2020-2021学年北京市房山区九下期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市房山区九下期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，小器一容三斛；大器一等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1. 大兴国际机场，成为北京建设国际化大都市的重要标志．全球唯一一座“双进双出“的航站楼，世界施工技术难度最高的航站楼，走进航站楼内部，室内色调主要以白色为主，为了让阳光洒满整个机场，航站楼一共使用了 块玻璃，白天室内几乎不需要照明灯光．将 用科学记数法表示为
A. B. C. D.

2. 下列运算正确的是
A. B.
C. D.

3. 下列几何体中，是圆柱的为
A. B.
C. D.

4. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

5. 四边形的内角和为
A. B. C. D.

6. 如图，在 中，，，，则 的值为
A. B. C. D.

7. 若 ，则代数式 的值为
A. B. C. D.

8. 如图，小聪要在抛物线 上找一点 ，针对 的不同取值，所找点 的个数，三个同学的说法如下，
小明：若 ，则点 的个数为 ；
小云：若 ，则点 的个数为 ；
小朵：若 ，则点 的个数为 ．
下列判断正确的是
A. 小云错，小朵对B. 小明，小云都错C. 小云对，小朵错D. 小明错，小朵对

二、填空题
9. 如图，该正方体的主视图是 形．

10. 如图所示的正方形网格中有 ，则 的值为 ．

11. 请你写出一个函数，使得当自变量 时，函数 随 的增大而增大，这个函数的解析式可以是 ．

12. 如图是房山区行政规划图．如果周口店的坐标是 ， 阎村的坐标是 ， 那么燕山的坐标是 ，窦店坐标是 ．

13. 在就地过年倡议下，更多游客缩小出游半径，本地游、近郊游、周边游取代异地长线游，成为牛年出行新趋势．某地区对近郊游的住宿环境、餐饮、服务等方面对所住游客进行了综合满意度调查，在甲，乙两个景点都去过的的游客中随机抽取了 人，每人分别对这两个景点进行了评分，统计如下：
若小聪要在甲，乙两个景点中选择一个景点，根据表格中数据，你建议她去 景点（填甲或乙），理由是 ．

14. 用四个不等式① ，② ，③ ，④ 中的两个不等式作为题设，余下的两个不等式中选择一个作为结论，组成一个真命题： ．

15. 如图所示的网格是正方形网格，线段 绕点 顺时针旋转 后与 相切，则 的值为 ．

16. 如图，小亮从一盏 米高的路灯下 处向前走了 米到达点 处时，发现自己在地面上的影子 是 米，则小亮的身高 为 米．

三、解答题
17. 已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）请你给出一个 的值，并求出此时方程的根．

18. 计算：．

19. 解不等式组：

20. 下面是小玲同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图 ，直线 和直线 外一点 ．求作：直线 ，使 ．
作法：如图 ，
①在直线 上任取一点 ，作射线 ；
②以 为圆心， 为半径作弧，交直线 于点 ，连接 ；
③以 为圆心， 长为半径作弧，交射线 于点 ；分别以 ， 为圆心，大于 长为半径作弧，
在 的右侧两弧交于点 ；
④作直线 ；所以直线 就是所求作的直线，根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图 中的图形；
（2）完成下面的证明：
证明：由作图可知 平分 ，
，
又 ，
（ ）（填依据）．
，
，
，
（ ）（填依据）．

21. 列方程（组）解应用题：《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，其中第七卷 《盈不足》记载了一道有趣的数学问题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何?”
译文：“今有大容器 个，小容器 个，总容量为 斛；大容器 个，小容器 个，总容量为 斛，问大容器、小容器的容量各是多少斛?”
（注：斛，音 hú，是古代的一种容量单位）

22. 某校初三年级有 名学生，为了解学生对代数和几何两部分知识的掌握情况，数学教师对九年级全体学生进行了一次摸底测试，代数和几何满分各 分．现随机抽取 名学生的成绩（成绩均为整数）进行收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
c．代数测试成绩在 这一组的数据是：，，，，，，，，，．
d．几何测试成绩在 的数据是 ，，，．
e．两次成绩的平均数、中位数、众数如下：
请根据以上信息，回答下列问题：
（1） ， ；
（2）测试成绩大于或等于 分为及格，测试成绩大于或等于 分为优秀． 名学生的成绩中代数测试及格有 人，几何测试优秀有 人，估计该校初三年级本次代数测试约有 人及格，几何成绩优秀约有 人．
（3）下列推断合理的是 ．
①代数测试成绩的平均分高于几何的平均分，所以大多数学生代数掌握的比几何好．
②被抽测的学生小莉的几何成绩是 分，她觉得年级里大概有 人的测试成绩比她高，所以她决定迎头赶上．

23. 如图，在平行四边形 中， 是 的中点，延长 到点 ，使 ，连接 ，．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ，，，求 的底边 上的高及 的长．

24. 如图，， 两点在函数 （）的图象上．
（1）求 的值及直线 的解析式；
（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写数函数 （）的图象与直线 围出的封闭图形中（不包括边界）所含格点的坐标．

25. 如图， 为 的直径， 为 的切线，点 是 中点．
（1）求证：；
（2）如果 ，，求 的半径．

26. 在平面直角坐标系 中，拋物线 ．
（1）求抛物线的对称轴及抛物线与 轴交点坐标．
（2）已知点 ，将点 向左平移 个单位长度，得到点 ．若抛物线与线段 恰有一个公共点，结合函数的图象，求 的取值范围．

27. 在等腰三角形 中，，．点 是 内一动点，连接 ，，将 绕点 逆时针旋转 ，使 边与 重合，得到 ，射线 与 或 延长线交于点 （点 与点 不重合）．
（1）依题意补全图 和图 ；由作图知， 与 的数量关系为 ；
（2）探究 与 的数量关系为 ；
（3）如图 ，若 平分 ，用等式表示线段 ，， 之间的数量关系，并证明．

28. 对于平面内的图形 和图形 ，记平面内一点 到图形 上各点的最短距离为 ，点 到图形 上各点的最短距离为 ，若 ，就称点 是图形 和图形 的一个“等距点”．
在平面直角坐标系 中，已知点 ，．
（1）在 ，， 三点中，点 和点 的等距点是 ；
（2）已知直线 ．
①若点 和直线 的等距点在 轴上，则该等距点的坐标为 ；
②若直线 上存在点 和直线 的等距点，求实数 的取值范围；
（3）记直线 为直线 ，直线 ，以原点 为圆心作半径为 的 ．若 上有 个直线 和直线 的等距点，以及 个直线 和 轴的等距点（，），当 时，求 的取值范围．
答案
第一部分
1. C
2. A【解析】A，，符合题意；
B，原式不能合并，不符合题意；
C，，不符合题意；
D，，不符合题意．
3. D【解析】圆柱体是由两个圆形的底面和一个侧面所围成的几何体，
因此选项D中的几何体符合题意．
故选：D．
4. B【解析】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意．
5. B
【解析】四边形的内角和 ．
6. D【解析】在 中，，，，
由勾股定理得，，
．
7. A【解析】
，
，

故选：A．
8. C【解析】因为点 ，
当 时，则 ，整理得 ，
因为 ，
所以有两个不相等的值，
所以点 的个数为 ；
当 时，则 ，整理得 ，
因为 ，
所以 有两个相同的值，
所以点 的个数为 ；
当 时，则 ，整理得 ，
因为 ，
所以点 的个数为 ；
故小明错，小云对，小朵错．
第二部分
9. 正方
10.
【解析】如图，
在 中，．
11. （答案不唯一）
【解析】因为当自变量 时，函数 随 的增大而增大，
所以只要反比例函数比例系数 就符合题意，
所以 （答案不唯一）．
12. ，
【解析】如图所示，燕山的坐标是 ，窦店的坐标是 ．
故答案为：，．
13. 甲，甲景点满意人多于乙景点（不唯一）
【解析】在甲，乙两个景点都去过的的游客中随机抽取的 人中，对甲景点满意的有 人，对乙满意的有 人，
因为 ，
所以建议她去景点甲．
故答案为：甲；
理由是满意甲景点的人数多于乙景点．
14. 题设：① ，③ ，结论：② ，④ ．
【解析】题设：① ，③ ，结论：② ，④ ，是真命题．
证明：
，
，即 ，
，
，
故答案为：题设：① ，③ ，结论：② ，④ ．
15. 或
【解析】线段 绕点 顺时针旋转 后与 相切，切点为 和 ，连接 ，，
则 ，，
在 中，
，，
，
，
同理可得 ，
，
综上所述， 的值为 或 ．
16.
【解析】如图，由题意知 米， 米， 米，且 ，，
所以 米，
因为 ，，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
解得 （米），即小亮的身高为 米．
第三部分
17. （1） 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
，
解得 ；
（2） 由（）知，实数 取值范围为 ，
故取 ，
则 ，即 ，
解得，，．
18.
19. 原不等式组为
解不等式①，得
解不等式②，得
原不等式组的解集为
20. （1） 用直尺和圆规，补全图 中的图形如图 所示：
（2） ；等腰三角形两底角相等；同位角相等，两直线平行
21. 设大容器的容量为 斛，小容器的容量为 斛，
依题意得：
解得：
答：大容器的容量为 斛，小容器的容量为 斛．
22. （1） ；
【解析】，．
（2） ；；；
【解析】 名学生的成绩中代数测试及格有：（人），几何测试优秀有 人，
估计该校初三年级本次代数测试及格人数为：（人），几何成绩优秀人数为：（人）．
（3） ①②
【解析】代数测试成绩的平均分为 分，几何的平均分为 分，
代数测试成绩的平均分高于几何的平均分，
大多数学生代数掌握的比几何好，①推断合理；
几何测试成绩在 的人数是：（人），
被抽测的学生小莉的几何成绩是 分，她觉得年级里大概有 人的测试成绩比她高，所以她决定迎头赶上，②推断合理．
23. （1） 四边形 是平行四边形，
，，
是 的中点，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形．
（2） 过点 作 于点 ，
四边形 是平行四边形，
，，，，
，
在 中，，
，
，
，
，
在 中，，
．
24. （1） 由图可知，，，
将 和 分别代入 中，
得 ，
，
设直线 的解析式为 ，得：
解得，，，
．
（2） 满足条件的格点坐标是 ，．
【解析】由题意，得：，
，
分别代入 和 两个函数解析式中，
满足条件的格点坐标是 ，．
25. （1） 连接 ，
因为 为 的切线，
所以 ，
因为 ， 是 的中点，
所以 ，
所以 ．
（2） 连接 ，
因为 为 的直径，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 为 中点，
所以 ，
在 中，，，，
所以 ，
所以 ．
在 中，，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 的半径为 ．
26. （1） 抛物线 ，
，
抛物线的对称轴是直线 ，
令 ，．
抛物线与 轴交点坐标为 ．
（2） ，
抛物线与 轴交于点 ，，与 轴交于点 ，顶点坐标是 ．
由题意得点 ，
又 ，
①当 时，如图 ，
显然抛物线与线段 无公共点．
②当 时，若抛物线的顶点在线段 上，如图 ，
则顶点坐标为 ，
，
．
③当 时，若抛物线的顶点不在线段 上，如图 ，
由抛物线与线段 恰有一个公共点，
得 ，
，
综上， 的取值范围是 ，或 ．
27. （1） 依题意补全图 和图 ：
相等
（2） 或
【解析】 或 ．
当 在线段 延长线上时，如上图 ，
将 绕点 顺时针旋转得到 ，
，
，
当 在线段 上时，如上图 ，
将 绕点 顺时针旋转得到 ，
，
，
，
故答案为： 或 ．
（3） 如图，
线段 ，， 之间的数量关系是：．
证明：
将 绕点 逆时针旋转 ，使 边与 重合，得到 ，
．
，，，
．
平分 ，
．
，
．
．
．
，．
又由（）知，，
，，
，
，
．
．
28. （1）
【解析】，，，，，
，；，；，，
，
故点 是点 和点 的等距点，
故答案为：．
（2） ① 或
②如图，设直线 上的点 为点 和直线 的等距点，
连接 ，过点 作直线 的垂线，垂足为点 ．
点 为点 和直线 的等距点，
．
点 在直线 上，故可设点 的坐标为 ，
则 ，
，
方程有实根，
，
．
【解析】①设等距点的坐标为 ，
，
，
等距点的坐标为 或 ，
故答案为： 或 ；
（3） 如图 ，
由题意知，直线 和直线 的等距点在直线 上，
而直线 和 轴的等距点在直线 或 上．
或 ．