054动量守恒之弹簧——物块连接模型 精讲精练-2022届高三物理一轮复习疑难突破微专题

一.必备知识精讲

二.典型例题精讲：

题型一：两物体一弹簧

例1：A、B两小球静止在光滑水平面上，用水平轻弹簧相连接，A、B两球的质量分别为m和M(m<M)．若使A球获得瞬时速度v(如图甲)，弹簧压缩到最短时的长度为L1；若使B球获得瞬时速度v(如图乙)，弹簧压缩到最短时的长度为L2，则L1与L2的大小关系为(　　)

A．L1>L2   B．L1<L2

C．L1＝L2   D．不能确定

答案　C

解析　当弹簧压缩到最短时，两球的速度相同，对题图甲取A的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：mv＝(m＋M)v′

由机械能守恒定律得：Ep＝mv2－(m＋M)v′2

联立解得弹簧压缩到最短时Ep＝

同理：对题图乙取B的初速度方向为正方向，当弹簧压缩到最短时有：Ep＝

故弹性势能相等，则有：L1＝L2，故A、B、D错误，C正确．

题型二：碰撞过程时间极短，可以弹簧长度不变

例2：　两物块A、B用轻弹簧相连，质量均为2 kg，初始时弹簧处于原长，A、B两物块都以v＝6 m/s的速度在光滑的水平地面上运动，质量为4 kg的物块C静止在前方，如图3所示．已知B与C碰撞后会粘在一起运动．在以后的运动中：

图3

(1)当弹簧的弹性势能最大时，物块A的速度为多大？

(2)系统中弹性势能的最大值是多少？

答案　(1)3 m/s　(2)12 J

解析　(1)弹簧压缩至最短时，弹性势能最大，

由动量守恒定律得：(mA＋mB)v＝(mA＋mB＋mC)vA

解得vA＝3 m/s

(2)B、C碰撞过程系统动量守恒

mBv＝(mB＋mC)vC

故vC＝2 m/s

碰后弹簧压缩到最短时弹性势能最大，

故Ep＝mAv2＋(mB＋mC)v－(mA＋mB＋mC)v＝12 J

三.举一反三，巩固练习

1.（2021全国乙卷14，6分） 如图，光滑水平地面上有一小车，一轻弹簧的一端与车厢的挡板相连，另一端与滑块相连，滑块与车厢的水平底板间有摩擦。用力向右推动车厢使弹簧压缩，撤去推力时滑块在车厢底板上有相对滑动。在地面参考系（可视为惯性系）中，从撤去推力开始，小车、弹簧和滑块组成的系统（　　）

A. 动量守恒，机械能守恒         B. 动量守恒，机械能不守恒

C. 动量不守恒，机械能守恒        D. 动量不守恒，机械能不守恒

【答案】B

【解析】因为滑块与车厢水平底板间有摩擦，且撤去推力后滑块在车厢底板上有相对滑动，即摩擦力做功，而水平地面是光滑的；以小车、弹簧和滑块组成的系统，根据动量守恒和机械能守恒的条件可知撤去推力后该系统动量守恒，机械能不守恒。    故选B。

2.如图所示，A、B两物体的质量之比为mA∶mB＝1∶2，它们原来静止在平板车C上，A、B两物体间有一根被压缩了的水平轻质弹簧，A、B两物体与平板车上表面间的动摩擦因数相同，水平地面光滑．当弹簧突然释放后，A、B两物体被弹开(A、B两物体始终不滑出平板车)，则有(　　)

A．A、B系统动量守恒

B．A、B、C及弹簧组成的系统机械能守恒

C．小车C先向左运动后向右运动

D．小车C一直向右运动直到静止

答案　D

解析　A、B两物体和弹簧、小车C组成的系统所受合外力为零，所以系统的动量守恒．在弹簧释放的过程中，因mA∶mB＝1∶2，由摩擦力公式Ff＝μFN＝μmg知，A、B两物体所受的摩擦力大小不等，所以A、B两物体组成的系统合外力不为零，A、B两物体组成的系统动量不守恒，A物体对小车向左的滑动摩擦力小于B对小车向右的滑动摩擦力，在A、B两物体相对小车停止运动之前，小车所受的合外力向右，会向右运动，因滑动摩擦力做负功，则系统的机械能不守恒，最终整个系统将静止，故A、B、C错误，D正确．

3.(多选)如图所示，小车在光滑水平面上向左匀速运动，水平轻质弹簧左端固定在A点，物体与固定在A点的细线相连，弹簧处于压缩状态(物体与弹簧未连接)，某时刻细线断了，物体沿车滑动到B端粘在B端的油泥上，取小车、物体和弹簧为一个系统，下列说法正确的是(　　)

A．若物体滑动中不受摩擦力，则该系统全过程机械能守恒

B．若物体滑动中有摩擦力，则该系统全过程动量守恒

C．不论物体滑动中有没有摩擦，小车的最终速度与断线前相同

D．不论物体滑动中有没有摩擦，系统损失的机械能相同

答案　BCD

解析　物体与油泥粘合的过程，发生非弹性碰撞，系统机械能有损失，故A错误；整个系统在水平方向不受外力，竖直方向上合外力为零，则系统动量一直守恒，故B正确；取系统的初速度方向为正方向，根据动量守恒定律可知，物体在沿车滑动到B端粘在B端的油泥上后系统共同的速度与初速度是相同的，故C正确；由C的分析可知，当物体与B端油泥粘在一起时，系统的速度与初速度相等，所以系统的末动能与初动能是相等的，系统损失的机械能等于弹簧的弹性势能，与物体滑动中有没有摩擦无关，故D正确．

4.如图所示，在光滑水平地面上有A、B两个小物块，其中物块A的左侧连接一轻质弹簧。物块A处于静止状态，物块B以一定的初速度向物块A运动，并通过弹簧与物块A发生弹性正碰。对于该作用过程，两物块的速率变化可用速率—时间图像进行描述，在图所示的图像中，图线1表示物块A的速率变化情况，图线2表示物块B的速率变化情况。则在这四个图像中可能正确的是(　　)

答案　B

解析　物块B压缩弹簧的过程，开始时A做加速运动，B做减速运动，随着压缩量的增大，弹簧的弹力增大，两个物块的加速度增大。当弹簧压缩至最短时，二者的速度相等；此后A继续加速，B继续减速，弹簧的压缩量减小，弹力减小，两个物块的加速度减小。当弹簧恢复原长时B离开弹簧。所以v­t图像切线斜率的大小都先增大后减小。设B离开弹簧时A、B的速度分别为vA和vB，取水平向右为正方向，根据动量守恒定律：mBv0＝mAvA＋mBvB，由机械能守恒定律得：mBv＝mAv＋mBv，联立解得vA＝v0，vB＝v0。若mB＞mA，由上式可得vA＞vB，所以B图是可能的；若mB＝mA，由上式可得vA＝v0，vB＝0；若mB＜mA，由上式可得vA＞0，vB＜0。综上，只有B图是可能的。故A、C、D三项错误，B项正确。故选B。

5（2021湖南卷8，5分）. 如图（a），质量分别为mA、mB的A、B两物体用轻弹簧连接构成一个系统，外力作用在A上，系统静止在光滑水平面上（B靠墙面），此时弹簧形变量为。撤去外力并开始计时，A、B两物体运动的图像如图（b）所示，表示0到时间内的图线与坐标轴所围面积大小，、分别表示到时间内A、B的图线与坐标轴所围面积大小。A在时刻的速度为。下列说法正确的是（　　）

A. 0到时间内，墙对B的冲量等于mAv0          B.  mA > mB

C. B运动后，弹簧最大形变量等于            D.

【答案】ABD

【解析】A．由于在0 ~ t1时间内，物体B静止，则对B受力分析有F墙 = F弹

则墙对B的冲量大小等于弹簧对B的冲量大小，而弹簧既作用于B也作用于A，则可将研究对象转为A，撤去F后A只受弹力作用，则根据动量定理有I = mAv0（方向向右）

则墙对B的冲量与弹簧对A的冲量大小相等、方向相同，A正确；

B．由a—t图可知t1后弹簧被拉伸，在t2时刻弹簧的拉伸量达到最大，根据牛顿第二定律有

F弹 = mAaA= mBaB   由图可知aB > aA   则mB < mA      B正确；

C 由图可得，t1时刻B开始运动，此时A速度为v0，之后AB动量守恒，AB和弹簧整个系统能量守恒，则

   可得AB整体的动能不等于0，即弹簧的弹性势能会转化为AB系统的动能，弹簧的形变量小于x，C错误；

D．由a—t图可知t1后B脱离墙壁，且弹簧被拉伸，在t1—t2时间内AB组成的系统动量守恒，且在t2时刻弹簧的拉伸量达到最大，A、B共速，由a—t图像的面积为v，在t2时刻AB的速度分别为，    A、B共速，则    D正确。

故选ABD。

6．如图甲所示，在光滑水平面上，轻质弹簧一端固定，物体A以速度v0向右运动压缩弹簧，测得弹簧的最大压缩量为x。现让弹簧一端连接另一质量为m的物体B，如图乙所示，物体A以2v0的速度向右压缩弹簧，测得弹簧的最大压缩量仍为x，则(　　)

A．物体A的质量为2m

B．物体A的质量为4m

C．弹簧压缩量最大时的弹性势能为mv

D．弹簧压缩量最大时的弹性势能为mv

答案　D

解析　当弹簧固定且弹簧的压缩量最大为x时，弹簧的弹性势能最大，根据机械能守恒定律知弹簧的最大弹性势能等于A的初动能，设A的质量为mA，即有Epm＝mAv；当弹簧一端连接另一质量为m的物体B时，A与弹簧相互作用的过程中B将向右运动，A、B的速度相等时，弹簧的压缩量达到最大，仍为x，此时弹簧的弹性势能最大，选取A的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得mA·2v0＝(m＋mA)v，由机械能守恒定律得Epm＝mA(2v0)2－(mA＋m)v2，联立得mA＝3m，Epm＝mv，故A、B、C错误，D正确。

7.(多选)光滑水平面上用轻弹簧相连的A、B两物体，以6 m/s的速度匀速向右运动，质量均为2 kg。在B的正前方静止放置一质量为4 kg的物体C，B、C碰后粘在一起，则在之后的运动过程中(　　)

A．弹簧的最大弹性势能为12 J

B．A、B、C和弹簧组成的系统损失的机械能是36 J

C．物体C的最大速度为4 m/s

D．整个运动过程中A的速度不可能向左

答案　ACD

解析　B、C碰撞瞬间，B、C组成的系统动量守恒，选水平向右为正方向，由动量守恒定律得：mBv0＝(mB＋mC)v，代入数据解得v＝2 m/s；三个物体速度相同时弹簧的弹性势能最大，由动量守恒定律得：mAv0＋mBv0＝(mA＋mB＋mC)v共，代入数据解得：v共＝3 m/s，设弹簧的最大弹性势能为Ep，由机械能守恒定律得：Ep＝mAv＋(mB＋mC)v2－(mA＋mB＋mC)v，代入数据解得：Ep＝12 J，A、B、C和弹簧组成的系统损失的机械能ΔE＝mBv－(mB＋mC)v2＝24 J，故A正确，B错误；当弹簧恢复原长时，C的速度最大，设此时B、C的速度为v1，A的速度为v2，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有mAv0＋(mB＋mC)v＝mAv2＋(mB＋mC)v1，mAv＋(mB＋mC)v2＝mAv＋(mB＋mC)v，代入数据解得v1＝4 m/s，故C正确；由于A、B、C系统的总动量守恒，总动量p＝(mA＋mB)v0＝24 kg·m/s，若A的速度向左，则B、C的速度向右且一定大于4 m/s，B、C具有的动能Ek＝(mB＋mC)v>48 J，而系统在B、C粘在一起后的总机械能为mAv＋(mB＋mC)v2＝48 J，由于系统的机械能不会增加，所以A的速度不可能向左，故D正确。

8. 如图所示，两光滑且平行固定的水平杆位于同一竖直平面内，两静止小球a、b分别穿在两杆上，两球间连接一个处于原长的竖直轻弹簧，现给小球b一个水平向右的初速度v0。小球a的质量为m1，小球b的质量为m2，且m1≠m2，如果两杆足够长，则在此后的运动过程中(　　)

A．a、b组成的系统动量守恒

B．a、b组成的系统机械能守恒

C．弹簧最长时，其弹性势能为m2v

D．当a的速度达到最大时，b的速度最小

答案　A

解析　由于水平杆光滑，两球在竖直方向上受力平衡，所受弹簧的弹力在水平方向上的分力时刻大小相等、方向相反，所以两球组成的系统所受的合力为零，即系统动量守恒，A正确；两小球受重力、弹簧弹力和杆的支持力，重力和杆的支持力不做功，弹簧弹力做功大小、正负不同，故两小球组成的系统机械能不守恒，B错误；当弹簧最长时，两小球的速度相等，由动量守恒定律有m2v0＝(m1＋m2)v，解得v＝，由机械能守恒定律，弹簧最长时，其弹性势能Ep＝m2v－(m1＋m2)v2＝v，C错误；由于两小球的质量不相等，弹簧开始伸长的过程中，a一直在加速，当弹簧再次恢复原长时a的速度达到最大，从开始到此刻，相当于b以速度v0与静止的a发生弹性碰撞，若m1＜m2，则此时b的速度仍向右，速度最小，若m1＞m2，则此时b的速度向左，大于最小值0，D错误。

9．(2019·全国卷Ⅲ) 静止在水平地面上的两小物块A、B，质量分别为mA＝1.0 kg，mB＝4.0 kg；两者之间有一被压缩的微型弹簧，A与其右侧的竖直墙壁距离l＝1.0 m，如图所示。某时刻，将压缩的微型弹簧释放，使A、B瞬间分离，两物块获得的动能之和为Ek＝10.0 J。释放后，A沿着与墙壁垂直的方向向右运动。A、B与地面之间的动摩擦因数均为μ＝0.20。重力加速度取g＝10 m/s2。A、B运动过程中所涉及的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短。

(1)求弹簧释放后瞬间A、B速度的大小；

(2)物块A、B中的哪一个先停止？该物块刚停止时A与B之间的距离是多少？

(3)A和B都停止后，A与B之间的距离是多少？

答案　(1)4.0 m/s　1.0 m/s

(2)物块B先停止　0.50 m　(3)0.91 m

解析　(1)设弹簧释放后瞬间A和B的速度大小分别为vA、vB，以向右为正方向，由动量守恒定律、机械能守恒定律和题给条件有0＝mAvA－mBvB①

Ek＝mAv＋mBv②

联立①②式并代入题给数据得

vA＝4.0 m/s，vB＝1.0 m/s③

(2)A、B两物块与地面间的动摩擦因数相等，因而两者滑动时加速度大小相等，设为a。假设A和B发生碰撞前，已经有一个物块停止，此物块应为弹簧释放后速度较小的B。设从弹簧释放到B停止所需时间为t，B向左运动的路程为sB，则有

mBa＝μmBg④

sB＝vBt－at2⑤

vB－at＝0⑥

在时间t内，A可能与墙壁发生弹性碰撞，碰撞后A将向左运动，碰撞并不改变A的速度大小，所以无论此碰撞是否发生，A在时间t内的路程sA都可表示为

sA＝vAt－at2⑦

联立③④⑤⑥⑦式并代入题给数据得

sA＝1.75 m，sB＝0.25 m⑧

这表明在时间t内A已与墙壁发生碰撞，但没有与B发生碰撞，此时A位于出发点右边0.25 m处，B位于出发点左边0.25 m处，两物块之间的距离s为

s＝0.25 m＋0.25 m＝0.50 m⑨

(3)t时刻后A将继续向左运动，假设它能与静止的B发生碰撞，碰撞前A的速度大小为vA′，由动能定理有

mAvA′2－mAv＝－μmAg(2l＋sB)⑩

联立③⑧⑩式并代入题给数据得vA′＝ m/s⑪

故A与B将发生碰撞。设碰撞后A、B的速度分别为vA″和vB″，由动量守恒定律与机械能守恒定律有

mA(－vA′)＝mAvA″＋mBvB″⑫

mAvA′2＝mAvA″2＋mBvB″2⑬

联立⑪⑫⑬式并代入题给数据得

vA″＝ m/s，vB″＝－ m/s⑭

这表明碰撞后A将向右运动，B将向左运动。假设碰撞后A向右运动距离为sA′时停止，B向左运动距离为sB′时停止，由运动学公式2asA′＝vA″2,2asB′＝vB″2⑮

由④⑭⑮式及题给数据得sA′＝0.63 m，sB′＝0.28 m⑯

sA′小于碰撞处到墙壁的距离。

由⑯式可得两物块停止后的距离

s′＝sA′＋sB′＝0.91 m。

10．如图所示，静止放置在光滑水平面上的A、B、C三个滑块，滑块A、B间通过一水平轻弹簧相连，滑块A左侧紧靠一竖直固定挡板P，某时刻给滑块C施加一个水平冲量使其以初速度v0水平向左运动，滑块C撞上滑块B的瞬间二者粘在一起共同向左运动，弹簧被压缩至最短的瞬间具有的弹性势能为1.35 J，此时撤掉固定挡板P，之后弹簧弹开释放势能，已知滑块A、B、C的质量分别为mA＝mB＝0.2 kg，mC＝0.1 kg，(取＝3.16)求：

(1)滑块C的初速度v0的大小；

(2)当弹簧弹开后恢复原长的瞬间，滑块B、C的速度大小；

(3)从滑块B、C压缩弹簧至弹簧恢复原长的过程中，弹簧对滑块B、C整体的冲量．

答案　(1)9 m/s　(2)1.9 m/s　(3)1.47 N·s，方向水平向右

解析　(1)滑块C撞上滑块B的过程中，滑块B、C组成的系统动量守恒，以水平向左为正，根据动量守恒定律得：

mCv0＝(mB＋mC)v1

弹簧被压缩至最短时，滑块B、C速度为零，根据能量守恒定律得：

Ep＝(mB＋mC)v

解得：v1＝3 m/s，v0＝9 m/s

(2)设弹簧弹开后恢复原长的瞬间，滑块B、C的速度大小为v2，滑块A的大小为v3，根据动量守恒定律得：

mAv3＝(mB＋mC)v2，

根据能量守恒定律得：

Ep＝mAv＋(mB＋mC)v

解得：v2≈1.9 m/s

(3)设弹簧对滑块B、C整体的冲量为I，选向右为正方向，由动量定理得：

I＝Δp＝(mB＋mC)(v2＋v1)

解得：I＝1.47 N·s，方向水平向右．

11．如图所示，水平面上有A、B两个小物块(均视为质点)，质量均为m，两者之间有一被压缩的轻质弹簧(未与A、B连接)。距离物块A为L处有一半径为L的固定光滑竖直半圆形轨道，半圆形轨道与水平面相切于C点，物块B的左边静置着一个三面均光滑的斜面体(底部与水平面平滑连接)。某一时刻将压缩的弹簧释放，物块A、B瞬间分离，A向右运动恰好能过半圆形轨道的最高点D(物块A过D点后立即撤去)，B向左平滑地滑上斜面体，在斜面体上上升的最大高度为L(L小于斜面体的高度)。已知A与右侧水平面的动摩擦因数μ＝0.5，B左侧水平面光滑，重力加速度为g，求：

(1)物块A通过C点时对半圆形轨道的压力大小；

(2)斜面体的质量；

(3)物块B与斜面体相互作用的过程中，物块B对斜面体做的功。

答案　(1)6mg　(2)　(3)

解析　(1)因物块A恰能过半圆形轨道的最高点D，则在D点时，有mg＝m

从C到D的过程，由动能定理，有

－mg×2L＝mv－mv

在C点时，根据牛顿第二定律，有F－mg＝m

解得F＝6mg

由牛顿第三定律可知，物块A通过C点时对半圆形轨道的压力F′＝F＝6mg。

(2)弹簧释放瞬间，由动量守恒定律，有mvA＝mvB

对物块A，从释放弹簧到运动到C点的过程，根据动能定理，有－μmgL＝mv－mv

从B滑上斜面体至上升到最大高度的过程中，对B和斜面体组成的系统，由动量守恒定律，有mvB＝(m＋M)v

由机械能守恒定律，有mv＝(m＋M)v2＋mgL

联立解得M＝。

(3)物块B从滑上斜面体到与斜面体分离的过程中，由动量守恒定律，有mvB＝mvB′＋Mv′

由机械能守恒定律，有mv＝mvB′2＋Mv′2

解得vB′＝，v′＝

由功能关系知，物块B与斜面体相互作用的过程中，物块B对斜面体做的功W＝Mv′2

解得W＝。