两直线平行，同位角相等），
∴∠CQP=∠CAD=∠CEP，
易知当符合题设时此种情况自然成立，
∵∠ECQ=90∘，
∴EQ 为 ⊙O 的直径，
∴∠EPQ=90∘，
在 Rt△ABC 中，sin∠BAC=BCAB=610=35，
cs∠BAC=ACAB=810=45，
tan∠BAC=BCAC=68=34，
∵∠CEP=∠CQP=∠CAD，
∴sin∠CEP=sin∠CQP=sin∠CAD=35，
cs∠CEP=cs∠CQP=cs∠CAD=45，
tan∠CEP=tan∠CQP=tan∠CAD=34，
设 CQ=x，则 BQ=PQ=BC+CQ=6+x，
在 Rt△CFQ 中，FQ=CQcs∠CQP=x45=54x，
CF=CQ⋅tan∠CQP=x⋅34=34x，
∴PF=PQ−FQ=6+x−54x=6−14x，
在 Rt△EFP 中，EF=FPsin∠FEP=6−14x35=10−512x，
PE=FPtan∠FEP=6−14x34=8−13x，
∴CE=CF+EF=34x+10−512x=10+13x，
∵PE∥AB，
∴△CEP∽△CAB，
∴CEPE=ACAD，即 10+13x8−13x=85，解得 x=4213，
∴BQ=PQ=6+x=6+4213=12013．