2020-2021学年天津市南开区九上期末数学试卷

这是一份2020-2021学年天津市南开区九上期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 下面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 下列事件中，是随机事件的是
A. 画一个三角形，其内角和是 180∘
B. 投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为 5
C. 在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片
D. 明天太阳从东方升起

3. 对于反比例函数 y=3x，下列判断正确的是
A. 图象经过点 −1,3
B. 图象在第二、四象限
C. 不论 x 为何值，y>0
D. 图象所在的每一个象限内 y 随 x 的增大而减小

4. 如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E，F 分别在线段 BC，DC 上，∠BAE=25∘，若线段 AE 绕点 A 逆时针旋转后与线段 AF 重合，则旋转的角度是
A. 25∘B. 40∘C. 90∘D. 50∘

5. 如图，在 △ABC 中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则 AC 的长为
A. 2B. 4C. 6D. 8

6. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，C，D 是 ⊙O 上位于 AB 异侧的两点．下列四个角中，一定与 ∠ACD 互余的角是
A. ∠ADCB. ∠ABDC. ∠BACD. ∠BAD

7. 已知 Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3 是反比例函数 y=2x 上的三点，若 x1A. x1⋅x2<0B. x1⋅x3<0C. x2⋅x3<0D. x1+x2<0

8. 已知 k1<0A. B.
C. D.

9. 如图，PA 切 ⊙O 于点 A，PB 切 ⊙O 于点 B，PO 交 ⊙O 于点 C，下列结论中不一定成立的是
A. PA=PBB. PO 平分 ∠APB
C. AB⊥OPD. ∠PAB=2∠APO

10. 已知二次函数 y=x2−m−2x+4 图象的顶点在坐标轴上，则 m 的值一定不是
A. 2B. 6C. −2D. 0

11. 如图，⊙O 的半径为 1，点 O 到直线 m 的距离为 2，点 P 是直线 m 上的一个动点，PB 切 ⊙O 于点 B，则 PB 的最小值是
A. 1B. 3C. 2D. 5

12. 如图是抛物线 y1=ax2+bx+ca≠0 的一部分，抛物线的顶点坐标 A1,3，与 x 轴的一个交点为 B4,0，直线 y2=mx+nm≠0 与抛物线交于 A，B 两点，结合图象分析下列结论：
① 2a+b=0；
② abc>0；
③方程 ax2+bx+c=3 有两个相等的实数根；
④当 1⑤抛物线与 x 轴的另一个交点是 −1,0．
其中正确的是
A. ①②③B. ②④C. ①③④D. ①③⑤

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 如果 4a=5b，则 ab= ．

14. 现有 4 条线段，长度依次是 2，4，6，7，从中任选三条，能组成三角形的概率是 ．

15. 下列 y 关于 x 的函数中，y 随 x 的增大而增大的有 ．（填序号）
① y=−2x+1．
② y=1x．
③ y=x+22+1x>0．
④ y=−2x−32−1x<0．

16. 如图，菱形 OABC 的顶点 C 的坐标为 3,4，顶点 A 在 x 轴的正半轴上．反比例函数 y=kxx>0 的图象经过顶点 B，则 k 的值为 ．

17. 如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 2，以点 A 为圆心，AB 的长为半径，作扇形 ABF，则图中阴影部分的面积为 （结果保留根号和 π）．

18. 如图，在由小正方形组成的网格中，△ABC 的顶点都在格点上，请借助网格，仅用无刻度的直尺在网格中作出 △ABC 的高 AH，并简要说明作图方法（不要求证明）； ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 有 4 个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4，放在一个口袋中，随机的摸出一个小球然后放回，再随机的摸出一个小球．
（1）采用树形图法（或列表法）列出两次摸球出现的所有可能结果，并回答两次摸球出现的所有可能结果共有几种．
（2）求两次摸出的球的标号相同的概率．
（3）求两次摸出的球的标号的和等于 4 的概率．

20. 如图，A，B 是双曲线 y=kx 上的点，点 A 的坐标是 1,4，B 是线段 AC 的中点．
（1）求 k 的值；
（2）求 △OAC 的面积．

21. 如图，在等边三角形 ABC 中，点 E 为 CB 边上一点（与点 C 不重合），点 F 是 AC 边上一点，若 AB=5，BE=2，∠AEF=60∘，求 AF 的长度．

22. 在 △ABC 中，∠C=90∘，以边 AB 上一点 O 为圆心，OA 为半径的圆与 BC 相切于点 D，分别交 AB，AC 于点 E，F．
（1）如图①，连接 AD，若 ∠CAD=25∘，求 ∠B 的大小；
（2）如图②，若点 F 为 AD 的中点，⊙O 的半径为 2，求 AB 的长．

23. 如图，一段长为 45 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，墙长为 27 m，设花园的面积为 S m2，平行于墙的边为 x m．若 x 不小于 17 m，
（1）求出 S 关于 x 的函数关系式；
（2）求 S 的最大值与最小值．

24. 平面直角坐标系中，四边形 OABC 是正方形，点 A，C 在坐标轴上，点 B6,6，P 是射线 OB 上一点，将 △AOP 绕点 A 顺时针旋转 90∘，得 △ABQ，Q 是点 P 旋转后的对应点．
（1）如图（1）当 OP=22 时，求点 Q 的坐标；
（2）如图（2），设点 Px,y（0（3）当 BP+BQ=82 时，求点 Q 的坐标（直接写出结果即可）．

25. 在平面直角坐标系中，设二次函数 y=x2−x−a2−a，其中 a>0．
（1）若函数 y 的图象经过点 1,−2，求函数 y 的解析式；
（2）若抛物线与 x 轴的两交点坐标为 A，B（A 点在 B 点的左侧），与 y 轴的交点为 C，满足 OC=2OB 时，求 a 的值．
（3）已知点 Px0,m 和 Q1,n 在函数 y 的图象上，若 m答案
第一部分
1. C【解析】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
2. B【解析】A、画一个三角形，其内角和是 180∘，是必然事件；
B、投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为 5，是随机事件；
C、在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片，是不可能事件；
D、明天太阳从东方升起，是必然事件；
3. D【解析】y=3x，因为 k=3>0，图象在第一、三象限，不经过 −1,3，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小．
4. B【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠B=∠D=90∘，
由旋转不变性可知：AE=AF，
在 Rt△ABE 和 Rt△ADF 中，
AB=AD,AE=AF,
∴Rt△ABE≌Rt△ADFHL，
∴∠BAE=∠DAF=25∘，
∴∠EAF=90∘−25∘−25∘=40∘，
∴ 旋转角为 40∘．
5. C
【解析】因为 DE∥BC，
所以 ADDB=AEEC，即 63=4EC，
解得：EC=2，
所以 AC=AE+EC=4+2=6．
6. D【解析】连接 BC，如图所示：
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90∘，
∵∠BCD=∠BAD，
∴∠ACD+∠BAD=90∘．
7. A【解析】∵ 反比例函数 y=2x 中，2>0，
∴ 在每一象限内，y 随 x 的增大而减小，
∵x1 ∴ 点 A，B 在第三象限，点 C 在第一象限，
∴x1 ∴x1⋅x2>0，x1⋅x3<0，x2⋅x3<0，x1+x2<0，
故选：A．
8. B【解析】∵k1<0 ∴ 函数 y=k1x 的经过第二、四象限，反比例和 y=k2x 的图象分布在第一、三象限．
故选：B．
9. D【解析】连接 OA，OB，如图，
∵PA 切 ⊙O 于点 A，PB 切 ⊙O 于点 B，
∴PA=PB，PO 平分 ∠APB，
∵OA=OB，PA=PB，
∴OP 垂直平分 AB．
10. D
【解析】∵ 二次函数 y=x2−m−2x+4=x−m−222−m−224+4，
∴ 该函数的顶点坐标为 m−22,−m−224+4，
∵ 二次函数 y=x2−m−2x+4 图象的顶点在坐标轴上，
∴m−22=0 或 −m−224+4=0，
解得 m=2 或 m1=−2，m2=6，
故选：D．
11. B【解析】作 OP⊥m 于 P 点，则 OP=2，
∵OB 为定值，是 1，
∴ 此时 PB 的值最小，
根据题意，在 Rt△OPB 中，
PB=OP2−OB2=22−12=3，
即 PB 的最小值是 3．
12. C【解析】∵ 抛物线的顶点坐标 A1,3，
∴ 抛物线的对称轴为直线 x=−b2a=1，
∴2a+b=0，
∴ ①正确；
∵ 抛物线开口向下，
∴a<0，
∴b=−2a＞0，
∵ 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，
∴c>0，
∴abc<0，
∴ ②错误；
∵ 抛物线的顶点坐标 A1,3，
∴x=1 时，二次函数有最大值，
∴ 方程 ax2+bx+c=3 有两个相等的实数根，
∴ ③正确；
∵ 抛物线 y1=ax2+bx+c 与直线 y2=mx+nm≠0 交于 A1,3，B 点 4,0，
∴ 当 1 ∴ ④正确．
∵ 抛物线与 x 轴的一个交点为 4,0，
而抛物线的对称轴为直线 x=1，
∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点为 −2,0，
∴ ⑤错误．
第二部分
13. 54
【解析】∵4a=5b，
∴ab=54．
14. 12
【解析】从长度分别为 2，4，6，7 的四条线段中任选三条有如下 4 种情况：2，4，6；2，4，7；2，6，7；4，6，7；
能组成三角形的结果有 2 个（2，6，7；4，6，7，），
则能构成三角形的概率为 24=12．
15. ③④
【解析】根据一次函数、二次函数、反比例函数的性质即可一一判断．
y 随 x 的增大而增大的函数有③④．
16. 32
【解析】∵C3,4，
∴OC=32+42=5．
∴CB=OC=5．
则点 B 的横坐标为 3+5=8，故 B 的坐标为 8,4，
将点 B 的坐标代入 y=kx 得 4=k8，
解得 k=32．
17. 63−43π
【解析】设正六边形的中心为点 O，连接 OD，OE，作 OH⊥DE 于 H，如图所示：
∠DOE=360∘6=60∘，
∴OD=OE=DE=2，
∴OH=3，
∴ 正六边形 ABCDEF 的面积 =12×2×3×6=63．
∠A=6−2×180∘6=120∘，
∴ 扇形 ABF 的面积 =120π×22360=43π，
∴ 图中阴影部分的面积 =63−43π．
18. 取格点 M，N，分别连接 BM，CN，BM，CN 交于点 E，连接 AE 并延长交 BC 于点 H，则 AH 即为所求．
【解析】如图，取格点 M，N，分别连接 BM，CN，BM，
CN 交于点 E，连接 AE 并延长交 BC 于点 H，
则 AH 即为所求．
∵BM⊥AC，CN⊥AB，
∴AH⊥BC．
第三部分
19. （1） 画树状图如下：
两次摸球出现的所有可能结果共有 16 种；
（2） 两次摸出的球的标号相同有 4 种，
所以，P两次摸出的球的标号相同=416=14；
（3） 两次摸出的球的标号的和等于 4 有 3 次，
所以，P两次摸出的球的标号的和等于4=316．
20. （1） ∵A 是双曲线 y=kx 上的点，点 A 的坐标是 1,4，
∴ 把 x=1，y=4 代入 y=kx，得 k=1×4=4．
（2） 作 AD⊥x 轴于点 D，BE⊥x 轴于点 E，
∵A1,4，
∴AD=4，OD=1．
又 ∵B 为 AC 的中点，
∴BE=12AD=2，且 CE=DE，
∴B 点的纵坐标为 2，则有 B 点坐标为 2,2．
∴DE=CE=2−1=1，即 OC=3，
∴S△OAC=12⋅AD⋅OC=12×4×3=6．
21. ∵△ABC 为等边三角形，
∴∠B=∠C=60∘，AC=BC=AB=5，
∵BE=2，
∴CE=3，
∵∠AEC=∠BAE+∠B，
即 ∠AEF+∠CEF=∠BAE+∠B，
而 ∠AEF=60∘，∠B=60∘，
∴∠BAE=∠CEF，
∵∠B=∠C，
∴△ABE∽△ECF，
∴BECF=ABEC，即 2CF=53，
∵CF=65，
∴AF=AC−CF=5−65=195．
22. （1） 连接 OD，
∵OA 为半径的圆与 BC 相切于点 D，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB=90∘，
∵ 在 △ABC 中，∠C=90∘，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∴∠CAD=∠ADO=25∘，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=25∘，
∴∠BOD=2∠OAD=50∘，
∴∠B=90∘−∠BOD=40∘．
（2） 连接 OF，OD，
由（1）得：OD∥AC，
∴∠AFO=∠FOD，
∵OA=OF，点 F 为 AD 的中点，
∴∠A=∠AFO，∠AOF=∠FOD，
∴∠A=∠AFO=∠AOF=60∘，
∴∠B=90∘−∠A=30∘，
∵OA=OD=2，
∴OB=2OD=4，
∴AB=OA+OB=6．
23. （1） 平行于墙的边为 x m，矩形菜园的面积为 y m2．则垂直于墙的一面长为 1245−xm．根据题意得：S=12x45−x=−12x2+452x17≤x≤27．
（2） ∵S=−12x2+452x=−12x2−45x=−12x−4522+2025817≤x≤27，
∵17≤x≤27，a=−12<0．
∴ 当 x=452 m 时，S 取得最大值，此时 S=20258 m2，
∵∣27−452∣<∣17−452∣，
∴x=17 m 时，S 取得最小值，此时 S=19448 m2，
答：S 的最大值是 20258 m2，最小值是 19448 m2．
24. （1） 如图（1），过 P 点作 PG⊥x 轴，垂足为 G，
过 Q 点作 QH⊥x 轴，垂足为 H．
∵ 四边形 OABC 是正方形，
∴∠AOB=45∘．
∵B6,6，
∴OA=6．
在 Rt△OPG 中，
PG=OP⋅sin45∘=22×22=2，
∴OG=PG=2．
∴AG=OA−OG=4．
∴△AOP 绕点 A 顺时针旋转 90∘，得 △ABQ，
∴AQ=AP，BQ=OP．
∴Rt△AQH≌Rt△APG．
∴AH=PG=2，QH=AG=4．
∴Q8,4．
（2） 如图（2），过 P 点作 PG⊥x 轴，垂足为 G．
∵△AOP 绕点 A 顺时针旋转 90∘，得 △ABQ，
∴AP=AQ，∠PAQ=90∘．
∵Px,y，∠POG=45∘，
∴OG=PG=x，
∴AG=6−x．
在 Rt△APG 中，根据勾股定理，
AP2=AG2+PG2=6−x2+x2，
整理得 AP2=2x2−12x+36．
∵S△APQ=12AP⋅AQ，
∴S=x2−6x+18=x−32+9，
∴ 当 S 取最小值时，有 x=3，
∴P3,3．
（3） Q13,−1．
【解析】理由如下：如图，
∵△AOP 绕点 A 旋转得到 △ABQ，
∴OP=BQ．
∵BP+BQ=82，
∴BP+OP=82．
∵OB=62，
∴ 点 P 在 OB 的延长线上．
∴OP−BP=OB=62．
由 OP+BP=82,OP−BP=62.
解得：OP=72，BP=2．
∴OG=PG=22OP=7，
∴AG=OG−OA=1，
同（1）：Rt△AQH≌Rt△APG，
∴AH=PG=7，QH=AG=1，
∴OH=OA+AH=6+7=13，
∴Q13,−1．
25. （1） 函数 y1 的图象经过点 1,−2，得
−a2−a=−2，
整理，得 a+1−a=−2，
解得 a1=−2，a2=1，
函数 y1 的表达式 y=x−2x+2−1，化简，得 y=x2−x−2；
函数 y1 的表达式 y=x+1x−2 化简，得 y=x2−x−2，
综上所述：函数 y 的表达式 y=x2−x−2；
（2） 当 y=0 时 x2−x−a2−a=0，
整理，得
x+ax−a−1=0，
解得 x1=−a，x2=a+1，
y 的图象与 x 轴的交点是 A−a,0，Ba+1,0，
当 x=0 时，y=−a2−a．即 C0,−a2−a，
∵OC=2OB，
∴−a2−a=2∣a+1∣，
∵a>0，
∴a2+a=2a+2，
整理，得
a2−a−2=0，
a−2a+1=0，
解得 a1=2，a2=−1（舍去）．
（3） 当 P 在对称轴的左侧（含顶点）时，y 随 x 的增大而减小，
1,n 与 0,n 关于对称轴对称，
由 m当时 P 在对称轴的右侧时，y 随 x 的增大而增大，
由 m综上所述：m