高中数学人教版新课标A必修1第二章 基本初等函数（Ⅰ）综合与测试学案

这是一份高中数学人教版新课标A必修1第二章 基本初等函数（Ⅰ）综合与测试学案，共42页。学案主要包含了知识链接等内容，欢迎下载使用。

2.1.1 指数与指数幂的运算（1）
学习目标
1．能说出n次方根以及根式的定义； 能记住n次方根的性质和表示方法；
2．记住根式有意义的条件并能用其求根式中字母的取值范围；
3．会运用两个常用等式进行根式的化简和求值。
课前预习
（预习教材P48～P50，找出疑惑之处）
1. 概念
（1）n次方根— 。
（2）根式— 。
2. n次方根的表示：
n的分类
a的n次方根的符号表示
a的取值范围
n为奇数


n为偶数


3. 根式的性质
（1） （n∈N＊,n＞1）
(2) .
课中学习
探究新知（一）
① 如果 ，那么 就是4的________________；
如果 ，那么3就是27的_____________________；
② 如果 ，那么x叫做a的______________________；
如果 ，那么x叫做a的______________________；
如果 ，那么x叫做a的______________________；
总结： 类比以上结论，一般地，如果 ，那么x叫做a的______________。
探究新知（二）
计算：① 64的3次方根；-32的5次方根。
② 4的2次方根；16的4次方根；-81的4次方根。
③ 0的n次方根。
总结：n次方根的性质和表示：
根式的定义：
理解新知：
根式 成立的条件是什么？
探究新知（三）
① 根式 表示什么含义？
② 等式是否成立？试举例说明。
总结：常用等式
① ②
※ 典型例题：
例1：求下列各式的值：
（1） （2）
（3） （4）
反思：
①若将例1（4）中的条件 改为 ，结果是__________；
②若将例1（4）中的条件 去掉，结果是_________________。
试试：若a≥1,化简.
※ 学习小结
①n次方根的概念和表示；②n次方根的性质；③运用两个常用等式进行根式的化简和求值。
课后练习
※ 自我检测：
1． 的值是（ ）
A．3 B．-3 C． D．
2．下列格式正确的是（ ）
A． B． C． D．
3. 若，则实数a的取值范围是（ ）
A . B. C. D. R
4．①16的4次方根是__________；② -128的7次方根是___________。
5．等式：①；②；③；④，其中不一定正确的是 。
6.计算.
7．设 ，化简 的值。
2.1.1 指数与指数幂的运算（2）
学习目标
1. 理解分数指数幂的概念；
2. 掌握根式与分数指数幂的互化；
3. 掌握有理数指数幂的运算性质。
课前预习
（预习教材P50～P52，找出疑惑之处）
复习1：
（1）n次方根— 。
（2）n次方根的性质— 。
复习2：整数指数幂的运算性质有哪些，用字母表示出来。
思考：整数指数幂的运算性质是不是适用用分数呢，如果是的话，分数指数幂的性质该怎样表示呢？
【知识链接】
1.对于代数式的化简结果，可用根式或分数指数幂中的任意形式，但不能同时出现根式或分数指数幂的形式，也不能既含有分母，又含有负指数. 2. 根式化成分数指数幂的形式，若对约分，有时会改变的范围.
课中学习
小组讨论：a>0时，，
则类似可得 ； ，类似可得 .
新知：规定正数的分数指数幂意义为：； 例如：
反思：① 0的正分数指数幂为 ；0的负分数指数幂 .
②在分数指数幂中，为什么要规定a>0？
③ 分数指数幂有什么运算性质？
总结：指数幂的运算性质：（）
·； ；
※ 典型例题：
例1．求值：； ；；.
试试：用分数指数幂的形式表示下列各式：
（1）； （2）； （3）
例2．计算下列各式。（式中字母都是正数）
（1） （2）
（3） （4）
※学习小结：①分数指数幂的意义及运算性质；②根指数与分数指数的相互转化；③运用分数指数幂的性质进行化简和求值。
课后练习
※ 自我检测：
1. 计算的结果是（ ）.
A． B． Ｃ． D．
2.下列式子正确的是（ ）
A. . B. . C. . D.
3.若有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.已知，将化为指数幂的形式为 .
5. 设，则= .
6．化简，其中a>0,b>0.
7.比较，，的大小.
2.1.1 指数与指数幂的运算(复习)
学习目标
1. 理解无理指数幂是一个确定的数，有理数的运算性质适用于无理数指数幂；
2.灵活运用乘法公式进行条件等式求值；
3. 掌握条件求值时的“整体代换”思想和换元思想。
课前预习
（预习教材P52～P53，找出疑惑之处）
复习1：
n次方根的性质— 。
复习2：
有理指数幂的运算性质：① ；
② ；
③ 。
思考：为什么在规定无理数指数幂时，一定要规定底数是正数？
课中学习
※ 典型例题：
例1. 计算：
幂的运算的常规方法：（1）化负指数幂为正指数幂；（2）化根式为分数指数幂（3）化小数为分数进行计算。
变式1 计算：的值。
.变式2 化简：
例2. 化简
注：要关注条件中是否有隐含条件
变式 化简：
例3. 已知，求.
变式：的值为 。
思考：之间存在怎样的关系？
课后练习
※ 自我检测：
1. 已知，下列等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
2. 的值是（ ）
A． B. 3 C. D. 9
3.计算的结果是（ ）
A． B. C. D.
4.若 。
5. Q.（填“”或“”）
6.已知是方程的两个根，求的值。
7. 计算
2.1.2指数函数及其性质（1）
学习目标
1. 了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；
2. 理解指数函数的概念和意义；
3. 能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质（单调性、特殊点）.
课前预习
（预习教材P54～P57，找出疑惑之处）
探究任务一：指数函数模型思想及指数函数概念
实例：细胞分裂时，第 1 次由1个分裂成 2 个，第 2 次由2个分裂成 4 个，第 3 次由4个分裂成 8 个，如此下去，如果第 x 次分裂得到 y 个细胞，那么细胞个数 y 与次数x 的关系式是什么？
_________________________________.
（1）这个关系式是否构成函数？
（2）是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？
课中学习
新知：一般地，函数叫做___函数，其中是自变量，函数的定义域是.
反思1：为什么规定呢？否则会出现什么情况呢？
【讨论】：___ _;__ _;___ _____.
反思2：函数是指数函数吗？
下列函数哪些是指数函数？
（1） （2） （3） (4)
（5） （6） （7） (8)
总结：指数函数的解析式具有三个结构特征：①底数大于0且不等于1；②的系数是1；③自变量的系数是1.
指数函数的图象和性质
引言：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？
《作图》：在同一坐标系中画出函数图象：(1) (2)
思考：函数的图象和的图象有什么关系？可否利用的图象画出的函数图象？
【讨论】选取底数a的若干个不同的值，根据坐标系中的函数图象讨论指数函数的性质。
※ 典型例题：
例1：求函数的定义域：（1） （2）
例2：已知指数函数（）图象经过点,求 的值.
例3：比较下列各题中两个值的大小:
(1) (2) (3) (4) ，
课后练习
※ 自我检测：
1.已知指数函数则函数的解析式是（ ）
A． B. C. D.
2.若函数是指数函数，则a的取值范围是（ ）
A． B. C. D.
3.已知集合,集合则( )
A． B. C. D.
4. 指数函数的图象经过点，那么 。
5. 当时，指数函数恒成立，则实数a的取值范围是 。
6.求下列函数的定义域：
（1） （2） （3） （4）
7.比较下列各题中两个数的大小：
(1) (2) (3)
2.1.2指数函数及其性质（2）
学习目标
1. 进一步掌握指数函数的概念、图象和性质；
2. 能利用指数函数的单调性解决一些综合问题。
课前预习
C3
o
C4
C1
y
C2
复习：1.图中的曲线是指数函数的图象，已知的值取，，，四个值，则相应的曲线的的值依次为 ？你能总结你发现的规律吗？你的依据是什么？
x
提示：指数函数的图象和相交于点 。由此可知，（1）在轴右侧，图象从上到下相应的底数 ；（2）在轴左侧，图象从上到下相应的底数 。
课中学习
※ 典型例题：
例1. 画出下列函数的图象，并说明他们是由函数的图象经过怎样的变换得到的。
（1） （2） （3） （4）
试试：根据图象相应的变换，写出变换后图象的相应解析式。
（1）上移个单位的图象解析式 ；下移个单位的图象解析式 ；
（2）左移个单位的图象解析式 ；右移个单位的图象解析式 ；
（3）关于轴对称的图象解析式 ；关于轴对称的图象解析式 ；
关于原点对称的图象解析式 。
思考：怎样由的图象得到和的图象。
例2. 若，求的取值范围。
总结：指数型不等式的解法为：
(1) 当时，；
(2)当时，.
课后练习
※ 自我检测：
1.函数的图象大致形状是（ ）
-1
1
o
y
x
-1
1
o
y
x
-1
1
o
y
x
-1
1
o
y
x

A . B. C. D.
2. ,那么是（ ）
A.奇函数且在上是增函数；B.偶函数且在上是增函数；
C. 奇函数且在上是减函数；D.偶函数且在上是减函数.
3.若是上的增函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.函数在区间上的最大值为 。
5.不等式的解集为 。
6.已知函数.
(1)若，画出此时函数的图象。（不列表）
（2）若，判断函数在定义域内的单调性，并加以证明。
7.设.
（1）当时，证明：既不是奇函数也不是偶函数。
（2）若是奇函数，求的值。
2.2.1对数与对数运算（1）
学习目标
1.理解对数的概念，指数式与对数式的互化；
2.掌握指数式与对数式的互化；
3.运用对数的定义，进行简单的对数计算。
课前预习
（预习教材P62～P63，找出疑惑之处）
1.对数的概念
一般地，如果，那么数 叫做以 为底 的对数，记做 。叫做对数的 ,叫做 。
反思：为何在对数中规定？
2．特殊对数
常用对数：以 为底数的对数，记作 ；自然对数：以 为底数的对数，记作 。
3.对数与指数之间的关系
当时，，在中，叫做 ，叫做 ，叫做 ；在中，叫做 ，叫做 ，叫做 。
4.对数的基本性质
（1） 和 没有对数；
反思：为何负数和零没有对数？
（2） （）；（3） （）。
课中学习
※ 典型例题：
例1．将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式：
（1）5=625； （2）2=； （3）=5.73；
（4）； （5）； （6）.
例2．求下列各式中的值：
（1）； （2）； （3）； （4）.
例3．求下列各式中的值：
（1）； （2）； （3）.
[合作探究]
1.幂运算和对数运算有什么关系？
2.是不是任何指数式都可以化为对数式？如，能写成对数式吗？
3.成立吗？为什么？
试试：求值① ②
课后练习
※ 自我检测：
1.若，则x的值是（ ）
A． B.64 C. D. 81
2.给出下列对数式：①；②；③；④.其中正确的是（ ）
A．① B. ② C. ③ D. ④
3.若，则a的值是（ ）
A．3 B. C.2 D.
4. ； ； ； 。
5.完成下列指数与对数的互化。
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）.
6.(1)求下列各式的值：
； ； ；
（2）求下列各式中x的值。
2.2.1对数与对数运算（2）
学习目标
1.理解对数的运算性质；
2.准确地运用对数运算性质进行运算，求值、化简，并掌握化简求值的技能.
课前预习
（预习教材P64～P66，找出疑惑之处）
复习：
1.写出对数的定义及对数式与指数式的互换。
2.写出指数的运算性质.
3.思考：从指数与对数的关系以及指数的运算性质，你能得出相应对数运算的性质吗？
课中学习
1.对数的运算性质
※ 学习探究
探究一：从指数与对数的关系以及指数运算性质，你能得出相应的对数运算性质吗？
新知：如果
注意： 性质中为什么要规定＞0且≠1，M＞0，N＞0？
试试：判断下列式子是否正确，其中＞0且≠1，＞0，＞＞0。
（1）--------------------（ ）
（2）-------------------------（ ）
（3）---------------------（ ）
（4）-------------------------（ ）
（5）--------------------------------（ ）
探究二;你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？
对数的换底公式
＞0，且≠1，＞0，≠1,＞0,
注意：以上这个式子换底公式，换的底C只要满足C＞0且C≠1就行了，除此之外，对C再也没有什么特定的要求.
※典型例题
例1．用，，表示下列各式：
（1） （2）
例2.求下列各式的值:
（1）； （2）lg； （3）lg５＋lg２；（4）
例3.利用对数的换底公式简化下列各式：
（1）； （2）
（3）
课后练习
※ 自我检测
1.下列等式成立的是（ ） A. B.
C. D.
2.若 （ ）
A. B. C. D.
3. 若 （ ）
A. 6 B. C.4 D.
4. 用，，表示 。
5.计算 。
6.已知
7.已知关于的方程有两个相同的实数根，求实数的值。
2.2.2对数函数及其性质(1)
学习目标
1.通过集体实例，了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念；
2.通过比教、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质。
课前预习（预习教材P70～P72，找出疑惑之处）
复习：①指数函数是怎样定义的？ ②我们还记得指数函数的图象及其性质吗？
课中学习
探究1：回顾教材例题6中的等式t=，结合其实际意义，试讨论t与P的关系？
对于每个碳14的含量p的取值，在对应法则t=的对应下，生物死亡率数t都有唯一的值与之对应，这说明_____________。
新知：一般地，我们把______________________________________叫做对数函数。
反思：1.函数y=3log2x是对数函数吗？（只能称它是对数型函数）
2.和指数函数的定义一样，对数函数的定义只是形式定义。
探究2：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？
作图：在同一直角坐标系下，作出函数y=log2x与y=log的图象。
思考：函数的图象和的图象有什么关系？可否利用的图象画
出函数图象？你是根据什么得到呢？
【讨论】选取底数a的若干个不同的值，根据坐标系中的函数图象讨论对数函数的性质。
※ 典型例题
例1：求下列函数的定义域：①y=logax2 ②y=loga(4-x)
例2：比较下列各题中的两个数的大小。
①ln3.4，ln8.5 ； ②log0.31.8，log0.32.7 ； ③ loga5.1，loga5.9(a>0且a≠1).
例3.函数，，的图象如图所示。
(1) 使说明哪个函数对应哪个图象，并解释为什么。(2)你能总结你发现的规律吗？
y
x
①
1
o
②
③
提示：对数函数的图象与直线的交点是 。交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大，也就是说，沿直线由左向右看，底数 。
课后练习
※ 自我检测
1.函数y=log2x+1的定义域和值域分别是（ ）
A.（-∞，+∞），（-∞，+∞） B. （0，+∞），（1，+∞）
C.（-∞，+∞），（1，+∞) D. （0,+ ∞)，（-∞，+∞）
2.函数 y=log2（x+2）+1的图象恒过定点（ ）A．（0,1） B. (1,0) C.（-1,1） D.（-1,0）
3.下列不等式成立的是（ ）
A． B. C. D.
4.函数的定义域为 。
5.已知函数，给出下列命题：①定义域为（-∞，0）；②值域为R；③过定点（-1,0）；④在其定义域内是减函数。其中正确的命题是 。（填序号）
6.比较下列各组数的大小。
（1） （2）
1
y
o
x
C2
C1
C3
C4
7.已知对数函数，当分别取，，4,5时，对应的图象如图所示，图中的对应的各取什么值？由图象判断这四个数的大小。
2.2.2对数函数及其性质(2)
学习目标
1. 理解反函数的概念，知道同底的指数函数和对数函数互为反函数；
2. 会利用对数函数的单调性比较两个对数的大小或解对数不等式；
3. 能综合运用对数函数的图象和性质，解决有关问题。
课前预习
（预习教材P70～P72，找出疑惑之处）
复习：1.对数函数的解析式是 。
是 函数。
2.函数的定义域是 。
3.已知函数，直线与这三个函数的交点的横坐标分别是，则的大小关系是 。
课中学习
※ 新知:在的前提下，
1. 的反函数是 。
2. 的反函数是 。
思考：若函数的图象过点，则函数的图象一定过点吗？
试试：若函数是函数的反函数，其图像经过点，求值。
※ 典型例题
例1．已知函数，.
(1) 求函数的定义域。
(2) 利用对数函数的单调性，讨论不等式中的取值范围。
变式：若实数满足，求的取值范围。
例2.求函数的值域。
变式：若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，求的值。
课后练习
※ 自我检测
1.已知函数，且。若方程有两个相等的实数根，求实数的值。
2.已知函数，求
（1）的定义域；
（2）使的取值范围。
3.设函数，，其中，当分别取何值时：
（1）；
（2）.
4.设函数.
(1) 当时，求此函数的定义域和值域；
（2）当，且函数在区间上的最大值为1，求的值。
2.3幂函数
学习目标
1. 通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用．
2. 能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．
课前预习 （预习教材P77～P78，找出疑惑之处）
引入：阅读教材P77的具体实例（1）～（5），思考下列问题：
1．它们的对应法则分别是什么？ 2．以上问题中的函数有什么共同特征？
课中学习
※ 探究1.幂函数定义
试试：在函数中，哪几个函数是幂函数？
注意：幂函数同指数函数、对数函数一样，是一种“形式定义”的函数，也就是说，完全具备形如的函数才是幂函数。
幂函数结构特征：①指数为常数；②底数是自变量，自变量的系数为1；
③幂的系数为1；④只有1项。
变式：已知函数，当为何值时，是幂函数？
探究2：幂函数图象及性质
作图：在同一个直角坐标系中作出下列函数的图象，完成P78表格。
（1）； （2）； （3）； （4）； （5）．
试试：在同一个直角坐标系中画出函数与的图象，并利用图象求不等式的解集。
变式：用图象法解方程：
※ 典型例题
例1．已知点在幂函数的图象上，求的表达式。
例2．比较下列两个代数值的大小：
（1），； （2），
例3．证明幂函数在上是增函数。
课后练习
※ 自我检测
1.下列说法正确的是（ ）
A.一次函数、二次函数、反比例函数都是幂函数；
B.当时，幂函数的图象是一条直线；
C.幂函数的图象一定经过点； D.幂函数在第一象限内一定有图象。
2.下列幂函数中，图象过点，且是偶函数的是（ ）
A. B. C. D.
3.下列式子正确的是（ ）
A. B. C. D.
4.若，则实数的取值范围是 。
5.已知二次函数是幂函数，则的解析式为 。
6.利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：
（1），；（2），；（3），；（4），．
7.探究与发现
(1)如图所示，曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知分别取四个值，则相应图象依次为： ．
(2)在同一坐标系内，作出下列函数的图象，你能发现什么规律？
和；（2）和．
（3）猜想：当时，函数在第一象限内的图象有何对称性？
第二章 基本初等函数Ⅰ（复习）
学习目标
1. 掌握指数函数、对数函数的概念，会作指数函数、对数函数的图象，并能根据图象说出指数函数、对数函数的性质；
2. 了解五个幂函数的图象及性质。
课前预习
（复习教材P48~ P83，找出疑惑之处）
复习1：指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质？
复习2：已知0＜a＜1，试比较，，的大小.
课中学习
※ 典型例题
例1．求下列函数的定义域：
（1） ； （2） ； （3）.
例2．已知函数，判断的奇偶性和单调性.
例3．已知定义在R上的偶函数在上是减函数，若，求不等式的解集.
※ 动手试试
练1. 求下列函数的定义域与值域.
（1）； （2）
练2. 讨论函数的单调性.
练3. 函数．
（1）求的定义域；（2）讨论的奇偶性；（3）讨论的单调性．
※ 学习小结
1. 幂、指、对函数的图象与性质； 2. 指数、对数运算；
3. 函数定义域与值域； 4. 函数单调性与奇偶性；
5. 应用建模问题.
※ 知识拓展
1. 图象平移变换：
①水平平移：y＝f(x±a)(a>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向左或右平移a个单位得到.
②竖直平移：y＝f(x)±b(b>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向上或向下平移b个单位而得到.
2. 图象翻折变换：
①y＝f(|x|)的图象在y轴右侧(x>0)的部分与y＝f(x)的图象相同，在y轴左侧部分与其右侧部分关于y轴对称.
②y＝|f(x)|的图象在x轴上方部分与y=f(x)的图象相同，其他部分图象为y＝f(x)图象下方部分关于x轴的对称图形.
课后练习
1. 函数的单调递增区间为（ ）.
A. B. C. D.
2. 设，则的值是（ ）.
A. 128 B. 256 C. 512 D. 8
3. 函数的奇偶性为（ ）.
A．奇函数而非偶函数 B．偶函数而非奇函数
C．非奇非偶函数 D．既奇且偶函数
4. 函数在区间上的最大值是 .
5. 若函数为减函数，则a的取值范围是 .
6. 按复利计算利息的一种储蓄，本金为元，每期利率为，设本利和为元，存期为，写出本利和随存期变化的函数解析式.
7. 某公司经过市场调查，某种商品在最初上市的几个月内销路很好，几乎能将所生产的产品全部销售出去. 为了追求最大的利润，该公司计划从当月开始，每月让产品生产量递增，且10个月后设法将该商品的生产量翻两番，求平均每月生产量的增长率.