2018_2019学年广州市越秀区九上期末数学试卷
展开一、选择题(共10小题;共50分)
1. 下列四个城市的地铁标志中,既是中心对称又是轴对称图形的是
A. B.
C. D.
2. 抛物线 y=2x2 经过平移得到 y=2x+12,则这个平移过程正确的是
A. 向左平移 1 个单位B. 向右平移 1 个单位
C. 向上平移 1 个单位D. 向下平移 1 个单位
3. 下列成语描述的事件为随机事件的是
A. 水涨船高B. 守株待兔C. 水中捞月D. 缘木求鱼
4. 已知关于 x 的方程 x2−3x+m=0 有一个根为 x=1,则另一个根是
A. x=−2B. x=−1C. x=2D. x=3
5. 如图,将 Rt△ABC(其中 ∠B=35∘,∠C=90∘)绕点 A 按顺时针方向旋转到 △AB1C1 的位置,使得点 C,A,B1 在同一条直线上,那么旋转角等于
A. 55∘B. 70∘C. 125∘D. 145∘
6. 如图,已知 △ADE∽△ACB,若 AB=10,AC=8,AD=4,则 AE 的长是
A. 4B. 5C. 20D. 3.2
7. 已知二次函数 y=3x−12+5,下列结论正确的是
A. 其图象的开口向下
B. 图象的对称轴为直线 x=−1
C. 函数的最大值为 5
D. 当 x>1 时,y 随 x 的增大而增大
8. 若关于 x 的一元二次方程 ax2+2x+1=0 有两个不相等的实数根,则 a 的取值范围是
A. a<1B. a≤1C. a≠0D. a<1 且 a≠0
9. 如图,在平面直角标系 xOy 中,以点 O 为位似中心,将边长为 8 的等边三角形 OAB 作 n 次位似变换,经第一次变换后得到等边三角形 OA1B1,其边长 OA1 缩小为 OA 的 12,经第二次变换后得到等边三角形 OA2B2,其边长 OA2 缩小为 OA1 的 12,经第三次变换后得到等边三角形 OA3B3,其边长 OA3 缩小为 OA2 的 12,⋯ 按此规律,经第 n 次变换后,所得等边三角形 OAnBn 的顶点 An 的坐标为 128,0,则 n 的值是
A. 8B. 9C. 10D. 11
10. ⊙O 是 △ABC 的内切圆,点 D,E,F 是切点,∠C=90∘,AB=10,⊙O 的内接正六边形 DGHIJK 的边长为 2.则 △ABC 的面积是
A. 24B. 48C. 20D. 18
二、填空题(共6小题;共30分)
11. 如图,已知平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于坐标原点 O,点 A 的坐标为 −3,1,则点 C 的坐标是 .
12. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下:
射击次数501002004008001000"射中9环以上"的次数3882157317640801"射中9环以上"的频率
根据频率的稳定性,估计这名运动员射击一次时,“射中 9 环以上”的概率是 .(结果保留小数点后一位)
13. 抛物线 y=x2−4x+3 的顶点坐标为 .
14. 圆锥的底面半径是 1,高是 3,则这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是 .
15. 已知矩形的长和宽分别是关于 x 的方程 2x2+mx+8=0m≥8 的两根,则矩形的面积是 .
16. 如图,我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”,点 A,B,C,D 分别是“果圆”与坐标轴的交点,抛物线的解析式为 y=12x2−3x−8,AB 为半圆的直径,点 M 为半圆的圆心,点 P 为 x 轴正半轴上的一点,若 △COP∽△CPD,则点 P 的坐标是 .
三、解答题(共9小题;共117分)
17. 解方程:x2−1=2x+1.
18. 如图,在 7×7 的正方形网格中,△ABC 的顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点上.
(1)将 △ABC 绕点 B 逆时针旋转 90∘,画出旋转后得到的 △A1BC1;
(2)求出旋转过程中,线段 BA 扫过的图形的面积(结果保留 π).
19. 一个不透明的口袋中有 2 个红球和 2 个白球,这四个小球除颜色外无其他差别.
(1)从中随机摸取一个小球,这个小球的颜色为红色的概率是多少?
(2)从中随机同时摸取两个小球,这两个小球颜色相同的概率是多少?试用列表或画树状图说明.
20. 如图,已知平行四边形 ABCD,点 E 是边 AB 的延长线上一点,DE 与 BC 交于点 F,BE=12AB.
(1)求证:△ADE∼△CFD;
(2)若 △BEF 的面积为 1,求四边形 ABFD 的面积.
21. 有一个人患了流感,经过两轮传染后,共有 81 人患了流感.
(1)试求每轮传染中平均一个人传染了几个人?
(2)如果按照这样的传染速度,经过三轮传染后共有多少个人会患流感?
22. 如图,在 △ABC 中,∠C=90∘,∠BAC 的平分线交 BC 于点 D,过点 D 作 AD 的垂线交 AB 于点 E.
(1)请画出 △ADE 的外接圆 ⊙O(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)求证:BC 是 ⊙O 的切线;
(3)过点 D 作 DF⊥AE 于点 F,延长 DF 交 ⊙O 于点 G,若 DG=8,EF=2,求 ⊙O 的半径.
23. 抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于 A,B 两点,A2,0,该抛物线的对称轴为直线 x=−1.
(1)求点 B 的坐标;
(2)Pm,t 为抛物线上的一点,若点 P 关于原点的对称点 Pʹ 也落在该抛物线上,求 m 的值;
(3)若当 x≤0 时,y≥−6,试求该抛物线的解析式.
24. 如图,已知抛物线的顶点坐标为 M1,4,且经过点 N2,3,与 x 轴交于 A,B 两点(点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴交于点 C.抛物线的对称轴与 x 轴交于点 E,点 P 在对称轴上.
(1)求抛物线的解析式;
(2)直线 CM 与 x 轴交于点 D,若 ∠DME=∠APE,求点 P 的坐标;
(3)请探索:是否存在这样的点 Pʹ,使 ∠ANB=2∠APʹE?若存在,求出点 Pʹ 的坐标;若不存在,请说明理由.
25. 如图,在直角坐标系 xOy 中,A0,3,B5,3.点 Px,0 为 x 轴正半轴上的一个动点,以 BP 为直径作 ⊙Q 交 x 轴于点 C,⊙Q 与直线 AC 交于点 D,连接 PD,BD,过点 P 作 PE∥BD 交 ⊙Q 于点 E,连接 BE.
(1)求证:四边形 BDPE 是矩形;
(2)设矩形 BDPE 的面积为 S.试求 S 关于 x 的函数解析式,写出 x 的取值范围.并判断 S 是否存在最大值或最小值?若存在,求出这个最大值或最小值,若不存在,请说明理由;
(3)当 0≤x≤5 时,求点 E 移动路线的长.
答案
第一部分
1. D【解析】A、既不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故本选项错误;
B、既不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故本选项错误;
C、不是中心对称图形,是轴对称图形,故本选项错误;
D、既是中心对称图形又是轴对称图形,故本选项正确.
2. A【解析】抛物线 y=2x2 经过平移得到 y=2x+12,则这个平移过程是向左平移 1 个单位.
3. B
4. C【解析】设一元二次方程的另一根为 x=x1,
则根据一元二次方程根与系数的关系得 1+x1=3,
解得:x1=2.
5. C
【解析】∵∠B=35∘,∠C=90∘,
∴∠BAC=90∘−∠B=90∘−35∘=55∘,
∵ 点 C,A,B1 在同一条直线上,
∴∠BABʹ=180∘−∠BAC=180∘−55∘=125∘,
∴ 旋转角等于 125∘.
6. B【解析】因为 △ADE∽△ACB,
所以 ADAC=AEAB,
因为 AB=10,AC=8,AD=4,
所以 48=AE10,
解得:AE=5.
7. D【解析】y=3x−12+5 中,
∵a=3>0,
∴ 图象开口向上,故A错误;
对称轴为:直线 x=1,故B错误;
函数有最小值为 5,故C错误;
当 x>1 时,y 随 x 的增大而增大,故D正确.
8. D【解析】根据题意得,a≠0 且 Δ=22−4a>0,
∴a<1 且 a≠0.
9. D【解析】∵△OAB 是等边三角形,边长为 8,
∴ 点 A 的坐标为 8,0,
由位似变换的性质可知,点 A1 的坐标为 8×12,0,即 4,0,点 A2 的坐标为 8×122,0,即 2,0,
由题意得,8×12n=128,
解得,n=11.
10. A
【解析】如图,连接 OD,OE.
由题意得,四边形 CDOE 是正方形,
∴CD=CE=OD=OE=2,
∵⊙O 是 △ABC 的内切圆,点 D,F,E 是切点,
∴AD=AF,BF=BE,CD=CE,
∴AB+AC+BC=2AF+2BF+2CD=2AB+CD=24,
∴S△ABC=12⋅r⋅AB+BC+AC=12×2×24=24.
第二部分
11. 3,−1
【解析】∵ 平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于坐标原点 O,
∴ 点 A,C 关于原点 O 对称,
∵ 点 A 的坐标为 −3,1,
∴ 点 C 的坐标为 3,−1.
12. 0.8
【解析】∵ 从频率的波动情况可以发现,频率稳定在 0.8 附近,
∴ 这名运动员射击一次时“射中 9 环以上”的概率是 0.8.
13. 2,−1
【解析】∵−b2a=−−42×1=2,4ac−b24a=4×1×3−−424×1=−1,
∴ 顶点坐标是 2,−1.
14. 180∘
【解析】设圆锥的母线为 a,根据勾股定理得,a=2,
设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为 n∘,
根据题意得,2π⋅1=n⋅π⋅2180,解得 n=180,
即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为 180∘.
15. 4
【解析】2x2+mx+8=0,
x1x2=ca=4,
∵ 矩形长和宽分别是该方程的两根,
∴ 矩形的面积是 4.
16. 42,0
【解析】如图所示,连接 CM,
令 y=0,则 12x2−3x−8=0,
解得 x1=−2,x2=8,
∴AO=2,BO=8,
∴AB=10,CM=5,OM=3,
∴ 在 Rt△COM 中,OC=4,
令 x=0,则 y=−8,
∴OD=8,
若 △COP∽△CPD,
则 ∠COP=∠CPD=90∘,
又 ∵OP⊥CD,
∴OP2=CO×OD,
即 OP=4×8=42,
又 ∵ 点 P 为 x 轴正半轴上的一点,
∴ 点 P 的坐标为 42,0.
第三部分
17. 方程整理得:
x2−2x−3=0.
这里
a=1.b=−2.c=−3.
因而
b2−4ac=−22−4×1×−3=16>0.
所以
x=2±162×1=2±42.
因此,原方程的解为
x1=−1.x2=3.
18. (1) 如图所示,△A1BC1 为所求.
(2) BA=32+22=13,
∴ 线段 BA 扫过的图形的面积为 90×π×132360=13π4.
19. (1) 随机摸取一个球有 4 种等可能的结果,这个小球为红色的结果有 2 种,
因此摸取出 1 个小球为红色的概率是 24=12.
(2) 随机同时摸取 2 个小球,相当于第一次摸取 1 个小球后不放回,第二次再摸取 1 个小球,设两个红球分别为红 1,红 2;两个白球分别为白 1,白 2,画树状图如图所示:
共有 12 种等可能的结果,其中这两个小球颜色相同的结果有 4 种,
∴ 这两个小球颜色相同的概率为 412=13.
20. (1) ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AD∥BC,∠A=∠C,
∴∠ADE=∠CFD,
∴△ADE∼△CFD;
(2) ∵BE=12AB,
∴BE=13AE,
∵AD∥BC,
∴△ADE∼△BFE,
∴S△BFES△ADE=BEAE2=19,
∵△BEF 的面积为 1,
∴S△ADE=9,
∴S四边形ABFD=S△ADE−S△BFE=9−1=8.
21. (1) 设每轮传染中平均一个人传染 x 个人,
根据题意得:
1+x+xx+1=81.
整理,得:
x2+2x−80=0,
解得:x1=8,x2=−10(不合题意,舍去).
答:每轮传染中平均一个人传染 8 个人.
(2) 81+81×8=729(人).
答:经过三轮传染后共有 729 人会患流感.
22. (1) 如图 1,⊙O 为所求.
(2) 如图 2,连接 OD,
∵ AD 平分 ∠BAC,
∴ ∠CAD=∠OAD,
∵ OA=OD,
∴ ∠ODA=∠OAD,
∴ ∠CAD=∠ODA,
∴ OD∥AC,
∴ ∠ODB=∠C=90∘,
∴ BC 是 ⊙O 的切线.
(3) 如图 3,
∵ DE⊥AD,
∴ ∠ADE=90∘,
∴ AE 是 ⊙O 的直径,
∵ DF⊥AE,
∴ DF=12DG=12×8=4,
设 ⊙O 的半径为 r,则 OD=r,OF=r−2.
在 Rt△ODF 中,OF2+DF2=OD2,
∴ r−22+42=r2,解得 r=5,
∴ ⊙O 的半径为 5.
23. (1) ∵ 点 A,B 为抛物线与 x 轴的交点,A2,0,对称轴为直线 x=−1,
∴B−4,0.
(2) 由题意:4a+2b+c=0,16a−4b+c=0,−b2a=−1,
解得 b=2a,c=−8a,
∴ 抛物线的解析式为 y=ax2+2ax−8a,
∴Pm,am2+2am−8a 的对称点 Pʹ−m,−am2−2am+8a,
把 Pʹ−m,−am2−2am+8a 代入 y=ax2+2ax−8a 得到:−am2−2am+8a=am2−2am−8a,
解得 m=±22.
(3) ∵ 当 x≤0 时,y≥−6,
∴ 抛物线开口向上,
∵x=−1<0,
∴ 当 x=−1 时,y 取最小值 −6,
∴ 抛物线的顶点坐标 −1,−6,
把 −1,−6 代入 y=ax2+2ax−8a 得到:−6=a−2a−8a,
∴a=23,
∴ 抛物线的解析式为 y=23x2+43x−163.
24. (1) 由抛物线的顶点是 M1,4,
设解析式为 y=ax−12+4a<0,
又 ∵ 抛物线经过点 N2,3,
∴3=a2−12+4,解得 a=−1,
∴ 所求抛物线的解析式为 y=−x−12+4.
(2) 设直线 CM 的解析式是 y=kx+t,
∵C0,3,M1,4,
∴t=3,k+t=4, 即 k=1,t=3, 即:直线解析式 y=x+3.
求得 A−1,0,D−3,0,抛物线的对称轴是直线 x=1,
则 DE=ME=4,△DEM 是等腰直角三角形.
点 P 在对称轴上,满足 ∠DME=∠APE,则有 AE=EP=2,
故所求的 P 的坐标是:当点 P 在 x 轴上方时,P1,2;
当点 P 在 x 轴下方时,P1,−2.
(3) 存在,理由:
如图,连接 PʹB,QA,QN,
∵PʹA=PʹB,
∴∠APʹB=2∠APʹE=∠ANB,
经过三点 A,B,N 作一个圆,根据圆周角定理:∠APʹB=∠ANB,
设圆心为点 Q,
∴QA=QN.
设 Q1,m,过点 N 作对称轴的垂线,垂足为点 F,
在 Rt△QEA 中,QA2=QE2+AE2=m2+22,
在 Rt△QFN 中,QN2=QF2+FN2=3−m2+2−12,
由 QA=QN 可得:m2+22=3−m2+2−12,
解得:m=1,即此时 Q1,1.
而圆的半径 PʹQ=QA=12+22=5,则 Pʹ 的坐标是 1,1+5.
∵ 点 Pʹ 关于 x 轴的对称性点 P1ʹ1,−1−5,也满足 ∠AP1ʹB=∠APʹB=∠ANB,
则所求的 Pʹ 点为 1,1+5 或 1,−1−5.
25. (1) ∵PB 是 ⊙Q 的直径,
∴∠PDB=∠BEP=90∘,
∵DB∥PE,
∴∠DBE+∠PEB=180∘,
∴∠DBE=90∘,
∴∠DBE=∠PDB=∠PEB=90∘,
∴ 四边形 BDPE 是矩形.
(2) 如图 1:
∵DP=DP,
∴∠DBP=∠ACO,
∵∠BDP=∠AOC=90∘,
∴△BDP∽△COA,
∴S△BDPS△AOC=BPAC2,
连接 BC,
∵PB 是 ⊙Q 的直径,
∴∠PCB=90∘,
即:BC⊥PC,
∴C5,0,
在 Rt△AOC 中,∠AOC=90∘,OA=3,OC=5,
∴AC2=34,S△AOC=12×3×5=152,
∵B5,3,Px,0,
∴PB2=x−52+9,S△BDP=BP2AC2×S△AOC=x−52+934×152,
∵ 四边形 BDPE 是矩形,
∴S=2S△BDP=1534x−52+13534x>0,
∴ 当 x=5 时,S 有最小值 13534,无最大值.
(3) 如图 2,连接 CE,
∵BE=BE,
∴∠BCE=∠BPE,
∵DP=DP,
∴∠DBP=∠ACO,
∵∠BPE=∠DBP,
∴∠BCE=∠ACO,
∵∠ACO+∠ACB=90∘,
∴∠BCE+∠ACB=90∘,
∴CE⊥AC,
∴ 点 E 在垂直于 AC 的直线上运动,
当 0≤x≤5 时,点 E 的运动轨迹是从点 C 到点 F 的一段线段,
当 x=0 时,点 E 与点 C 重合,
当 x=5 时,点 E 到达 F 点,
∴ 点 E 的移动路程长为 CF 的长度,
∵∠BCE=∠ACO,∠AOC=∠BFC=90∘,
∴△BFC∽△AOC,
∴CFOC=BCAC,
∴CF5=334,
∴CF=153434.
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