2018_2019学年广州市越秀区九上期末数学试卷

这是一份2018_2019学年广州市越秀区九上期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列四个城市的地铁标志中，既是中心对称又是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 抛物线 y=2x2 经过平移得到 y=2x+12，则这个平移过程正确的是
A. 向左平移 1 个单位B. 向右平移 1 个单位
C. 向上平移 1 个单位D. 向下平移 1 个单位

3. 下列成语描述的事件为随机事件的是
A. 水涨船高B. 守株待兔C. 水中捞月D. 缘木求鱼

4. 已知关于 x 的方程 x2−3x+m=0 有一个根为 x=1，则另一个根是
A. x=−2B. x=−1C. x=2D. x=3

5. 如图，将 Rt△ABC（其中 ∠B=35∘，∠C=90∘）绕点 A 按顺时针方向旋转到 △AB1C1 的位置，使得点 C，A，B1 在同一条直线上，那么旋转角等于
A. 55∘B. 70∘C. 125∘D. 145∘

6. 如图，已知 △ADE∽△ACB，若 AB=10，AC=8，AD=4，则 AE 的长是
A. 4B. 5C. 20D. 3.2

7. 已知二次函数 y=3x−12+5，下列结论正确的是
A. 其图象的开口向下
B. 图象的对称轴为直线 x=−1
C. 函数的最大值为 5
D. 当 x>1 时，y 随 x 的增大而增大

8. 若关于 x 的一元二次方程 ax2+2x+1=0 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是
A. a<1B. a≤1C. a≠0D. a<1 且 a≠0

9. 如图，在平面直角标系 xOy 中，以点 O 为位似中心，将边长为 8 的等边三角形 OAB 作 n 次位似变换，经第一次变换后得到等边三角形 OA1B1，其边长 OA1 缩小为 OA 的 12，经第二次变换后得到等边三角形 OA2B2，其边长 OA2 缩小为 OA1 的 12，经第三次变换后得到等边三角形 OA3B3，其边长 OA3 缩小为 OA2 的 12，⋯ 按此规律，经第 n 次变换后，所得等边三角形 OAnBn 的顶点 An 的坐标为 128,0，则 n 的值是
A. 8B. 9C. 10D. 11

10. ⊙O 是 △ABC 的内切圆，点 D，E，F 是切点，∠C=90∘，AB=10，⊙O 的内接正六边形 DGHIJK 的边长为 2．则 △ABC 的面积是
A. 24B. 48C. 20D. 18

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 如图，已知平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于坐标原点 O，点 A 的坐标为 −3,1，则点 C 的坐标是 ．

12. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数501002004008001000"射中9环以上"的次数3882157317640801"射中9环以上"的频率
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时，“射中 9 环以上”的概率是 ．（结果保留小数点后一位）

13. 抛物线 y=x2−4x+3 的顶点坐标为 ．

14. 圆锥的底面半径是 1，高是 3，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是 ．

15. 已知矩形的长和宽分别是关于 x 的方程 2x2+mx+8=0m≥8 的两根，则矩形的面积是 ．

16. 如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，点 A，B，C，D 分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为 y=12x2−3x−8，AB 为半圆的直径，点 M 为半圆的圆心，点 P 为 x 轴正半轴上的一点，若 △COP∽△CPD，则点 P 的坐标是 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解方程：x2−1=2x+1．

18. 如图，在 7×7 的正方形网格中，△ABC 的顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点上．
（1）将 △ABC 绕点 B 逆时针旋转 90∘，画出旋转后得到的 △A1BC1；
（2）求出旋转过程中，线段 BA 扫过的图形的面积（结果保留 π）．

19. 一个不透明的口袋中有 2 个红球和 2 个白球，这四个小球除颜色外无其他差别．
（1）从中随机摸取一个小球，这个小球的颜色为红色的概率是多少?
（2）从中随机同时摸取两个小球，这两个小球颜色相同的概率是多少?试用列表或画树状图说明．

20. 如图，已知平行四边形 ABCD，点 E 是边 AB 的延长线上一点，DE 与 BC 交于点 F，BE=12AB．
（1）求证：△ADE∼△CFD；
（2）若 △BEF 的面积为 1，求四边形 ABFD 的面积．

21. 有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有 81 人患了流感．
（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人?
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感?

22. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，过点 D 作 AD 的垂线交 AB 于点 E．
（1）请画出 △ADE 的外接圆 ⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：BC 是 ⊙O 的切线；
（3）过点 D 作 DF⊥AE 于点 F，延长 DF 交 ⊙O 于点 G，若 DG=8，EF=2，求 ⊙O 的半径．

23. 抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点，A2,0，该抛物线的对称轴为直线 x=−1．
（1）求点 B 的坐标；
（2）Pm,t 为抛物线上的一点，若点 P 关于原点的对称点 Pʹ 也落在该抛物线上，求 m 的值；
（3）若当 x≤0 时，y≥−6，试求该抛物线的解析式．

24. 如图，已知抛物线的顶点坐标为 M1,4，且经过点 N2,3，与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C．抛物线的对称轴与 x 轴交于点 E，点 P 在对称轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线 CM 与 x 轴交于点 D，若 ∠DME=∠APE，求点 P 的坐标；
（3）请探索：是否存在这样的点 Pʹ，使 ∠ANB=2∠APʹE?若存在，求出点 Pʹ 的坐标；若不存在，请说明理由．

25. 如图，在直角坐标系 xOy 中，A0,3，B5,3．点 Px,0 为 x 轴正半轴上的一个动点，以 BP 为直径作 ⊙Q 交 x 轴于点 C，⊙Q 与直线 AC 交于点 D，连接 PD，BD，过点 P 作 PE∥BD 交 ⊙Q 于点 E，连接 BE．
（1）求证：四边形 BDPE 是矩形；
（2）设矩形 BDPE 的面积为 S．试求 S 关于 x 的函数解析式，写出 x 的取值范围．并判断 S 是否存在最大值或最小值?若存在，求出这个最大值或最小值，若不存在，请说明理由；
（3）当 0≤x≤5 时，求点 E 移动路线的长．
答案
第一部分
1. D【解析】A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；
B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
D、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确．
2. A【解析】抛物线 y=2x2 经过平移得到 y=2x+12，则这个平移过程是向左平移 1 个单位．
3. B
4. C【解析】设一元二次方程的另一根为 x=x1，
则根据一元二次方程根与系数的关系得 1+x1=3，
解得：x1=2．
5. C
【解析】∵∠B=35∘，∠C=90∘，
∴∠BAC=90∘−∠B=90∘−35∘=55∘，
∵ 点 C，A，B1 在同一条直线上，
∴∠BABʹ=180∘−∠BAC=180∘−55∘=125∘，
∴ 旋转角等于 125∘．
6. B【解析】因为 △ADE∽△ACB，
所以 ADAC=AEAB，
因为 AB=10，AC=8，AD=4，
所以 48=AE10，
解得：AE=5．
7. D【解析】y=3x−12+5 中，
∵a=3>0，
∴ 图象开口向上，故A错误；
对称轴为：直线 x=1，故B错误；
函数有最小值为 5，故C错误；
当 x>1 时，y 随 x 的增大而增大，故D正确．
8. D【解析】根据题意得，a≠0 且 Δ=22−4a>0，
∴a<1 且 a≠0．
9. D【解析】∵△OAB 是等边三角形，边长为 8，
∴ 点 A 的坐标为 8,0，
由位似变换的性质可知，点 A1 的坐标为 8×12,0，即 4,0，点 A2 的坐标为 8×122,0，即 2,0，
由题意得，8×12n=128，
解得，n=11．
10. A
【解析】如图，连接 OD，OE．
由题意得，四边形 CDOE 是正方形，
∴CD=CE=OD=OE=2，
∵⊙O 是 △ABC 的内切圆，点 D，F，E 是切点，
∴AD=AF，BF=BE，CD=CE，
∴AB+AC+BC=2AF+2BF+2CD=2AB+CD=24，
∴S△ABC=12⋅r⋅AB+BC+AC=12×2×24=24．
第二部分
11. 3,−1
【解析】∵ 平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于坐标原点 O，
∴ 点 A，C 关于原点 O 对称，
∵ 点 A 的坐标为 −3,1，
∴ 点 C 的坐标为 3,−1．
12. 0.8
【解析】∵ 从频率的波动情况可以发现，频率稳定在 0.8 附近，
∴ 这名运动员射击一次时“射中 9 环以上”的概率是 0.8．
13. 2,−1
【解析】∵−b2a=−−42×1=2，4ac−b24a=4×1×3−−424×1=−1，
∴ 顶点坐标是 2,−1．
14. 180∘
【解析】设圆锥的母线为 a，根据勾股定理得，a=2，
设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为 n∘，
根据题意得，2π⋅1=n⋅π⋅2180，解得 n=180，
即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为 180∘．
15. 4
【解析】2x2+mx+8=0，
x1x2=ca=4，
∵ 矩形长和宽分别是该方程的两根，
∴ 矩形的面积是 4．
16. 42,0
【解析】如图所示，连接 CM，
令 y=0，则 12x2−3x−8=0，
解得 x1=−2，x2=8，
∴AO=2，BO=8，
∴AB=10，CM=5，OM=3，
∴ 在 Rt△COM 中，OC=4，
令 x=0，则 y=−8，
∴OD=8，
若 △COP∽△CPD，
则 ∠COP=∠CPD=90∘，
又 ∵OP⊥CD，
∴OP2=CO×OD，
即 OP=4×8=42，
又 ∵ 点 P 为 x 轴正半轴上的一点，
∴ 点 P 的坐标为 42,0．
第三部分
17. 方程整理得：
x2−2x−3=0.
这里
a=1.b=−2.c=−3.
因而
b2−4ac=−22−4×1×−3=16>0.
所以
x=2±162×1=2±42.
因此，原方程的解为
x1=−1.x2=3.
18. （1） 如图所示，△A1BC1 为所求．
（2） BA=32+22=13，
∴ 线段 BA 扫过的图形的面积为 90×π×132360=13π4．
19. （1） 随机摸取一个球有 4 种等可能的结果，这个小球为红色的结果有 2 种，
因此摸取出 1 个小球为红色的概率是 24=12．
（2） 随机同时摸取 2 个小球，相当于第一次摸取 1 个小球后不放回，第二次再摸取 1 个小球，设两个红球分别为红 1，红 2；两个白球分别为白 1，白 2，画树状图如图所示：
共有 12 种等可能的结果，其中这两个小球颜色相同的结果有 4 种，
∴ 这两个小球颜色相同的概率为 412=13．
20. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，∠A=∠C，
∴∠ADE=∠CFD，
∴△ADE∼△CFD；
（2） ∵BE=12AB，
∴BE=13AE，
∵AD∥BC，
∴△ADE∼△BFE，
∴S△BFES△ADE=BEAE2=19，
∵△BEF 的面积为 1，
∴S△ADE=9，
∴S四边形ABFD=S△ADE−S△BFE=9−1=8．
21. （1） 设每轮传染中平均一个人传染 x 个人，
根据题意得：
1+x+xx+1=81.
整理，得：
x2+2x−80=0,
解得：x1=8，x2=−10（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染 8 个人．
（2） 81+81×8=729（人）．
答：经过三轮传染后共有 729 人会患流感．
22. （1） 如图 1，⊙O 为所求．
（2） 如图 2，连接 OD，
∵ AD 平分 ∠BAC，
∴ ∠CAD=∠OAD，
∵ OA=OD，
∴ ∠ODA=∠OAD，
∴ ∠CAD=∠ODA，
∴ OD∥AC，
∴ ∠ODB=∠C=90∘，
∴ BC 是 ⊙O 的切线．
（3） 如图 3，
∵ DE⊥AD，
∴ ∠ADE=90∘，
∴ AE 是 ⊙O 的直径，
∵ DF⊥AE，
∴ DF=12DG=12×8=4，
设 ⊙O 的半径为 r，则 OD=r，OF=r−2．
在 Rt△ODF 中，OF2+DF2=OD2，
∴ r−22+42=r2，解得 r=5，
∴ ⊙O 的半径为 5．
23. （1） ∵ 点 A，B 为抛物线与 x 轴的交点，A2,0，对称轴为直线 x=−1，
∴B−4,0．
（2） 由题意：4a+2b+c=0,16a−4b+c=0,−b2a=−1,
解得 b=2a,c=−8a,
∴ 抛物线的解析式为 y=ax2+2ax−8a，
∴Pm,am2+2am−8a 的对称点 Pʹ−m,−am2−2am+8a，
把 Pʹ−m,−am2−2am+8a 代入 y=ax2+2ax−8a 得到：−am2−2am+8a=am2−2am−8a，
解得 m=±22．
（3） ∵ 当 x≤0 时，y≥−6，
∴ 抛物线开口向上，
∵x=−1<0，
∴ 当 x=−1 时，y 取最小值 −6，
∴ 抛物线的顶点坐标 −1,−6，
把 −1,−6 代入 y=ax2+2ax−8a 得到：−6=a−2a−8a，
∴a=23，
∴ 抛物线的解析式为 y=23x2+43x−163．
24. （1） 由抛物线的顶点是 M1,4，
设解析式为 y=ax−12+4a<0，
又 ∵ 抛物线经过点 N2,3，
∴3=a2−12+4，解得 a=−1，
∴ 所求抛物线的解析式为 y=−x−12+4．
（2） 设直线 CM 的解析式是 y=kx+t，
∵C0,3，M1,4，
∴t=3,k+t=4, 即 k=1,t=3, 即：直线解析式 y=x+3．
求得 A−1,0，D−3,0，抛物线的对称轴是直线 x=1，
则 DE=ME=4，△DEM 是等腰直角三角形．
点 P 在对称轴上，满足 ∠DME=∠APE，则有 AE=EP=2，
故所求的 P 的坐标是：当点 P 在 x 轴上方时，P1,2；
当点 P 在 x 轴下方时，P1,−2．
（3） 存在，理由：
如图，连接 PʹB，QA，QN，
∵PʹA=PʹB，
∴∠APʹB=2∠APʹE=∠ANB，
经过三点 A，B，N 作一个圆，根据圆周角定理：∠APʹB=∠ANB，
设圆心为点 Q，
∴QA=QN．
设 Q1,m，过点 N 作对称轴的垂线，垂足为点 F，
在 Rt△QEA 中，QA2=QE2+AE2=m2+22，
在 Rt△QFN 中，QN2=QF2+FN2=3−m2+2−12，
由 QA=QN 可得：m2+22=3−m2+2−12，
解得：m=1，即此时 Q1,1．
而圆的半径 PʹQ=QA=12+22=5，则 Pʹ 的坐标是 1,1+5．
∵ 点 Pʹ 关于 x 轴的对称性点 P1ʹ1,−1−5，也满足 ∠AP1ʹB=∠APʹB=∠ANB，
则所求的 Pʹ 点为 1,1+5 或 1,−1−5．
25. （1） ∵PB 是 ⊙Q 的直径，
∴∠PDB=∠BEP=90∘，
∵DB∥PE，
∴∠DBE+∠PEB=180∘，
∴∠DBE=90∘，
∴∠DBE=∠PDB=∠PEB=90∘，
∴ 四边形 BDPE 是矩形．
（2） 如图 1：
∵DP=DP，
∴∠DBP=∠ACO，
∵∠BDP=∠AOC=90∘，
∴△BDP∽△COA，
∴S△BDPS△AOC=BPAC2，
连接 BC，
∵PB 是 ⊙Q 的直径，
∴∠PCB=90∘，
即：BC⊥PC，
∴C5,0，
在 Rt△AOC 中，∠AOC=90∘，OA=3，OC=5，
∴AC2=34，S△AOC=12×3×5=152，
∵B5,3，Px,0，
∴PB2=x−52+9，S△BDP=BP2AC2×S△AOC=x−52+934×152，
∵ 四边形 BDPE 是矩形，
∴S=2S△BDP=1534x−52+13534x>0，
∴ 当 x=5 时，S 有最小值 13534，无最大值．
（3） 如图 2，连接 CE，
∵BE=BE，
∴∠BCE=∠BPE，
∵DP=DP，
∴∠DBP=∠ACO，
∵∠BPE=∠DBP，
∴∠BCE=∠ACO，
∵∠ACO+∠ACB=90∘，
∴∠BCE+∠ACB=90∘，
∴CE⊥AC，
∴ 点 E 在垂直于 AC 的直线上运动，
当 0≤x≤5 时，点 E 的运动轨迹是从点 C 到点 F 的一段线段，
当 x=0 时，点 E 与点 C 重合，
当 x=5 时，点 E 到达 F 点，
∴ 点 E 的移动路程长为 CF 的长度，
∵∠BCE=∠ACO，∠AOC=∠BFC=90∘，
∴△BFC∽△AOC，
∴CFOC=BCAC，
∴CF5=334，
∴CF=153434．