2018-2019学年广东省广州市番禺区九上期末数学试卷

这是一份2018-2019学年广东省广州市番禺区九上期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 一元二次方程是 x2+x=0 的根的是
A. x1=0，x2=1B. x1=1，x2=−1C. x1=0，x2=−1D. x1=x2=−1

2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 在 ⊙O 中，弦 AB 的长为 23 cm，圆心 O 到 AB 的距离为 1 cm，则 ⊙O 的半径是
A. 2B. 3C. 3D. 2

4. 已知关于 x 的一元二次方程 ax2−2x−1=0 有两个不相等的实数根，则二次项系数 a 的取值范围是
A. a>1B. a>−2
C. a>1 且 a≠0D. a>−1 且 a≠0

5. 如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A6,6，B8,2，以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 12 后得到线段 CD，则端点 C 的坐标为
A. 3,3B. 4,3C. 3,1D. 4,1

6. 某公司 2018 年 10 月份的生产成本是 400 万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，12 月份的生产成本是 361 万元．若该公司这两月每个月生产成本的下降率都相同，则每个月生产成本的下降率是
A. 12%B. 9%C. 6%D. 5%

7. 一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，随机摸出一个小球，然后放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号的和为 5 的概率是
A. 16B. 29C. 13D. 12

8. 如图，⊙O 是 △ABC 的外接圆，∠OCB=40∘，则 ∠A 的度数等于
A. 60∘B. 50∘C. 40∘D. 30∘

9. 如图，在等边 △ABC 中，AB=6，点 D 是 BC 的中点，将 △ABD 绕点 A 逆时针旋转后得到 △ACE，那么线段 DE 的长为
A. 23B. 6C. 33D. 42

10. 如图，抛物线 y=−x2+4x+k 与 x 轴交于点 A 和 B，线段 AB 的长为 2，则 k 的值是
A. 3B. −3C. −4D. −5

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 方程 x−52=4 的解为 ．

12. 点 2,3 关于原点对称的点的坐标是 ．

13. 用配方法将 x2−8x−1=0 变形为 x−42=m，则 m= ．

14. 将抛物线 y=x−12 向右平移 1 个单位所得到抛物线的解析式是 ．

15. 如图，要使 △ABC 与 △DBA 相似，则只需添加一个适当的条件是 （填一个即可）．

16. 如图，在 △ABC 中，∠ABC=90∘，AB=6，BC=8，∠BAC，∠ACB 的平分线相交于点 E，过点 E 作 EF∥BC 交 AC 于点 F，则 EF 的长为 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解答下列问题．
（1）解方程：xx−2+x−2=0；
（2）用配方法解方程：x2−10x+22=0．

18. 如图，平面直角坐标系中，A，B，C 坐标分别是 −2,−4，0,−4，1,−1．将 △ABC 绕点 O 逆时针方向旋转 90∘ 后得到 △AʹBʹCʹ．
（1）画出 △AʹBʹCʹ，并写出 Aʹ，Bʹ，Cʹ 的坐标；
（2）画出 △ABC 关于原点 O 对称的 △A1B1C1；
（3）以 O 为圆心，OA 为半径画圆，求扇形 OAʹA1 的面积．

19. 画出函数 y=12x−62+3 的图象，写出它的开口方向，对称轴和顶点，并说明当 y 随 x 的增大而增大时，x 的取值范围．

20. 如图，D，E 分别是 ⊙O 两条半径 OA，OB 的中点，AC=CB．
（1）求证：CD=CE．
（2）若 ∠AOB=120∘，OA=x，四边形 ODCE 的面积为 y，求 y 与 x 的函数关系式．

21. 有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有 3 个完全相同的小球，分别标有数字 0，1，2，乙袋中装有 3 个完全相同的小球，分别标有数字 −1，−2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为 x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为 y，确定点 M 坐标为 x,y．
（1）用树状图或列表法列举点 M 所有可能的坐标；
（2）求点 Mx,y 在函数 y=−x+1 的图象上的概率；
（3）在平面直角坐标系 xOy 中，⊙O 的半径是 2，求过点 Mx,y 能作 ⊙O 的切线的概率．

22. 如图，一块材料的形状是锐角三角形 ABC，边 BC=120 mm，高 AD=80 mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB，AC 上，设 EG=x mm，EF=y mm．
（1）写出 x 与 y 的关系式；
（2）用 S 表示矩形 EGHF 的面积，某同学说当矩形 EGHF 为正方形时 S 最大，这个说法正确吗?说明理由，并求出 S 的最大值．

23. 如图 1，⊙O 的半径 r=253，弦 AB，CD 交于点 E，C 为弧 AB 的中点，过 D 点的直线交 AB 延长线于点 F，且 DF=EF．
（1）试判断 DF 与 ⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）如图 2，连接 AC，若 AC∥DF，BE=35AE，求 CE 的长．

24. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交边 AB 与点 D，以 A 为圆心，AD 长为半径画弧，交边 AC 于点 E，连接 CD．
（1）若 ∠A=28∘，求 ∠ACD 的度数；
（2）设 BC=a，AC=b．
①线段 AD 的长是方程 x2+2ax−b2=0 的一个根吗?为什么?
②若 AD=EC，求 ab 的值．

25. 如图，已知，抛物线 y=ax2−2x 过点 A−2,5，过 A 点作 x 轴的平行线，交抛物线与另一点 C，交 y 轴与点 Q，点 Dm,5 为线段 QC 上一动点（不与 Q，C 重合），作点 Q 关于直线 OD 的对称点 P，连接 PC，PD．
（1）当点 P 落在抛物线的对称轴上时，求 △OPD 的面积；
（2）若直线 PD 交 x 轴与点 E．试探究四边形 OECD 能否为平行四边形?若能，求出 m 的值，若不能，请说明理由．
（3）设点 Ph,k．
①求 PC 取最小值时 k 的值；
②当 0答案
第一部分
1. C【解析】因为 x2+x=0，
所以 xx+1=0，
则 x=0 或 x+1=0，
解得：x1=0，x2=−1，
故选：C．
2. B【解析】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
3. A【解析】过点 O 作 OD⊥AB 于点 D，连接 OA，
∵ AB=23 cm，OD⊥AB，
∴ AD=12AB=12×23=3 cm，
在 Rt△AOD 中，OA=AD2+OD2=2cm．
4. D【解析】∵ 一元二次方程 ax2−2x−1=0 有两个不相等的实数根，
∴Δ=−22−4×a×−1>0，且 a≠0，解得：a>−1 且 a≠0．
5. A
【解析】∵ 线段 AB 的两个端点坐标分别为 A6,6，B8,2，以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 12 后得到线段 CD，
∴ 端点 C 的横坐标和纵坐标都变为 A 点的一半，
∴ 端点 C 的坐标为：3,3．
6. D【解析】设每个月生产成本的下降率为 x，
根据题意得：4001−x2=361，
解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（舍去）．
7. B【解析】根据题意，画树状图如下：
共有 9 种等可能结果，其中两次摸出的小球标号的和为 5 的有 2 种，
∴ 两次摸出的小球标号的和为 5 的概率是 29．
8. B【解析】在 △OCB 中，OB=OC（⊙O 的半径），
∴∠OBC=∠0CB（等边对等角）；
∵∠OCB=40∘，∠C0B=180∘−∠OBC−∠0CB，
∴∠COB=100∘；
又 ∵∠A=12∠C0B（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴∠A=50∘．
9. C【解析】∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=BC=AC=6，∠BAC=60∘，
∵BD=DC=3，
∴AD⊥BC，
∴AD=62−32=33，
∵△ABD 绕点 A 逆时针旋转后得到 △ACE，
∴∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴∠DAE=∠BAC=60∘，
∴△ADE 是等边三角形，
∴DE=AD=33，
故选：C．
10. B
【解析】∵ 抛物线的对称轴为直线 =−42×−1=2，而 AB=2，
∴A1,0，B3,0，
把 A1,0 代入 y=−x2+4x+k 得 −1+4+k=0，解得 k=−3．
第二部分
11. x1=7，x2=3
【解析】x−52=4，
开方得：x−5=±2，
解得：x1=7，x2=3．
12. −2,−3
【解析】根据平面内关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，
故点 2,3 关于原点对称的点的坐标是 −2,−3，
故答案为：−2,−3．
13. 17
【解析】x2−8x−1=0，
移项得：x2−8x=1，
配方得：x2−8x+16=17，即 x−42=17．
所以 m=17．
14. y=x−22
【解析】将抛物线 y=x−12 向右平移 1 个单位所得到抛物线的解析式是：y=x−1−12，即 y=x−22．
故答案是：y=x−22．
15. ∠C=∠BAD
16. 103
【解析】过 E 作 EG∥AB，交 AC 于 G，则 ∠BAE=∠AEG，
∵AE 平分 ∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∴∠CAE=∠AEG，
∴AG=EG，
同理可得，EF=CF，
∵AB∥GE，BC∥EF，
∴∠BAC=∠EGF，∠BCA=∠EFG，
∴△ABC∽△GEF，
∵∠ABC=90∘，AB=6，BC=8，
∴AC=10，
∴EG:EF:GF=AB:BC:AC=3:4:5，
设 EG=3k=AG，则 EF=4k=CF，FG=5k，
∵AC=10，
∴3k+5k+4k=10，
∴k=56，
∴EF=4k=103．
故答案为：103．
第三部分
17. （1）
∵xx−2+x−2=0.∴x−2x+1=0.
则
x−2=0 或 x+1=0.
解得：
x1=2,x2=−1.
（2）
∵x2−10x+22=0.∴x2−10x+25−3=0.
则
x2−10x+25=3.
即
x−52=3.∴x−5=±3.∴x=5±3.
即
x1=5+3,x2=5−3.
18. （1） 如图所示，△AʹBʹCʹ 即为所求，Aʹ4,−2，Bʹ4,0，Cʹ1,1．
（2） 如图所示，△A1B1C1 即为所求；
（3） 由勾股定理，可得 AʹO2=20，
∴ 扇形 OAʹA1 的面积 =90×π×20360=5π．
19. 函数 y=12x−62+3 的图象如图所示：
抛物线的开口向上，对称轴为直线 x=6，顶点坐标为 6,3，
当 x>6 时，y 随 x 的增大而增大．
20. （1） 证明：连接 OC，
因为 AC=CB，
所以 ∠COA=∠COB，
因为 D，E 分别是 ⊙O 两条半径 OA，OB 的中点，
所以 OD=OE，
在 △COD 和 △COE 中，
OD=OE,∠COD=∠COE,OC=OC,
所以 △COD≌△COESAS
所以 CD=CE；
（2） 连接 AC，
因为 ∠AOB=120∘，
所以 ∠AOC=60∘，又 OA=OC，
所以 △AOC 为等边三角形，
因为点 D 是 OA 的中点，
所以 CD⊥OA，OD=12OA=12x，
在 Rt△COD 中，CD=OD⋅tan∠COD=32x，
所以四边形 ODCE 的面积为 y=12×OD×CD×2=34x2．
21. （1） 画树状图：
共有 9 种等可能的结果数，它们是：0,−1，0,−2，0,0，1,−1，1,−2，1,0，2,−1，2,−2，2,0；
（2） 在直线 y=−x+1 的图象上的点有：1,0，2,−1，
所以点 Mx,y 在函数 y=−x+1 的图象上的概率 =29；
（3） 在 ⊙O 上的点有 0,−2，2,0，在 ⊙O 外的点有 1,−2，2,−1，2,−2，
所以过点 Mx,y 能作 ⊙O 的切线的点有 5 个，
所以过点 Mx,y 能作 ⊙O 的切线的概率 =59．
22. （1） 易得四边形 EGDK 为矩形，则 KD=EG=x，
∴AK=AD−DK=80−x，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴EFBC=AKAD，即 y120=80−x80，
∴y=−32x+1200 （2） 这个同学的说法错误．理由如下：
S=xy=−32x2+120x=−32x−402+2400，
当 x=40 时，S 有最大值 2400，
此时 y=−32×40+120=60，
即矩形 EGHF 的长为 60 mm，宽为 40 mm 时，矩形 EGHF 的面积最大，最大值为 2400 mm2，此时矩形不为正方形，
所以这个同学的说法错误．
23. （1） 如图 1，连接 OC，OD；C 为弧 AB 的中点，
因为 C 为弧 AB 的中点，
所以 OC⊥AB，∠OCE+∠AEC=90∘；
所以 DF=EF，
所以 ∠FDE=∠FED=∠AEC；
因为 OA=OC，
所以 ∠OCE=∠ODC，
所以 ∠ODC+∠CDF=90∘，
即 OD⊥DF，
所以 DF 与 ⊙O 相切．
（2） 如图 2，连接 OA，OC；
由（1）知 OC⊥AB，
所以 AH=BH；
因为 AC∥DF，
所以 ∠ACD=∠CDF；而 EF=DF，
所以 ∠DEF=∠CDF=∠ACD，
所以 AC=AE；
设 AE=5λ，则 BE=3λ，
所以 AH=4λ，HE=λ，AC=AE=5λ；
由勾股定理得：CH=3λ；CE2=CH2+HE2=9λ2+λ2，
所以 CE=10λ；
在直角 △AOH 中，由勾股定理得：
AO2=AH2+OH2，
即 r2=r−3λ2+4λ2，
解得：λ=625r=625×253=2，
所以 CE=210．
24. （1） ∵∠ACB=90∘，∠A=28∘，
∴∠B=62∘，
∵BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC=59∘，
∴∠ACD=90∘−∠BCD=31∘．
（2） ①由勾股定理得，AB=AC2+BC2=a2+b2，
∴AD=a2+b2−a，
解方程 x2+2ax−b2=0 得，x=−2a±4a2+4b22=±a2+b2−a，
∴ 线段 AD 的长是方程 x2+2ax−b2=0 的一个根；
② ∵AD=AE，
∴AE=EC=b2，
由勾股定理得，a2+b2=12b+a2，
整理得，ab=34．
25. （1） 把点 A−2,5 代入抛物线 y=ax2−2x，得 5=4a+4，
∴a=14，
∴y=14x2−2x，
∴ 对称轴为 x=4，C10,5，
当点 P 落在抛物线的对称轴上时，如图 1，记作 Pʹ，
∴OM=4，OPʹ=OQ=5，DPʹ=DQ=m，
∴PʹM=3，PʹN=5−3=2，
在 Rt△DPN 中，m2=22+4−m2，解得 m=52，
∴△OPʹD的面积=△OQD的面积=12×5×52=254．
（2） ∵AC∥OE，
∴ 当 DC=OE 时，四边形 OECD 为平行四边形，
∵∠DOE=∠ODQ=∠ODP，
∴DE=OE=CD=10−m，
∴E10−m,0，
∵Dm,5，
∴ED2=10−2m2+52=10−m2，解得 m=53 或 m=5．
∴m 的值 53 或 5．
（3） ① ∵OP=OQ=5，OC=55，
∴ 当 O，P，C 在一条直线上时，PC 最小，如图 2，此时，点 P 记作 Pʺ，
此时 PC=PʺC=55−5，
由 △DPC"∼△EPO，
得 k5−k=555−5，
解得 k=5．
②如图 3，连接 QP，作 PH⊥QC 于 H，
则 QP⊥OD，
∴∠HQP=90∘−∠OQP=∠QOD，
∵OQ=5，QD，
∴OD 边上的高为 5mm2+25，
∴QP=10mm2+25，
∴cs∠HQP=cs∠QOD，即 h10mm2+25=5m2+25，
∴h 与 m 之间的关系为 h=50mm2+25．