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2020-2021学年吉林省长春市双阳区八年级（下）期末数学试卷
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这是一份2020-2021学年吉林省长春市双阳区八年级（下）期末数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列式子：a，，，，其中分式的共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（3分）在平面直角坐标系中，点M（﹣2，3）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（3分）老师对小明本学期的5次数学测试成绩进行统计分析，判断小明的数学成绩是否稳定，老师需要知道小明这5次数学成绩的（ ）
A．平均数B．方差C．众数D．频数
4．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝40°，则∠B的度数为（ ）
A．100°B．120°C．140°D．160°
5．（3分）如果把中的x和y都扩大到5倍，那么分式的值（ ）
A．扩大5倍B．不变C．缩小5倍D．扩大4倍
6．（3分）在平面直角坐标系中，若点A（2，a）和B（2，7）关于x轴对称，则a的值为（ ）
A．2B．﹣2C．7D．﹣7
7．（3分）计算÷•（）2的结果是（ ）
A．xB．x2C．y2D．y
8．（3分）与直线y＝﹣4x+2平行的直线是（ ）
A．y＝4x+2B．y＝﹣4x+3C．y＝x+3D．y＝﹣x+2
9．（3分）对于反比例函数y＝﹣，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点（2，1）
B．图象位于第一、三象限
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
10．（3分）如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC＝6，BD＝8，且AE垂直于CD，垂足为点E，则AE的长度为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）使分式有意义的x的取值范围是 ．
12．（3分）随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.0000007mm2.将0.0000007用科学记数法表示为 ．
13．（3分）计算（π﹣3.14）0+（）﹣2＝ ．
14．（3分）分式和的最简公分母是 ．
15．（3分）当x＝ 时，分式的值是0．
16．（3分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，则∠AED为 度．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，M为y轴正半轴上一点，过点M的直线l∥x轴，l分别与反比例函数y＝和y＝的图象交于A、B两点，若S△AOB＝3，则k的值为 ．
18．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC边上的点，AF与BE相交于点G，DF与EC相交于点H，若S△ABG＝16，S△DHC＝7，则四边形EGFH的面积为 ．
三、解答题（共66分）
19．（5分）先化简，再求值：，其中a＝+1．
20．（5分）解方程：．
21．（5分）某校八年二班手工制作小组成员小丽、小影两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗，已知小丽比小影每小时多做2面彩旗，小丽做40面彩旗与小影做30面彩旗所用时间相等，问小影每小时做多少面彩旗？
22．（6分）如图，在5×5的正方形网格中有一条线段AB，点A、B都在格点上．
（1）在图①中以AB为边，画出一个是轴对称，但不是中心对称的四边形ABCD，C、D为格点．
（2）在图②中以AB为边，画出一个是中心对称，但不是轴对称的四边形ABCD，C、D为格点．
（3）在图③中以AB为边，画出一个既是中心对称，又是轴对称的四边形ABCD，C、D为格点．
23．（6分）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F．
（1）求证：AC＝BE；
（2）若∠AFC＝2∠D，连接AC，BE．求证：四边形ABEC是矩形．
24．（6分）“体验劳动乐趣，传承劳动美德”．为了解五一期间学生做家务劳动的时间，某中学对八年级一班50名学生进行了调查，有关数据如下表：
根据如表中的数据，回答下列问题：
（1）这组数据的中位数是 小时，众数是 小时．
（2）求出该班学生每周做家务劳动的平均时间．
（3）请你根据（1）、（2）的结果，用一句话谈谈自己的感受．
25．（6分）如图，直线y＝nx+m和双曲线y＝相交于点A（2，2）和点B（a，﹣1）．
（1）求k的值；
（2）求n，m的值；
（3）结合图象写出不等式nx+m＞的解集： ．
注：第（3）小题直接写出结果．
26．（7分）甲、乙两车分别从M、N两地同时出发．甲车匀速前往N地，到达N地立即以另一速度按原路匀速返回到M地；乙车匀速前往M地．设甲、乙两车与M地之间的路程为y（千米），甲车行驶的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示．
（1）M、N两地之间的路程为 千米，甲车从M地到达N地的行驶时间为 小时．
（2）求甲车返回时y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）直接写出当甲车与乙车之间的路程为100千米时甲车所用的时间．
27．（8分）如图是华师版八年级上册数学教材117页的部分内容．
【问题解决】请结合图①写出证明过程．
【应用拓展】
（1）如图②，矩形纸片ABCD，翻折∠A和∠C，使AB和CD落在对角线BD上，且点A和点C落在同一点O上，折痕分别是BF和DE，若四边形BEDF面积为8，则矩形纸片ABCD的面积为 ．
（2）如图③，矩形纸片ABCD沿着EF折叠，使得点C与点A重合，若AB＝4，BC＝8，则EF＝ ．
28．（12分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝x与直线y＝﹣x+4相交于点A，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，点D为线段OB上的一个动点，点D的横坐标为m，过点D作DE垂直于x轴，交折线OA﹣AB于点E，以DE为边向右作正方形DEFG．
（1）写出点A的横坐标；
（2）求DE的长（用含m的代数式表示）；
（3）当点F落在直线AB上时，求m的值；
（4）当三角形AOB与正方形DEFG重合部分为四边形时，写出重合部分面积S与m之间的函数关系式；
（5）当直线AB经过正方形DEFG某个边的中点时，直接写出m的取值范围．
2020-2021学年吉林省长春市双阳区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列式子：a，，，，其中分式的共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】形如，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式．
【解答】解：，，，是分式，
故选：C．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点M（﹣2，3）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】横坐标小于0，纵坐标大于0，则这点在第二象限．
【解答】解：∵﹣2＜0，3＞0，
∴（﹣2，3）在第二象限，
故选：B．
3．（3分）老师对小明本学期的5次数学测试成绩进行统计分析，判断小明的数学成绩是否稳定，老师需要知道小明这5次数学成绩的（ ）
A．平均数B．方差C．众数D．频数
【分析】由于方差反映数据的波动大小，故应知道小明这5次数学成绩的方差．
【解答】解：根据题意，由于方差反映数据的波动大小，要判断小明同学的数学成绩是否稳定，需要知道小明这5次数学成绩的方差．
故选：B．
4．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝40°，则∠B的度数为（ ）
A．100°B．120°C．140°D．160°
【分析】根据平行四边形的性质解决问题即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝40°，
∴∠B＝140°，
故选：C．
5．（3分）如果把中的x和y都扩大到5倍，那么分式的值（ ）
A．扩大5倍B．不变C．缩小5倍D．扩大4倍
【分析】把中的x和y都扩大到5倍，就是用5x代替x，用5y代替y，代入后看所得到的式子与原式有什么关系．
【解答】解：，
即分式的值不变．
故选：B．
6．（3分）在平面直角坐标系中，若点A（2，a）和B（2，7）关于x轴对称，则a的值为（ ）
A．2B．﹣2C．7D．﹣7
【分析】根据关于x轴对称的点：横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求出a的值．
【解答】解：∵点A（2，a）和B（2，7）关于x轴对称，
∴a＝﹣7．
故选：D．
7．（3分）计算÷•（）2的结果是（ ）
A．xB．x2C．y2D．y
【分析】根据分式的乘除运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝••
＝x，
故选：A．
8．（3分）与直线y＝﹣4x+2平行的直线是（ ）
A．y＝4x+2B．y＝﹣4x+3C．y＝x+3D．y＝﹣x+2
【分析】根据平行直线的解析式的k值相等b值不等解答．
【解答】解：与直线y＝﹣4x+2平行的直线的解析式的k＝﹣4，b≠2，
纵观各选项，只有y＝﹣4x+3与直线y＝﹣4x+2平行．
故选：B．
9．（3分）对于反比例函数y＝﹣，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点（2，1）
B．图象位于第一、三象限
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
【分析】根据反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵反比例函数y＝﹣，k＝﹣2＜0，
∴该函数图象为第二、四象限，故选项B不符合题意；
当x＝2时，y＝﹣1，即该函数过点（2，﹣1），故选项A不符合题意；
当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C不符合题意；
当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项D符合题意；
故选：D．
10．（3分）如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC＝6，BD＝8，且AE垂直于CD，垂足为点E，则AE的长度为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由菱形的性质得AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝3，OB＝OD＝BD＝4，再由勾股定理求出CD＝5，然后由菱形的面积公式：•AC•BD＝BC•AE，即可解决问题．
【解答】解：设AC、BD交于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝3，OB＝OD＝BD＝4，
∴CD＝＝＝5，
∵AE⊥CD，
∴•AC•BD＝CD•AE，
即×6×8＝5AE，
∴AE＝，
故选：B．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）使分式有意义的x的取值范围是 x≠3 ．
【分析】根据分式有意义，分母不为零列式进行计算即可得解．
【解答】解：分式有意义，则x﹣3≠0，
解得x≠3．
故答案为：x≠3．
12．（3分）随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.0000007mm2.将0.0000007用科学记数法表示为 7×10﹣7 ．
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000007＝7×10﹣7．
故答案为：7×10﹣7．
13．（3分）计算（π﹣3.14）0+（）﹣2＝ 10 ．
【分析】根据零指数幂、负整数指数幂进行计算即可．
【解答】解：原式＝1+9
＝10，
故答案为10．
14．（3分）分式和的最简公分母是 6x2y3 ．
【分析】确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【解答】解：分式和的分母分别是2xy3，3x2y2，故最简公分母是6x2y3．
故答案为：6x2y3．
15．（3分）当x＝ 1 时，分式的值是0．
【分析】直接利用分式的值为零则分子为零分母不为零，进而得出答案．
【解答】解：分式的值是0，则x2﹣1＝0且3x+3≠0，
解得：x＝1．
故答案为：1．
16．（3分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，则∠AED为 75 度．
【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质可得AD＝AE，∠DAE＝30°，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE，∠BAE＝60°，
∴AD＝AE，∠DAE＝30°，
∴∠AED＝＝75°，
故答案为：75．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，M为y轴正半轴上一点，过点M的直线l∥x轴，l分别与反比例函数y＝和y＝的图象交于A、B两点，若S△AOB＝3，则k的值为 ﹣2 ．
【分析】由直线l∥x轴，得到AM⊥y轴，BM⊥y轴，于是得到S△AOM＝|k|，S△BOM＝×4＝2，求得S△AOM＝1，即可得到结论．
【解答】解：∵直线l∥x轴，
∴AM⊥y轴，BM⊥y轴，
∴S△AOM＝|k|，S△BOM＝×4＝2，
∵S△AOB＝3，
∴S△AOM＝1，
∴|k|＝2，
∵k＜0，
∴k＝﹣2，
故答案为：﹣2．
18．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC边上的点，AF与BE相交于点G，DF与EC相交于点H，若S△ABG＝16，S△DHC＝7，则四边形EGFH的面积为 23 ．
【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，可得S△ABE＝S△AEF，S△DEF＝S△DEC，可求S△ABG＝S△EGF＝16，S△DHC＝S△EFH＝7，即可求解．
【解答】解：如图，连接EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴S△ABE＝S△AEF，S△DEF＝S△DEC，
∴S△ABG＝S△EGF＝16，S△DHC＝S△EFH＝7，
∴四边形EGFH的面积＝16+7＝23，
故答案为23．
三、解答题（共66分）
19．（5分）先化简，再求值：，其中a＝+1．
【分析】先因式分解原式＝×，再化简、计算即可．
【解答】解：
＝×
＝a﹣1，
当a＝+1时，原式＝．
20．（5分）解方程：．
【分析】方程两边同时乘以x﹣3，可求得x＝﹣1，再检验x＝﹣1是原方程的根即可．
【解答】解：，
方程两边同时乘以x﹣3，
得2x＝x﹣3+2，
移项得，x＝﹣1，
经检验，x＝﹣1是方程的解，
∴原方程的解是x＝﹣1．
21．（5分）某校八年二班手工制作小组成员小丽、小影两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗，已知小丽比小影每小时多做2面彩旗，小丽做40面彩旗与小影做30面彩旗所用时间相等，问小影每小时做多少面彩旗？
【分析】设小影每小时做x面彩旗，则小丽每小时做（x+2）面彩旗，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合小丽做40面彩旗与小影做30面彩旗所用时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设小影每小时做x面彩旗，则小丽每小时做（x+2）面彩旗，
依题意得：＝，
解得：x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意．
答：小影每小时做6面彩旗．
22．（6分）如图，在5×5的正方形网格中有一条线段AB，点A、B都在格点上．
（1）在图①中以AB为边，画出一个是轴对称，但不是中心对称的四边形ABCD，C、D为格点．
（2）在图②中以AB为边，画出一个是中心对称，但不是轴对称的四边形ABCD，C、D为格点．
（3）在图③中以AB为边，画出一个既是中心对称，又是轴对称的四边形ABCD，C、D为格点．
【分析】（1）根据轴对称图形的性质即可在图①中以AB为边，画出一个是轴对称，但不是中心对称的四边形ABCD，C、D为格点；
（2）根据中心对称图形的性质即可在图②中以AB为边，画出一个是中心对称，但不是轴对称的四边形ABCD，C、D为格点；
（3）根据轴对称图形的性质和中心对称图形的性质即可在图③中以AB为边，画出一个既是中心对称，又是轴对称的四边形ABCD，C、D为格点．
【解答】解：（1）如图①，四边形ABCD即为所求；
（2）如图②，四边形ABCD即为所求；
（3）如图③，四边形ABCD即为所求．
23．（6分）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F．
（1）求证：AC＝BE；
（2）若∠AFC＝2∠D，连接AC，BE．求证：四边形ABEC是矩形．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，然后根据CE＝DC，得到AB＝EC，AB∥EC，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断即可；
（2）由（1）得的结论先证得四边形ABEC是平行四边形，通过角的关系得出FA＝FE＝FB＝FC，AE＝BC，得证．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵CE＝DC，
∴AB＝EC，AB∥EC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴AC＝BE；
（2）∵AB＝EC，AB∥EC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴FA＝FE，FB＝FC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D，
又∵∠AFC＝2∠D，
∴∠AFC＝2∠ABC，
∵∠AFC＝∠ABC+∠BAF，
∴∠ABC＝∠BAF，
∴FA＝FB，
∴FA＝FE＝FB＝FC，
∴AE＝BC，
∴四边形ABEC是矩形．
24．（6分）“体验劳动乐趣，传承劳动美德”．为了解五一期间学生做家务劳动的时间，某中学对八年级一班50名学生进行了调查，有关数据如下表：
根据如表中的数据，回答下列问题：
（1）这组数据的中位数是 2.5 小时，众数是 2.5 小时．
（2）求出该班学生每周做家务劳动的平均时间．
（3）请你根据（1）、（2）的结果，用一句话谈谈自己的感受．
【分析】（1）50个数据，中位数应是第25个和第26个数据的平均数，2.5小时出现的次数最多，为12次，应是众数；
（2）平均时间＝总时间÷总人数；
（3）根据平均数、中位数和众数的意义谈感受．
【解答】解：（1）这组数据的中位数是＝2.5（小时），
2.5小时出现的次数最多，为12次，众数是2.5小时．
故答案为：2.5，2.5；
（2）该班学生每周做家务劳动的平均时间为×（0×1+1×4+1.5×7+2×8+2.5×12+3×10+3.5×6+4×2）＝2.39（小时）．
答：该班学生每周做家务劳动的平均时间为2.39小时．
（3）感受：从（1）（2）可以看出该班学生每周做家务劳动的平均时间偏少．
25．（6分）如图，直线y＝nx+m和双曲线y＝相交于点A（2，2）和点B（a，﹣1）．
（1）求k的值；
（2）求n，m的值；
（3）结合图象写出不等式nx+m＞的解集： x＞2或﹣4＜x＜0 ．
注：第（3）小题直接写出结果．
【分析】（1）由反比例函数y＝的图象经过点A（2，2），B（a，﹣1）可得出方程，解方程可求出答案；
（2）由直线y＝nx+m经过点A，B可得出方程组，解方程组可得出答案；
（3）根据函数图象，写出直线落在双曲线上方的部分对应的自变量的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点A（2，2），B（a，﹣1），
∴2×2＝k，﹣a＝k，
解得k＝4，a＝﹣4；
（2）∵直线y＝nx+m经过点A（2，2），B（﹣4，﹣1），
∴，
解得m＝1，n＝；
（3）∵A（2，2）和点B（﹣4，﹣1）．
∴观察图象可得不等式nx+m＞的的解集为：x＞2或﹣4＜x＜0．
故答案为x＞2或﹣4＜x＜0．
26．（7分）甲、乙两车分别从M、N两地同时出发．甲车匀速前往N地，到达N地立即以另一速度按原路匀速返回到M地；乙车匀速前往M地．设甲、乙两车与M地之间的路程为y（千米），甲车行驶的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示．
（1）M、N两地之间的路程为 300 千米，甲车从M地到达N地的行驶时间为 5 小时．
（2）求甲车返回时y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）直接写出当甲车与乙车之间的路程为100千米时甲车所用的时间．
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得M、N两地之间的路程和甲车从M地到达N地的行驶时间；
（2）根据甲车到达N地的时间，可得出C、D的坐标，利用待定系数法即可得返回时y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）求出乙车的速度，根据“路程、速度、时间”的关系列方程解答即可．
【解答】解：（1）由图象得：M、N两地之间的路程为300千米，
甲车的速度为：120÷2＝60（千米/时），
甲车从M地到达N地的行驶时间为300÷60＝5（小时），
故答案为：300，5；
（2）设甲车返回时y与x之间的函数关系式是y＝kx+b，把C（5，300），（8，0）代入得：
，解得，
即甲车返回时y与x之间的函数关系式是y＝﹣100x+800（5≤x≤8）；
（3）乙车的速度为：（300﹣120）÷2＝90（千米/时），
设甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶了x小时，根据题意得：
（90+60）x＝300﹣100或（90+60）x＝300+100或﹣100x+800＝100，
解得x＝或或7．
答：当甲车与乙车之间的路程为100千米时甲车所用的时间为小时或小时或7小时．
27．（8分）如图是华师版八年级上册数学教材117页的部分内容．
【问题解决】请结合图①写出证明过程．
【应用拓展】
（1）如图②，矩形纸片ABCD，翻折∠A和∠C，使AB和CD落在对角线BD上，且点A和点C落在同一点O上，折痕分别是BF和DE，若四边形BEDF面积为8，则矩形纸片ABCD的面积为 12 ．
（2）如图③，矩形纸片ABCD沿着EF折叠，使得点C与点A重合，若AB＝4，BC＝8，则EF＝ 2 ．
【分析】①证明四边形AFCE是平行四边形即可；
（1）菱形BEDF的面积是矩形ABCD面积的；
（2）设BF＝x，AF＝CF＝8﹣x，由（8﹣x）2﹣x2＝16，先求出BF的长
【解答】解：在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAC＝ACB，∠AEF＝∠CFE，
又OA＝OC，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE＝CF
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC
∴▱AFCE是菱形．
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，
由折叠可知：
△ABF≌△OBF，△ODE≌△CDE，
OB＝AB，OD＝CD，
∠BOF＝∠A＝90°，∠DOE＝∠C＝90°，
∴OB＝OD，BD⊥EF，
∴同理（1）：四边形BEDF是菱形，
∴△OBF≌△OBE≌△ODF≌△ODE
∴S矩形ABCD＝S菱形BEDF＝12．
（2）设BF＝x，则AF＝CF＝8﹣x，
在Rr△ABF 中，由勾股定理得：
（8﹣x）2﹣x2＝42，
解得：x＝3，
∴AF＝CF＝5，
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠EFC＝∠AFE，
∴AE＝AF＝5，
作FH⊥AD于H，
FH＝AB＝4，AH＝BF＝3，
∴EH＝AE﹣AH＝5﹣3＝2，
在Rt△EHF 中，根据勾股定理得：
EF2＝FH2+EH2，
即：EF2＝42+22，
∴EF＝2．
28．（12分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝x与直线y＝﹣x+4相交于点A，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，点D为线段OB上的一个动点，点D的横坐标为m，过点D作DE垂直于x轴，交折线OA﹣AB于点E，以DE为边向右作正方形DEFG．
（1）写出点A的横坐标；
（2）求DE的长（用含m的代数式表示）；
（3）当点F落在直线AB上时，求m的值；
（4）当三角形AOB与正方形DEFG重合部分为四边形时，写出重合部分面积S与m之间的函数关系式；
（5）当直线AB经过正方形DEFG某个边的中点时，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）由即可得点A的横坐标为；
（2）当m≤时，E在直线y＝x上，由点D的横坐标为m，即得DE＝m，当＜m≤8时，E在直线y＝﹣x+4上，根据点D的横坐标为m，得DE＝﹣m+4；
（3）由DE＝m，得F（2m，m），代入y＝﹣x+4即得m＝2；
（4）①当0＜m≤2时，三角形AOB与正方形DEFG重合部分为正方形DEFG，故S＝S正方形DEFG＝m2；②当2＜m＜时，三角形AOB与正方形DEFG重合部分不是四边形；③当≤m＜8时，三角形AOB与正方形DEFG重合部分为梯形DEMG，OG＝OD+DG＝m+4，可得M（m+4，﹣m+2），即得MG＝﹣m+2，从而S＝m2﹣3m+12，
（5）当E在线段OA上，直线AB经过边EF的中点P，可得P（m，m），代入y＝﹣x+4即得m＝；当E在线段AB上（不包括B）时，直线AB经过边FG的中点，由E（m，﹣m+4），可推得N（m+4，﹣m+2），故NG＝DE，即E在线段AB上（不包括B）时，直线AB正好经过边FG的中点，即得≤m＜8．
【解答】解：（1）由得：x＝﹣x+4，
解得x＝，
∴点A的横坐标为；
（2）在y＝﹣x+4中，令y＝0得x＝8，
∴B（8，0），
当m≤时，E在直线y＝x上，且点D的横坐标为m，
∴E（m，m），
∴DE＝m，
当＜m≤8时，E在直线y＝﹣x+4上，且点D的横坐标为m，
∴E（m，﹣m+4）；
∴DE＝﹣m+4；
（3）如图：
由（2）知：DE＝m，
而四边形DEFG是正方形，
∴DG＝FG＝m，
∴F（2m，m），
把F（2m，m）代入y＝﹣x+4得：
m＝﹣×2m+4，解得m＝2；
（4）①当0＜m≤2时，如图：
此时三角形AOB与正方形DEFG重合部分为正方形DEFG，
∵DE＝m，
∴S＝S正方形DEFG＝m2；
②当2＜m＜时，如图：
三角形AOB与正方形DEFG重合部分不是四边形；
③当≤m＜8时，如图：
此时三角形AOB与正方形DEFG重合部分为梯形DEMG，
由（2）知DE＝﹣m+4＝DG，
∴OG＝OD+DG＝m+4，
将x＝m+4代入y＝﹣x+4得y＝﹣（m+4）+4＝﹣m+2，
∴M（m+4，﹣m+2），
∴MG＝﹣m+2
∴S＝＝m2﹣3m+12，
综上所述，S＝；
（5）当E在线段OA上，直线AB经过边EF的中点P，如图：
此时E（m，m），G（2m，0），F（2m，m），
∴P（m，m），
将P（m，m）代入y＝﹣x+4得：m＝﹣×m+4，
解得m＝；
当E在线段AB上（不包括B）时，直线AB经过边FG的中点，如图：
此时E（m，﹣m+4），
由（4）③可知：G（m+4，0），
∴F（m+4，﹣m+4），
∴FG的中点N（m+4，﹣m+2），
∴NG＝﹣m+2，
而DE＝﹣m+4，
∴NG＝DE，即E在线段AB上（不包括B）时，直线AB正好经过边FG的中点，
∴≤m＜8；
综上所述，直线AB经过正方形DEFG某个边的中点时，m＝或≤m＜8．
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日期：2021/8/16 23:16:13；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.cm；学号：37675298每周做家务的时间（小时）
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1．（3分）下列式子：a，，，，其中分式的共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（3分）在平面直角坐标系中，点M（﹣2，3）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（3分）老师对小明本学期的5次数学测试成绩进行统计分析，判断小明的数学成绩是否稳定，老师需要知道小明这5次数学成绩的（ ）
A．平均数B．方差C．众数D．频数
4．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝40°，则∠B的度数为（ ）
A．100°B．120°C．140°D．160°
5．（3分）如果把中的x和y都扩大到5倍，那么分式的值（ ）
A．扩大5倍B．不变C．缩小5倍D．扩大4倍
6．（3分）在平面直角坐标系中，若点A（2，a）和B（2，7）关于x轴对称，则a的值为（ ）
A．2B．﹣2C．7D．﹣7
7．（3分）计算÷•（）2的结果是（ ）
A．xB．x2C．y2D．y
8．（3分）与直线y＝﹣4x+2平行的直线是（ ）
A．y＝4x+2B．y＝﹣4x+3C．y＝x+3D．y＝﹣x+2
9．（3分）对于反比例函数y＝﹣，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点（2，1）
B．图象位于第一、三象限
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
10．（3分）如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC＝6，BD＝8，且AE垂直于CD，垂足为点E，则AE的长度为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）使分式有意义的x的取值范围是 ．
12．（3分）随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.0000007mm2.将0.0000007用科学记数法表示为 ．
13．（3分）计算（π﹣3.14）0+（）﹣2＝ ．
14．（3分）分式和的最简公分母是 ．
15．（3分）当x＝ 时，分式的值是0．
16．（3分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，则∠AED为 度．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，M为y轴正半轴上一点，过点M的直线l∥x轴，l分别与反比例函数y＝和y＝的图象交于A、B两点，若S△AOB＝3，则k的值为 ．
18．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC边上的点，AF与BE相交于点G，DF与EC相交于点H，若S△ABG＝16，S△DHC＝7，则四边形EGFH的面积为 ．
三、解答题（共66分）
19．（5分）先化简，再求值：，其中a＝+1．
20．（5分）解方程：．
21．（5分）某校八年二班手工制作小组成员小丽、小影两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗，已知小丽比小影每小时多做2面彩旗，小丽做40面彩旗与小影做30面彩旗所用时间相等，问小影每小时做多少面彩旗？
22．（6分）如图，在5×5的正方形网格中有一条线段AB，点A、B都在格点上．
（1）在图①中以AB为边，画出一个是轴对称，但不是中心对称的四边形ABCD，C、D为格点．
（2）在图②中以AB为边，画出一个是中心对称，但不是轴对称的四边形ABCD，C、D为格点．
（3）在图③中以AB为边，画出一个既是中心对称，又是轴对称的四边形ABCD，C、D为格点．
23．（6分）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F．
（1）求证：AC＝BE；
（2）若∠AFC＝2∠D，连接AC，BE．求证：四边形ABEC是矩形．
24．（6分）“体验劳动乐趣，传承劳动美德”．为了解五一期间学生做家务劳动的时间，某中学对八年级一班50名学生进行了调查，有关数据如下表：
根据如表中的数据，回答下列问题：
（1）这组数据的中位数是 小时，众数是 小时．
（2）求出该班学生每周做家务劳动的平均时间．
（3）请你根据（1）、（2）的结果，用一句话谈谈自己的感受．
25．（6分）如图，直线y＝nx+m和双曲线y＝相交于点A（2，2）和点B（a，﹣1）．
（1）求k的值；
（2）求n，m的值；
（3）结合图象写出不等式nx+m＞的解集： ．
注：第（3）小题直接写出结果．
26．（7分）甲、乙两车分别从M、N两地同时出发．甲车匀速前往N地，到达N地立即以另一速度按原路匀速返回到M地；乙车匀速前往M地．设甲、乙两车与M地之间的路程为y（千米），甲车行驶的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示．
（1）M、N两地之间的路程为 千米，甲车从M地到达N地的行驶时间为 小时．
（2）求甲车返回时y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）直接写出当甲车与乙车之间的路程为100千米时甲车所用的时间．
27．（8分）如图是华师版八年级上册数学教材117页的部分内容．
【问题解决】请结合图①写出证明过程．
【应用拓展】
（1）如图②，矩形纸片ABCD，翻折∠A和∠C，使AB和CD落在对角线BD上，且点A和点C落在同一点O上，折痕分别是BF和DE，若四边形BEDF面积为8，则矩形纸片ABCD的面积为 ．
（2）如图③，矩形纸片ABCD沿着EF折叠，使得点C与点A重合，若AB＝4，BC＝8，则EF＝ ．
28．（12分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝x与直线y＝﹣x+4相交于点A，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，点D为线段OB上的一个动点，点D的横坐标为m，过点D作DE垂直于x轴，交折线OA﹣AB于点E，以DE为边向右作正方形DEFG．
（1）写出点A的横坐标；
（2）求DE的长（用含m的代数式表示）；
（3）当点F落在直线AB上时，求m的值；
（4）当三角形AOB与正方形DEFG重合部分为四边形时，写出重合部分面积S与m之间的函数关系式；
（5）当直线AB经过正方形DEFG某个边的中点时，直接写出m的取值范围．
2020-2021学年吉林省长春市双阳区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列式子：a，，，，其中分式的共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】形如，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式．
【解答】解：，，，是分式，
故选：C．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点M（﹣2，3）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】横坐标小于0，纵坐标大于0，则这点在第二象限．
【解答】解：∵﹣2＜0，3＞0，
∴（﹣2，3）在第二象限，
故选：B．
3．（3分）老师对小明本学期的5次数学测试成绩进行统计分析，判断小明的数学成绩是否稳定，老师需要知道小明这5次数学成绩的（ ）
A．平均数B．方差C．众数D．频数
【分析】由于方差反映数据的波动大小，故应知道小明这5次数学成绩的方差．
【解答】解：根据题意，由于方差反映数据的波动大小，要判断小明同学的数学成绩是否稳定，需要知道小明这5次数学成绩的方差．
故选：B．
4．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝40°，则∠B的度数为（ ）
A．100°B．120°C．140°D．160°
【分析】根据平行四边形的性质解决问题即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝40°，
∴∠B＝140°，
故选：C．
5．（3分）如果把中的x和y都扩大到5倍，那么分式的值（ ）
A．扩大5倍B．不变C．缩小5倍D．扩大4倍
【分析】把中的x和y都扩大到5倍，就是用5x代替x，用5y代替y，代入后看所得到的式子与原式有什么关系．
【解答】解：，
即分式的值不变．
故选：B．
6．（3分）在平面直角坐标系中，若点A（2，a）和B（2，7）关于x轴对称，则a的值为（ ）
A．2B．﹣2C．7D．﹣7
【分析】根据关于x轴对称的点：横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求出a的值．
【解答】解：∵点A（2，a）和B（2，7）关于x轴对称，
∴a＝﹣7．
故选：D．
7．（3分）计算÷•（）2的结果是（ ）
A．xB．x2C．y2D．y
【分析】根据分式的乘除运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝••
＝x，
故选：A．
8．（3分）与直线y＝﹣4x+2平行的直线是（ ）
A．y＝4x+2B．y＝﹣4x+3C．y＝x+3D．y＝﹣x+2
【分析】根据平行直线的解析式的k值相等b值不等解答．
【解答】解：与直线y＝﹣4x+2平行的直线的解析式的k＝﹣4，b≠2，
纵观各选项，只有y＝﹣4x+3与直线y＝﹣4x+2平行．
故选：B．
9．（3分）对于反比例函数y＝﹣，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点（2，1）
B．图象位于第一、三象限
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
【分析】根据反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵反比例函数y＝﹣，k＝﹣2＜0，
∴该函数图象为第二、四象限，故选项B不符合题意；
当x＝2时，y＝﹣1，即该函数过点（2，﹣1），故选项A不符合题意；
当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C不符合题意；
当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项D符合题意；
故选：D．
10．（3分）如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC＝6，BD＝8，且AE垂直于CD，垂足为点E，则AE的长度为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由菱形的性质得AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝3，OB＝OD＝BD＝4，再由勾股定理求出CD＝5，然后由菱形的面积公式：•AC•BD＝BC•AE，即可解决问题．
【解答】解：设AC、BD交于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝3，OB＝OD＝BD＝4，
∴CD＝＝＝5，
∵AE⊥CD，
∴•AC•BD＝CD•AE，
即×6×8＝5AE，
∴AE＝，
故选：B．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）使分式有意义的x的取值范围是 x≠3 ．
【分析】根据分式有意义，分母不为零列式进行计算即可得解．
【解答】解：分式有意义，则x﹣3≠0，
解得x≠3．
故答案为：x≠3．
12．（3分）随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.0000007mm2.将0.0000007用科学记数法表示为 7×10﹣7 ．
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000007＝7×10﹣7．
故答案为：7×10﹣7．
13．（3分）计算（π﹣3.14）0+（）﹣2＝ 10 ．
【分析】根据零指数幂、负整数指数幂进行计算即可．
【解答】解：原式＝1+9
＝10，
故答案为10．
14．（3分）分式和的最简公分母是 6x2y3 ．
【分析】确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【解答】解：分式和的分母分别是2xy3，3x2y2，故最简公分母是6x2y3．
故答案为：6x2y3．
15．（3分）当x＝ 1 时，分式的值是0．
【分析】直接利用分式的值为零则分子为零分母不为零，进而得出答案．
【解答】解：分式的值是0，则x2﹣1＝0且3x+3≠0，
解得：x＝1．
故答案为：1．
16．（3分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，则∠AED为 75 度．
【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质可得AD＝AE，∠DAE＝30°，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE，∠BAE＝60°，
∴AD＝AE，∠DAE＝30°，
∴∠AED＝＝75°，
故答案为：75．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，M为y轴正半轴上一点，过点M的直线l∥x轴，l分别与反比例函数y＝和y＝的图象交于A、B两点，若S△AOB＝3，则k的值为 ﹣2 ．
【分析】由直线l∥x轴，得到AM⊥y轴，BM⊥y轴，于是得到S△AOM＝|k|，S△BOM＝×4＝2，求得S△AOM＝1，即可得到结论．
【解答】解：∵直线l∥x轴，
∴AM⊥y轴，BM⊥y轴，
∴S△AOM＝|k|，S△BOM＝×4＝2，
∵S△AOB＝3，
∴S△AOM＝1，
∴|k|＝2，
∵k＜0，
∴k＝﹣2，
故答案为：﹣2．
18．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC边上的点，AF与BE相交于点G，DF与EC相交于点H，若S△ABG＝16，S△DHC＝7，则四边形EGFH的面积为 23 ．
【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，可得S△ABE＝S△AEF，S△DEF＝S△DEC，可求S△ABG＝S△EGF＝16，S△DHC＝S△EFH＝7，即可求解．
【解答】解：如图，连接EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴S△ABE＝S△AEF，S△DEF＝S△DEC，
∴S△ABG＝S△EGF＝16，S△DHC＝S△EFH＝7，
∴四边形EGFH的面积＝16+7＝23，
故答案为23．
三、解答题（共66分）
19．（5分）先化简，再求值：，其中a＝+1．
【分析】先因式分解原式＝×，再化简、计算即可．
【解答】解：
＝×
＝a﹣1，
当a＝+1时，原式＝．
20．（5分）解方程：．
【分析】方程两边同时乘以x﹣3，可求得x＝﹣1，再检验x＝﹣1是原方程的根即可．
【解答】解：，
方程两边同时乘以x﹣3，
得2x＝x﹣3+2，
移项得，x＝﹣1，
经检验，x＝﹣1是方程的解，
∴原方程的解是x＝﹣1．
21．（5分）某校八年二班手工制作小组成员小丽、小影两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗，已知小丽比小影每小时多做2面彩旗，小丽做40面彩旗与小影做30面彩旗所用时间相等，问小影每小时做多少面彩旗？
【分析】设小影每小时做x面彩旗，则小丽每小时做（x+2）面彩旗，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合小丽做40面彩旗与小影做30面彩旗所用时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设小影每小时做x面彩旗，则小丽每小时做（x+2）面彩旗，
依题意得：＝，
解得：x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意．
答：小影每小时做6面彩旗．
22．（6分）如图，在5×5的正方形网格中有一条线段AB，点A、B都在格点上．
（1）在图①中以AB为边，画出一个是轴对称，但不是中心对称的四边形ABCD，C、D为格点．
（2）在图②中以AB为边，画出一个是中心对称，但不是轴对称的四边形ABCD，C、D为格点．
（3）在图③中以AB为边，画出一个既是中心对称，又是轴对称的四边形ABCD，C、D为格点．
【分析】（1）根据轴对称图形的性质即可在图①中以AB为边，画出一个是轴对称，但不是中心对称的四边形ABCD，C、D为格点；
（2）根据中心对称图形的性质即可在图②中以AB为边，画出一个是中心对称，但不是轴对称的四边形ABCD，C、D为格点；
（3）根据轴对称图形的性质和中心对称图形的性质即可在图③中以AB为边，画出一个既是中心对称，又是轴对称的四边形ABCD，C、D为格点．
【解答】解：（1）如图①，四边形ABCD即为所求；
（2）如图②，四边形ABCD即为所求；
（3）如图③，四边形ABCD即为所求．
23．（6分）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F．
（1）求证：AC＝BE；
（2）若∠AFC＝2∠D，连接AC，BE．求证：四边形ABEC是矩形．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，然后根据CE＝DC，得到AB＝EC，AB∥EC，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断即可；
（2）由（1）得的结论先证得四边形ABEC是平行四边形，通过角的关系得出FA＝FE＝FB＝FC，AE＝BC，得证．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵CE＝DC，
∴AB＝EC，AB∥EC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴AC＝BE；
（2）∵AB＝EC，AB∥EC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴FA＝FE，FB＝FC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D，
又∵∠AFC＝2∠D，
∴∠AFC＝2∠ABC，
∵∠AFC＝∠ABC+∠BAF，
∴∠ABC＝∠BAF，
∴FA＝FB，
∴FA＝FE＝FB＝FC，
∴AE＝BC，
∴四边形ABEC是矩形．
24．（6分）“体验劳动乐趣，传承劳动美德”．为了解五一期间学生做家务劳动的时间，某中学对八年级一班50名学生进行了调查，有关数据如下表：
根据如表中的数据，回答下列问题：
（1）这组数据的中位数是 2.5 小时，众数是 2.5 小时．
（2）求出该班学生每周做家务劳动的平均时间．
（3）请你根据（1）、（2）的结果，用一句话谈谈自己的感受．
【分析】（1）50个数据，中位数应是第25个和第26个数据的平均数，2.5小时出现的次数最多，为12次，应是众数；
（2）平均时间＝总时间÷总人数；
（3）根据平均数、中位数和众数的意义谈感受．
【解答】解：（1）这组数据的中位数是＝2.5（小时），
2.5小时出现的次数最多，为12次，众数是2.5小时．
故答案为：2.5，2.5；
（2）该班学生每周做家务劳动的平均时间为×（0×1+1×4+1.5×7+2×8+2.5×12+3×10+3.5×6+4×2）＝2.39（小时）．
答：该班学生每周做家务劳动的平均时间为2.39小时．
（3）感受：从（1）（2）可以看出该班学生每周做家务劳动的平均时间偏少．
25．（6分）如图，直线y＝nx+m和双曲线y＝相交于点A（2，2）和点B（a，﹣1）．
（1）求k的值；
（2）求n，m的值；
（3）结合图象写出不等式nx+m＞的解集： x＞2或﹣4＜x＜0 ．
注：第（3）小题直接写出结果．
【分析】（1）由反比例函数y＝的图象经过点A（2，2），B（a，﹣1）可得出方程，解方程可求出答案；
（2）由直线y＝nx+m经过点A，B可得出方程组，解方程组可得出答案；
（3）根据函数图象，写出直线落在双曲线上方的部分对应的自变量的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点A（2，2），B（a，﹣1），
∴2×2＝k，﹣a＝k，
解得k＝4，a＝﹣4；
（2）∵直线y＝nx+m经过点A（2，2），B（﹣4，﹣1），
∴，
解得m＝1，n＝；
（3）∵A（2，2）和点B（﹣4，﹣1）．
∴观察图象可得不等式nx+m＞的的解集为：x＞2或﹣4＜x＜0．
故答案为x＞2或﹣4＜x＜0．
26．（7分）甲、乙两车分别从M、N两地同时出发．甲车匀速前往N地，到达N地立即以另一速度按原路匀速返回到M地；乙车匀速前往M地．设甲、乙两车与M地之间的路程为y（千米），甲车行驶的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示．
（1）M、N两地之间的路程为 300 千米，甲车从M地到达N地的行驶时间为 5 小时．
（2）求甲车返回时y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）直接写出当甲车与乙车之间的路程为100千米时甲车所用的时间．
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得M、N两地之间的路程和甲车从M地到达N地的行驶时间；
（2）根据甲车到达N地的时间，可得出C、D的坐标，利用待定系数法即可得返回时y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）求出乙车的速度，根据“路程、速度、时间”的关系列方程解答即可．
【解答】解：（1）由图象得：M、N两地之间的路程为300千米，
甲车的速度为：120÷2＝60（千米/时），
甲车从M地到达N地的行驶时间为300÷60＝5（小时），
故答案为：300，5；
（2）设甲车返回时y与x之间的函数关系式是y＝kx+b，把C（5，300），（8，0）代入得：
，解得，
即甲车返回时y与x之间的函数关系式是y＝﹣100x+800（5≤x≤8）；
（3）乙车的速度为：（300﹣120）÷2＝90（千米/时），
设甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶了x小时，根据题意得：
（90+60）x＝300﹣100或（90+60）x＝300+100或﹣100x+800＝100，
解得x＝或或7．
答：当甲车与乙车之间的路程为100千米时甲车所用的时间为小时或小时或7小时．
27．（8分）如图是华师版八年级上册数学教材117页的部分内容．
【问题解决】请结合图①写出证明过程．
【应用拓展】
（1）如图②，矩形纸片ABCD，翻折∠A和∠C，使AB和CD落在对角线BD上，且点A和点C落在同一点O上，折痕分别是BF和DE，若四边形BEDF面积为8，则矩形纸片ABCD的面积为 12 ．
（2）如图③，矩形纸片ABCD沿着EF折叠，使得点C与点A重合，若AB＝4，BC＝8，则EF＝ 2 ．
【分析】①证明四边形AFCE是平行四边形即可；
（1）菱形BEDF的面积是矩形ABCD面积的；
（2）设BF＝x，AF＝CF＝8﹣x，由（8﹣x）2﹣x2＝16，先求出BF的长
【解答】解：在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAC＝ACB，∠AEF＝∠CFE，
又OA＝OC，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE＝CF
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC
∴▱AFCE是菱形．
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，
由折叠可知：
△ABF≌△OBF，△ODE≌△CDE，
OB＝AB，OD＝CD，
∠BOF＝∠A＝90°，∠DOE＝∠C＝90°，
∴OB＝OD，BD⊥EF，
∴同理（1）：四边形BEDF是菱形，
∴△OBF≌△OBE≌△ODF≌△ODE
∴S矩形ABCD＝S菱形BEDF＝12．
（2）设BF＝x，则AF＝CF＝8﹣x，
在Rr△ABF 中，由勾股定理得：
（8﹣x）2﹣x2＝42，
解得：x＝3，
∴AF＝CF＝5，
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠EFC＝∠AFE，
∴AE＝AF＝5，
作FH⊥AD于H，
FH＝AB＝4，AH＝BF＝3，
∴EH＝AE﹣AH＝5﹣3＝2，
在Rt△EHF 中，根据勾股定理得：
EF2＝FH2+EH2，
即：EF2＝42+22，
∴EF＝2．
28．（12分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝x与直线y＝﹣x+4相交于点A，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，点D为线段OB上的一个动点，点D的横坐标为m，过点D作DE垂直于x轴，交折线OA﹣AB于点E，以DE为边向右作正方形DEFG．
（1）写出点A的横坐标；
（2）求DE的长（用含m的代数式表示）；
（3）当点F落在直线AB上时，求m的值；
（4）当三角形AOB与正方形DEFG重合部分为四边形时，写出重合部分面积S与m之间的函数关系式；
（5）当直线AB经过正方形DEFG某个边的中点时，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）由即可得点A的横坐标为；
（2）当m≤时，E在直线y＝x上，由点D的横坐标为m，即得DE＝m，当＜m≤8时，E在直线y＝﹣x+4上，根据点D的横坐标为m，得DE＝﹣m+4；
（3）由DE＝m，得F（2m，m），代入y＝﹣x+4即得m＝2；
（4）①当0＜m≤2时，三角形AOB与正方形DEFG重合部分为正方形DEFG，故S＝S正方形DEFG＝m2；②当2＜m＜时，三角形AOB与正方形DEFG重合部分不是四边形；③当≤m＜8时，三角形AOB与正方形DEFG重合部分为梯形DEMG，OG＝OD+DG＝m+4，可得M（m+4，﹣m+2），即得MG＝﹣m+2，从而S＝m2﹣3m+12，
（5）当E在线段OA上，直线AB经过边EF的中点P，可得P（m，m），代入y＝﹣x+4即得m＝；当E在线段AB上（不包括B）时，直线AB经过边FG的中点，由E（m，﹣m+4），可推得N（m+4，﹣m+2），故NG＝DE，即E在线段AB上（不包括B）时，直线AB正好经过边FG的中点，即得≤m＜8．
【解答】解：（1）由得：x＝﹣x+4，
解得x＝，
∴点A的横坐标为；
（2）在y＝﹣x+4中，令y＝0得x＝8，
∴B（8，0），
当m≤时，E在直线y＝x上，且点D的横坐标为m，
∴E（m，m），
∴DE＝m，
当＜m≤8时，E在直线y＝﹣x+4上，且点D的横坐标为m，
∴E（m，﹣m+4）；
∴DE＝﹣m+4；
（3）如图：
由（2）知：DE＝m，
而四边形DEFG是正方形，
∴DG＝FG＝m，
∴F（2m，m），
把F（2m，m）代入y＝﹣x+4得：
m＝﹣×2m+4，解得m＝2；
（4）①当0＜m≤2时，如图：
此时三角形AOB与正方形DEFG重合部分为正方形DEFG，
∵DE＝m，
∴S＝S正方形DEFG＝m2；
②当2＜m＜时，如图：
三角形AOB与正方形DEFG重合部分不是四边形；
③当≤m＜8时，如图：
此时三角形AOB与正方形DEFG重合部分为梯形DEMG，
由（2）知DE＝﹣m+4＝DG，
∴OG＝OD+DG＝m+4，
将x＝m+4代入y＝﹣x+4得y＝﹣（m+4）+4＝﹣m+2，
∴M（m+4，﹣m+2），
∴MG＝﹣m+2
∴S＝＝m2﹣3m+12，
综上所述，S＝；
（5）当E在线段OA上，直线AB经过边EF的中点P，如图：
此时E（m，m），G（2m，0），F（2m，m），
∴P（m，m），
将P（m，m）代入y＝﹣x+4得：m＝﹣×m+4，
解得m＝；
当E在线段AB上（不包括B）时，直线AB经过边FG的中点，如图：
此时E（m，﹣m+4），
由（4）③可知：G（m+4，0），
∴F（m+4，﹣m+4），
∴FG的中点N（m+4，﹣m+2），
∴NG＝﹣m+2，
而DE＝﹣m+4，
∴NG＝DE，即E在线段AB上（不包括B）时，直线AB正好经过边FG的中点，
∴≤m＜8；
综上所述，直线AB经过正方形DEFG某个边的中点时，m＝或≤m＜8．
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日期：2021/8/16 23:16:13；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.cm；学号：37675298每周做家务的时间（小时）
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