2021年北京市房山区中考二模数学试卷

这是一份2021年北京市房山区中考二模数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，小器一容三斛；大器等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1. 下列几何体中，是圆柱的为
A. B.
C. D.

2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 大兴国际机场，成为北京建设国际化大都市的重要标志．全球唯一一座“双进双出”的航站楼，世界施工技术难度最高的航站楼，走进航站楼内部，室内色调主要以白色为主，为了让阳光洒满整个机场，航站楼一共使用了12800块玻璃，白天室内几乎不需要照明灯光．将 用科学记数法表示为
A. B. C. D.

4. 下列运算正确的是
A. B.
C. D.

5. 四边形的内角和为
A. B. C. D.

6. 如图，在 中，，，，则 的值为

A. B. C. D.

7. 若 ，则代数式 的值为
A. B. C. D.

8. 如图，小聪要在抛物线 上找一点 ，针对 的不同取值，所找点 的个数，三个同学的说法如下，
小明：若 ，则点 的个数为 ；
小云：若 ，则点 的个数为 ；
小朵：若 ，则点 的个数为 ．
下列判断正确的是
A. 小云错，小朵对B. 小明，小云都错C. 小云对，小朵错D. 小明错，小朵对

二、填空题
9. 如图，该正方体的主视图是 形．

10. 如图所示的正方形网格中有 ，则 的值为 ．

11. 请你写出一个函数，使得当自变量 时，函数 随 的增大而增大，这个函数的解析式可以是 ．

12. 用四个不等式① ，② ，③ ，④ 中的两个不等式作为题设，余下的两个不等式中选择一个作为结论，组成一个真命题： ．

13. 如图是房山区行政规划图．如果周口店的坐标是 ， 阎村的坐标是 ， 那么燕山的坐标是 ，窦店坐标是 ．

14. 在就地过年倡议下，更多游客缩小出游半径，本地游、近郊游、周边游取代异地长线游，成为牛年出行新趋势．某地区对近郊游的住宿环境、餐饮、服务等方面对所住游客进行了综合满意度调查，在甲，乙两个景点都去过的的游客中随机抽取了 人，每人分别对这两个景点进行了评分，统计如下：
若小聪要在甲，乙两个景点中选择一个景点，根据表格中数据，你建议她去 景点（填甲或乙），理由是 ．

15. 如图所示的网格是正方形网格，线段 绕点 顺时针旋转 后与 相切，则 的值为 ．

16. 如图，小亮从一盏 米高的路灯下 处向前走了 米到达点 处时，发现自己在地面上的影子 是 米，则小亮的身高 为 米．

三、解答题
17. 解不等式组：

18. 已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）请你给出一个 的值，并求出此时方程的根．

19. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第七卷《盈不足》记载了一道有趣的数学问题：“今有大器五、小器一容三斛；大器、小器五容二斛．向大、小器各容几何?”
译文：“今有大容器 个，小容器 个，总容量为 斛；大容器 个，小容器 个，总容量为 斛．向大容器、小容器的容积各是多少斛?”

20. 某校初三年级有 名学生，为了解学生对代数和几何两部分知识的掌握情况，数学教师对九年级全体学生进行了一次摸底测试，代数和几何满分各 分．现随机抽取 名学生的成绩（成绩均为整数）进行收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
c. 代数测试成绩在 这一组的数据是：，，，，，，，，，．
d. 几何测试成绩在 的数据是 ，，，
e. 两次成绩的平均数、中位数、众数如下：
请根据以上信息，回答下列问题：
（1） ， ；
（2）测试成绩大于或等于 分为及格，测试成绩大于或等于 分为优秀． 名学生的成绩中代数测试及格有 人，几何测试优秀有 人，估计该校初三年级本次代数测试约有 人及格，几何成绩优秀约有 人．
（3）下列推断合理的是 .
①代数测试成绩的平均分高于几何的平均分，所以大多数学生代数掌握的比几何好．
②被抽测的学生小莉的几何成绩是 分，她觉得年级里大概有 人的测试成绩比她高，所以她决定迎头赶上．

21. 如图，， 两点在函数 的图象上．
（1）求 的值及直线 的解析式；
（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出函数 的图象与直线 围出的封闭图形中（不包括边界）所含格点的坐标．

22. 计算：．

23. 下面是小玲同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图 ，直线 和直线 外一点 .
求作：直线 ， 使 .
作法：如图 ，
①在直线 上任取一点 ，作射线 ；
②以 为圆心， 为半径作弧，交直线 于点 ，连接 ；
③以 为圆心， 长为半径作弧，交射线 于点 ；分别以 ， 为圆心，大于 长为半径作弧，在 的右侧两弧交于点 ；
④作直线 ；所以直线 就是所求作的直线．

根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图 中的图形；
（2）完成下面的证明：
证明：由作图可知 平分 ，
．
又 ，
（ ）（填依据）．
，
．
．
．（ ）（填依据）.

24. 如图，在平行四边形 中， 是 的中点，延长 到点 ，使 ，连接 ，．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ，，，求 的底边 上的高及 的长．

25. 如图， 为 的直径， 为 的切线，点 是 中点．
（1）求证：；
（2）如果 ，，求 的半径．

26. 在平面直角坐标系 中，抛物线 ．
（1）求抛物线的对称轴及抛物线与 轴交点坐标．
（2）已知点 ，将点 向左平移 个单位长度，得到点 ．若抛物线与线段 恰有一个公共点，结合函数的图象，求 的取值范围．

27. 在等腰三角形 中，，．点 是 内一动点，连接 ，，将 绕点 逆时针旋转 ，使 边与 重合，得到 ，射线 与 或 延长线交于点 （点 与点 不重合）．
（1）依题意补全图 和图 ；由作图知， 与 的数量关系为 ；
（2）探究 与 的数量关系为 ；
（3）如图 ，若 平分 ，用等式表示线段 ，， 之间的数量关系，并证明．

28. 对于平面内的图形 和图形 ，记平面内一点 到图形 上各点的最短距离为 ，点 到图形 上各点的最短距离为 ，若 ，就称点 是图形 和图形 的一个“等距点”．在平面直角坐标系 中，已知点 ，．
（1）在 ，， 三点中，点 和点 的等距点是 ．
（2）已知直线 ．
①若点 和直线 的等距点在 轴上，则该等距点的坐标为 ．
②若直线 上存在点 和直线 的等距点，求实数 的取值范围．
（3）记直线 为直线 ，直线 ：，以原点 为圆心作半径为 的 ．若 上有 个直线 和直线 的等距点，以及 个直线 和 轴的等距点（，），当 时，求 的取值范围．
答案
第一部分
1. B【解析】A选项为四棱柱，
B选项为圆柱，
C选项为圆锥，
D选项为三棱锥．
2. C【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
3. C【解析】．
4. A【解析】A、 ，正确；
B、 ，错误；
C、原式不能合并，错误；
D、 ，错误．
5. B
【解析】四边形的内角和 ．
6. D【解析】在 中，，，，
由勾股定理得，，
．
7. A【解析】
因为 ，
所以 ，
所以 ．
8. C【解析】 点 ，
当 时，则 ，整理得 ，
，
有两个不相等的值，
点 的个数为 ；
当 时，则 ，整理得 ，
，
有两个相同的值，
点 的个数为 ；
当 时，则 ，整理得 ，
，
点 的个数为 ；
小明错，小云对，小朵错．
第二部分
9. 正方
【解析】正方形的主视图为正方形．
10.
【解析】如图，在 中，．
11.
【解析】这个函数的解析式可以为 ，
故答案为：（答案不唯一）．
12. 题设：① ，③ ，结论：② ，④
【解析】题设：① ，③ ，结论：② ，④ ，是真命题．
证明：
，
，即 ，
，且 ，
，
13. ，
【解析】如图所示，燕山的坐标是 ，窦店的坐标是 ．
故答案为：，．
14. 甲，甲景点满意人多于乙景点（不唯一）
【解析】在甲，乙两个景点都去过的的游客中随机抽取的 人中，对甲景点满意的有 人，对乙满意的有 人，
因为 ，
所以建议她去景点甲．
故答案为：甲；
理由是满意甲景点的人数多于乙景点．
15. 或
【解析】线段 绕点 顺时针旋转 后与 相切，切点为 和 ，连接 ，，
则 ，，
在 中，
，，
，
，
同理可得 ，
，
综上所述， 的值为 或 ．
16.
【解析】如图，由题意知 米， 米， 米，且 ，，
所以 米，
因为 ，，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
解得 （米），即小亮的身高为 米．
第三部分
17. 原不等式组为
解不等式①，得
解不等式②，得
原不等式组的解集为 ．
18. （1） 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
，
解得 ；
（2） 由（）知，实数 取值范围为 ，
故取 ，
则 ，即 ，
解得，，．
19. 设大器容 斛，小器容 斛，根据题意，列出方程组
解得：
答：大器容 斛，小器容 斛．
20. （1） ；
【解析】，（代数成绩从小到大排列，第 和第 个数为 和 ，则 （分）．
故答案为：，．
（2） ；；；
【解析】 名学生的成绩中代数测试及格有：（人），
几何测试优秀有 人．
估计该校初三年级本次代数测试及格人数为：（人），几何成绩优秀人数为：（人）．
故答案为：，，，．
（3） ①②
【解析】代数测试成绩的平均分为 分，几何的平均分为 分，
所以代数测试成绩的平均分高于几何的平均分．
所以大多数学生代数掌握的比几何好，①推断合理；
几何测试成绩在 的人数是：（人），
所以被抽测的学生小莉的几何成绩是 分，她觉得年纪大概有 人的测试成绩比她高，所以她决定迎头赶上，②推断合理．
故答案为：①②．
21. （1） 由图可知，，，
将 代入 中，得 ，
，
设直线 的解析式为 ，得：

解得，
直线 的解析式为 ．
（2） ，
【解析】由题意，得：，
，
分别代入 和 两个函数解析式中，满足条件的格点坐标是：，．
22.
23. （1） 用直尺和圆规，补全的图形如图 所示；
（2） ；等腰三角形两底角相等；同位角相等，两直线平行
【解析】由作图可知 平分 ，
，
又 ，
（等腰三角形两底角相等），
，
．
．
（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：：等腰三角形两底角相等：同位角相等，两直线平行．
24. （1） 四边形 是平行四边形，
，，
是 的中点，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形．
（2） 过点 作 于点 ，
四边形 是平行四边形，
，，，，
，
在 中，，
，
，
，
，
在 中，，
．
25. （1） 连接 ．
为 的切线，
，
， 是 的中点，
，
．
（2） 连接 ，
为 的直径，
，
，
．
为 中点，
，
在 中，，
，，
，
由勾股定理得：，
在 中，，
，
由勾股定理得：，
，
的半径为 ．
26. （1） 因为抛物线 ，
所以 ，
所以抛物线的对称轴是直线 ，
令 ，，
所以抛物线与 轴交点坐标为 ．
（2） ，
所以抛物线与 轴交于点 ，，与 轴交于点 ，顶点坐标是 ．
由题意得点 ，又 ，
①当 时，如图 ，
显然抛物线与线段 无公共点；
②当 时，若抛物线的顶点在线段 上，如图 ，
则顶点坐标为 ，
所以 ，
所以 ；
③当 时，若抛物线的顶点不在线段 上，如图 ，
由抛物线与线段 恰有一个公共点，
得 ，
所以 ，
综上， 的取值范围是 ，或 ．
27. （1） ；
相等
【解析】依题意补全图 和图 ；由作图知， 与 的数量关系为相等；
（2） 或
【解析】当 在线段 延长线上时，如上图 ，
将 绕点 顺时针旋转得到 ，
，
，
当 在线段 上时，如上图 ，
将 绕点 顺时针旋转得到 ，
，
，
．
（3） 如图，线段 ，， 之间的数量关系是：．
将 绕点 逆时针旋转 ，使 边与 重合，得到 ，
．
，，，
，
平分 ，
，
，
，
．
．
，．
又由（）知，，
，，
，
，
．
．
28. （1）
【解析】，，，，，
，；，；，，
，
故点 是点 和点 的等距点．
（2） ① 或
②如图，设直线 上的点 为点 和直线 的等距点，
连接 ，过点 作直线 的垂线，垂足为点 ．
点 为点 和直线 的等距点，
．
点 在直线 上，故可设点 的坐标为 ，
则 ，
，
方程有实根，
，
．
【解析】①设等距点的坐标为 ，
，
，
等距点的坐标为 或 ．
（3） 如图 ，
由题意知，直线 和直线 的等距点在直线 ： 上，
而直线 和 轴的等距点在直线 ： 或 ： 上．
或 ．