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2021年黑龙江省哈尔滨市道外区中考数学二模试卷
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这是一份2021年黑龙江省哈尔滨市道外区中考数学二模试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年黑龙江省哈尔滨市道外区中考数学二模试卷
一、选择题：（每小题3分，共计30分）
1．（3分）﹣5的倒数是（ ）
A．5 B．﹣5 C． D．﹣
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3m6÷m3＝3m2 B．m+m2＝m3
C．（m+n）（m﹣n）＝m2﹣n2 D．2m﹣5m＝﹣3
3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图所示的几何体是由五个小正方体组合而成的，则它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）若反比例函数y＝的图象上有一点A的坐标为（﹣2，3），则k的值为（ ）
A．﹣2 B．3 C．6 D．﹣6
6．（3分）方程＝的解为（ ）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝ D．x＝
7．（3分）将二次函数y＝（x﹣1）2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是（ ）
A．y＝（x﹣2）2+2 B．y＝（x﹣2）2﹣2 C．y＝x2+2 D．y＝x2﹣2
8．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C为AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线CD，切点为D，若∠ADC＝115°，则∠ACD的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
9．（3分）如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，把△AOB沿OA翻折，得到△AOE，若∠AOB＝45°，BD＝6，则DE的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．3
10．（3分）如图，△ABC中，D为AB边上的一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，连接BE，过点D作BE的平行线交AC于点F，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）将数字51200000用科学记数法表示为 ．
12．（3分）函数中，自变量x的取值范围是 ．
13．（3分）计算：﹣＝ ．
14．（3分）把多项式4x2﹣1分解因式的结果是 ．
15．（3分）不等式组的解集是 ．
16．（3分）二次函数y＝x2﹣2x的对称轴是 ．
17．（3分）扇形的半径为5，圆心角等于120°，则扇形的面积等于 ．
18．（3分）在不透明的口袋中装有除颜色外其它都相同的2个黑球和3个白球，任意从口袋中摸出一个球来，摸到白球的概率为 ．
19．（3分）在△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE分别为AB边上的高和中线，若∠DCE＝20°，则∠BAC的度数为 ．
20．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别在AC、BC边上，BE＝AD，AE、BD相交于点F，且tan∠AFD＝，若AE＝13，BD＝15，则AD的长为 ．
三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分）
21．（7分）先化简再求值，其中x＝3tan30°﹣4cos60°．
22．（7分）如图，在6×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，有线段AB，点A、B均在小正方形的顶点上．
（1）以AB为边画一个面积等于28的▱ABCD，使点C、D在小正方形的顶点上；
（2）再在△ABC内画一个以AE为底的等腰△ABE，使E在小正方形的顶点上，连接DE，并直接写出线段DE的长．
23．（8分）起航学校为了了解学生对数学学习的喜好情况，随机调取了若干学生对他们的学习喜好情况进行问卷调查（要求每位学生只能填写一种自己喜欢的问题），并将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）在这次调查中，参与问卷调查的学生共有多少人？
（2）根据计算，求出喜好函数综合题的人数，并补全条形图；
（3）若起航学校共有学生1500人，估计喜欢几何计算题的学生共有多少人？
24．（8分）如图，▱ABCD中，E、F在B、D上，且BE＝AB，DF＝CD，连接AF、CE．
（1）求证：AF∥CE；
（2）若∠ABD＝2∠DBC，在不添加辅助线的条件下请直接写出图形中的所有等腰三角形．
25．（10分）哈佳高铁建设工程中，有一段6000米的路段由甲、乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成的工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用30天．
（1）求甲、乙两个工程队每天各完成多少米？
（2）由于施工条件限制，每天只能一个工程队施工，但是工程指挥部仍然要求工期不能超过50天，求甲工程队至少施工多少天？
26．（10分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，P为上一点，连接PD交AB于点F，且DF＝OF．
（1）求证：∠PFB＝2∠CPD；
（2）过点B作BH⊥PC，垂足为H，BH交⊙O于点G，求证：PD﹣PC＝2PH；
（3）在（2）的条件下，若PF＝11，BG＝8，⊙O的半径．
27．（10分）如图，直线y＝﹣x+5交x轴于点A，交y轴于点B，点C在x轴负半轴上，且OC＝OB，过点C作CD⊥AB，垂足为E，延长CE交y轴于点D．
（1）求直线CD的解析式；
（2）P为CD延长线上一点，设点P的横坐标为m，△PAB的面积为S，求S与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，Q为线段CE上一点，且CQ＝PD，连接AQ，若∠QAE＝∠BPE，求点P的坐标．
2021年黑龙江省哈尔滨市道外区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题3分，共计30分）
1．（3分）﹣5的倒数是（ ）
A．5 B．﹣5 C． D．﹣
【分析】根据倒数的定义可直接解答．
【解答】解：﹣5的倒数是﹣．
故选：D．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3m6÷m3＝3m2 B．m+m2＝m3
C．（m+n）（m﹣n）＝m2﹣n2 D．2m﹣5m＝﹣3
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝3m3，不符合题意；
B、原式不能合并，不符合题意；
C、原式＝m2﹣n2，符合题意；
D、原式＝﹣3m，不符合题意．
故选：C．
3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
4．（3分）如图所示的几何体是由五个小正方体组合而成的，则它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找出几何体从左边看所得到的图形即可．
【解答】解：此几何体的左视图有两列，左边一列有2个小正方形，右边一列有1个小正方体，
故选：D．
5．（3分）若反比例函数y＝的图象上有一点A的坐标为（﹣2，3），则k的值为（ ）
A．﹣2 B．3 C．6 D．﹣6
【分析】用待定系数法将A点坐标代入解析式，k值可求．
【解答】解：将A点坐标（﹣2，3）代入解析式y＝中得：k＝﹣6．
故选：D．
6．（3分）方程＝的解为（ ）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝ D．x＝
【分析】将分式方程变形为整式方程求解，注意结果要检验．
【解答】解：方程两边同时乘以x（3x﹣1），得：2（3x﹣1）＝5x，
去括号，得：6x﹣2＝5x，
移项，得：6x﹣5x＝2，
合并同类项，得：x＝2，
检验：当x＝2时，x（3x﹣1）≠0，
∴x＝2是原分式方程的解，
故选：A．
7．（3分）将二次函数y＝（x﹣1）2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是（ ）
A．y＝（x﹣2）2+2 B．y＝（x﹣2）2﹣2 C．y＝x2+2 D．y＝x2﹣2
【分析】根据二次函数图象的平移规律（左加右减，上加下减）进行解答即可．
【解答】解：将二次函数y＝（x﹣1）2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是y＝（x﹣1+1）2+2，即y＝x2+2．
故选：C．
8．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C为AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线CD，切点为D，若∠ADC＝115°，则∠ACD的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【分析】连接OD，如图，根据切线的性质得到∠ODC＝90°，则可计算出∠ADO＝25°，接着利用∠A＝∠ADO＝25°得到∠DOC＝50°，然后利用互余计算出∠C的度数即可．
【解答】解：连接OD，如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC＝90°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝115°﹣90°＝25°，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO＝25°，
∴∠DOC＝∠A+∠ADO＝50°，
∴∠C＝90°﹣∠DOC＝90°﹣50°＝40°．
故选：C．
9．（3分）如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，把△AOB沿OA翻折，得到△AOE，若∠AOB＝45°，BD＝6，则DE的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．3
【分析】根据折叠性质可得：OB＝OE，根据平行四边形性质可得：OB＝OD，故可得OE＝OD，结合∠AOB＝45°，可得∠EOD＝90°．即可求解DE的长度．
【解答】解：∵△AOB沿OA翻折，得到△AOE，且∠AOB＝45°．
∴OB＝OE，∠BOE＝90°．
∴∠EOD＝90°．
∵四边形ABCD是平行四边形．BD＝6
∴OB＝OD＝3．
∴OE＝OD＝3．
∴△EOD是等腰直角三角形．
∴DE＝．
故选：C．
10．（3分）如图，△ABC中，D为AB边上的一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，连接BE，过点D作BE的平行线交AC于点F，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】根据DE∥BC，DF∥BE可得三角形相似，再利用对应边成比例可得结论．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠C，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴，故A成立；
∵DF∥BE，
∴，故B成立；
∵DE∥BC，DF∥BE，
∴，，
∴，故C成立；
∵DF∥BC，
∴，而BE≠BC，故D不成立．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）将数字51200000用科学记数法表示为 5.12×107 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：51200000＝5.12×107，
故答案为5.12×107．
12．（3分）函数中，自变量x的取值范围是 x≥3 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件是a≥0，即可求解．
【解答】解：根据题意得：x﹣3≥0，
解得：x≥3．
故答案是：x≥3．
13．（3分）计算：﹣＝ ．
【分析】直接化简二次根式，进而合并得出答案．
【解答】解：原式＝4﹣
＝4﹣
＝．
故答案为：．
14．（3分）把多项式4x2﹣1分解因式的结果是 （2x+1）（2x﹣1） ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1）．
故答案为：（2x+1）（2x﹣1）．
15．（3分）不等式组的解集是 1≤x＜2 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x﹣4＜0，得：x＜2，
解不等式4﹣3x≤1，得：x≥1，
则不等式组的解集为1≤x＜2，
故答案为：1≤x＜2．
16．（3分）二次函数y＝x2﹣2x的对称轴是 x＝1 ．
【分析】利用公式法求对称轴．也可以用配方法．
【解答】解：根据题意得x＝＝﹣＝1．
即对称轴是直线x＝1．
17．（3分）扇形的半径为5，圆心角等于120°，则扇形的面积等于 π ．
【分析】根据扇形面积公式S＝进行计算即可．
【解答】解：S扇形＝＝π．
故答案为π．
18．（3分）在不透明的口袋中装有除颜色外其它都相同的2个黑球和3个白球，任意从口袋中摸出一个球来，摸到白球的概率为 ．
【分析】用白球的个数除以球的总个数即可求得摸到白球的概率．
【解答】解：∵共有5个球，白球有3个，
∴摸到白球的概率为．
故答案为：．
19．（3分）在△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE分别为AB边上的高和中线，若∠DCE＝20°，则∠BAC的度数为 35°或55° ．
【分析】根据余角的定义，三角形内角和定理或者外角的性质进行答题即可．
【解答】解：如图：
∵∠ACB＝90°，CD、CE分别为AB边上的高和中线，∠DCE＝20°，
∴∠CEA＝70°，CE＝EB，
∴∠CBA＝35°，
∴∠BAC＝55°，
如图：
∵∠ACB＝90°，CD、CE分别为AB边上的高和中线，∠DCE＝20°，
∴∠CEA＝70°，CE＝EB，
∴∠BAC＝35°，
故答案为：35°或55°．
20．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别在AC、BC边上，BE＝AD，AE、BD相交于点F，且tan∠AFD＝，若AE＝13，BD＝15，则AD的长为 4 ．
【分析】过点A，B作BC，AE的平行线交于点M，连接DM，作DN⊥BM于点N，构造平行四边形，由∠AFD＝∠DBN及tan∠AFD＝可得BN，DN及DM长，再通过勾股定理求出AM，MD长度求解．
【解答】解：过点A，B作BC，AE的平行线交于点M，连接DM，作DN⊥BM于点N，
则四边形AMBE为平行四边形，
∴∠AFD＝∠DBN，
∴tan∠DBN＝tan∠AFD＝＝．
设DN＝4x，BN＝3x，
则BD＝＝5x，
∴5x＝15，
解得x＝3，
∴DN＝4x＝12，BN＝3x＝9，
∵BM＝AE＝13，
∴MN＝BM﹣BN＝4，
∴DM＝＝＝4．
∵BC∥AM，∠C＝90°，
∴∠CAM＝90°，
∵BE＝AD，BE＝AM，
∴△DAM为等腰直角三角形，
∴∠MDA＝∠DMA＝45°，
∴sin45°＝＝，
∴AD＝AM＝BE＝DM＝4，
故答案为：4．
三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分）
21．（7分）先化简再求值，其中x＝3tan30°﹣4cos60°．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•＝•＝，
∵x＝3×﹣4×＝﹣2，
∴原式＝．
22．（7分）如图，在6×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，有线段AB，点A、B均在小正方形的顶点上．
（1）以AB为边画一个面积等于28的▱ABCD，使点C、D在小正方形的顶点上；
（2）再在△ABC内画一个以AE为底的等腰△ABE，使E在小正方形的顶点上，连接DE，并直接写出线段DE的长．
【分析】（1）作底为7，高为4的平行四边形ABCD即可．
（2）根据等腰三角形的定义画出图形即可，利用勾股定理求出DE．
【解答】解：（1）如图，平行四边形ABCD即为所求作．
（2）如图，点E即为所求作，DE＝＝5．
23．（8分）起航学校为了了解学生对数学学习的喜好情况，随机调取了若干学生对他们的学习喜好情况进行问卷调查（要求每位学生只能填写一种自己喜欢的问题），并将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）在这次调查中，参与问卷调查的学生共有多少人？
（2）根据计算，求出喜好函数综合题的人数，并补全条形图；
（3）若起航学校共有学生1500人，估计喜欢几何计算题的学生共有多少人？
【分析】（1）根据喜好圆综合题的学生人数和所占百分比求出参与问卷调查的总人数；
（2）根据（1）的总人数，计算出喜好函数综合题的人数，从而将条形统计图补充完整；
（3）用起航学校的总人数乘以喜欢几何计算题的学生所占百分比，即可得出答案．
【解答】解：（1）15÷30%＝50（人），
答：在这次调查中，参与问卷调查的学生共有50人；
（2）喜好函数综合题的人数：50﹣20﹣15﹣5＝10（人），
将条形统计图补充完整，如下图：
答：喜好函数综合题的人数是10人；
（3）喜欢几何计算题的学生共有：1500×＝600（人），
答：喜欢几何计算题的学生共有600人．
24．（8分）如图，▱ABCD中，E、F在B、D上，且BE＝AB，DF＝CD，连接AF、CE．
（1）求证：AF∥CE；
（2）若∠ABD＝2∠DBC，在不添加辅助线的条件下请直接写出图形中的所有等腰三角形．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得BF＝DE，再根据SAS得△ABF≌△CDE，然后由全等三角形的性质可得结论；
（2）设∠DBC为x，则∠ABD为2x，根据三角形的内角和定理及三角形外角性质可得△ABF为等腰三角形；然后由AAS得△AFD≌△CEB，最后根据全等三角形的性质可得结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∵BE＝AB，DF＝CD，
∴BE＝DF，
∴BF＝DE，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴∠AFB＝∠CED，
∴AF∥CE；
（2）图形中的所有等腰三角形有△ABF，△CDE，△AFD，△BEC．
设∠DBC为x，则∠ABD为2x，
若△ADF为等腰三角形，
则有∠BAF＝∠DAF＝x，
∴∠BAF＝180°﹣4x，
∵∠AFB＝∠DAF+∠BDA＝2x，
∴△ABF为等腰三角形；
∵∠AFB＝∠CED，
∴∠AFD＝∠CEB，
在△AFD和△CEB中
，
∴△AFD≌△CEB（AAS），
∴△CEB为等腰三角形；
∵AF＝FD＝EB＝CE＝AB＝CD，
∴△ABF和△DCE也是等腰三角形．
25．（10分）哈佳高铁建设工程中，有一段6000米的路段由甲、乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成的工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用30天．
（1）求甲、乙两个工程队每天各完成多少米？
（2）由于施工条件限制，每天只能一个工程队施工，但是工程指挥部仍然要求工期不能超过50天，求甲工程队至少施工多少天？
【分析】（1）设乙工程队每天完成x米，则甲工程队每天完成2x米．根据甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用30天，列方程求解；
（2）设甲工程队至少施工a天，根据工期不能超过50天，列出不等式，再进行求解即可得出答案．
【解答】解：（1）设乙工程队每天完成x米，则甲工程队每天完成2x米．
＝+30
解得x＝100，
经检验：x＝100是原方程的解
2x＝2×100＝200 （米）
答：甲、乙两工程队每天分别完成200米、100米；
（2）设甲工程队施工a天，根据题意得：
200a+100（50﹣a）≥6000，
解得：a≥10，
答：甲工程队至少施工10天．
26．（10分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，P为上一点，连接PD交AB于点F，且DF＝OF．
（1）求证：∠PFB＝2∠CPD；
（2）过点B作BH⊥PC，垂足为H，BH交⊙O于点G，求证：PD﹣PC＝2PH；
（3）在（2）的条件下，若PF＝11，BG＝8，⊙O的半径．
【分析】（1）根据垂径定理及圆周角定理得到∠CPD＝∠COD＝∠DOA，利用等腰三角形的外角性质即可证明结论；
（2）作出如图的辅助线，由垂径定理得到PN＝CN，由平行线的性质得到MN＝NH，MC＝PH，利用AAS证明Rt△PDQ≌Rt△AGB，即可证明结论；
（3）设DF＝FO＝x，⊙O的半径为y，利用相似三角形的判定和性质以及勾股定理得到方程，求解即可．
【解答】（1）证明：如图1，连接OC、OD．则有OC＝OD．
∵OE⊥CD，
∴∠COA＝∠DOA，∠COD＝2∠DOA．
∴∠CPD＝∠COD＝∠DOA．
∵FD＝FO，
∴∠ODF＝∠DOA．
∴∠PFB＝2∠DOA＝2∠CPD；
（2）证明：如图2，过A作AM⊥PC交PC的延长线于M，过O作ON⊥PC于N，连接PO延长PO交⊙O于Q，连接DO、DQ、AG．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AGB＝90°．则四边形AGHM为矩形．
∴AM∥ON∥BH，PN＝CN．
∴＝1，即MN＝NH．
∴MC＝PH．
∴AG＝MH＝PC+CM+PN＝PC+2PH．
由（1）得∠CPD＝∠PDO，
∴CP∥OD．
又CP∥AG，
∴CP∥AG∥OD．
∵OP＝OD．
∴∠GAO＝∠FOD＝∠PDO＝∠DPO．
∵PQ为⊙O的直径，AB为⊙O的直径，
∴∠PDQ＝∠AGB＝90°．
∴Rt△PDQ≌Rt△AGB（AAS）．
∴PD＝AG＝PC+2PH．
∴PD﹣PC＝2PH；
（3）解：设DF＝FO＝x，⊙O的半径为y，
由（2）得∠FOD＝∠DPO，
∵∠ODF＝∠PDO，
∴△DOF∽△DPO．
∴＝，即＝．
整理得：y2＝x2+11x．
在Rt△BGA中，AG2+BG2＝AB2，即（11+x）2+82＝4（x2+11x），
解得x1＝5，x2＝（不合题意，舍去）．
∴y2＝x2+11x＝80．
∴y＝4，
∴⊙O的半径是4．
27．（10分）如图，直线y＝﹣x+5交x轴于点A，交y轴于点B，点C在x轴负半轴上，且OC＝OB，过点C作CD⊥AB，垂足为E，延长CE交y轴于点D．
（1）求直线CD的解析式；
（2）P为CD延长线上一点，设点P的横坐标为m，△PAB的面积为S，求S与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，Q为线段CE上一点，且CQ＝PD，连接AQ，若∠QAE＝∠BPE，求点P的坐标．
【分析】（1）根据等角的余角相等可得∠EAC＝∠ODC，根据等角的三角函数值相等即可求出OD＝10，由OC＝OB可得点C的坐标，设直线CD的解析式为y＝kx+10，利用待定系数法即可求解；
（2）设点P的横坐标为m，由（1）求得的直线CD的解析式可得点P（m，2m+10），连接OP，根据△PAB的面积为S＝S△POB+S△POA﹣S△AOB即可求解；
（3）设点P（m，2m+10），求出点E的坐标为（﹣2，6），可得DE＝2，AE＝6，CE＝3，BE＝，证明△AEQ∽△PEB，由相似三角形的性质得，由CQ＝PD可得QE＝CE﹣PD，可得关于PD的方程，解方程可得PD＝，根据勾股定理以及点P（m，2m+10）可得出关于m的方程，解方程求出m，即可得点P的坐标．
【解答】解：（1）∵CD⊥AB，垂足为E，
∴∠AEC＝∠AOB＝90°，
∴∠BAO+∠ACE＝∠ODC+∠ACE＝90°，
∴∠BAO＝∠ODC，
∴tan∠BAO＝tan∠ODC，即，
∵直线y＝﹣x+5交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A（10，0），B（0，5），
∵点C在x轴负半轴上，且OC＝OB，
∴C（﹣5，0），
∴OA＝10，OB＝5，OC＝5，
∴OD＝10，
设直线CD的解析式为y＝kx+10，则﹣5k+10＝0，
解得：k＝2，
∴直线CD的解析式为y＝2x+10；
（2）连接OP，
设点P的横坐标为m，
由（1）得直线CD的解析式为y＝2x+10，
∴点P（m，2m+10），
∵OA＝10，OB＝5，
∴△PAB的面积为S＝S△POB+S△POA﹣S△AOB
＝×5m+×10（2m+10）﹣×10×5
＝m+50﹣25
＝m+25；
（3）设点P（m，2m+10），
∵直线AB的解析式为y＝﹣x+5，直线CD的解析式为y＝2x+10，
∴点E的坐标为（﹣2，6），
∵A（10，0），B（0，5），C（﹣5，0），OD＝10，
∴DE＝2，
AE＝＝6，
CE＝＝3，
BE＝＝，
∵CD⊥AB，垂足为E，
∴∠AEQ＝∠PEB＝90°，
∵∠QAE＝∠BPE，
∴△AEQ∽△PEB，
∴，
∵CQ＝PD，
∴QE＝CE﹣PD＝3﹣PD，
∴，
解得：PD＝或PD＝0（舍去），
∵点P（m，2m+10），OD＝10，
∴m2+（2m+10﹣10）2＝（）2，
∴m＝﹣1（舍去）或m＝1，
∴点P的坐标为（1，12）．
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日期：2021/8/16 23:22:08；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298
2021年黑龙江省哈尔滨市道外区中考数学二模试卷
一、选择题：（每小题3分，共计30分）
1．（3分）﹣5的倒数是（ ）
A．5 B．﹣5 C． D．﹣
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3m6÷m3＝3m2 B．m+m2＝m3
C．（m+n）（m﹣n）＝m2﹣n2 D．2m﹣5m＝﹣3
3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图所示的几何体是由五个小正方体组合而成的，则它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）若反比例函数y＝的图象上有一点A的坐标为（﹣2，3），则k的值为（ ）
A．﹣2 B．3 C．6 D．﹣6
6．（3分）方程＝的解为（ ）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝ D．x＝
7．（3分）将二次函数y＝（x﹣1）2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是（ ）
A．y＝（x﹣2）2+2 B．y＝（x﹣2）2﹣2 C．y＝x2+2 D．y＝x2﹣2
8．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C为AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线CD，切点为D，若∠ADC＝115°，则∠ACD的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
9．（3分）如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，把△AOB沿OA翻折，得到△AOE，若∠AOB＝45°，BD＝6，则DE的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．3
10．（3分）如图，△ABC中，D为AB边上的一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，连接BE，过点D作BE的平行线交AC于点F，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）将数字51200000用科学记数法表示为 ．
12．（3分）函数中，自变量x的取值范围是 ．
13．（3分）计算：﹣＝ ．
14．（3分）把多项式4x2﹣1分解因式的结果是 ．
15．（3分）不等式组的解集是 ．
16．（3分）二次函数y＝x2﹣2x的对称轴是 ．
17．（3分）扇形的半径为5，圆心角等于120°，则扇形的面积等于 ．
18．（3分）在不透明的口袋中装有除颜色外其它都相同的2个黑球和3个白球，任意从口袋中摸出一个球来，摸到白球的概率为 ．
19．（3分）在△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE分别为AB边上的高和中线，若∠DCE＝20°，则∠BAC的度数为 ．
20．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别在AC、BC边上，BE＝AD，AE、BD相交于点F，且tan∠AFD＝，若AE＝13，BD＝15，则AD的长为 ．
三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分）
21．（7分）先化简再求值，其中x＝3tan30°﹣4cos60°．
22．（7分）如图，在6×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，有线段AB，点A、B均在小正方形的顶点上．
（1）以AB为边画一个面积等于28的▱ABCD，使点C、D在小正方形的顶点上；
（2）再在△ABC内画一个以AE为底的等腰△ABE，使E在小正方形的顶点上，连接DE，并直接写出线段DE的长．
23．（8分）起航学校为了了解学生对数学学习的喜好情况，随机调取了若干学生对他们的学习喜好情况进行问卷调查（要求每位学生只能填写一种自己喜欢的问题），并将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）在这次调查中，参与问卷调查的学生共有多少人？
（2）根据计算，求出喜好函数综合题的人数，并补全条形图；
（3）若起航学校共有学生1500人，估计喜欢几何计算题的学生共有多少人？
24．（8分）如图，▱ABCD中，E、F在B、D上，且BE＝AB，DF＝CD，连接AF、CE．
（1）求证：AF∥CE；
（2）若∠ABD＝2∠DBC，在不添加辅助线的条件下请直接写出图形中的所有等腰三角形．
25．（10分）哈佳高铁建设工程中，有一段6000米的路段由甲、乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成的工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用30天．
（1）求甲、乙两个工程队每天各完成多少米？
（2）由于施工条件限制，每天只能一个工程队施工，但是工程指挥部仍然要求工期不能超过50天，求甲工程队至少施工多少天？
26．（10分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，P为上一点，连接PD交AB于点F，且DF＝OF．
（1）求证：∠PFB＝2∠CPD；
（2）过点B作BH⊥PC，垂足为H，BH交⊙O于点G，求证：PD﹣PC＝2PH；
（3）在（2）的条件下，若PF＝11，BG＝8，⊙O的半径．
27．（10分）如图，直线y＝﹣x+5交x轴于点A，交y轴于点B，点C在x轴负半轴上，且OC＝OB，过点C作CD⊥AB，垂足为E，延长CE交y轴于点D．
（1）求直线CD的解析式；
（2）P为CD延长线上一点，设点P的横坐标为m，△PAB的面积为S，求S与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，Q为线段CE上一点，且CQ＝PD，连接AQ，若∠QAE＝∠BPE，求点P的坐标．
2021年黑龙江省哈尔滨市道外区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题3分，共计30分）
1．（3分）﹣5的倒数是（ ）
A．5 B．﹣5 C． D．﹣
【分析】根据倒数的定义可直接解答．
【解答】解：﹣5的倒数是﹣．
故选：D．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3m6÷m3＝3m2 B．m+m2＝m3
C．（m+n）（m﹣n）＝m2﹣n2 D．2m﹣5m＝﹣3
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝3m3，不符合题意；
B、原式不能合并，不符合题意；
C、原式＝m2﹣n2，符合题意；
D、原式＝﹣3m，不符合题意．
故选：C．
3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
4．（3分）如图所示的几何体是由五个小正方体组合而成的，则它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找出几何体从左边看所得到的图形即可．
【解答】解：此几何体的左视图有两列，左边一列有2个小正方形，右边一列有1个小正方体，
故选：D．
5．（3分）若反比例函数y＝的图象上有一点A的坐标为（﹣2，3），则k的值为（ ）
A．﹣2 B．3 C．6 D．﹣6
【分析】用待定系数法将A点坐标代入解析式，k值可求．
【解答】解：将A点坐标（﹣2，3）代入解析式y＝中得：k＝﹣6．
故选：D．
6．（3分）方程＝的解为（ ）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝ D．x＝
【分析】将分式方程变形为整式方程求解，注意结果要检验．
【解答】解：方程两边同时乘以x（3x﹣1），得：2（3x﹣1）＝5x，
去括号，得：6x﹣2＝5x，
移项，得：6x﹣5x＝2，
合并同类项，得：x＝2，
检验：当x＝2时，x（3x﹣1）≠0，
∴x＝2是原分式方程的解，
故选：A．
7．（3分）将二次函数y＝（x﹣1）2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是（ ）
A．y＝（x﹣2）2+2 B．y＝（x﹣2）2﹣2 C．y＝x2+2 D．y＝x2﹣2
【分析】根据二次函数图象的平移规律（左加右减，上加下减）进行解答即可．
【解答】解：将二次函数y＝（x﹣1）2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是y＝（x﹣1+1）2+2，即y＝x2+2．
故选：C．
8．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C为AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线CD，切点为D，若∠ADC＝115°，则∠ACD的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【分析】连接OD，如图，根据切线的性质得到∠ODC＝90°，则可计算出∠ADO＝25°，接着利用∠A＝∠ADO＝25°得到∠DOC＝50°，然后利用互余计算出∠C的度数即可．
【解答】解：连接OD，如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC＝90°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝115°﹣90°＝25°，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO＝25°，
∴∠DOC＝∠A+∠ADO＝50°，
∴∠C＝90°﹣∠DOC＝90°﹣50°＝40°．
故选：C．
9．（3分）如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，把△AOB沿OA翻折，得到△AOE，若∠AOB＝45°，BD＝6，则DE的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．3
【分析】根据折叠性质可得：OB＝OE，根据平行四边形性质可得：OB＝OD，故可得OE＝OD，结合∠AOB＝45°，可得∠EOD＝90°．即可求解DE的长度．
【解答】解：∵△AOB沿OA翻折，得到△AOE，且∠AOB＝45°．
∴OB＝OE，∠BOE＝90°．
∴∠EOD＝90°．
∵四边形ABCD是平行四边形．BD＝6
∴OB＝OD＝3．
∴OE＝OD＝3．
∴△EOD是等腰直角三角形．
∴DE＝．
故选：C．
10．（3分）如图，△ABC中，D为AB边上的一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，连接BE，过点D作BE的平行线交AC于点F，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】根据DE∥BC，DF∥BE可得三角形相似，再利用对应边成比例可得结论．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠C，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴，故A成立；
∵DF∥BE，
∴，故B成立；
∵DE∥BC，DF∥BE，
∴，，
∴，故C成立；
∵DF∥BC，
∴，而BE≠BC，故D不成立．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）将数字51200000用科学记数法表示为 5.12×107 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：51200000＝5.12×107，
故答案为5.12×107．
12．（3分）函数中，自变量x的取值范围是 x≥3 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件是a≥0，即可求解．
【解答】解：根据题意得：x﹣3≥0，
解得：x≥3．
故答案是：x≥3．
13．（3分）计算：﹣＝ ．
【分析】直接化简二次根式，进而合并得出答案．
【解答】解：原式＝4﹣
＝4﹣
＝．
故答案为：．
14．（3分）把多项式4x2﹣1分解因式的结果是 （2x+1）（2x﹣1） ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1）．
故答案为：（2x+1）（2x﹣1）．
15．（3分）不等式组的解集是 1≤x＜2 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x﹣4＜0，得：x＜2，
解不等式4﹣3x≤1，得：x≥1，
则不等式组的解集为1≤x＜2，
故答案为：1≤x＜2．
16．（3分）二次函数y＝x2﹣2x的对称轴是 x＝1 ．
【分析】利用公式法求对称轴．也可以用配方法．
【解答】解：根据题意得x＝＝﹣＝1．
即对称轴是直线x＝1．
17．（3分）扇形的半径为5，圆心角等于120°，则扇形的面积等于 π ．
【分析】根据扇形面积公式S＝进行计算即可．
【解答】解：S扇形＝＝π．
故答案为π．
18．（3分）在不透明的口袋中装有除颜色外其它都相同的2个黑球和3个白球，任意从口袋中摸出一个球来，摸到白球的概率为 ．
【分析】用白球的个数除以球的总个数即可求得摸到白球的概率．
【解答】解：∵共有5个球，白球有3个，
∴摸到白球的概率为．
故答案为：．
19．（3分）在△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE分别为AB边上的高和中线，若∠DCE＝20°，则∠BAC的度数为 35°或55° ．
【分析】根据余角的定义，三角形内角和定理或者外角的性质进行答题即可．
【解答】解：如图：
∵∠ACB＝90°，CD、CE分别为AB边上的高和中线，∠DCE＝20°，
∴∠CEA＝70°，CE＝EB，
∴∠CBA＝35°，
∴∠BAC＝55°，
如图：
∵∠ACB＝90°，CD、CE分别为AB边上的高和中线，∠DCE＝20°，
∴∠CEA＝70°，CE＝EB，
∴∠BAC＝35°，
故答案为：35°或55°．
20．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别在AC、BC边上，BE＝AD，AE、BD相交于点F，且tan∠AFD＝，若AE＝13，BD＝15，则AD的长为 4 ．
【分析】过点A，B作BC，AE的平行线交于点M，连接DM，作DN⊥BM于点N，构造平行四边形，由∠AFD＝∠DBN及tan∠AFD＝可得BN，DN及DM长，再通过勾股定理求出AM，MD长度求解．
【解答】解：过点A，B作BC，AE的平行线交于点M，连接DM，作DN⊥BM于点N，
则四边形AMBE为平行四边形，
∴∠AFD＝∠DBN，
∴tan∠DBN＝tan∠AFD＝＝．
设DN＝4x，BN＝3x，
则BD＝＝5x，
∴5x＝15，
解得x＝3，
∴DN＝4x＝12，BN＝3x＝9，
∵BM＝AE＝13，
∴MN＝BM﹣BN＝4，
∴DM＝＝＝4．
∵BC∥AM，∠C＝90°，
∴∠CAM＝90°，
∵BE＝AD，BE＝AM，
∴△DAM为等腰直角三角形，
∴∠MDA＝∠DMA＝45°，
∴sin45°＝＝，
∴AD＝AM＝BE＝DM＝4，
故答案为：4．
三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分）
21．（7分）先化简再求值，其中x＝3tan30°﹣4cos60°．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•＝•＝，
∵x＝3×﹣4×＝﹣2，
∴原式＝．
22．（7分）如图，在6×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，有线段AB，点A、B均在小正方形的顶点上．
（1）以AB为边画一个面积等于28的▱ABCD，使点C、D在小正方形的顶点上；
（2）再在△ABC内画一个以AE为底的等腰△ABE，使E在小正方形的顶点上，连接DE，并直接写出线段DE的长．
【分析】（1）作底为7，高为4的平行四边形ABCD即可．
（2）根据等腰三角形的定义画出图形即可，利用勾股定理求出DE．
【解答】解：（1）如图，平行四边形ABCD即为所求作．
（2）如图，点E即为所求作，DE＝＝5．
23．（8分）起航学校为了了解学生对数学学习的喜好情况，随机调取了若干学生对他们的学习喜好情况进行问卷调查（要求每位学生只能填写一种自己喜欢的问题），并将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）在这次调查中，参与问卷调查的学生共有多少人？
（2）根据计算，求出喜好函数综合题的人数，并补全条形图；
（3）若起航学校共有学生1500人，估计喜欢几何计算题的学生共有多少人？
【分析】（1）根据喜好圆综合题的学生人数和所占百分比求出参与问卷调查的总人数；
（2）根据（1）的总人数，计算出喜好函数综合题的人数，从而将条形统计图补充完整；
（3）用起航学校的总人数乘以喜欢几何计算题的学生所占百分比，即可得出答案．
【解答】解：（1）15÷30%＝50（人），
答：在这次调查中，参与问卷调查的学生共有50人；
（2）喜好函数综合题的人数：50﹣20﹣15﹣5＝10（人），
将条形统计图补充完整，如下图：
答：喜好函数综合题的人数是10人；
（3）喜欢几何计算题的学生共有：1500×＝600（人），
答：喜欢几何计算题的学生共有600人．
24．（8分）如图，▱ABCD中，E、F在B、D上，且BE＝AB，DF＝CD，连接AF、CE．
（1）求证：AF∥CE；
（2）若∠ABD＝2∠DBC，在不添加辅助线的条件下请直接写出图形中的所有等腰三角形．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得BF＝DE，再根据SAS得△ABF≌△CDE，然后由全等三角形的性质可得结论；
（2）设∠DBC为x，则∠ABD为2x，根据三角形的内角和定理及三角形外角性质可得△ABF为等腰三角形；然后由AAS得△AFD≌△CEB，最后根据全等三角形的性质可得结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∵BE＝AB，DF＝CD，
∴BE＝DF，
∴BF＝DE，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴∠AFB＝∠CED，
∴AF∥CE；
（2）图形中的所有等腰三角形有△ABF，△CDE，△AFD，△BEC．
设∠DBC为x，则∠ABD为2x，
若△ADF为等腰三角形，
则有∠BAF＝∠DAF＝x，
∴∠BAF＝180°﹣4x，
∵∠AFB＝∠DAF+∠BDA＝2x，
∴△ABF为等腰三角形；
∵∠AFB＝∠CED，
∴∠AFD＝∠CEB，
在△AFD和△CEB中
，
∴△AFD≌△CEB（AAS），
∴△CEB为等腰三角形；
∵AF＝FD＝EB＝CE＝AB＝CD，
∴△ABF和△DCE也是等腰三角形．
25．（10分）哈佳高铁建设工程中，有一段6000米的路段由甲、乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成的工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用30天．
（1）求甲、乙两个工程队每天各完成多少米？
（2）由于施工条件限制，每天只能一个工程队施工，但是工程指挥部仍然要求工期不能超过50天，求甲工程队至少施工多少天？
【分析】（1）设乙工程队每天完成x米，则甲工程队每天完成2x米．根据甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用30天，列方程求解；
（2）设甲工程队至少施工a天，根据工期不能超过50天，列出不等式，再进行求解即可得出答案．
【解答】解：（1）设乙工程队每天完成x米，则甲工程队每天完成2x米．
＝+30
解得x＝100，
经检验：x＝100是原方程的解
2x＝2×100＝200 （米）
答：甲、乙两工程队每天分别完成200米、100米；
（2）设甲工程队施工a天，根据题意得：
200a+100（50﹣a）≥6000，
解得：a≥10，
答：甲工程队至少施工10天．
26．（10分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，P为上一点，连接PD交AB于点F，且DF＝OF．
（1）求证：∠PFB＝2∠CPD；
（2）过点B作BH⊥PC，垂足为H，BH交⊙O于点G，求证：PD﹣PC＝2PH；
（3）在（2）的条件下，若PF＝11，BG＝8，⊙O的半径．
【分析】（1）根据垂径定理及圆周角定理得到∠CPD＝∠COD＝∠DOA，利用等腰三角形的外角性质即可证明结论；
（2）作出如图的辅助线，由垂径定理得到PN＝CN，由平行线的性质得到MN＝NH，MC＝PH，利用AAS证明Rt△PDQ≌Rt△AGB，即可证明结论；
（3）设DF＝FO＝x，⊙O的半径为y，利用相似三角形的判定和性质以及勾股定理得到方程，求解即可．
【解答】（1）证明：如图1，连接OC、OD．则有OC＝OD．
∵OE⊥CD，
∴∠COA＝∠DOA，∠COD＝2∠DOA．
∴∠CPD＝∠COD＝∠DOA．
∵FD＝FO，
∴∠ODF＝∠DOA．
∴∠PFB＝2∠DOA＝2∠CPD；
（2）证明：如图2，过A作AM⊥PC交PC的延长线于M，过O作ON⊥PC于N，连接PO延长PO交⊙O于Q，连接DO、DQ、AG．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AGB＝90°．则四边形AGHM为矩形．
∴AM∥ON∥BH，PN＝CN．
∴＝1，即MN＝NH．
∴MC＝PH．
∴AG＝MH＝PC+CM+PN＝PC+2PH．
由（1）得∠CPD＝∠PDO，
∴CP∥OD．
又CP∥AG，
∴CP∥AG∥OD．
∵OP＝OD．
∴∠GAO＝∠FOD＝∠PDO＝∠DPO．
∵PQ为⊙O的直径，AB为⊙O的直径，
∴∠PDQ＝∠AGB＝90°．
∴Rt△PDQ≌Rt△AGB（AAS）．
∴PD＝AG＝PC+2PH．
∴PD﹣PC＝2PH；
（3）解：设DF＝FO＝x，⊙O的半径为y，
由（2）得∠FOD＝∠DPO，
∵∠ODF＝∠PDO，
∴△DOF∽△DPO．
∴＝，即＝．
整理得：y2＝x2+11x．
在Rt△BGA中，AG2+BG2＝AB2，即（11+x）2+82＝4（x2+11x），
解得x1＝5，x2＝（不合题意，舍去）．
∴y2＝x2+11x＝80．
∴y＝4，
∴⊙O的半径是4．
27．（10分）如图，直线y＝﹣x+5交x轴于点A，交y轴于点B，点C在x轴负半轴上，且OC＝OB，过点C作CD⊥AB，垂足为E，延长CE交y轴于点D．
（1）求直线CD的解析式；
（2）P为CD延长线上一点，设点P的横坐标为m，△PAB的面积为S，求S与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，Q为线段CE上一点，且CQ＝PD，连接AQ，若∠QAE＝∠BPE，求点P的坐标．
【分析】（1）根据等角的余角相等可得∠EAC＝∠ODC，根据等角的三角函数值相等即可求出OD＝10，由OC＝OB可得点C的坐标，设直线CD的解析式为y＝kx+10，利用待定系数法即可求解；
（2）设点P的横坐标为m，由（1）求得的直线CD的解析式可得点P（m，2m+10），连接OP，根据△PAB的面积为S＝S△POB+S△POA﹣S△AOB即可求解；
（3）设点P（m，2m+10），求出点E的坐标为（﹣2，6），可得DE＝2，AE＝6，CE＝3，BE＝，证明△AEQ∽△PEB，由相似三角形的性质得，由CQ＝PD可得QE＝CE﹣PD，可得关于PD的方程，解方程可得PD＝，根据勾股定理以及点P（m，2m+10）可得出关于m的方程，解方程求出m，即可得点P的坐标．
【解答】解：（1）∵CD⊥AB，垂足为E，
∴∠AEC＝∠AOB＝90°，
∴∠BAO+∠ACE＝∠ODC+∠ACE＝90°，
∴∠BAO＝∠ODC，
∴tan∠BAO＝tan∠ODC，即，
∵直线y＝﹣x+5交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A（10，0），B（0，5），
∵点C在x轴负半轴上，且OC＝OB，
∴C（﹣5，0），
∴OA＝10，OB＝5，OC＝5，
∴OD＝10，
设直线CD的解析式为y＝kx+10，则﹣5k+10＝0，
解得：k＝2，
∴直线CD的解析式为y＝2x+10；
（2）连接OP，
设点P的横坐标为m，
由（1）得直线CD的解析式为y＝2x+10，
∴点P（m，2m+10），
∵OA＝10，OB＝5，
∴△PAB的面积为S＝S△POB+S△POA﹣S△AOB
＝×5m+×10（2m+10）﹣×10×5
＝m+50﹣25
＝m+25；
（3）设点P（m，2m+10），
∵直线AB的解析式为y＝﹣x+5，直线CD的解析式为y＝2x+10，
∴点E的坐标为（﹣2，6），
∵A（10，0），B（0，5），C（﹣5，0），OD＝10，
∴DE＝2，
AE＝＝6，
CE＝＝3，
BE＝＝，
∵CD⊥AB，垂足为E，
∴∠AEQ＝∠PEB＝90°，
∵∠QAE＝∠BPE，
∴△AEQ∽△PEB，
∴，
∵CQ＝PD，
∴QE＝CE﹣PD＝3﹣PD，
∴，
解得：PD＝或PD＝0（舍去），
∵点P（m，2m+10），OD＝10，
∴m2+（2m+10﹣10）2＝（）2，
∴m＝﹣1（舍去）或m＝1，
∴点P的坐标为（1，12）．
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日期：2021/8/16 23:22:08；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298
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