2020-2021学年广东省深圳市宝安区八年级（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年广东省深圳市宝安区八年级（下）期末数学试卷，共26页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠4B．x≠﹣4C．x＞4D．x＞﹣4
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（3分）不等式x﹣6＜2x的解集为（ ）
A．x＜6B．x＞﹣6C．x＞2D．x＜2
4．（3分）下列各式中，从左到右是因式分解的是（ ）
A．ax+ay+a＝a（x+y）B．t2﹣4+3t＝（t+2）（t﹣2）+3
C．y2+4y+4＝（y+2）2D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
5．（3分）下列分式运算中正确的是（ ）
A．+＝B．＝
C．＝D．÷＝
6．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，分别以A、C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧分别交于G、H两点，连接GH，分别交AD、AC、BC分别于点E、O、F，已知△DCE的周长为12，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．12B．18C．20D．24
7．（3分）下列命题正确的是（ ）
A．两边分别相等的两个直角三角形全等
B．正八边形的每个外角都等于45°
C．对角线相等的四边形是平行四边形
D．P（a，b）关于原点对称的点的坐标为P′（﹣b，﹣a）
8．（3分）如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，将△ABC沿直线AB平移到△DEF的位置，当D恰好是AB中点时，连接AE，则AE的长（ ）
A．B．2C．2D．
9．（3分）“六一八”购物狂欢节来临之际，某电商平台为了扩大销量，决定打折促销，已知某款音响的进价为600元，标价为900元，要保持获利不低于5%，则该电商平台至多可以打（ ）销售．
A．九五折B．八折C．七五折D．七折
10．（3分）如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子，其中AB＝AC＝AG＝FG，∠BAC＝∠AGF＝90°，AF、AG分别与BC交于D、E两点，将△ACE绕着点A顺时针旋转90°得到△ABH，则下列结论：①BH⊥BC；②AD平分∠HDE；③若BD＝3，CE＝4，则AB＝6；④若AB＝BE，则S△ABD＝S△ADE，其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题(每小题3分，共15分，请把答案填到答题卡相应位置上)
11．（3分）因式分解：2mn2﹣12mn+18m＝ ．
12．（3分）定义新运算：a#b＝，例如2#3＝＝，则方程x#2＝1的解为 ．
13．（3分）如图，一次函数y＝kx+b与正比例函数y＝﹣2x交于B（m，2），则关于x的不等式kx+b≤﹣2x的解集为 ．
14．（3分）如图，平行四边形ABCD，∠ABC和∠BCD的平分线交于点E，过E作EF∥AB交BC于F，连接AE并延长交CD于G，若AB＝5，BC＝6，则线段DG的长为 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝60°，AB＝10，AC＝6，将线段BC绕着点B逆时针旋转60°得到BC′，连接AC′，CC′，则△ABC′的面积为 ．
三、解答题（第16题6分，第17题7分，第18题6分，第19题8分，第20题8分第21题10分，第22题10分，共55分请把答案填到答题卡相应位置上）
16．（6分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
17．（7分）先化简（+）÷，然后从﹣1，0，1，2中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值．
18．（6分）解方程：＝1﹣．
19．（8分）如图，在长度均为1的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知A（1，0），B（4，2），C（2，4）．
（1）将△ABC沿着x轴向左平移5个单位后得到△A′B′C′，请在图中画出平移后△A′B′C′，则C的对应点C′的坐标为 ．
（2）线段A′B′可以看成是线段BA绕着某个定点旋转180°后得到的图形，这个定点的坐标是 ．
（3）若P是y轴上的一个动点，连接PB、PC，则|PB﹣PC|的最大值为 ．
20．（8分）如图，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，F为斜边AB的中点，D为边AC上的一个端点（不与A，C重合），连接DF，过B作BE⊥BC交DF的延长线于E，连接AE，BD．
（1）求证：四边形ADBE为平行四边形；
（2）若AC＝8，BC＝6，AD＝BD，求对角线DE的长．
21．（10分）端午节是我国传统节日，粽子是端午节必不可少的美食，某超市在端午节来临前夕，准备购进一批粽子销售，经过市场调研，A，B两种品牌粽子销售较好，已知B种品牌粽子的单价比A种品牌粽子的单价贵2元，用960元购买A种粽子的数量是用720元购买B种粽子数量的2倍．
（1）求A、B两种品牌粽子每个的进价分别为多少元？
（2）若该超市将A种品牌粽子的售价定为6元，B种品牌粽子的售价定为10元，超市准备用3200元购进A、B两种品牌的粽子进行销售，实际销售过程中，A种品牌粽子打9折销售，B种品牌粽子降价2元，若这批粽子全部售完后，总利润不低于1080元，那么至少应购进A种品牌粽子多少个．
22．（10分）如图1，直线y＝﹣x+4与x、y轴分别交于A，B两点，以AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，AC＝AB．
（1）C点坐标为 ；
（2）如图2，点E为线段BO上的一个动点（E不与B、O重合），连接AE，将AE绕点A逆时针旋转90°得AF，连接CF交x轴于G，求证：G是FC的中点；
（3）如图3，将△ABC沿着x轴向左平移得到△A′B′C′，直线A′B′与y轴交于点M，当以A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形时，请求出点A′的坐标．
2020-2021学年广东省深圳市宝安区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，请把答案按要求填涂到答题卡相应位置上
1．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠4B．x≠﹣4C．x＞4D．x＞﹣4
【分析】分式有意义的条件是分母不等于0．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣4≠0，
∴x≠4，
故选：A．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：A选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D选项不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
3．（3分）不等式x﹣6＜2x的解集为（ ）
A．x＜6B．x＞﹣6C．x＞2D．x＜2
【分析】根据解一元一次不等式的步骤求解即可．解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
【解答】解：x﹣6＜2x，
x﹣2x＜6，
﹣x＜6，
x＞﹣6．
故选：B．
4．（3分）下列各式中，从左到右是因式分解的是（ ）
A．ax+ay+a＝a（x+y）B．t2﹣4+3t＝（t+2）（t﹣2）+3
C．y2+4y+4＝（y+2）2D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【分析】判断一个式子是否是因式分解的条件是：①等式的左边是一个多项式，②等式的右边是几个整式的积，③左、右两边相等，根据以上条件进行判断即可．
【解答】解：A．ax+ay+a＝a（x+y+1），故此选项不符合题意；
B．t2﹣4+3t＝（t+2）（t﹣2）+3t，等式的右边不是几个整式的积，所以不是因式分解，故此选项不符合题意；
C．y2+4y+4＝（y+2）2，是因式分解，故此选项符合题意；
D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，是整式乘法，所以不是因式分解，故此选项不符合题意；
故选：C．
5．（3分）下列分式运算中正确的是（ ）
A．+＝B．＝
C．＝D．÷＝
【分析】A．直接利用分式的加减运算法则计算得出答案；
B．直接利用分式的性质判断得出答案；
C．直接利用分式的性质判断得出答案；
D．直接利用分式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：A.+＝+＝，故此选项不合题意；
B.≠，故此选项不合题意；
C.无法化简，故此选项不合题意；
D.÷＝•＝，故此选项符合题意．
故选：D．
6．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，分别以A、C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧分别交于G、H两点，连接GH，分别交AD、AC、BC分别于点E、O、F，已知△DCE的周长为12，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．12B．18C．20D．24
【分析】根据平行四边形的性质可知AD＝BC，CD＝AB，再由垂直平分线的性质得出AE＝CE，据此可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，CD＝AB，
∵由作图可知，GH是线段AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴△CDE的周长＝CD+（DE+CE）＝AD+CD＝12．
∴平行四边形ABCD的周长为2×12＝24，
故选：D．
7．（3分）下列命题正确的是（ ）
A．两边分别相等的两个直角三角形全等
B．正八边形的每个外角都等于45°
C．对角线相等的四边形是平行四边形
D．P（a，b）关于原点对称的点的坐标为P′（﹣b，﹣a）
【分析】利用全等三角形的判定方法、正多边形的外角和、平行四边形的判定方法及中心对称的知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、两直角边分别相等的两个直角三角形全等，故原命题错误，不符合题意；
B、正八边形的每个外角都等于45°，正确，符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原命题错误，不符合题意；
D、P（a，b）关于原点对称的点的坐标为P′（﹣a，﹣b），故原命题错误，不符合题意，
故选：B．
8．（3分）如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，将△ABC沿直线AB平移到△DEF的位置，当D恰好是AB中点时，连接AE，则AE的长（ ）
A．B．2C．2D．
【分析】连接EB，由等腰直角三角形的性质可求解AB，BD的长，结合平移的性质可得EB＝DB＝1，EB⊥DF，再利用勾股定理可求解．
【解答】解：连接EB，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，
∴AB＝AC＝2，
∵D点是AB的中点，
∴AD＝BD＝AB＝1，
由平移可知：DF＝AB＝2，△DEF为等腰直角三角形，
∴BD＝DF＝1，
∴EB＝DB＝1，EB⊥DF，
在Rt△AEB中，AE＝，
故选：A．
9．（3分）“六一八”购物狂欢节来临之际，某电商平台为了扩大销量，决定打折促销，已知某款音响的进价为600元，标价为900元，要保持获利不低于5%，则该电商平台至多可以打（ ）销售．
A．九五折B．八折C．七五折D．七折
【分析】设该电商平台可以打x折销售，由获利不低于5%，列出不等式可求解．
【解答】解：设该电商平台可以打x折销售，
由题意可得：900×﹣600≥600×5%，
解得：x≥7，
∴该电商平台至多可以打七折，
故选：D．
10．（3分）如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子，其中AB＝AC＝AG＝FG，∠BAC＝∠AGF＝90°，AF、AG分别与BC交于D、E两点，将△ACE绕着点A顺时针旋转90°得到△ABH，则下列结论：①BH⊥BC；②AD平分∠HDE；③若BD＝3，CE＝4，则AB＝6；④若AB＝BE，则S△ABD＝S△ADE，其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得△ABH和△ACE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF＝∠CAD，然后求出∠EAF＝45°，判断出①正确；
根据全等三角形对应边相等可得BF＝CD，BE与CD不一定相等，判断出②正确；
根据全等三角形对应边相等可得EF＝ED，然后利用勾股定理得到③正确；根据角的度数得到∠ADE＝∠BEA，然后利用“角角边”证明△ABD和△ACE全等，根据三角形面积公式即可求得，判断出④错误．
【解答】解：∵AB＝AC＝AG＝FG，
∠BAC＝∠AGF＝90°，
∴∠ABC＝∠C＝∠FAG＝45°，
BC＝AB，
由旋转性质可知△ABH≌△ACE，
∴∠ABH＝∠ACE＝45°，BH＝CE，
，AH＝AE，∠BAH＝∠CAE，
∠BD＝∠ABH+∠ABC＝45°+45°＝90°，
∴BH⊥BC，故①正确；
∵∠BAH＝∠CAE，
∴∠BAH+∠BAD＝∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠FAG＝45°，
即∠DAH＝45°，
∴∠DAH＝∠DAE，
在△ADH和△ADE中，
，
∴△AHD≌△ADE（SAS），
DH＝DE，∠ADH＝∠ADE，
∴AD平分∠HDE，
故②正确；
在Rt△BDH中，BD2+BH2＝DH2，
∵BH＝CE，DH⊥DE，
∴BD2+BH2＝DH2，
当BD＝3，CE＝4时，
32+42＝DE2，
DE＝5，
．BC BD+DE+CE＝12，
BC＝AB＝12，
∴AB＝6，
故③正确；
BA＝BE，∠ABC＝45°，
∠BAE＝∠BEA＝＝67.5°，
∵∠DAE＝45°，
∴∠ADE＝180°﹣∠DAE﹣∠BEA＝67.5°，
∴∠ADE＝∠BEA，
∠ADB＝180°﹣∠ADE，
∠AEC＝180°﹣∠BEA，
∴∠ADB＝∠AEC，
在△ABD和△ACE中，
，
△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD＝CE，
BD2+CE2＝DE2，
∴DE＝BD，
设A到BC边距离为h，
，
，
∴，
∴，
故④错误；
综上①②③正确，
故选：C．
二、填空题(每小题3分，共15分，请把答案填到答题卡相应位置上)
11．（3分）因式分解：2mn2﹣12mn+18m＝ 2m（n﹣3）2 ．
【分析】观察代数式的特点，先提取公因式，然后再用公式法．
【解答】解：2mn2﹣12mn+18m＝2m（n2﹣6n+9）＝2m（n﹣3）2．
12．（3分）定义新运算：a#b＝，例如2#3＝＝，则方程x#2＝1的解为 x＝ ．
【分析】根据新定义列出方程，解出这个方程即可．
【解答】解：根据题意得，
x#2＝＝1，
即22﹣2x﹣1＝0，
解得x＝，
经检验，x＝是原方程的解，
故答案为：．
13．（3分）如图，一次函数y＝kx+b与正比例函数y＝﹣2x交于B（m，2），则关于x的不等式kx+b≤﹣2x的解集为 x≤﹣1 ．
【分析】先将点B（m，2）代入y＝﹣2x，求出m的值，再由图象可以看出当x≤m时，y＝2x的图象不在一次函数y＝kx+b的下方，即可得出答案．
【解答】解：将点B（m，2）代入y＝﹣2x，
得﹣2m＝2，解得m＝﹣1，
则B的坐标是（﹣1，2），
当x≤﹣1时，y＝2x的图象不在一次函数y＝kx+b的下方，即kx+b≤﹣2x，
故答案为x≤﹣1．
14．（3分）如图，平行四边形ABCD，∠ABC和∠BCD的平分线交于点E，过E作EF∥AB交BC于F，连接AE并延长交CD于G，若AB＝5，BC＝6，则线段DG的长为 4 ．
【分析】延长CE交BA的延长线于H，由平行线的性质和角平分线的性质可证∠BEC＝90°，由等腰三角形的判定可得BH＝BC＝6，由“ASA”可证△AEH≌△GEC，可得AH＝CG＝1，即可求解．
【解答】解：如图，延长CE交BA的延长线于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝5，AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠ABE＝∠EBC，∠BCE＝∠DCE，
∴∠EBC+∠BCE＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠ECG＝∠BHE＝∠ECB，
∴BH＝BC＝6，
又∵∠BEC＝90°，
∴EC＝HE，
在△AEH和△GEC中，
，
∴△AEH≌△GEC（ASA），
∴AH＝CG，
∴CG＝AH＝BH﹣AB＝1，
∴DG＝CD﹣CG＝4，
故答案为：4．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝60°，AB＝10，AC＝6，将线段BC绕着点B逆时针旋转60°得到BC′，连接AC′，CC′，则△ABC′的面积为 ．
【分析】延长AC至D，使AD＝BD，连接BD，可以证明△ABD为等边三角形，结合△BCC'为等边三角形可用“SAS”证明△DBC≌△ABC'，从而S△DBC＝S△C'AB．过点B作BE⊥AD于点E，由三角函数可求BE，又CD＝AD﹣AC，故S△DBC＝可求，即可得△ABC′的面积．
【解答】解：延长AC至D，使AD＝BD，连接BD，如图，
∵∠CAB＝60°，
∴△ABD为等边三角形．
∵BC绕着点B逆时针旋转60°得到BC′，
∴△BCC'为等边三角形，
∴BC＝BC'，∠CBC'＝60°，
∵∠DBA﹣∠ABC＝∠CBC'﹣∠ABC，
即∠DBC＝∠ABC'．
在△DBC和△ABC'中，
，
∴△DBC≌△ABC'（SAS）．
∴S△DBC＝S△C'AB，
过点B作BE⊥AD于点E，
∴BE＝AB•sin60°＝10×＝5，DC＝AD﹣AC＝10﹣6＝4，
∴S△DBC＝＝＝10，
∴S△C'AB＝10．
故答案为：10．
三、解答题（第16题6分，第17题7分，第18题6分，第19题8分，第20题8分第21题10分，第22题10分，共55分请把答案填到答题卡相应位置上）
16．（6分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x＜4；
解不等式②得：x≥﹣3；
∴原不等式组的解集为﹣3≤x＜4，
用数轴表示解集为：
．
17．（7分）先化简（+）÷，然后从﹣1，0，1，2中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．
【解答】解：原式＝[+]•
＝]•
＝，
∵x﹣1≠0，2x≠0，x2﹣1≠0，
∴x≠±1，x≠0，
当x＝2时，原式＝＝3．
18．（6分）解方程：＝1﹣．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：方程两边同时乘以（2x﹣3）得，
x﹣1＝2x﹣3+1，
解得：x＝1，
经检验x＝1是原方程的根，
∴原方程的解为x＝1．
19．（8分）如图，在长度均为1的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知A（1，0），B（4，2），C（2，4）．
（1）将△ABC沿着x轴向左平移5个单位后得到△A′B′C′，请在图中画出平移后△A′B′C′，则C的对应点C′的坐标为 （﹣3，4） ．
（2）线段A′B′可以看成是线段BA绕着某个定点旋转180°后得到的图形，这个定点的坐标是 （0，1） ．
（3）若P是y轴上的一个动点，连接PB、PC，则|PB﹣PC|的最大值为 2 ．
【分析】（1）将点A，B，C都向左平移5个单位得出点A'，B'，C'顺次连接得出△A'B'C'，再由网格线得出点C'的坐标；
（2）连接A'B，B'A相交于点D，即可判断出点D是旋转中心，由网格线即可得出点D的坐标；
（3）作直线BC与y轴相交于点P，利用网格线和勾股定理即可求出最大值．
【解答】解：如图，
（1）∵将△ABC沿着x轴向左平移5个单位后得到△A′B′C′，且C（2，4），
∴C的对应点C′的坐标为（﹣3，4），
故答案为（﹣3，4）；
（2）∵线段A′B′可以看成是线段BA绕着某个定点旋转180°后得到的图形，
∴点A'与点B是对应点，点B'与点A是对应点，
∴连接A'B，B'A相交于点D（定点），
由图形知，D（0，1），
即旋转中心为点D（0，1），
故答案为（0，1）；
（3）延长BC交y轴于P，则|PB﹣PC|最大，其最大值为PB﹣PC＝BC＝2，
故答案为2．
20．（8分）如图，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，F为斜边AB的中点，D为边AC上的一个端点（不与A，C重合），连接DF，过B作BE⊥BC交DF的延长线于E，连接AE，BD．
（1）求证：四边形ADBE为平行四边形；
（2）若AC＝8，BC＝6，AD＝BD，求对角线DE的长．
【分析】（1）由垂直的定义得到∠EBC＝90°，根据平行线的判定定理得到BE∥AC，由平行线的性质得到∠EBF＝∠DAF，根据全等三角形的性质得到AD＝BE，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到DE⊥AB，∠DFA＝∠DFB＝90°，设AD＝BD＝x，CD＝8﹣x，根据勾股定理和平行四边形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵BE⊥BC，
∴∠EBC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠EBC+∠ACB＝180°，
∴BE∥AC，
∴∠EBF＝∠DAF，
∵F为斜边AB的中点，
∴AF＝BF，
在△AFD与△BFE中，
，
∴△AFD≌△BFE（AAS），
∴AD＝BE，
∴四边形ADBE为平行四边形；
（2）解：∵AD＝BD，F为斜边AB的中点，
∴DE⊥AB，∠DFA＝∠DFB＝90°，
∵AC＝8，BC＝6，∠ACB＝90°，
∴AB＝10，
∴AF＝BF＝5，
设AD＝BD＝x，CD＝8﹣x，
在Rt△BCD中，62+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∴BD＝DF＝＝＝，
∵四边形ADBE是平行四边形，
∴EF＝DF＝，DE＝．
21．（10分）端午节是我国传统节日，粽子是端午节必不可少的美食，某超市在端午节来临前夕，准备购进一批粽子销售，经过市场调研，A，B两种品牌粽子销售较好，已知B种品牌粽子的单价比A种品牌粽子的单价贵2元，用960元购买A种粽子的数量是用720元购买B种粽子数量的2倍．
（1）求A、B两种品牌粽子每个的进价分别为多少元？
（2）若该超市将A种品牌粽子的售价定为6元，B种品牌粽子的售价定为10元，超市准备用3200元购进A、B两种品牌的粽子进行销售，实际销售过程中，A种品牌粽子打9折销售，B种品牌粽子降价2元，若这批粽子全部售完后，总利润不低于1080元，那么至少应购进A种品牌粽子多少个．
【分析】（1）设A种品牌粽子每个的进价为x元，则B种品牌粽子每个的进价为（x+2）元，由题意：用960元购买A种粽子的数量是用720元购买B种粽子数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进A种品牌粽子a个，则购进B种品牌粽子（）个，由总利润不低于1080元列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设A种品牌粽子每个的进价为x元，则B种品牌粽子每个的进价为（x+2）元，
由题意得：＝2×，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意，
则x+2＝6，
答：A种品牌粽子每个的进价为4元，则B种品牌粽子每个的进价为6元；
（2）设购进A种品牌粽子a个，则购进B种品牌粽子（）个，
由题意得：（6×0.9﹣4）a+（10﹣2﹣6）×≥1080，
解得：a≥200，
答：至少应购进A种品牌粽子200个．
22．（10分）如图1，直线y＝﹣x+4与x、y轴分别交于A，B两点，以AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，AC＝AB．
（1）C点坐标为 （7，3） ；
（2）如图2，点E为线段BO上的一个动点（E不与B、O重合），连接AE，将AE绕点A逆时针旋转90°得AF，连接CF交x轴于G，求证：G是FC的中点；
（3）如图3，将△ABC沿着x轴向左平移得到△A′B′C′，直线A′B′与y轴交于点M，当以A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形时，请求出点A′的坐标．
【分析】（1）过点C作CD⊥x轴，交x轴于点D，利用AAS定理证明△AOB≌△CDA，然后结合一次函数性质求得C点坐标；
（2）在x轴上截取AH＝BE，连接CH，利用SAS定理证明△CAH≌△ABE，ASA定理证明△FAG≌△CHG，从而求解；
（3）由平移的性质，设直线A′B′的解析式为y＝﹣x+m，由一次函数的性质求得M点坐标为（0，m），A′点坐标为（m，0），然后分AM＝BM，AM＝AB，AB＝BM三种情况列方程求解．
【解答】解：（1）过点C作CD⊥x轴，交x轴于点D，
∵y＝﹣x+4与x、y轴分别交于A，B两点，
当x＝0时，y＝4，
当y＝0时，﹣+4＝0，解得：x＝3，
∴OA＝3，OB＝4，
∵∠BAC＝90°，CD⊥x轴，
∴∠AOB＝∠CDA＝90°，∠BAO+∠CAD＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠CAD＝∠ABO，
又∵AC＝AB，
∴△AOB≌△CDA（AAS），
∴CD＝OA＝3，AD＝OB＝4，
∴OD＝OA+AD＝7，
∴C点坐标为（7，3），
故答案为：（7，3）；
（2）在x轴上截取AH＝BE，连接CH，
在等腰直角△AEF中，AB＝AC，∠BAC＝90°，
由（1）可得∠CAH＝∠ABE，
∴△CAH≌△ABE（SAS），
∴CH＝AE，∠BEA＝∠CHA，
在等腰直角△AEF中，AE＝AF，∠EAF＝90°，
∴∠EAO+∠FAO＝90°，
又∵∠EAO+∠AEO＝90°，
∴∠AEO＝∠FAO，
∴∠AEB＝∠FAG，
∴∠FAG＝∠CHG，
又∵CH＝AE＝AF，∠CGH＝∠FGA，
∴△FAG≌△CHG（ASA），
∴CG＝FG，
即G是FC的中点；
（3）由平移的性质，设直线A′B′的解析式为y＝﹣x+m，
当x＝0时，y＝m，
当y＝0时，x＝m，
∴M点坐标为（0，m），A′点坐标为（m，0），
又∵OA＝3，OB＝4，
∴AB＝5，BM＝4﹣m，
当以A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形时，
①当AM＝BM时，32+m2＝（4﹣m）2，解得：m＝，
∴此时A′点坐标为（，0）；
②当AM＝AB时，32+m2＝52，解得：m＝4（与B重合，舍去），m＝﹣4，
此时A′点坐标为（﹣3，0）；
③当AB＝BM时，4﹣m＝5，解得：m＝﹣1，
此时A′点坐标为（﹣，0），
综上，A′点坐标为（，0）或（﹣3，0）或（﹣，0）．
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日期：2021/8/16 23:21:39；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.cm；学号：37675298