2020-2021学年重庆一中九年级（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年重庆一中九年级（上）期末数学试卷，共38页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年重庆一中九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡中对应的方框涂黑．
1．（4分）在﹣1、0、﹣、2这四个数中，最小的数是（　　）
A．﹣1 B．0 C．﹣ D．2
2．（4分）下列建筑物小图标中，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（4分）下列计算中，正确的是（　　）
A．a3+a3＝a6 B．a3•a3＝a6 C．（a3）2＝a5 D．a6÷a3＝a2
4．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD＝1：3，且△ABC的周长为4，则△DEF的周长为（　　）

A．8 B．12 C．16 D．36
5．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠C＝63°，则∠DAB等于（　　）

A．27° B．31.5° C．37° D．63°
6．（4分）把黑色三角形按如图所示的规律拼成下列图案，其中第①个图案中有4个黑色三角形，第②个图案中有7个黑色三角形，第③个图案中有10个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中黑色三角形的个数为
（　　）

A．16 B．19 C．31 D．36
7．（4分）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道“牛马问题”：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价．一马、二牛价不满一万，如半牛之价．问牛、马价各几何．”其大意为：现有两匹马加一头牛的价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱；一匹马加上二头牛的价钱则不到一万，不足部分正好是半头牛的价钱，求一匹马、一头牛各多少钱？设一匹马价钱为x元，一头牛价钱为y元，则符合题意的方程组是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．（4分）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值为3或﹣4时，输出的y值互为相反数，则b等于（　　）
A．﹣30 B．﹣23 C．23 D．30
9．（4分）尚本步同学家住“3D魔幻城市”﹣﹣重庆，他决定用所学知识测量自己居住的单元楼的高度．如图，小尚同学从单元楼CD的底端D点出发，沿直线步行42米到达E点，再沿坡度i＝1：0.75的斜坡EF行走20米到达F点，最后沿直线步行30米到达隔壁大厦的底端B点，小尚从B点乘直行电梯上行到顶端A点，从A点观测到单元楼顶端C点的仰角为28°，从A点观测到单元楼底端D点的俯角为37°，若A、B、C、D、E、F在同一平面内，且D、E和F、B分别在同一水平线上，则单元楼CD的高度约为（结果精确到0.1米，参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（　　）

A．79.0 米 B．107.5米 C．112.6米 D．123.5米
10．（4分）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a的和为（　　）
A．8 B．10 C．16 D．18
11．（4分）已知A、B两地相距810千米，甲车从A地匀速前往B地，到达B地后停止．甲车出发1小时后，乙车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止．设甲、乙两车之间的距离为y（千米），甲车出发的时间为x（小时），y与x的关系如图所示，对于以下说法：①乙车的速度为90千米/时；②点F的坐标是（9，540）；③图中a的值是13.5；④当甲、乙两车相遇时，两车相遇地距A地的距离为360千米．其中正确的结论是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点O在坐标原点，另外两个顶点A、B均在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，分别过点A、点B作y轴、x轴的平行线交于点C，连接OC并延长OC交AB于点D，已知C（1，2），△BDC的面积为3，则k的值为（　　）

A．5 B．2+2 C．2+2 D．8
二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分）请把下列各题的正确答案填写在答题卡中对应的横线上．
13．（4分）2020年12月中旬出现疫情反复后，北京市立即启用了全市核酸检测信息统一平台，满足常态化核酸检测和短时间、大规模核酸检测要求．目前，通过该平台累计采样超过2280000人次，数据2280000用科学记数法可以表示为　 　．
14．（4分）计算：﹣22+（π﹣1）0＝　 　．
15．（4分）现有四张分别标有数字﹣5、﹣2、1、2的卡片，它们除数字不同外其余完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张，将上面的数字记为a，放回后从卡片中再任意抽取一张，将上面的数字记为b，则点（a，b）在直线y＝2x﹣1上的概率为　 　．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，∠DBC＝30°，DC＝2，E为AD上一点，以点D为圆心，以DE为半径画弧，交BC于点F，若CF＝CD，则图中的阴影部分面积为　 　（结果保留π）．

17．（4分）如图，在△ABC中，tan∠ACB＝，D为AC的中点，点E在BC上，连接DE，将△CDE沿着DE翻折，得到△FDE，点C的对应点是点F，EF交AC于点G，当EF⊥EC时，△DGF的面积为，连接AF，则AF的长度为 　 　．

18．（4分）随着农历牛年脚步的临近，江北区街道两旁已挂满了各色灯饰，主要有随风舞动的“水母”、亭亭玉立的“麦穗”和绚烂夺目的“星球”三类主题灯饰，他们的数量比为3：4：2．每个灯饰均由A、B、C三种灯管组成，每个灯饰的成本是组成灯饰中各种灯管的成本之和．已知1个“水母”灯饰由1个A灯管、4个B灯管、2个C灯管组成；1个“麦穗”灯饰由2个A灯管、2个B灯管、1个C灯管组成．1个“水母”灯饰的成本是1个A灯管成本的5倍，1个“星球”灯饰的成本比1个“水母”灯饰的成本高出40%．三类主题灯饰安装后需一次性支付不同的安装费，各类主题灯饰的总费用由灯饰的成本费和安装费组成，其中“麦穗”灯饰的安装费占到了三种灯饰总安装费的，而“麦穗”灯饰的总费用是三类主题灯饰总费用的，且“麦穗”灯饰、“星球”灯饰的总费用之比为8：7，则“星球”灯饰的安装费与三类主题灯饰总费用之比是 　 　．
三、解答题：（本大题共7个小题，每小题10分，共70分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
19．（10分）计算：
（1）x（x+4y）﹣（x﹣y）（x+2y）；
（2）（m+）÷．
20．（10分）如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，满足AC⊥AB．
（1）尺规作图：按要求完成下列作图，不写做法，保留作图痕迹，并标明字母：
①作线段AC的垂直平分线l，分别交AD、BC于点E、F；
②连接CE；
（2）在（1）的条件下，已知∠ABC＝64°，求∠DCE的度数．

21．（10分）玉米是一种重要的粮食作物，也是全世界总产量最高的农作物．玉米的容重是指每升玉米的重量，可以反映出玉米的饱满度以及整齐度．超市采购员小李准备进购一批玉米，小李对甲、乙两个乡镇的玉米进行实地考察，各随机采摘了20根玉米进行容重检测，这些玉米的容重记为x（单位：g/L），对数据进行整理后，将所得的数据分为5个等级：五等玉米：600≤x＜630；四等玉米：630≤x＜660；三等玉米：660≤x＜690；二等玉米：690≤x＜720；一等玉米：x≥720．其中二等玉米和一等玉米，我们把它称为“优等玉米”．下面给出了小李整理、描述和分析数据的部分信息．
a．甲乡镇被抽取的20根玉米的容重分别为（单位：g/L）：
610
620
635
650
655
635
670
675
680
675
680
680
685
690
710
705
710
660
720
730
整理数据：
容重等级
600≤x＜630
630≤x＜660
660≤x＜690
690≤x＜720
x≥720
甲乡镇
2
4
a
b
2
b．乙乡镇被抽取的玉米容重频数分布直方图

乙乡镇被抽取的玉米容重在660≤x＜690这一组的数据是：
660 670 685 680 685 685 685
c．分析数据：样本数据的平均数、众数、中位数、“优等玉米”所占的百分比如下表：
乡镇
平均数
众数
中位数
“优等玉米”所占的百分比
甲
673.75
680
677.5
d%
乙
673.75
685
c
35%
根据以上信息：解答下列问题：
（1）上述表中的a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　，d＝　 　；
（2）若小李只选择一个产地采购玉米，根据以上数据，你认为小李选择哪个乡镇采购玉米比较好？（写出一条理由即可）
（3）小李最终决定在甲乡镇采购400根玉米，在乙乡镇采购600根玉米，估计本次小李采购的玉米中“优等玉米”的数量是多少？
22．（10分）在数的学习过程中，我们通过对其中一些具有某种特性的数进行研究探索，发现了数字的美和数学的灵动性．现在我们继续探索一类数．
定义：一个各位数字均不为0的四位自然数t，若t的百位、十位数字之和的2倍比千位、个位数字之和大1，则我们称这个四位数t是“四•二一数”．
例如：当t＝6413时，∵2×（4+1）﹣（6+3）＝1，
∴6413是“四•二一数”；
当t＝4257时，∵2×（2+5）﹣（4+7）＝3≠1，
∴4257不是“四•二一数”．
（1）判断7142和6312是不是“四•二一数”，并说明理由；
（2）已知t＝（1≤a≤9、1≤b≤9、1≤c≤9且均为正整数）是“四•二一数”，满足与的差能被7整除，求所有满足条件的数t．
23．（10分）在函数学习中，我们经历了“确定函数表达式﹣画函数图象﹣利用函数图象研究函数性质﹣利用图象解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数y＝的性质及其应用的部分过程，请你按要求完成下列问题：
（1）列表：函数自变量x的取值范围是全体实数，下表列出了变量x与y的几组对应数值：
x
…
﹣
﹣1


1

2

3
4
…
y
…
0
1
2

3

2


﹣
…
根据表格中的数据直接写出y与x的函数解析式及对应的自变量x的取值范围：　 　；
（2）描点、连线：在平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质：　 　；
（3）已知函数y1＝﹣，并结合两函数图象，直接写出当y1＞y时，x的取值范围　 　．

24．（10分）为减少疫情对农产品销售的影响，年轻党员干部晓辉借助“学习强国”平台直播活动，向网友们大力推介自己乡镇的特色农产品，让原本面临滞销、亏损的农户迎来了新的转机．在帮助某农户推广滞销乳鸽的直播中，晓辉计划首月销售1000只乳鸽，每只乳鸽定价30元．
（1）经过首月试销售，晓辉发现单只乳鸽售价每降低0.5元，销量将增加50只，若计划每月乳鸽的销售总量为1500只，则每只乳鸽售价应定为多少元？
（2）随着疫情的好转和直播的推广作用，乳鸽的线下销售也终于迎来了复苏，在线上、线下销售单价一致的情况下，11月线上、线下的销售总额为37500元．受寒流影响，12月价格进行了一定调整，线下单价与（1）问中的售价保持一致，线上单价在（1）问的售价基础上提高了a%，但12月整体月销售总量仍比（1）问中的计划销售总量上涨a%，其中线下销售量占到了12月总销售量的，最终12月总销售额比11月增加了495a元，求a的值．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣x+2交x轴于点A、B，交y轴于点C．
（1）求△ABC的面积；
（2）如图，过点C作射线CM，交x轴的负半轴于点M，且∠OCM＝∠OAC，点P为线段AC上方抛物线上的一点，过点P作AC的垂线交CM于点G，求线段PG的最大值及点P的坐标；
（3）将该抛物线沿射线AC方向平移个单位后得到的新抛物线为y′＝ax2+bx+c（a≠0），新抛物线y′与原抛物线的交点为E，点F为新抛物线y′对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点A、E、F、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

四、解答题：（本大题共1个小题，8分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
26．（8分）在△ABC中，AB＜AC，点D在AC边上，AD＝AB，点E在BC边上，连接ED，满足∠DEC＝∠BAC，连接AE，过点A作AF⊥BC于点F．
（1）如图1，已知∠BAC＝90°，∠C＝30°，且AF＝2，求线段DC的长；
（2）如图2，已知∠B+∠C＝∠BAC，求证：BE+ED＝2AF；
（3）如图3，在（1）问的条件下，△ABC内有点P，连接AP、BP，满足∠APB＝120°，过点P作PM⊥AC交于点M，过点P作PN⊥BC交于点N，连接MN，直接写出MN的最小值．


2020-2021学年重庆一中九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡中对应的方框涂黑．
1．（4分）在﹣1、0、﹣、2这四个数中，最小的数是（　　）
A．﹣1 B．0 C．﹣ D．2
【分析】先估计﹣的范围再比较即可．
【解答】解：∵﹣2＜﹣＜﹣1．
∴﹣＜﹣1＜0＜2．
故选：C．
2．（4分）下列建筑物小图标中，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
3．（4分）下列计算中，正确的是（　　）
A．a3+a3＝a6 B．a3•a3＝a6 C．（a3）2＝a5 D．a6÷a3＝a2
【分析】根据合并同类项、积的乘方、单项式乘以单项式，单项式除以单项式的计算法则进行计算即可求解．
【解答】解：A、a3，a2不是同类项不能合并，故选项错误；
B、aa3•a3＝a6，故选项正确；
C、（a3）2＝a6，故选项错误；
D、a6÷a3＝a3，故选项错误．
故选：B．
4．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD＝1：3，且△ABC的周长为4，则△DEF的周长为（　　）

A．8 B．12 C．16 D．36
【分析】利用位似的性质得△ABC∽△DEF，AC：DF＝OA：OD＝1：3，然后根据相似三角形的性质解决问题．
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．
∴△ABC∽△DEF，AC：DF＝OA：OD＝1：3，
∴△ABC的周长：△DEF的周长＝1：3，
∴△DEF的周长为3×4＝12（cm）．
故选：B．
5．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠C＝63°，则∠DAB等于（　　）

A．27° B．31.5° C．37° D．63°
【分析】由圆周角定理可得∠ABD＝90°，即可求解．
【解答】解：∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠C＝∠D＝63°，
∴∠DAB＝90°﹣63°＝27°，
故选：A．
6．（4分）把黑色三角形按如图所示的规律拼成下列图案，其中第①个图案中有4个黑色三角形，第②个图案中有7个黑色三角形，第③个图案中有10个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中黑色三角形的个数为
（　　）

A．16 B．19 C．31 D．36
【分析】观察发现每一个图形比前一个图形多三个三角形，利用此规律求解即可．
【解答】解：第①个图案中有1+3＝4个黑色三角形，
第②个图案中有1+2×3＝7个黑色三角形，
第③个图案中有1+3×3＝10个黑色三角形，
…，
按此规律排列下去，则第n个图案中黑色三角形的个数为3n+1，
∴第⑥个图案中黑色三角形的个数为3×6+1＝19，
故选：B．
7．（4分）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道“牛马问题”：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价．一马、二牛价不满一万，如半牛之价．问牛、马价各几何．”其大意为：现有两匹马加一头牛的价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱；一匹马加上二头牛的价钱则不到一万，不足部分正好是半头牛的价钱，求一匹马、一头牛各多少钱？设一匹马价钱为x元，一头牛价钱为y元，则符合题意的方程组是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据“现有两匹马加一头牛的价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱；一匹马加上二头牛的价钱则不到一万，不足部分正好是半头牛的价钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意得：．
故选：A．
8．（4分）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值为3或﹣4时，输出的y值互为相反数，则b等于（　　）
A．﹣30 B．﹣23 C．23 D．30
【分析】由输入的x值为3或﹣4时输出的y值互为相反数，即可得出关于b的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：依题意得：32﹣b＝﹣，
解得：b＝30．
故选：D．
9．（4分）尚本步同学家住“3D魔幻城市”﹣﹣重庆，他决定用所学知识测量自己居住的单元楼的高度．如图，小尚同学从单元楼CD的底端D点出发，沿直线步行42米到达E点，再沿坡度i＝1：0.75的斜坡EF行走20米到达F点，最后沿直线步行30米到达隔壁大厦的底端B点，小尚从B点乘直行电梯上行到顶端A点，从A点观测到单元楼顶端C点的仰角为28°，从A点观测到单元楼底端D点的俯角为37°，若A、B、C、D、E、F在同一平面内，且D、E和F、B分别在同一水平线上，则单元楼CD的高度约为（结果精确到0.1米，参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（　　）

A．79.0 米 B．107.5米 C．112.6米 D．123.5米
【分析】根据题意和图形，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数可以求得CG和GD的长，从而可以得到CD的长，本题得以解决．
【解答】解：作AG⊥DC于点G，延长DE交AB于点H，作EM⊥BF交BF的延长线于点M，
由已知可得，DE＝42米，EF＝20米，FB＝30米，∠CAG＝28°，∠GAD＝37°，
∵EF＝20米，斜坡EF的坡度i＝1：0.75，
∴EM＝16米，MF＝12米，
∴DH＝DE+MF+FB＝42+12+30＝84（米），
∴AG＝84米，
∵tan∠CAG＝，tan∠GAD＝，tan28°≈0.53，tan37°≈0.75，
∴0.53≈，0.75，
解得CG＝44.52，GD＝63，
∴CD＝CG+GD＝44.52+63≈107.5（米），
故选：B．

10．（4分）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a的和为（　　）
A．8 B．10 C．16 D．18
【分析】由不等式组无解，可得a的范围，根据分式方程有非负整数解，可确定a的值，从而可得答案．
【解答】解：由不等式组可得x＞3且x＜，
∵不等式组无解，
∴≤3，
∴a≤8，
解分式方程得y＝，
∵y≠2，
∴≠2，
∴a≠2，
∵分式方程有非负整数解，
∴为非负整数，
∴a＝8或6或4或0或﹣2，
∴满足条件的所有整数a的和为8+6+4+0﹣2＝16，
故选：C．
11．（4分）已知A、B两地相距810千米，甲车从A地匀速前往B地，到达B地后停止．甲车出发1小时后，乙车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止．设甲、乙两车之间的距离为y（千米），甲车出发的时间为x（小时），y与x的关系如图所示，对于以下说法：①乙车的速度为90千米/时；②点F的坐标是（9，540）；③图中a的值是13.5；④当甲、乙两车相遇时，两车相遇地距A地的距离为360千米．其中正确的结论是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【分析】根据图象可得甲车行驶的速度，设乙车的速度为x千米/时，根据相遇时甲车行驶的路程+乙车行驶的路程＝810列出方程，求出乙车的速度，得到乙车从B地到达A地的时间，可得甲车行驶的时间，进而可得点F坐标，算出甲车从A地匀速前往B地的时间，可得a值，当甲、乙两车相遇时，甲车行驶了6小时，可得甲车行驶的路程，即两车相遇地距A地的距离．
【解答】解：由图象可知，
甲车行驶的速度为（810﹣750）÷1＝60（千米/时），
设乙车的速度为x千米/时，根据题意得：
6×60+（6﹣1）x＝810，
解得x＝90．
即乙车的速度为90千米/时，故①正确；
乙车从B地到达A地的时间为810÷90＝9（小时），
∵甲车出发1小时后，乙车从B地沿同一公路匀速前往A地，
∴甲车行驶的时间为9+1＝10（小时），
∴甲车10小时行驶的路程为60×10＝600（千米），
∴点F的坐标为（10，600），故②错误；
甲车从A地匀速前往B地的时间为810÷60＝13.5（小时），
∴a＝13.5，故③正确；
当甲、乙两车相遇时，甲车行驶了6小时，
行驶的路程为60×6＝360（千米），故④正确，
综上，正确的结论是①③④，
故选：D．
12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点O在坐标原点，另外两个顶点A、B均在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，分别过点A、点B作y轴、x轴的平行线交于点C，连接OC并延长OC交AB于点D，已知C（1，2），△BDC的面积为3，则k的值为（　　）

A．5 B．2+2 C．2+2 D．8
【分析】根据C（1，2），AC∥y轴，BC∥x轴，求出A，B两点的坐标，用待定系数法求出直线OC和直线AB的解析式，进而求出点D的坐标，表述出△BDC的面积，进而求出k的值．
【解答】解：已知C（1，2），AC∥y轴，BC∥x轴，
故A，B两点的坐标为（1，k），（，2），
设OC：y＝k1x，AB：y＝k2x+b，
则OC：y＝2x，AB：y＝﹣2x+2+k，
由得，
，
∴D点坐标为（，），
∴S△BDC＝（﹣1）（﹣2）＝3，
∴k＝2+2或k＝﹣2+2（舍去），
∴k＝2+2，
故选：C．
二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分）请把下列各题的正确答案填写在答题卡中对应的横线上．
13．（4分）2020年12月中旬出现疫情反复后，北京市立即启用了全市核酸检测信息统一平台，满足常态化核酸检测和短时间、大规模核酸检测要求．目前，通过该平台累计采样超过2280000人次，数据2280000用科学记数法可以表示为　2.28×106　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将数字2280000用科学记数法可表示为2.28×106．
故答案为：2.28×106．
14．（4分）计算：﹣22+（π﹣1）0＝　﹣1　．
【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣4+1
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
15．（4分）现有四张分别标有数字﹣5、﹣2、1、2的卡片，它们除数字不同外其余完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张，将上面的数字记为a，放回后从卡片中再任意抽取一张，将上面的数字记为b，则点（a，b）在直线y＝2x﹣1上的概率为　　．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点（a，b）在直线y＝2x﹣1上的情况，再利用概率公式即可．
【解答】解：画树状图得：

∵共有16种等可能的结果，点（a，b）在直线y＝2x﹣1上的有2种情况，
∴点（a，b）在直线y＝2x﹣1上的概率为：＝．
故答案为：．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，∠DBC＝30°，DC＝2，E为AD上一点，以点D为圆心，以DE为半径画弧，交BC于点F，若CF＝CD，则图中的阴影部分面积为　4﹣π﹣2　（结果保留π）．

【分析】由矩形和含30°直角三角形的性质求出∠EDF的度数和AD的长度，由勾股定理求出DF，再求出矩形ABCD的面积，扇形DEF的面积，三角形DCF的面积，最后根据面积的和差即可求出阴影部分面积．
【解答】解：连接DF，∵ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝∠ADC＝90°，AD∥BC，AB＝CD＝2，
∴∠ADB＝∠DBC＝30°，
∴BD＝2AB＝4，
∴AD＝＝2，
在Rt△CDF中，∵CF＝CD＝2，
∴∠CDF＝∠CFD＝45°，DF2＝CD2+CF2＝8，
∴∠EDF＝90°﹣45°＝45°，
∴S阴影＝S矩形ABCD﹣S扇形DEF﹣S△DCF＝AD•CD﹣﹣CD•CF＝2×2﹣﹣×2×2＝4﹣π﹣2，
故答案为：4﹣π﹣2．

17．（4分）如图，在△ABC中，tan∠ACB＝，D为AC的中点，点E在BC上，连接DE，将△CDE沿着DE翻折，得到△FDE，点C的对应点是点F，EF交AC于点G，当EF⊥EC时，△DGF的面积为，连接AF，则AF的长度为 　　．

【分析】直接利用翻折变换的性质得出DM的长，再利用勾股定理求出AF的长．
【解答】解：作DM⊥EF于点M，AN⊥EF于点N，
根据翻折变换的性质可得△EDC≌△EDF，
∴∠CED＝∠FED，
∵EF⊥FC，
∴∠FED＝∠CED＝45°，
设DM＝x，则EM＝x，
∵∠EFD＝∠ACB，
∴FM＝＝2x，
∵∠GDM＝∠ACB，
∴DM∥BC，
∴GM＝tan∠GDM•DM＝，
∴FG＝FM﹣GM＝，
∴S△DGE＝＝＝，
解得x＝，
∴FD＝x＝5，GD＝x＝，AD＝OD＝FD＝5，
∴点G是AD的中点，即AG＝DG，
∵∠ANG＝∠DMG＝90°，∠AGM＝∠DGM，
∴△ANG≌△DMG（AAS），
∴GN＝GM＝＝，
∴FN＝FM﹣NM＝2﹣＝，
∴AN＝DM＝，
∴AF＝＝＝，
故答案为．

18．（4分）随着农历牛年脚步的临近，江北区街道两旁已挂满了各色灯饰，主要有随风舞动的“水母”、亭亭玉立的“麦穗”和绚烂夺目的“星球”三类主题灯饰，他们的数量比为3：4：2．每个灯饰均由A、B、C三种灯管组成，每个灯饰的成本是组成灯饰中各种灯管的成本之和．已知1个“水母”灯饰由1个A灯管、4个B灯管、2个C灯管组成；1个“麦穗”灯饰由2个A灯管、2个B灯管、1个C灯管组成．1个“水母”灯饰的成本是1个A灯管成本的5倍，1个“星球”灯饰的成本比1个“水母”灯饰的成本高出40%．三类主题灯饰安装后需一次性支付不同的安装费，各类主题灯饰的总费用由灯饰的成本费和安装费组成，其中“麦穗”灯饰的安装费占到了三种灯饰总安装费的，而“麦穗”灯饰的总费用是三类主题灯饰总费用的，且“麦穗”灯饰、“星球”灯饰的总费用之比为8：7，则“星球”灯饰的安装费与三类主题灯饰总费用之比是 　139：1110　．
【分析】先设每个A、B、C灯管的成本为x、y、z，则根据已知条件可把三种灯饰的单个成本均用x来表示，再根据三种灯饰的数量比设其数量分别为3m，4m，2m，在可将其总成本表示出来，再设总安装费用和“星球”灯饰安装费用分别为n和t，根据已知条件列出关系式，求出答案即可．
【解答】解：设1个A灯管的成本x，1个B灯管的成本为y，1个C灯管的成本为z，则根据已知条件可知1个“水母”灯饰的成本为x+4y+2z，1个“麦穗”灯饰的成本为2x+2y+z，
则：x+4y+2z＝5x，
化简得：2y+z＝2x，
∴1个“水母”灯饰的成本可表示为5x，
∴1个“麦穗”灯饰的成本可表示为4x，
∴1个“星球”灯饰的成本可表示为5x（1+40%）＝6x，
∵“水母”灯饰，“麦穗”灯饰，“星球”灯饰的数量比为3：4：2，
∴设它们的数量分别为3m，4m，2m，
∴它们的成本费用分别为15mx，16mx，12mx，总成本费用为43mx，
三种灯饰总安装费为n，则“麦穗”灯饰的安装费为，设“星球”灯饰的安装费为t，由题意，得：
，化简得：，
整理得：t＝13.9mx，
∴，
∴“星球”灯饰的安装费与三类主题灯饰总费用之比是139：1110．
故答案为：139：1110．
三、解答题：（本大题共7个小题，每小题10分，共70分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
19．（10分）计算：
（1）x（x+4y）﹣（x﹣y）（x+2y）；
（2）（m+）÷．
【分析】（1）根据整式的运算法则即可求出答案．
（2）根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝x2+4xy﹣（x2+xy﹣2y2）
＝x2+4xy﹣x2﹣xy+2y2
＝3xy+2y2．
（2）原式＝•
＝•
＝．
20．（10分）如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，满足AC⊥AB．
（1）尺规作图：按要求完成下列作图，不写做法，保留作图痕迹，并标明字母：
①作线段AC的垂直平分线l，分别交AD、BC于点E、F；
②连接CE；
（2）在（1）的条件下，已知∠ABC＝64°，求∠DCE的度数．

【分析】（1）利用尺规作出图形即可．
（2）利用平行四边形的性质以及三角形内角和定理解决问题即可．
【解答】解：（1）图形，如图所示．


（2）∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
∵∠ABC＝64°，
∴∠ACB＝90°﹣64°＝26°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD
∴∠EAC＝∠ECA＝26°，∠ACD＝∠BAC＝90°，
∵EF垂直平分线段AC，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ECA＝26°，
∴∠ECD＝90°﹣∠ECD＝64°．
21．（10分）玉米是一种重要的粮食作物，也是全世界总产量最高的农作物．玉米的容重是指每升玉米的重量，可以反映出玉米的饱满度以及整齐度．超市采购员小李准备进购一批玉米，小李对甲、乙两个乡镇的玉米进行实地考察，各随机采摘了20根玉米进行容重检测，这些玉米的容重记为x（单位：g/L），对数据进行整理后，将所得的数据分为5个等级：五等玉米：600≤x＜630；四等玉米：630≤x＜660；三等玉米：660≤x＜690；二等玉米：690≤x＜720；一等玉米：x≥720．其中二等玉米和一等玉米，我们把它称为“优等玉米”．下面给出了小李整理、描述和分析数据的部分信息．
a．甲乡镇被抽取的20根玉米的容重分别为（单位：g/L）：
610
620
635
650
655
635
670
675
680
675
680
680
685
690
710
705
710
660
720
730
整理数据：
容重等级
600≤x＜630
630≤x＜660
660≤x＜690
690≤x＜720
x≥720
甲乡镇
2
4
a
b
2
b．乙乡镇被抽取的玉米容重频数分布直方图

乙乡镇被抽取的玉米容重在660≤x＜690这一组的数据是：
660 670 685 680 685 685 685
c．分析数据：样本数据的平均数、众数、中位数、“优等玉米”所占的百分比如下表：
乡镇
平均数
众数
中位数
“优等玉米”所占的百分比
甲
673.75
680
677.5
d%
乙
673.75
685
c
35%
根据以上信息：解答下列问题：
（1）上述表中的a＝　8　，b＝　4　，c＝　682.5　，d＝　35　；
（2）若小李只选择一个产地采购玉米，根据以上数据，你认为小李选择哪个乡镇采购玉米比较好？（写出一条理由即可）
（3）小李最终决定在甲乡镇采购400根玉米，在乙乡镇采购600根玉米，估计本次小李采购的玉米中“优等玉米”的数量是多少？
【分析】（1）根据频数统计方法可得a、b的值，再根据中位数的意义求出c的值，计算甲乡镇的“优等玉米”所占得百分比得出d的值；
（2）从众数、中位数比较得出结论；
（3）分别求出甲乡镇，乙乡镇“优等玉米”的数量即可．
【解答】解：（1）将表格中的数据进行频数统计可得a＝8，b＝4；
将乙乡镇的玉米容重从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为＝682.5，因此中位数是682.5，即c＝682.5；
甲乡镇玉米容重在“优等玉米”的有7个，占比为7÷20＝35%，因此d＝35；
故答案为：8，4，682.5，35；
（2）选择乙乡镇，理由：乙乡镇玉米的中位数，众数均比甲乡镇的高；
（3）400×+600×＝660（根），
答：本次小李采购的玉米中“优等玉米”的数量是660根．
22．（10分）在数的学习过程中，我们通过对其中一些具有某种特性的数进行研究探索，发现了数字的美和数学的灵动性．现在我们继续探索一类数．
定义：一个各位数字均不为0的四位自然数t，若t的百位、十位数字之和的2倍比千位、个位数字之和大1，则我们称这个四位数t是“四•二一数”．
例如：当t＝6413时，∵2×（4+1）﹣（6+3）＝1，
∴6413是“四•二一数”；
当t＝4257时，∵2×（2+5）﹣（4+7）＝3≠1，
∴4257不是“四•二一数”．
（1）判断7142和6312是不是“四•二一数”，并说明理由；
（2）已知t＝（1≤a≤9、1≤b≤9、1≤c≤9且均为正整数）是“四•二一数”，满足与的差能被7整除，求所有满足条件的数t．
【分析】（1）利用“四•二一数”的定义解答即可；
（2）利用“四•二一数”的定义及已知条件结合数位上数字的特征解答．
【解答】解；（1）由题意知，当t＝7142时，
∵2×（1+4）﹣（7+2）＝1，
∴7142是“四•二一数”，
当t＝6312时，
∵2×（3+1）﹣（6+2）＝0≠1，
∴6312不是“四•二一数”，
（2）∵t＝是“四•二一数”，
∴2（a+b）﹣（4+c）＝1，
即2a+2b﹣c＝5，
∵1≤a≤9、1≤b≤9、1≤c≤9且均为正整数，
∴a，b，c可能为①a＝1，b＝2，c＝1；②a＝2，b＝1，c＝1；
③a＝2，b＝2，c＝3；④a＝2，b＝3，c＝5；
⑤a＝3，b＝2，c＝5；⑥a＝3，b＝3，c＝7；
⑦a＝3，b＝4，c＝9；⑧a＝4，b＝3，c＝9；
∵与的差能被7整除，
故只有④满足：42﹣35＝7，7÷7＝1，
则t＝4235．
23．（10分）在函数学习中，我们经历了“确定函数表达式﹣画函数图象﹣利用函数图象研究函数性质﹣利用图象解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数y＝的性质及其应用的部分过程，请你按要求完成下列问题：
（1）列表：函数自变量x的取值范围是全体实数，下表列出了变量x与y的几组对应数值：
x
…
﹣
﹣1


1

2

3
4
…
y
…
0
1
2

3

2


﹣
…
根据表格中的数据直接写出y与x的函数解析式及对应的自变量x的取值范围：　y＝　；
（2）描点、连线：在平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质：　当x＜时，y随x的增大而增大　；
（3）已知函数y1＝﹣，并结合两函数图象，直接写出当y1＞y时，x的取值范围　x＜或x＞3　．

【分析】（1）利用表格中数据代入即可求得；
（2）利用描点作图法画出图象；
（3）根据图象写出性质：当x＜时，y随x的增大而增大；
（4）联立函数解析式，求出交点，根据图象即可得出结论．
【解答】解：（1）当x＝﹣1时，﹣a+＝1，解得a＝；当x＝1时，﹣2﹣b+7＝3，解得b＝2．
∴y与x的函数关系式为：y＝．
故答案为：y＝．
（2）如图：

（3）根据图象可看出函数的性质：当x＜时，y随x的增大而增大，
故答案为当x＜时，y随x的增大而增大．
（4）由，解得；由，解得，
由图象可知，当y1＞y时，x的取值范围为x＜或x＞3，
故答案为x＜或x＞3．
24．（10分）为减少疫情对农产品销售的影响，年轻党员干部晓辉借助“学习强国”平台直播活动，向网友们大力推介自己乡镇的特色农产品，让原本面临滞销、亏损的农户迎来了新的转机．在帮助某农户推广滞销乳鸽的直播中，晓辉计划首月销售1000只乳鸽，每只乳鸽定价30元．
（1）经过首月试销售，晓辉发现单只乳鸽售价每降低0.5元，销量将增加50只，若计划每月乳鸽的销售总量为1500只，则每只乳鸽售价应定为多少元？
（2）随着疫情的好转和直播的推广作用，乳鸽的线下销售也终于迎来了复苏，在线上、线下销售单价一致的情况下，11月线上、线下的销售总额为37500元．受寒流影响，12月价格进行了一定调整，线下单价与（1）问中的售价保持一致，线上单价在（1）问的售价基础上提高了a%，但12月整体月销售总量仍比（1）问中的计划销售总量上涨a%，其中线下销售量占到了12月总销售量的，最终12月总销售额比11月增加了495a元，求a的值．
【分析】（1）设每只乳鸽售价应定为x元，利用月销售量＝1000+降低的价格÷0.5×50，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）利用总销售额＝销售单价×销售数量，结合12月总销售额比11月增加了495a元，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设每只乳鸽售价应定为x元，
依题意得：1000+×50＝1500，
解得：x＝25．
答：每只乳鸽售价应定为25元．
（2）依题意得：25××1500（1+a%）+25（1+a%）×（1﹣）×1500（1+a%）＝37500+495a，
整理得：a2﹣a＝0，
解得：a1＝40，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值为40．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣x+2交x轴于点A、B，交y轴于点C．
（1）求△ABC的面积；
（2）如图，过点C作射线CM，交x轴的负半轴于点M，且∠OCM＝∠OAC，点P为线段AC上方抛物线上的一点，过点P作AC的垂线交CM于点G，求线段PG的最大值及点P的坐标；
（3）将该抛物线沿射线AC方向平移个单位后得到的新抛物线为y′＝ax2+bx+c（a≠0），新抛物线y′与原抛物线的交点为E，点F为新抛物线y′对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点A、E、F、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）令x＝0，则y＝2，令y＝0，则﹣x2﹣x+2＝0，可得A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2），再运用三角形面积公式即可求得答案；
（2）如图1，过点作PH∥x轴交CM于点H，过点G作GD⊥PH于点D，设PG与AC、x轴交点分别为N、F，设P（m，﹣m2m+2），则H（m2﹣m，﹣m2m+2），可得DP＝（m2﹣m﹣m）＝m2﹣m＝﹣（m+）2+，运用二次函数性质求最值即可；
（3）运用平移变换的性质求出E（﹣1，3），设F（，n），表示出AE、AF、EF的平分，再分类讨论，根据菱形性质得出△AEF是等腰三角形，分别建立方程求解即可．
【解答】解：（1）在y＝﹣x2﹣x+2中，令x＝0，则y＝2，
∴C（0，2），
∴OC＝2，
令y＝0，则﹣x2﹣x+2＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（1，0），
∴AB＝1﹣（﹣4）＝5，
∴S△ABC＝AB•OC＝×5×2＝5；
（2）如图1，过点作PH∥x轴交CM于点H，过点G作GD⊥PH于点D，
设PG与AC、x轴交点分别为N、F，
由（1）得，＝＝，
∵∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠OAC＝∠BCO＝∠OCM，
在△COB和△COM中，
，
∴△COB≌△COM（ASA），
∴OM＝OB＝1，
∴M（﹣1，0），
设直线CM的解析式为y＝kx+b，
∵M（﹣1，0），C（0，2），
∴，
解得：，
∴直线CM的解析式为y＝2x+2，
∵DG∥OC，
∴∠DGH＝∠OCM，
∵∠ANF＝∠FEG＝90°，∠NFA＝∠EFG，
∴∠NAF＝∠FGE，
∵∠OCM＝∠OAC，
∴∠DGH＝∠FGE，
∵∠GDP＝∠GDH＝90°，GD＝GD，
∴△GDP≌△GDH（ASA），
∴PD＝DH，
设P（m，﹣m2m+2），则H（m2﹣m，﹣m2m+2），
DP＝（m2﹣m﹣m）＝m2﹣m＝﹣（m+）2+，
tan∠OCB＝tan∠PGD＝，可得：PG＝DP，
当DP最大时，PG就最大，
∴当m＝，DP最大，最大值为，
故当点P坐标为（，）时，PG最大，最大值为；
（3）抛物线y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+）2+，该抛物线沿射线AC方向平移个单位，
实际上就是向右平移2个单位，向上平移1个单位，
平移后的解析式为：y＝﹣（x﹣）2+，对称轴为直线x＝，
两个抛物线交于E点，所以﹣（x+）2+＝﹣（x﹣）2+，
解得：x＝﹣1，代入得y＝3，
∴E（﹣1，3），
设F（，n），
则AE2＝（﹣1+4）2+32＝18，AF2＝（+4）2+n2，EF2＝（+1）2+（n﹣3）2，
当AE＝AF时，18＝+n2，此方程无实数根；
当AE＝EF时，18＝n2﹣6n+，
解得：n1＝3﹣，n2＝3+，
则F1（，3﹣），对应的Q1（，6﹣）；
F2（，3﹣），对应的Q2（﹣，）；
当AF＝EF时，+n2＝n2﹣6n+，
解得：n＝﹣，
F3（，﹣），对应的Q3（﹣，）；
综上所述，Q点的坐标为（，6﹣）或（﹣，）或（﹣，）．


四、解答题：（本大题共1个小题，8分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
26．（8分）在△ABC中，AB＜AC，点D在AC边上，AD＝AB，点E在BC边上，连接ED，满足∠DEC＝∠BAC，连接AE，过点A作AF⊥BC于点F．
（1）如图1，已知∠BAC＝90°，∠C＝30°，且AF＝2，求线段DC的长；
（2）如图2，已知∠B+∠C＝∠BAC，求证：BE+ED＝2AF；
（3）如图3，在（1）问的条件下，△ABC内有点P，连接AP、BP，满足∠APB＝120°，过点P作PM⊥AC交于点M，过点P作PN⊥BC交于点N，连接MN，直接写出MN的最小值．

【分析】（1）由AF＝25，AF⊥BC，∠C＝30°，求解AC＝4，CF＝6，而tan∠C＝＝tan30°，解方程可求AB，可得AD，由DC＝AC﹣AD，从而可得答案；
（2）先求解∠BAC＝∠DEC＝120°，延长FB至M，使BM＝DE，可得BE+DE＝BE+BM＝ME，再证明∠ABM＝∠ADE，证明△ABM≌△ADE，可得AM＝AE，∠MAB＝∠EAD，再求解∠M＝∠AEM＝30°，可得MF＝AF，由等腰三角形的性质可得ME＝2MF＝2AF，从而可得答案；
（3）如图，取PC的中点T，连接TM，TN，证明P，N，C，M在以T为圆心，CP为直径的圆上，可得∠MTN＝2∠ACB＝60°，证明△MTN为等边三角形，可得MN最短，即CP最短，作△ABP的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，过O作OQ⊥AB于Q，则AQ＝BQ＝2，求解∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣120°）＝30°，BO＝，证明∠OBC＝90°，求解OC＝＝，当P为OC与⊙O的交点时，CP最短，此时，CP＝CO﹣PO＝．从而可得答案．
【解答】解：（1）如图1，∵AF＝2，AF⊥BC，∠C＝30°，
∴AC＝2AF＝4，CF＝＝6，
∵∠BAC＝90°，
而tan∠C＝＝tan30°，
∴＝，
∴AB＝4×＝4，
∵AB＝AD，
∴AD＝4，
∴DC＝4﹣4．
（2）如图2，延长FB至M，使BM＝DE，
∵∠ABC+∠C＝∠BAC，
∴180°﹣∠BAC＝∠BAC，
∴∠BAC＝120°，∠ABC+∠C＝60°，
∵∠BAC＝∠DEC，
∴∠DEC＝120°，
∵BM＝DE，
∴BE+DE＝BE+BM＝ME，
∵∠ABM＝180°﹣∠ABC＝180°﹣（60°﹣∠C）＝120°+∠C，
∠ADE＝∠DEC+∠C＝120°+∠C，
∴∠ABM＝∠ADE，
∵AB＝AD，
∴△ABM≌△ADE（SAS），
∴AM＝AE，∠MAB＝∠EAD，
∴∠MAB+∠BAE＝∠BAE+∠EAD＝∠BAC＝120°，
∴∠M＝∠AEM＝（180°﹣120°）＝30°，
∴tan∠M＝tan30°＝，
∴MF＝AF，
∵AF⊥BC，AM＝AE，
∴ME＝2MF＝2AF，
∴BE+DE＝2AF．
（3）由（1）得：AC＝4，AB＝4，
∵∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，
∴BC＝2AB＝8，∠ABC＝60°，
如图3，取PC的中点T，连接TM，TN，
∵PM⊥AC，PN⊥BC，
∴TM＝TP＝TC＝TN，
∴P，N，C，M在以T为圆心，CP为直径的圆上，
∴∠MTN＝2∠ACB＝60°，
∴△MTN为等边三角形，
∴MT＝NT＝MN，
∴当MN最短，即CP最短，
作△ABP的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，过O作OQ⊥AB于Q，
则AQ＝BQ＝2，
∵∠APB＝120°，
∴∠AOB＝360°﹣2∠APB＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣120°）＝30°，
∴cos∠OBA＝cos30°＝＝，
∴BO＝，
经检验：BO＝符合题意，
∵∠OBC＝∠OBQ+∠ABC＝90°，
∴OC＝＝＝，
当P为OC与⊙O的交点时，CP最短，
此时，CP＝CO﹣PO＝﹣＝．
∴MN的最小值为．



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日期：2021/8/16 23:15:06；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298