升六年级数学奥数讲义-等积变换、切割、平移、旋转（教师版 学生版）

 学科培优 数学 

等积变换、切割、平移、旋转

知识定位

本讲是几何知识体系中的一个基石同时也是一个升华，等积变换试平面几何的基础，解决三角形问题几乎无处不在，切割、平移、旋转是解决个性问题的个性思想，在几何中举足轻重，能使复杂的问题巧妙化解。所以本讲是非常重要的一讲，也是竞赛常考的知识板块。

重点难点：

1. 等积变换中等地等高三角形的寻找。

2．化未知图形为已知图形。

3. 合理做辅助线

4. 平移、旋转、切割等知识的适用范围

主要考点：

1. 面积和边的比例关系

2. 利用平移、旋转解复杂问题

知识梳理

常见图形面积的解题方法

我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2

从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．

如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；

如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；

这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1/3，则三角形面积与原来的一样。这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．

在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：

1、等底等高的两个三角形面积相等．

2、若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．

若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．

3、夹在一组平行线之间的等积变形，如下图，和夹在一组平行线之间，且有公共底边那么；反之，如果，则可知直线平行于。

4、把未知图形转化为三角形、长方形、正方形来求解。

例题精讲

【试题来源】

【题目】三个正方形ABCD，BEFG，HKPF如图所示放置在一

起，图中正方形BEFG的周长等于14厘米。求图中

阴影部分的面积。

【试题来源】

【题目】在平行四边形ABCD中，AC为对角线，EF平行AC。如果三角形AED的面积为10平方厘米，求三角形CDF的面积。

【试题来源】

【题目】如图（1），ABCD是一长方形纸片，把它的左下角沿虚线EC折叠过去成图（2），AE恰好是AD的1/4，三角形CDE面积是27，三角形AHE面积是3，三角形BCG面积是16，问三角形DGH（阴影部分）的面积是多少？

【试题来源】

【题目】右图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10。中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，它们的宽都是2，求草地部分的面积（阴影部分）有多大？

【试题来源】

【题目】在正方形中，、、、分别是、、、边的中点(如图)，连接线段、、、，由这四条线段在正方形中围成的小正方形的面积占大正方形面积的____分之______。

【试题来源】

【题目】如下图，六边形中，，，，且有平行于，平行，平行，对角线垂直于，已知厘米，厘米，试求六边形的面积是多少平方厘米。

【试题来源】

【题目】如图，在直角三角形中有一个正方形，已知BD=10厘米， DC=7厘米，求阴影部分的面积为多少平方厘米？

【试题来源】

【题目】如图，正方形和有一个公共点，试比较三角形和三角形的面积。

【试题来源】

【题目】长方形的广告牌长为10米，宽为8米，A，B，C，D分别在四条边上，并且C比A低5米，D在B的左边2米，四边形ABCD的面积是        平方米。

【试题来源】

【题目】在七巧板中（如下图），所有三角形面积的和，是大正方形面积的多少倍？

【试题来源】

【题目】长方形的面积为36平方厘米，、、分别为边的中点，为边上的任一点。求图中阴影部分的面积是多少？

【试题来源】

【题目】如图所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是ABCD各边的中点，求阴影部分四边形PQRS的面积之比。

【试题来源】

【题目】正六边形A1A2A3A4A5A6的面积是2009平方厘米，B1,B2,B3,B4,B5,B6分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是　　　　平方厘米．

【试题来源】

【题目】如右图，一个面积为2009平方厘米的长方形，被分割成了一个长方形、两个等腰直角三角形、三个梯形．已知除了阴影长方形外，其它的五块面积都相等，且B是AC的中点；那么阴影长方形的面积是            平方厘米．

【试题来源】

【题目】如图，在四边形ABCD中， ，，， 厘米，求四边形ABCD的面积。

【试题来源】

【题目】如下图所示，梯形ABCD中，AB平行与CD，又BD＝3，AC＝4，AB+CD＝5，试求梯形ABCD的面积．

【试题来源】

【题目】已知正方形的边长为10，EC=3，BF=2，则=         。

【试题来源】

【题目】如图，已知， ，，  ，则________。

【试题来源】

【题目】如图所示，一阴影四边形，其外侧的四边形是边长为10厘米的正方形，求阴影四边形的面积。

【试题来源】

【题目】如下图，三角形ABC中AB＝AC，∠BAC＝120°，三角形ADE为正三角形，点D在BC边上．并且有BD：DC＝2：3．三角形ABC的面积为50平方厘米，试求三角形ADE的面积？

习题演练

【试题来源】

【题目】如图，已知三角形面积为1，延长至，使；延长至，使；延长至，使，求三角形的面积．

【试题来源】

【题目】如右图，长方形ABCD中被嵌入了6个相同的正方形．已知AB=22厘米，BC=20厘米，那么每一个正方形的面积为              平方厘米．

【试题来源】

【题目】 一张边长为20厘米的正方形纸片，从顶点起5厘米处，沿45度角下剪(如右图)，中间形成一个小正方形。小正方形的面积是多少平方厘米?

【试题来源】

【题目】如图在直角三角形ABC中，内接一个最大的正方形，BF=27厘米，FC=52厘米。图中两个阴影三角形面积的和是多少厘米。

【试题来源】

【题目】 若E、F、G、H分别是四边的三等分点(如图)，那么所得的小正方形的面积占大正方形面积的______分之______。

【试题来源】

【题目】 如图，如果长方形的面积是56平方厘米，那么四边形的面积是多少平方厘米？3

【试题来源】

【题目】四边形ABCD中，AB＝30，AD＝48，BC＝14，CD＝40．又已知∠ABD+∠BDC＝90°，求四边形ABCD的面积．