2021年重庆市北碚区西南大学附中中考数学仿真押题试卷（一）

这是一份2021年重庆市北碚区西南大学附中中考数学仿真押题试卷（一），共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年重庆市北碚区西南大学附中中考数学仿真押题试卷（一）
一、选择题:(本大题共12个小题每小题4分,共48分)在每个小题的下面都给出了代号为A、B、C、D的四个答案,其中只有一个是正确的,请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑
1．（4分）在实数﹣3，，0，﹣1中，是无理数的是（　　）
A．﹣3 B． C．0 D．﹣1
2．（4分）下列汽车标志的图形中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（4分）下列各式中，正确的有（　　）
A．a3+a2＝a5 B．3a8÷a4＝3a2
C．2a3•a2 ＝2a6 D．（﹣2a3）3＝﹣8a9
4．（4分）如图，线段BC的两端点的坐标为B（4，6），C（7，3），以点A（1，0）为位似中心，将线段BC缩小为原来的后得到线段DE，则端点D的坐标为（　　）

A．（3，1） B．（，2） C．（2，2） D．
5．（4分）如图图形是由大小、形状相同的“●”和线段按照一定规律组成的，其中第1幅图形有3个“●”，第2幅图形中有8个“●”，第3幅图形中有15个“●”，…，则第7幅图形中的“●”个数为（　　）

A．99 B．63 C．80 D．48
6．（4分）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三；问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
7．（4分）如图，在半径为2的⊙O中，C为直径AB延长线上一点，CD与圆相切于点D，连接AD，已知∠DAC＝30°，则线段CD的长为（　　）

A．1 B． C．2 D．2
8．（4分）李强同学去登山，先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，又匀速下山，上山的速度小于下山的速度．在登山过程中，他行走的路程S随时间t的变化规律的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
9．（4分）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为15的是（　　）
A．x＝﹣2，y＝3 B．x＝﹣2，y＝﹣3 C．x＝﹣8，y＝3 D．x＝8，y＝﹣3
10．（4分）家住重庆两相邻小区的小明和小华在一次数学课后，进行了一次数学实践活动．如图，在同一水平面从左往右依次是小明家所在的居民楼、小华家所在的小洋房、背靠小华家的一座小山，实践内容为测量小山的高度，家住顶楼的小明在窗户A处测得小山山顶的一棵大树顶端E的俯角为10°，小华在自家楼下C处测得小明家窗户A处的仰角为37°，且测得坡面CD的坡度i＝1：2，已知两家水平距离BC＝120米，大树高度DE＝3米，则小山山顶D到水平面BF的垂直高度约为（　　）（精确到0.1米，参考数据sin37°≈，tan37°≈，sin10°≈，tan10°≈）

A．55.0米 B．50.3米 C．48.1 米 D．57.3米
11．（4分）若关于x的分式方程＝的解为正整数，且关于y的不等式组有且仅有5个整数解，则满足条件的所有整数a的和是（　　）
A．﹣2 B．0 C．﹣1 D．﹣3
12．（4分）如图，点D是▱OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD＝，∠ADB＝135°，S△ABD＝2．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是（　　）

A．2 B．4 C．3 D．6
二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分)请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上
13．（4分）2020年6月23日，中国自主研发的北斗三号最后一颗卫星成功发射．据统计，国内已有超过6500000辆营运车辆导航设施应用北斗系统，数据6500000用科学记数法表示为　 　．
14．（4分）计算：（π﹣2021）0+|﹣3|﹣（）﹣1＝　 　．
15．（4分）如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠ACD＝120°，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为 　 　．

16．（4分）从﹣2，﹣1，2三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第三象限的概率等于　 　．
17．（4分）如图，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠C＝90°，D是BC边上一点，且CD＝3BD，连接AD，把△ACD沿AD翻折，得到△ADC′，DC′与AB交于点G，连接BC′，则△BDC′的面积为 　 　．

18．（4分）为了方便同学们进行丰富阅读，某中学图书馆订购了A，B，C三类新书，共900本，其中A类数量是B类数量的4倍，C类数量不超过A类数量的倍，且A类数量不超过400本．新书开始借阅后，深受同学欢迎，图书管理员提供了两种方案来增订这三类书若干本（两种方案增订的图书总量相同）．方案一：按2：3：5的比例增订A，B，C三类书；方案二：按4：1：5的比例增订A，B，C三类书．经计算，若按方案一增订，则增订后A，B两类书总数量之比为7：2，那么按方案二增订时，增订后A，C两类书总数量之比为 　 　．
三、解答题:(本大题共7个小题,每小题10分,共70分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形(包括辅助线),请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上
19．（10分）计算：
（1）（3﹣a）（a+3）﹣（2a+3）2；
（2）（﹣x﹣2）÷+．
20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．
（1）尺规作图：按要求完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹，并标明字母．
①作∠BAC的角平分线交BC于点D；
②过点D作线段AC的垂线交AC于点E；
（2）若BD＝6，CD＝10，求AC的值．

21．（10分）“无篮球，不青春”，2020年12月，重庆一中举办了系列篮球活动，展现了同学们积极向上的青春风采．为加强初、高中教师们的联系，提高教师的身体素质，在活动收尾阶段，举办了“初、高中教师友谊赛”．在女教师的比赛环节中，初、高中各随机派出10名女教师，每名女教师定点投篮10次，进球个数（x）作为这名女教师的成绩，学校对数据进行整理，将数据分为5组：（A组：0≤x≤2；B组：3≤x≤4；C组：5≤x≤6；D组：7≤x≤8；E组：9≤x≤10）．通过分析后，得到如下部分信息：
A．初中参赛女教师定点投篮投球成绩频数分布直方图

B．初中参赛女教师定点投篮投球个数在C组：5≤x≤6这一组的数据是：5、5、5、6；
C．高中参赛女教师定点投篮投球成绩统计表
参赛教师编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
投球个数
8
3
4
5
4
10
3
6
4
7
D．初、高中参赛女教师定点投篮投球个数的平均数、中位数、众数如下：
年级
平均数
中位数
众数
初中
5.4
n
5
高中
m
4.5
t
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝　 　，n＝　 　；t＝　 　；
（2）根据以上数据分析，你认为初、高中哪支队伍“定点投篮”成绩更优异，请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若该校初、高中女教师共有800名，估计全校女教师“定点投篮”进球个数不少于5个的人数．
22．（10分）小王根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究，下表是y与x的几组对应值．下面是小王的探究过程，请补充完整，并解决相关问题．
x
…
﹣2
m
﹣
0

1

2

3
4
…
y
…



2

4

2


n
…
（1）求出该函数的解析式，画出函数的大致图象；
（2）表中m的值为 　 　，n的值为 　 　；
（3）结合函数图象，请写出函数y＝的一条性质；
（4）解决问题：若关于x的方程＝2a﹣1无解，求a的取值范围．

23．（10分）甲、乙两工程队共同承建某高速路隧道工程，隧道总长2000米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米，隧道施工成本为6万元；乙每合格完成1米，隧道施工成本为8万元．
（1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？
（2）实际施工开始后因地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖m米，乙因特殊地质，在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖m米，若最终每天实际总成本比计划多（11m﹣8）万元，求m的值．
24．（10分）对于一个三位数，若其各个数位上的数字都不为0且互不相等，则称这样的三位数为“美好数”．将“美好数”m任意两个数位上的数字取出组成两位数，则一共可以得到6个两位数，将这6个两位数的和记为D（m），例如：D（235）＝23+25+32+35+52+53＝220．
（1）写出最小的“美好数”是 　 　，最大的“美好数”　 　；
（2）求证：D（m）能被22整除．
（3）把D（m）与22的商记为F（m），例如，F（235）＝＝＝10．若“美好数”n满足个位上的数字是百位上的数字的三倍，且F（n）能被5整除，请求出所有满足条件的“美好数”n．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x﹣4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．
（1）求△ABC的周长；
（2）已知P是直线AC下方抛物线上一动点，连接PA，PC，求△PAC面积的最大值；
（3）如图2，点D为抛物线的顶点，对称轴DE交x轴于点E，M是直线AC上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点N，使得以点C，E，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

四、解答题:(本大题1个小题,共8分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形(包括辅助线),请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
26．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在CB上截取CD＝CA，连接AD，过点C作CE⊥AB于点E，交AD于点F．
（1）如图1，若D为BC边的中点，且CE＝2，BE＝4，求线段AD的长度；
（2）如图2，过点C作CG⊥AD于点G，延长CG交AB于点H，连接BG．若∠1＝∠2，求证：CF+BH＝BG．
（3）如图3，过点C作CG⊥AD于点G，把△AGC绕点C顺时针旋转，记旋转后的△AGC为△A'G′C，过点A作直线AM∥G′C交直线A′C于点M，连接BM．当AC＝DB＝时，直接写出线段BM的最小值．


2021年重庆市北碚区西南大学附中中考数学仿真押题试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题:(本大题共12个小题每小题4分,共48分)在每个小题的下面都给出了代号为A、B、C、D的四个答案,其中只有一个是正确的,请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑
1．（4分）在实数﹣3，，0，﹣1中，是无理数的是（　　）
A．﹣3 B． C．0 D．﹣1
【分析】根据无理数的定义即可求出答案．
【解答】解：是无理数，其余为有理数，
故选：B．
2．（4分）下列汽车标志的图形中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心可得答案．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确；
故选：D．
3．（4分）下列各式中，正确的有（　　）
A．a3+a2＝a5 B．3a8÷a4＝3a2
C．2a3•a2 ＝2a6 D．（﹣2a3）3＝﹣8a9
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式＝3a4，不符合题意；
C、原式＝2a5，不符合题意；
D、原式＝﹣8a9，符合题意，
故选：D．
4．（4分）如图，线段BC的两端点的坐标为B（4，6），C（7，3），以点A（1，0）为位似中心，将线段BC缩小为原来的后得到线段DE，则端点D的坐标为（　　）

A．（3，1） B．（，2） C．（2，2） D．
【分析】利于位似的性质得到＝＝＝，则可求出DN＝2，AN＝1，然后写出D点坐标．
【解答】解：∵B（4，6），
∴BM＝6，OM＝4，
∵以点A（1，0）为位似中心，将线段BC缩小为原来的后得到线段DE，
∴＝＝＝，
即＝＝，
∴DN＝2，AN＝1，
∴ON＝OA+AN＝1+1＝2，
∴D点坐标为（2，2）．
故选：C．

5．（4分）如图图形是由大小、形状相同的“●”和线段按照一定规律组成的，其中第1幅图形有3个“●”，第2幅图形中有8个“●”，第3幅图形中有15个“●”，…，则第7幅图形中的“●”个数为（　　）

A．99 B．63 C．80 D．48
【分析】根据前几幅图中“●”的个数，可以发现它们的变化规律．
【解答】解：由题意可得，
第1幅图形中“●”的个数为3＝22﹣1，
第2幅图形中“●”的个数为8＝32﹣1，
第3幅图形中“●”的个数为15＝42﹣1，
则第8幅图形中“●”的个数为92﹣1＝80，
故选：C．
6．（4分）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三；问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意，得：．
故选：C．
7．（4分）如图，在半径为2的⊙O中，C为直径AB延长线上一点，CD与圆相切于点D，连接AD，已知∠DAC＝30°，则线段CD的长为（　　）

A．1 B． C．2 D．2
【分析】先根据切线的性质得到OD⊥CD，再根据圆周角定理得到∠DOC＝2∠DAC＝60°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系得到CD的长．
【解答】解：∵CD与圆相切于点D，
∴OD⊥CD，
∵∠DOC＝2∠DAC＝2×30°＝60°，
∴∠C＝30°，
∴CD＝OD＝2．
故选：D．
8．（4分）李强同学去登山，先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，又匀速下山，上山的速度小于下山的速度．在登山过程中，他行走的路程S随时间t的变化规律的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意进行判断，先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，可以排除A和C，又匀速下山，上山的速度小于下山的速度，排除D，进而可以判断．
【解答】解：由登山过程可知：
先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，又匀速下山，上山的速度小于下山的速度．
所以在登山过程中，他行走的路程S随时间t的变化规律的大致图象是B．
故选：B．
9．（4分）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为15的是（　　）
A．x＝﹣2，y＝3 B．x＝﹣2，y＝﹣3 C．x＝﹣8，y＝3 D．x＝8，y＝﹣3
【分析】根据运算程序，结合输出的结果为15即可求解．
【解答】解：A．x＝﹣2，y＝3时，输出的结果为3×（﹣2）+32＝3，不符合题意；
B．x＝﹣2，y＝﹣3时，输出的结果为3×（﹣2）+（﹣3）2＝3，不符合题意；
C．x＝﹣8，y＝3时，输出的结果为3×（﹣8）+32＝﹣15，不符合题意；
D．x＝8，y＝3时，输出结果为3×8﹣32＝15，符合题意；
故选：D．
10．（4分）家住重庆两相邻小区的小明和小华在一次数学课后，进行了一次数学实践活动．如图，在同一水平面从左往右依次是小明家所在的居民楼、小华家所在的小洋房、背靠小华家的一座小山，实践内容为测量小山的高度，家住顶楼的小明在窗户A处测得小山山顶的一棵大树顶端E的俯角为10°，小华在自家楼下C处测得小明家窗户A处的仰角为37°，且测得坡面CD的坡度i＝1：2，已知两家水平距离BC＝120米，大树高度DE＝3米，则小山山顶D到水平面BF的垂直高度约为（　　）（精确到0.1米，参考数据sin37°≈，tan37°≈，sin10°≈，tan10°≈）

A．55.0米 B．50.3米 C．48.1 米 D．57.3米
【分析】延长ED交BF于点H，则EH⊥BF，过点E作EG⊥AB于点G，可得四边形BGEH是矩形，根据坡面CD的坡度i＝1：2，设DH＝x，则CH＝2x，可得GE＝BH＝BC+CH＝120+2x，BG＝HE＝HD+DE＝x+3，再根据锐角三角函数即可求出AB的值，进而求出小山山顶D到水平面BF的垂直高度．
【解答】解：如图，

延长ED交BF于点H，则EH⊥BF，
过点E作EG⊥AB于点G，
∵AB⊥BF，
∴四边形BGEH是矩形，
∴GE＝BH，BG＝EH，
∵坡面CD的坡度i＝1：2，
∴＝，
设DH＝x，则CH＝2x，
∴GE＝BH＝BC+CH＝120+2x，
BG＝HE＝HD+DE＝x+3，
在Rt△ABC中，∠ACB＝37°，BC＝120，
∴AB＝120×tan∠ACB≈90，
在Rt△AEG中，∠AEG＝10°，AG＝AB﹣BG＝90﹣（x+3）＝87﹣x，
∴tan10°＝，
即＝，
解得x≈48.1（米）．
答：小山山顶D到水平面BF的垂直高度约为48.1米．
故选：C．
11．（4分）若关于x的分式方程＝的解为正整数，且关于y的不等式组有且仅有5个整数解，则满足条件的所有整数a的和是（　　）
A．﹣2 B．0 C．﹣1 D．﹣3
【分析】解关于x的不等式组，然后根据“该不等式组有且仅有5个整数解”，确定a的取值范围，解分式方程并根据分式方程解的情况，结合a为整数，取所有符合题意的整数a，即可得到答案．
【解答】解：，
解不等式①，得：y＜4，
解不等式②，得：y≥，
∵该不等式组有且仅有5个整数解，
∴﹣2＜≤﹣1，
解得：﹣3＜a≤2，
分式方程去分母，得：4（2﹣x）＝x（a﹣1），
解得：x＝，
∵分式方程有正整数解，且x≠2，
∴满足条件的整数a可以取﹣2，﹣1，
其和为﹣2+（﹣1）＝﹣3，
故选：D．
12．（4分）如图，点D是▱OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD＝，∠ADB＝135°，S△ABD＝2．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是（　　）

A．2 B．4 C．3 D．6
【分析】根据三角形面积公式求得AE＝2，易证得△AOM≌△CBD（AAS），得出OM＝BD＝，根据题意得出△ADE是等腰直角三角形，得出DE＝AE＝2，设A（m，），则D（m﹣2，3），根据反比例函数的定义得出关于m的方程，解方程求得m＝3，进一步求得k＝6．
【解答】解：作AM⊥y轴于M，延长BD，交AM于E，设BC与y轴的交点为N，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA∥BC，OA＝BC，
∴∠AOM＝∠CNM，
∵BD∥y轴，
∴∠CBD＝∠CNM，
∴∠AOM＝∠CBD，
∵CD与x轴平行，BD与y轴平行，
∴∠CDB＝90°，BE⊥AM，
∴∠CDB＝∠AMO，
∴△AOM≌△CBD（AAS），
∴OM＝BD＝，
∵S△ABD＝＝2，BD＝，
∴AE＝2，
∵∠ADB＝135°，
∴∠ADE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AE＝2，
∴D的纵坐标为3，
设A（m，），则D（m﹣2，3），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A、D两点，
∴k＝m＝（m﹣2）×3，
解得m＝3，
∴k＝m＝6．
故选：D．

二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分)请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上
13．（4分）2020年6月23日，中国自主研发的北斗三号最后一颗卫星成功发射．据统计，国内已有超过6500000辆营运车辆导航设施应用北斗系统，数据6500000用科学记数法表示为　6.5×106　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：6500000用科学记数法表示应为：6.5×106，
故答案为：6.5×106．
14．（4分）计算：（π﹣2021）0+|﹣3|﹣（）﹣1＝　2　．
【分析】根据零指数幂，绝对值，负整数指数幂计算即可．
【解答】解：原式＝1+3﹣2
＝2．
故答案为：2．
15．（4分）如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠ACD＝120°，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为 　2﹣π　．

【分析】连接OC，求出∠D和∠COD，求出边DC长，分别求出三角形OCD的面积和扇形COB的面积，即可求出答案．
【解答】解：连接OC，
∵AC＝CD，∠ACD＝120°，
∴∠CAD＝∠D＝30°，
∵DC切⊙O于C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∴∠COD＝60°，
在Rt△OCD中，∠OCD＝90°，∠D＝30°，OC＝2，
∴CD＝2，
∴阴影部分的面积是S△OCD﹣S扇形COB＝×2×2﹣＝2﹣π，
故答案为：2﹣π．

16．（4分）从﹣2，﹣1，2三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第三象限的概率等于　　．
【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到该点在第三象限的结果数，再利用概率公式求解可得．
【解答】解：画树状图如下

共有6种等可能情况，该点在第三象限的情况数有（﹣2，﹣1）和（﹣1，﹣2）这2种结果，
∴该点在第三象限的概率等于＝，
故答案为：．
17．（4分）如图，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠C＝90°，D是BC边上一点，且CD＝3BD，连接AD，把△ACD沿AD翻折，得到△ADC′，DC′与AB交于点G，连接BC′，则△BDC′的面积为 　　．

【分析】过点B作BG⊥AD交AD的延长线于G，延长GB交AC′的延长线于H，过点B作BF⊥C'H于F，证△BDG∽△ADC，求出DG＝，BG＝，则S△BDG＝DG•BG，AG＝，再由折叠性质得S△AC'D＝S△ACD＝6，AC'＝AC＝4，∠C'AD＝∠CAD，然后证△AHG∽△ADC，求出AH＝7，HG＝，C'H＝3，BH＝，S△AHG＝AG•HG＝，最后证△BFH∽△ACD，求出BF＝，则S△BC'H＝C'H•BF＝，求解即可．
【解答】解：∵CD＝3BD，BC＝4，
∴BD＝1，CD＝3，
∴S△ACD＝AC•CD＝×4×3＝6，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，AD＝＝＝5，
过点B作BG⊥AD交AD的延长线于G，延长GB交AC′的延长线于H，过点B作BF⊥C'H于F，如图所示：
∴∠BGD＝90°＝∠C，
∵∠BDG＝∠ADC，
∴△BDG∽△ADC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴DG＝，BG＝，
∴S△BDG＝DG•BG＝××＝，AG＝AD+DG＝5+＝，
由折叠性质得：S△AC'D＝S△ACD＝6，AC'＝AC＝4，∠C'AD＝∠CAD，
∵∠C＝∠AGH＝90°，
∴△AHG∽△ADC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴AH＝7，HG＝，
∴C'H＝AH﹣AC'＝7﹣4＝3，BH＝HG﹣BG＝﹣＝，S△AHG＝AG•HG＝××＝，
∵BF⊥C'H，
∴∠BFH＝90°＝∠C，
∴∠H+∠FBH＝90°，
∵∠C'AD+∠H＝90°，
∴∠FBH＝∠C'AD＝∠CAD，
∴△BFH∽△ACD，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝，
∴S△BC'H＝C'H•BF＝×3×＝，
∴S△BDC′＝S△AGH﹣S△BDE﹣S△BC'H﹣S△AC'D＝﹣﹣﹣6＝，
故答案为：．

18．（4分）为了方便同学们进行丰富阅读，某中学图书馆订购了A，B，C三类新书，共900本，其中A类数量是B类数量的4倍，C类数量不超过A类数量的倍，且A类数量不超过400本．新书开始借阅后，深受同学欢迎，图书管理员提供了两种方案来增订这三类书若干本（两种方案增订的图书总量相同）．方案一：按2：3：5的比例增订A，B，C三类书；方案二：按4：1：5的比例增订A，B，C三类书．经计算，若按方案一增订，则增订后A，B两类书总数量之比为7：2，那么按方案二增订时，增订后A，C两类书总数量之比为 　18：25　．
【分析】设图书馆订购B类新书x本，则订购A类新书4x本，C类新书（900﹣5x）本，根据“A类数量是B类数量的4倍，C类数量不超过A类数量的倍”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，设后增订新书10y本，根据按方案一增订后A，B两类书总数量之比为7：2，即可得出关于x，y的方程，解之可得出x＝17y，结合x，y均为正整数，即可得出x，y的值，再将其代入中即可求出结论．
【解答】解：设图书馆订购B类新书x本，则订购A类新书4x本，C类新书（900﹣5x）本，
依题意得：，
解得：70≤x≤100．
设后增订新书10y本，则＝，
∴x＝17y．
∵x，y均为正整数，
∴x为17的整数倍，
∴x＝85，
∴y＝5，
∴＝＝，
∴增订后A，C两类书总数量之比为18：25．
故答案为：18：25．
三、解答题:(本大题共7个小题,每小题10分,共70分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形(包括辅助线),请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上
19．（10分）计算：
（1）（3﹣a）（a+3）﹣（2a+3）2；
（2）（﹣x﹣2）÷+．
【分析】（1）原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分后计算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝9﹣a2﹣4a2﹣12a﹣9
＝﹣5a2﹣12a；
（2）原式＝•+
＝•+
＝﹣+
＝﹣．
20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．
（1）尺规作图：按要求完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹，并标明字母．
①作∠BAC的角平分线交BC于点D；
②过点D作线段AC的垂线交AC于点E；
（2）若BD＝6，CD＝10，求AC的值．

【分析】（1）①利用基本作图，作∠BAC的平分线即可；
②利用基本作图，过D点作AC的垂线即可；
（2）先根据角平分线的性质得到DE＝DB＝6，则利用勾股定理可计算出CE＝8，AE＝AB，设AB＝x，则AE＝x，AC＝x+8，在Rt△ABC中利用勾股定理得到x2+162＝（x+8）2，然后解方程求出x，从而得到AC的长．
【解答】解：（1）①如图，AD为所作；
②如图，DE为所作；

（2）∵AD平分∠BAC，DB⊥AB，DE⊥AC，
∴DE＝DB＝6，
在Rt△CDE中，CE＝＝＝8，
∵AE＝，AB＝，
∴AB＝AE，
设AB＝x，则AE＝x，AC＝x+8，
在Rt△ABC中，x2+162＝（x+8）2，解得x＝12，
∴AC＝12+8＝20．
21．（10分）“无篮球，不青春”，2020年12月，重庆一中举办了系列篮球活动，展现了同学们积极向上的青春风采．为加强初、高中教师们的联系，提高教师的身体素质，在活动收尾阶段，举办了“初、高中教师友谊赛”．在女教师的比赛环节中，初、高中各随机派出10名女教师，每名女教师定点投篮10次，进球个数（x）作为这名女教师的成绩，学校对数据进行整理，将数据分为5组：（A组：0≤x≤2；B组：3≤x≤4；C组：5≤x≤6；D组：7≤x≤8；E组：9≤x≤10）．通过分析后，得到如下部分信息：
A．初中参赛女教师定点投篮投球成绩频数分布直方图

B．初中参赛女教师定点投篮投球个数在C组：5≤x≤6这一组的数据是：5、5、5、6；
C．高中参赛女教师定点投篮投球成绩统计表
参赛教师编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
投球个数
8
3
4
5
4
10
3
6
4
7
D．初、高中参赛女教师定点投篮投球个数的平均数、中位数、众数如下：
年级
平均数
中位数
众数
初中
5.4
n
5
高中
m
4.5
t
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝　5.4　，n＝　5　；t＝　4　；
（2）根据以上数据分析，你认为初、高中哪支队伍“定点投篮”成绩更优异，请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若该校初、高中女教师共有800名，估计全校女教师“定点投篮”进球个数不少于5个的人数．
【分析】（1）根据中位数、众数、平均数的计算方法进行计算即可；
（2）从平均数、中位数、众数的比较得出结论；
（3）求出全校女教师“定点投篮”进球个数不少于5个的人数所占得百分比即可．
【解答】解：（1）m＝（8+3+4+5+4+10+3+6+4+7）÷10＝5.4，
将初中女教师“定点投篮”成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是5，因此中位数是5，即n＝5，
高中女教师“定点投篮”成绩出现次数最多的是4，共出现3次，因此中位数是4，即t＝4，
故答案为：5.4，5，4；
（2）初中女教师“定点投篮”成绩更优异，理由如下：
初中女教师“定点投篮”成绩的中位数、众数都比高中女教师的高；
（3）800×＝480（人），
答：该校初、高中800名女教师中“定点投篮”进球个数不少于5个的大约有480人．
22．（10分）小王根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究，下表是y与x的几组对应值．下面是小王的探究过程，请补充完整，并解决相关问题．
x
…
﹣2
m
﹣
0

1

2

3
4
…
y
…



2

4

2


n
…
（1）求出该函数的解析式，画出函数的大致图象；
（2）表中m的值为 　﹣1　，n的值为 　　；
（3）结合函数图象，请写出函数y＝的一条性质；
（4）解决问题：若关于x的方程＝2a﹣1无解，求a的取值范围．

【分析】（1）从列表中取一对x和y代入，即可得出k，然后描点作图即可；
（2）根据相应的x和y求对应的m和n即可；
（3）结合函数图象分析即可；
（4）结合函数图象分析，可知0＜y≤4，若原方程误解，只需令2a﹣1≤0或2a﹣1＞4即可．
【解答】解：（1）根据已知条件，令x＝0，则y＝2，代入解析式得，，解得k＝4，
∴该函数的解析式为，
该函数的图象如下：

（2）令，解得m＝﹣1或3，根据题意可知m＝﹣1；
令x＝4，解得．
（3）结合函数图象可知，该函数的图象是轴对称图形；
（4）结合函数图象可知，0＜y≤4，
若关于x的方程无解，则2a﹣1≤0或2a﹣1＞4，
∴或．
23．（10分）甲、乙两工程队共同承建某高速路隧道工程，隧道总长2000米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米，隧道施工成本为6万元；乙每合格完成1米，隧道施工成本为8万元．
（1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？
（2）实际施工开始后因地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖m米，乙因特殊地质，在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖m米，若最终每天实际总成本比计划多（11m﹣8）万元，求m的值．
【分析】（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（2000﹣x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（2）根据总成本＝每米施工成本×每天施工的长度结合每天实际总成本比计划多（11m﹣8）万元，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（2000﹣x）米，
依题意，得：8（2000﹣x）≥×6x，
解得：x≤1000．
答：甲最多施工1000米．
（2）依题意，得：（6+m）（6+m）+8（6﹣m）＝6×（6+8）+11m﹣8，
整理，得：m2﹣8m+16＝0，
解得：m1＝m2＝4．
答：m的值为4．
24．（10分）对于一个三位数，若其各个数位上的数字都不为0且互不相等，则称这样的三位数为“美好数”．将“美好数”m任意两个数位上的数字取出组成两位数，则一共可以得到6个两位数，将这6个两位数的和记为D（m），例如：D（235）＝23+25+32+35+52+53＝220．
（1）写出最小的“美好数”是 　123　，最大的“美好数”　987　；
（2）求证：D（m）能被22整除．
（3）把D（m）与22的商记为F（m），例如，F（235）＝＝＝10．若“美好数”n满足个位上的数字是百位上的数字的三倍，且F（n）能被5整除，请求出所有满足条件的“美好数”n．
【分析】（1）根据“美好数”的定义即可得；
（2）设美好数m＝100a+10b+c，根据定义表示出D（m），分解因式即可得；
（3）设美好数n＝100x+10y+3x，根据定义表示出D（n），F（n），根据F（n）能被5整除，即可求出．
【解答】解：（1）最小的美好数是123，最大的美好数为987；
故答案为：123，987，
（2）证明：设美好数m＝100a+10b+c，
∴D（m）＝10a+b+10a+c+10b+c+10b+a+10c+a+10c+b＝22a+22b+22c＝22（a+b+c），
∴D（m）能被22整除．
（3）设美好数n＝100x+10y+3x，
∵D（m）＝22（a+b+c），
∴F（m）＝＝a+b+c，
∴D（n）＝22（x+y+3x）＝22（4x+y），
∴F（n）＝4x+y，
∵1≤x≤9，1≤3x≤9，
∴1≤x≤3，
∵1≤y≤9，
∴5≤4x+y≤21，
∵F（n）能被5整除，
∴4x+y＝5，10，15或20，
∵1≤x≤3且x为正整数，
∴x＝1，2或3，
∵x＝1，2或3，4x+y＝5，10，15或20，y为正整数，且x，y，3x均不相等，
∴x＝1，y＝6或x＝2，y＝7或x＝3，y＝8，
当 x＝1，y＝6时，这个美好数为163，
当 x＝2，y＝7时，这个美好数为276，
当 x＝3，y＝8时，这个美好数为389，
∴所有满足条件的“美好数”n为163，276，389．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x﹣4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．
（1）求△ABC的周长；
（2）已知P是直线AC下方抛物线上一动点，连接PA，PC，求△PAC面积的最大值；
（3）如图2，点D为抛物线的顶点，对称轴DE交x轴于点E，M是直线AC上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点N，使得以点C，E，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用抛物线的表达式，分别求出点A，点B，点C的坐标，根据两点间的距离公式可求出△ABC的周长；
（2）过点P作x轴的垂线，与AC交于点Q，设出点P的坐标，表达出点Q的坐标，进行表达△APC的面积，利用二次函数最值问题，求出此时面积的最大值；
（3）分类讨论：当CE为边，且四边形CEM1N为菱形；当CE为边，且四边形CENM为菱形；当CE为对角线，且四边形CNEM为菱形，再利用菱形的性质求出点N的坐标即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+x﹣4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，
∴令x＝0，则y＝﹣4；令y＝0，则x＝﹣4或2，
∴A（﹣4，0），B（2，0），C（0，﹣4）；
∴AB＝6，AC＝4，BC＝2，
∴△ABC的周长＝6+4+2；
（2）如图，过点P作x轴的垂线，与AC交于点Q，

∵A（﹣4，0），C（0，﹣4），
∴直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣4，
设点P的横坐标为m，则P（m，m2+m﹣4），
∴Q（m，﹣m﹣4），
∴PQ＝（﹣m﹣4）﹣（m2+m﹣4）＝﹣m2﹣2m，
∴S△PAC＝S△PAQ+S△PCQ
＝•PQ•（xP﹣xA）+•PQ•（xC﹣xP）
＝•PQ•（xC﹣xA）
＝×（﹣m2﹣2m）×（0+4）
＝﹣m2﹣4m
＝﹣（m+2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴当m＝﹣2时，△PAC的面积最大为4；
（3）存在，此时点N的坐标为：（﹣4，﹣3）；（﹣1，）；（﹣1，﹣）；（，﹣）．
由y＝x2+x﹣4，可知，对称轴为直线x＝﹣1，
∴E（﹣1，0），
连接CE，可得CE＝，
①当CE为边，且四边形CEMN为菱形时，如图所示，

此时CE＝M1E＝，过点M1作M1G⊥x轴于点G，
设M1（t，﹣t﹣4），
则M1G＝﹣t﹣4，OG＝﹣t，EG＝﹣t﹣1，
∴（﹣t﹣1）2+（﹣t﹣4）2＝（）2，解得t＝0（舍去），t＝﹣5，
∴M1（﹣5，1），N1（﹣4，﹣3）；
②当CE为边，且四边形CENM为菱形时，如图所示，

此时CE＝CM2＝CM3＝，过点M2作M2H⊥y轴于点H，过点M3作M3T⊥y轴于点T，
∵AO⊥OC，
∴AO∥M2H，AO∥M3T，
∴CH：CO＝M2H：OA＝CM2：CA＝：4，
CT：CO＝M3T：OA＝CM3：CA＝：4，
∴CH＝M2H＝，CT＝TM3＝，
∴M2（，﹣4+），M3（，﹣4﹣），
∴N2（﹣1，），N3（﹣1，﹣）；
③当CE为对角线，且四边形CNEM为菱形时，如图所示，

取CE的中点K，过点K作MN⊥CE，交AC于点M，
∴K（﹣，﹣2），
由E（﹣1，0），C（0，﹣4）的可知，直线EC的表达式为：y＝﹣4x﹣4
∴直线M4N4的表达式为：y＝x﹣，
联立，
∴M4（﹣，﹣），
∴N4（，﹣）．
综上可知，此时点N的坐标为：（﹣4，﹣3）；（﹣1，）；（﹣1，﹣）；（，﹣）．
四、解答题:(本大题1个小题,共8分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形(包括辅助线),请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
26．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在CB上截取CD＝CA，连接AD，过点C作CE⊥AB于点E，交AD于点F．
（1）如图1，若D为BC边的中点，且CE＝2，BE＝4，求线段AD的长度；
（2）如图2，过点C作CG⊥AD于点G，延长CG交AB于点H，连接BG．若∠1＝∠2，求证：CF+BH＝BG．
（3）如图3，过点C作CG⊥AD于点G，把△AGC绕点C顺时针旋转，记旋转后的△AGC为△A'G′C，过点A作直线AM∥G′C交直线A′C于点M，连接BM．当AC＝DB＝时，直接写出线段BM的最小值．

【分析】（1）根据勾股定理求出CB，因D为BC中点且CD＝CA，则可计算出CD和CA，再利用勾股定理求出AD即可；
（2）根据AAS证△AGH≌△CGF，得出CD2＝DG•AD，AD＝CD，再证△ADB∽△BDG，得出BD＝CD，BA＝BG，再利用等量代换即可得证结论；
（3）根据G'C∥AM，得∠AMC＝∠A'CG'＝45°＝∠CDA，即可得出M在以AD为直径，G为圆心的圆上运动，即当M在BG上时，MB最小，证△DBM∽△BNC，根据线段比例关系即可求得此时的BM．
【解答】解：（1）∵CE＝2，BE＝4，且CE⊥AB，
∴CB＝＝＝2，
∵D为BC的中点，
∴CD＝CB＝，
在Rt△ACD中，∠ACB＝90°，CD＝CA＝，
∴AD＝＝＝；
（2）∵AC＝CD，且CG⊥AD，
∴AG＝GC＝GD，∠AGH＝90°，
∵∠1+∠CHE＝∠DAB+∠CHE＝90°，
∴∠1＝∠DAB，
又∵∠AGH＝∠CGF＝90°，AG＝CG，
∴△AGH≌△CGF（AAS），
∴CF＝AH，
∵AD2＝AC2+CD2＝2CD2，GD＝AD，
∴CD2＝DG•AD，AD＝CD，
∵∠DAB＝∠1＝∠2，且∠ADB＝∠GDB，
∴△ADB∽△BDG，
∴＝＝，
∴BD2＝DG•AD＝CD2，
∴BD＝CD，
∴＝＝，
∴BA＝BG，
∵BA＝BH+AH，AH＝CF，
∴BH+CF＝BG；
（3）∵G'C∥AM，
∴∠AMC＝∠A'CG'＝45°＝∠CDA，
∴A、C、D、M四点共圆，M在以AD为直径，G为圆心的圆上运动，
∴当M在BG上时，MB最小，
∵AC＝CD＝，
∴AD＝2，
∴AG＝DG＝1，
如图3，延长BG交圆G于N，连接CN、DM，
∴MN＝AD＝2，
∵∠N+∠CDM＝180°，∠BDM+∠CDM＝180°，
∴∠N＝∠BDM，
又∵∠DBM＝∠DBM，
∴△DBM∽△BNC，
∴＝，
∴，
即BM•（BM+2）＝，
解得BM＝或﹣﹣1（舍去），
故线段BM的最小值为﹣1．

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日期：2021/8/16 23:21:01；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298