2018-2019学年广东省广州市白云区九年级上期末数学试卷

这是一份2018-2019学年广东省广州市白云区九年级上期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 抛物线 y=−x2 开口方向是
A. 向上B. 向下C. 向左D. 向右

2. 下列旋转中，旋转中心为点 A 的是
A. B.
C. D.

3. 二次函数 y=3x2+2x 的图象的对称轴为
A. x=−2B. x=−3C. x=−12D. x=−13

4. 下列事件中，是必然事件的是
A. 掷一次骰子，向上一面的点数是 6
B. 任意画个三角形，其内角和为 180∘
C. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
D. 一元二次方程一定有两个实数根

5. 一元二次方程 ax2+bx+c=0，若有两根 1 和 −1，那么 a+b+c=
A. −1B. 0C. 1D. 2

6. 在抛物线 y=x2−4x−4 上的一个点是
A. 4,4B. 3,−1C. −2,−8D. −12,−74

7. 把抛物线 y=−12x2 得到抛物线 y=−12x+12−1．
A. 向左平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度
B. 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度
C. 向右平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度
D. 向右平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度

8. AB，CD 为 ⊙O 的两条不重合的直径，则四边形 ACBD 一定是
A. 等腰梯形B. 矩形C. 菱形D. 正方形

9. 用配方法解下列方程时，配方有错误的是
A. x2+8x+9=0 化为 x+42=25
B. x2−2x−99=0 化为 x−12=100
C. 2t2−7t−4=0 化为 t−742=8116
D. 3x2−4x−2=0 化为 x−232=109

10. 在同一平面直角坐标系中，函数 y=kx 与 y=kxk≠0 的图象大致是
A. （1）（3）B. （1）（4）C. （2）（3）D. （2）（4）

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 反比例函数 y=5x 的图象在第 象限．

12. ⊙O 的半径为 10 cm，点 P 到圆心 O 的距离为 12 cm，则点 P 和 ⊙O 的位置关系是 ．

13. 当 m 满足条件 时，关于 x 的方程 m2−4x2+mx+3=0 是一元二次方程．

14. 已知函数 y=2x−32+1，当 （填写 x 需满足的条件）时，y 随 x 的增大而增大．

15. 不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，则第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为 ．

16. 某设计运动员在相同的条件下的射击成绩记录如下：
设计次数20401002004001000射中 9 环以上次数153378158321801
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中 9 环以上”的概率是 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解下列方程：x2+x3x−4=0．

18. 画出 △AOB 关于点 O 对称的图形．

19. 请你用树状图分析以下问题：
某校亲子运动会中，小美一家三口参加“三人四足”比赛，需要小美、爸爸和妈妈排成横排，求小美排在妈妈右侧身旁的概率．

20. 如图，在平面直角坐标系中，点 A3,1，B2,0，O0,0，反比例函数 y=kx 的图象经过点 A．
（1）求 k 的值；
（2）将 △AOB 绕点 O 逆时针旋转 60∘，得到 △COD，其中点 A 与点 C 对应，试判断点 D 是否在该反比例函数的图象上?

21. ⊙O 的直径为 10 cm，AB，CD 是 ⊙O 的两条弦，AB∥CD，AB=8 cm，CD=6 cm，求 AB 和 CD 之间的距离．

22. 关于 x 的一元二次方程 x2−k+3x+2k+2=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于 1，求 k 的取值范围．

23. 如图，有一块矩形铁皮（厚度不计），长 10 分米，宽 8 分米，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．
（1）若无盖方盒的底面积为 48 平方分米，那么铁皮各角应切去边长是多少分米的正方形?
（2）若要求制作的无盖方盒的底面长不大于底面宽的 3 倍，并将无盖方盒内部进行防锈处理，侧面每平方分米的防锈处理费用为 0.5 元，底面每平方分米的防锈处理费用为 2 元，问铁皮各角切去边长是多少分米的正方形时，总费用最低?最低费用为多少元?

24. 已知如图 1，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，以 AC 为直径的 ⊙O 交 AB 于 D，过点 D 作 ⊙O 的切线交 BC 于点 E．
（1）求证：∠B=∠ACD，DE=12BC；
（2）已知如图 2，BG 是 △BDE 的中线，延长 ED 至点 F，使 ED=FD，求证：BF=2BG．

25. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90∘，A1,0，B0,2，二次函数 y=12x2+bx−2 的图象经过 C 点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）平移该二次函数图象的对称轴所在直线 l，若直线 l 恰好将 △ABC 的面积分为 1:2 两部分，请求出此时直线 l 与 x 轴的交点坐标；
（3）将 △ABC 以 AC 所在直线为对称轴翻折 180∘，得到 △ABʹC，那么在二次函数图象上是否存在点 P，使 △PBʹC 是以 BʹC 为直角边的直角三角形?若存在，请求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. B【解析】∵a=−1<0，
∴ 抛物线的开口向下．
2. A【解析】A、旋转中心为点 A，符合题意；
B、旋转中心为点 B，不符合题意；
C、旋转中心为 C，不符合题意；
D、旋转中心为 O，不符合题意．
3. D【解析】y=3x2+2x 的对称轴为：直线 x=−22×3=−13．
4. B【解析】A．掷一次骰子，向上一面的点数是 6，属于随机事件；
B．任意画个三角形，其内角和为 180∘，属于必然事件；
C．篮球队员在罚球线上投篮一次未投中，属于随机事件；
D．一元二次方程一定有两个实数根，属于随机事件．
故选：B．
5. B
【解析】把 x=1 代入一元二次方程 ax2+bx+c=0 得：a+b+c=0．
6. D【解析】A、 x=4 时，y=x2−4x−4=−4≠4，点 4,4 不在抛物线上；
B、 x=3 时，y=x2−4x−4=−7≠−1，点 3,−1 不在抛物线上；
C、 x=−2 时，y=x2−4x−4=8≠−8，点 −2,−8 不在抛物线上；
D、 x=−12 时，y=x2−4x−4=−74，点 −12,−74 在抛物线上．
7. B【解析】抛物线 y=−12x2 的顶点坐标为 0,0，抛物线 y=−12x+12−1 的顶点坐标为 −1,−1，
∵ 点 0,0 向左平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位得到点 −1,−1，
∴ 把抛物线 y=−12x2 向左平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位得到抛物线 y=−12x+12−1．
8. B【解析】连接 AC，BC，BD，AD．
∵AB，CD 为圆 O 的直径，
∴OA=OB，OC=OD，
∴ 四边形 ACBD 为平行四边形，
∵AB=CD，
∴ 四边形 ACBD 是矩形．
9. A【解析】A、 x2+8x+9=0 化为 x+42=7，所以A选项的配方错误；
B、 x2−2x−99=0 化为 x−12=100，所以B选项的配方正确；
C、 2t2−7t−4=0 先化为 t2−72t=2，再化为 t−742=8116，所以C选项的配方正确；
D、 3x2−4x−2=0 先化为 x2−43x=23，再化为 x−232=109，所以D选项的配方正确．
10. B
【解析】当 k>0 时，函数 y=kx 的图象位于一、三象限，y=kxk≠0 的图象位于一、三象限，（1）符合；
当 k<0 时，函数 y=kx 的图象位于二、四象限，y=kxk≠0 的图象位于二、四象限，（4）符合．
第二部分
11. 一、三
【解析】∵k=5>0，
∴ 反比例函数图象分布在第一、三象限．
12. 点 P 在 ⊙O 外
【解析】∵⊙O 的半径 r=10 cm，点 P 到圆心 O 的距离 OP=12 cm，
∴OP>r，
∴ 点 P 在 ⊙O 外．
13. m≠±2
【解析】∵ 关于 x 的方程 m2−4x2+mx+3=0 是一元二次方程，
∴m2−4≠0，即 m≠±2．
14. x≥3（或 x>3）
【解析】∵ 函数 y=2x−32+1，2>0，
∴ 图象开口向上，对称轴为直线 x=3，
∴x≥3（或 x>3）时，y 随 x 的增大而增大．
15. 14
【解析】列表如下：
红绿红红,红绿,红绿红,绿绿,绿
所有等可能的情况有 4 种，
所以第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率 =14．
16. 0.8
【解析】15÷20=0.75，
33÷40=0.825，
78÷100=0.78，
158÷200=0.79，
321÷400=0.8025，
801÷1000=0.801，
∴ 估计这名运动员射击一次“射中 9 环以上”的概率是 0.80．
第三部分
17.
∵x2+x3x−4=0,∴x2+3x2−4x=0.4x2−4x=0.∴4xx−1=0.
则
4x=0 或 x−1=0.
解得
x1=0,x2=1.
18. 如图所示：△A′B′O 即为所求．
19. 记小美、爸爸和妈妈分别为 A，B，C，
则三人排成一排有如下 6 种等可能结果：
ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA，
其中小美排在妈妈右侧身旁的有 ACB 和 BAC 两种情况，
所以小美排在妈妈右侧身旁的概率为 26=13．
20. （1） ∵ 函数 y=kx 的图象过点 A3,1，
∴k=xy=3×1=3．
（2） ∵B2,0，
∴OB=2，
∵△AOB 绕点 O 逆时针旋转 60∘ 得到 △COD，
∴OD=OB=2，∠BOD=60∘，
如图，过点 D 作 DE⊥x 轴于点 E，
DE=OD⋅sin60∘=2×32=3，
OE=OD⋅cs60∘=2×12=1，
∴D1,3，
由（1）可知 y=3x，
∴ 当 x=1 时，y=31=3，
∴D1,3 在反比例函数 y=3x 的图象上．
21. 分两种情况考虑：
当两条弦位于圆心 O 一侧时，如图 1 所示，
过 O 作 OE⊥CD，交 CD 于点 E，交 AB 于点 F，连接 OC，OA，
∵AB∥CD，
∴ OE⊥AB，
∴ E，F 分别为 CD，AB 的中点，
∴ CE=DE=12CD=3 cm，AF=BF=12AB=4 cm，
在 Rt△AOF 中，OA=5 cm，AF=4 cm，
根据勾股定理得：OF=3 cm，
在 Rt△COE 中，OC=5 cm，CE=3 cm，
根据勾股定理得：OE=4 cm，
则 EF=OE−OF=4 cm−3 cm=1 cm；
当两条弦位于圆心 O 两侧时，如图 2 所示，
同理可得 EF=4 cm+3 cm=7 cm，
综上，弦 AB 与 CD 的距离为 7 cm 或 1 cm．
22. （1） ∵ 在方程 x2−k+3x+2k+2=0 中，Δ=−k+32−4×1×2k+2=k2−2k+1=k−12≥0，
∴ 方程总有两个实数根．
（2） ∵x2−k+3x+2k+2=x−2x−k−1=0，
∴x1=2，x2=k+1．
∵ 方程有一根小于 1，
∴k+1<1，解得 k<0，
∴k 的取值范围为 k<0．
23. （1） 设铁皮各角应切去边长是 x 分米的正方形，
则无盖方盒的底面是长为 10−2x 分米、宽为 8−2x 分米的矩形，
由题意得：
10−2x8−2x=48.
整理得：
x2−9x+8=0.
解得：
x1=1,x2=8.∵8−2x>0
，
∴x<4，
∴x=1．
答：铁皮各角应切去边长是 1 分米的正方形．
（2） 设铁皮各角切去边长是 m 分米的正方形，防锈处理所需总费用为 w 元，
∵ 制作的无盖方盒的底面长不大于底面宽的 3 倍，
∴10−2m≤38−2m，解得：m≤72．
根据题意得：
w=0.5×2×m10−2m+m8−2m+210−2m8−2m=4m2−54m+160,
∴a=4，b=−54，
∴ 当 0 ∴ 当 m=72 时，w 取得最小值，最小值为 20．
答：当铁皮各角切去边长是 72 分米的正方形时，总费用最低，最低费用为 20 元．
24. （1） ∵∠ACB=90，
∴∠ACD+∠BCD=90∘，
∵AC 为 ⊙O 的直径，
∴∠ADC=∠BDC=90∘，
∴∠B+∠BDC=90∘，
∴∠B=∠ACD，
连接 OD，如图 1，
∵DE 为 ⊙O 的切线，
∴∠ODE=∠ODC+∠CDE=90∘，
∵∠CDE+∠BDE=90∘，
∵OC=OD，
∴∠ACD=∠ODC，
∴∠ODC=∠BDE=∠B，
∴DE=BE，同理可得 DE=CE，
∴CE=BE，Rt△CDB 中，DE=12BC．
（2） 如图 2，由（1）知：BE=DE，
∵ED=FD，
∴BE=12EF，
∵BG 是 △BDE 的中线，
∴EG=DG=12DE，
∴EGBE=BEEF=12，
∵∠BEG=∠BEF，
∴△BEG∽△FEB，
∴BGBF=EGBE=12，
∴BF=2BG．
25. （1） 过点 C 作 KC⊥x 轴交于点 K，
∵∠BAO+∠CAK=90∘，∠BAO+∠CAK=90∘，
∴∠CAK=∠OBA，
又 ∠AOB=∠AKC=90∘，AB=AC，
∴△ABO≌△CAKAAS，
∴OB=AK=2，AO=CK=1，故点 C 的坐标为 3,1，
将点 C 的坐标代入二次函数表达式得 1=12×9+3b−2，解得 b=−12，
故二次函数表达式为：y=12x2−12x−2. ⋯⋯①
（2） 设若直线 l 与直线 BC，AC 分别交于点 M，N，
把点 B，C 的坐标代入一次函数表达式 y=kx+2，得 1=3k+2，
解得 k=−13，即直线 BC 的表达式为 y=−13x+2，
同理可得直线 AC 的表达式为 y=12x−12，
直线 AB 的表达式为 y=−2x+2，
设点 M 的坐标为 x,−13x+2 、点 N 坐标为 x,12x−12，
直线 l 恰好将 △ABC 的面积分为 1:2 两部分，
设 S△CMN=13S△ACB 或 S△CMN=23S△ACB，
即 12×3−x−13x+2−12x+12=12×5×5×13 或 12×3−x−13x+2−12x+12=12×5×5×23，
解得 x=3−2 或 1（不合题意的值已舍去），
即直线 l 与 x 轴的交点坐标为 1,0 或 3−2,0．
（3） 将 △ABC 以 AC 所在直线为对称轴翻折 180∘，点 Bʹ 的坐标为 2,−2，
①当 ∠PCBʹ=90∘ 时，
∵∠BCBʹ=90∘，故点 P 为直线 BC 与抛物线的另外一个交点，
直线 BC 的方程为 y=−13x+2, ⋯⋯②
联立 ①② 解得 x=3 或 −83，故点 P 的坐标为 −83,269；
②当 ∠CPBʹ=90∘ 时，同理可得点 P 的坐标为 −1,−1 或 43,−169．
故点 P 的坐标为 −83,269 或 −1,−1 或 43,−169．