2020年广东省深圳市龙岗区中考一模数学试卷

这是一份2020年广东省深圳市龙岗区中考一模数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 下列各数中，是无理数的是
A. 6B. 4C. 227D. 3.1415

2. 以下给出的几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的是
A. B.
C. D.

3. 流感病毒的半径大约为 0.00000045 米，它的直径用科学记数法表示为
A. 0.9×10−7B. 9×10−6C. 9×10−7D. 9×10−8

4. 改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

5. 下列计算正确的是
A. a2⋅a3=a6B. 2a2−a=aC. a6÷a3=a2D. a23=a6

6. 不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其余差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为
A. 14B. 13C. 12D. 23

7. 如图，DE∥BC，BE 平分 ∠ABC，若 ∠1=70∘，则 ∠CBE 的度数为
A. 20∘B. 35∘C. 55∘D. 70∘

8. 若关于 x 的一元二次方程 kx2−x−34=0 有实数根，则实数 k 的取值范围是
A. k=0B. k≥−13
C. k≥−13 且 k≠0D. k>−13

9. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，∠A=30∘，以点 B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 BA，BC 于点 M，N；再分别以点 M，N 为圆心，大于 12MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 BP 交 AC 于点 D．则下列说法中不正确的是
A. BP 是 ∠ABC 的平分线B. AD=BD
C. S△CBD:S△ABD=1:3D. CD=12BD

10. 下列命题是假命题的是
A. 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等
B. 如果等腰三角形的两边长分别是 5 和 6，那么这个等腰三角形的周长为 16
C. 将一次函数 y=3x−1 的图象向上平移 3 个单位，所得直线不经过第四象限
D. 若关于 x 的一元一次不等式组 x−m≤0,2x+1>3 无解，则 m 的取值范围是 m≤1

11. 如图，一艘船由 A 港沿北偏东 65∘ 方向航行 302 km 至 B 港，然后再沿北偏西 40∘ 方向航行至 C 港， C 港在 A 港北偏东 20∘ 方向，则 A ， C 两港之间的距离为 ( ) km ．
A. 30+303B. 30+103C. 10+303D. 303

12. 如图，正方形 ABCD 中，F 为 AB 上一点，E 是 BC 延长线上一点，且 AF=EC，连接 EF，DE，DF，M 是 FE 中点，连接 MC，设 FE 与 DC 相交于点 N．则 4 个结论：① DN=DG；② △BFG∽△EDG∽△BDE；③ CM 垂直 BD；④若 MC=2，则 BF=2；正确的结论有 个．
A. 4B. 3C. 2D. 1

二、填空题（共4小题；共20分）
13. 分解因式：a3+ab2−2a2b= ．

14. 若一组数据 4，a，7，8，3 的平均数是 5，则这组数据的中位数是 ．

15. 如图，在 △ABC 中，∠BAC 的平分线 AD 和边 BC 的垂直平分线 ED 相交于点 D，过点 D 作 DF 垂直于 AC 交 AC 的延长线于点 F，若 AB=8，AC=4，则 CF 的长为 ．

16. 如图所示，△ABC 为等边三角形，点 A 的坐标为 0,4，点 B 在 x 轴上，点 C 在反比例函数 y=153x 的图象上，则点 B 的坐标为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 计算：2sin60∘+3−2+−1−3−3−8．

18. 先化简，再求值：a−ba÷a−2ab−b2a，其中 a=2，b=2−3．

19. “勤劳”是中华民族的传统美德，学校要求同学们在家里帮助父母做一些力所能及的家务．在本学期开学初，小颖同学随机调查了部分同学寒假在家做家务的总时间，设被调查的每位同学寒假在家做家务的总时间为 x 小时，将做家务的总时间分为五个类别：A 0≤x<10，B 10≤x<20，C 20≤x<30，D 30≤x<40，E x≥40．并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；
（2）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；
（3）扇形统计图中 m 的值是 ，类别D所对应的扇形圆心角的度数是 度；
（4）若该校有 800 名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校有多少名学生寒假在家做家务的总时间不低于 20 小时．

20. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，AE⊥BC 交 CB 延长线于 E，CF∥AE 交 AD 延长线于点 F．
（1）求证：四边形 AECF 为矩形；
（2）连接 OE，若 AE=4，AD=5，求 tan∠OEC 的值．

21. 随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为 8 万元，今年该型自行车每辆售价预计比去年降低 200 元，若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少 10%．求：
（1）A型自行车去年每辆售价多少元?
（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共 60 辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为 1500 元和 1800 元，计划B型车销售价格为 2400 元．应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多?

22. 如图 1 所示，以点 M−1,0 为圆心的圆与 y 轴、 x 轴分别交于点 A ， B ， C ， D ，与 ⊙M 相切于点 H 的直线 EF 交 x 轴于点 E−5,0 ，交 y 轴于点 F0,−533 ．
（1）求 ⊙M 的半径 r ；
（2）如图 2 所示，连接 CH ，弦 HQ 交 x 轴于点 P ，若 cs∠QHC=34 ，求 PHPD 的值；
（3）如图 3 所示，点 P 为 ⊙M 上的一个动点，连接 PE ， PF ，求 PF+12PE 的最小值．

23. 如图 1，抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 的顶点为 C1,4，交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 D，其中点 B 的坐标为 3,0．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图 2，点 E 是 BD 上方抛物线上的一点，连接 AE 交 DB 于点 F，若 AF=2EF，求出点 E 的坐标；
（3）如图 3，点 M 的坐标为 32,0，点 P 是对称轴左侧抛物线上的一点，连接 MP，将 MP 沿 MD 折叠，若点 P 恰好落在抛物线的对称轴 CE 上，请求出点 P 的横坐标．
答案
第一部分
1. A【解析】A．6 是无理数，故此选项正确；
B．4=2 是整数，是有理数，故此选项错误；
C．227 是分数，是有理数，故此选项错误；
D．3.1415 是有限小数，是有理数，故此选项错误．
2. D【解析】A、主视图是圆，俯视图是圆，故A不符合题意；
B、主视图是矩形，俯视图是矩形，故B不符合题意；
C、主视图是三角形，俯视图是圆，故C不符合题意；
D、主视图是个矩形，俯视图是圆，故D符合题意．
3. C【解析】0.00000045×2=9×10−7．
4. B【解析】A．不是轴对称图形，故本选项错误；
B．是轴对称图形，故本选项正确；
C．不是轴对称图形，故本选项错误；
D．不是轴对称图形，故本选项错误．
5. D
【解析】A．a2⋅a3=a5，故原题计算错误；
B．2a2 和 a 不是同类项，不能合并，故原题计算错误；
C．a6÷a3=a3，故原题计算错误；
D．a23=a6，故原题计算正确．
6. A【解析】两次摸球的所有的可能性树状图如下：
由图知共有 4 种等可能结果，其中两次都摸到红球的只有 1 种结果，
∴ 两次都摸到红球的概率为 14．
7. B【解析】∵DE∥BC，
∴∠1=∠ABC=70∘，
∵BE 平分 ∠ABC，
∴∠CBE=12∠ABC=35∘．
8. C【解析】由题意可知：Δ=−12−4×k×−34=1+3k≥0，
∴k≥−13，
∵k≠0，
∴k≥−13 且 k≠0．
9. C【解析】由作法得 BD 平分 ∠ABC，
∴ A选项的结论正确；
∵∠C=90∘，∠A=30∘，
∴∠ABC=60∘，
∴∠ABD=30∘=∠A，
∴AD=BD，
∴ B选项的结论正确；
∵∠CBD=12∠ABC=30∘，
∴BD=2CD，
∴ D选项的结论正确；
∴AD=2CD，
∴S△ABD=2S△CBD，
∴ C选项的结论错误．
10. B
【解析】A．∵ 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，
∴ 三角形外心到三角形的三个顶点的距离相等，本选项说法是真命题；
B．如果等腰三角形的两边长分别是 5 和 6，那么这个等腰三角形的周长为 16 或 17，本说法是假命题；
C．将一次函数 y=3x−1 的图象向上平移 3 个单位，得到 y=3x+2，
y=3x+2 经过第一、二、三象限，
∴ 所得直线不经过第四象限，本选项说法是真命题；
D．x−m≤0, ⋯⋯①2x+1>3, ⋯⋯②
解①得，x解②得，x>1，
当一元一次不等式组无解时，m≤1，本选项说法是真命题．
11. B【解析】根据题意得， ∠CAB=65∘−20∘ ， ∠ACB=40∘+20∘=60∘ ， AB=302 ，
过 B 作 BE⊥AC 于 E ，
∴∠AEB=∠CEB=90∘ ，
在 Rt△ABE 中，
∵∠ABE=45∘ ， AB=302 ，
∴AE=BE=22AB=30 km ，
在 Rt△CBE 中，
∵∠ACB=60∘ ，
∴CE=33BE=103 km ，
∴AC=AE+CE=30+103 ，
∴A ， C 两港之间的距离为 30+103 km ．
12. B【解析】正方形 ABCD 中，AD=CD，
在 △ADF 和 △CDE 中，
AD=AD,∠A=∠DCE=90∘,AF=EC,
∴△ADF≌△CDESAS，
∴∠ADF=∠CDE，DE=DF，
∴∠EDF=∠FDC+∠CDE=∠FDC+∠ADF=∠ADC=90∘，
∴∠DEF=45∘，
∵∠DGN=45∘+∠FDG，∠DNG=45∘+∠CDE，∠FDG≠∠CDE，
而 ∠FDG 与 ∠CDE 不一定相等，
∴∠DGN 与 ∠DNG 不一定相等，故判断出①错误；
∵△DEF 是等腰直角三角形，
∵∠ABD=∠DEF=45∘，∠BGF=∠EGD（对顶角相等），
∴△BFG∽△EDG，
∵∠DBE=∠DEF=45∘，∠BDE=∠EDG，
∴△EDG∽△BDE，
∴△BFG∽△EDG∽△BDE，故②正确；
连接 BM，DM．
∵△AFD≌△CED，
∴∠FDA=∠EDC，DF=DE，
∴∠FDE=∠ADC=90∘，
∵M 是 EF 的中点，
∴MD=12EF，
∵BM=12EF，
∴MD=MB，
在 △DCM 与 △BCM 中，
DM=MB,BC=CD,CM=CM,
∴△DCM≌△BCMSSS，
∴∠BCM=∠DCM，
∴CM 在正方形 ABCD 的角平分线 AC 上，
∴MC 垂直平分 BD；故③正确；
过点 M 作 MH⊥BC 于 H，则 ∠MCH=45∘，
∵MC=2，
∴MH=22×2=1，
∵M 是 EF 的中点，BF⊥BC，MH⊥BC，
∴MH 是 △BEF 的中位线，
∴BF=2MH=2，故④正确；
综上所述，正确的结论有②③④．
第二部分
13. aa−b2
【解析】a3+ab2−2a2b=aa2+b2−2ab=aa−b2．
14. 4
【解析】一组数据 4，a，7，8，3 的平均数是 5，
∴4+a+7+8+3=5×5，解得：a=3；
从小到大排列为：3，3，4，7，8，第 3 个数是 4，
∴ 这组数据的中位数为 4．
15. 2
【解析】连接 CD，DB，过点 D 作 DM⊥AB 于点 M，
∵AD 平分 ∠FAB，
∴∠FAD=∠DAM，
在 △AFD 和 △AMD 中，∠FAD=∠MAD,∠AFD=∠AMD,AD=AD,
∴△AFD≌△AMDAAS，
∴AF=AM，FD=DM，
∵DE 垂直平分 BC，
∴CD=BD，
在 Rt△CDF 和 Rt△BDM 中，DC=DB,DF=DM,
∴Rt△CDF≌Rt△BDMHL，
∴BM=CF，
∵AB=AM+BM=AF+MB=AC+CF+MB=AC+2CF，
∴8=4+2CF，解得，CF=2．
16. 23,0
【解析】如图，作 CD⊥AB 于 D，CG⊥x 轴于 G，
过 D 点作 EF∥OB，交 y 轴于 E，交 CG 于 F，
∵△ABC 是等边三角形，CD⊥BC，
∴BD=AD，
设点 C 的坐标为 x,153x，点 B 的坐标为 a,0，
∵A0,4，
∴AB 的中点 D 的坐标为 a2,2；
∵CD⊥AB，
∴∠ADE+∠CDF=90∘，
∵∠ADE+∠DAE=90∘，
∴∠DAE=∠CDF，
∵∠AED=∠CFD=90∘，
∴△AED∽△DFC，
∴AEDF=EDCF=ADCD，即 2x−a2=a2153x−2=ct60∘，
整理，可得 x−12a=23, ⋯⋯①23+32a=45x, ⋯⋯②
由①②整理得，34a2+43a−33=0，
解得 a1=23，x2=−2233（舍去），
∴B23,0．
第三部分
17. 原式=2×32+2−3−1+2=3+2−3−1+2=3.
18. 原式=a−ba÷a2−2ab+b2a=a−ba⋅aa−b2=1a−b.
当 a=2，b=2−3 时，
原式=12−2+3=33.
19. （1） 50
【解析】本次共调查了 10÷20%=50（人）．
（2） B类人数：50×24%=12（人），
D类人数：50−10−12−16−4=8（人）．
学生寒假在家做家务的总时间条形统计图
（3） 32；57.6
【解析】1650×100%=32%，即 m=32，
类别D所对应的扇形圆心角的度数 360∘×850=57.6∘．
（4） 估计该校寒假在家做家务的总时间不低于 20 小时的学生数．
800×1−20%−24%=448（名），
答：估计该校有 448 名学生寒假在家做家务的总时间不低于 20 小时．
20. （1） ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AD∥BC，
∵CF∥AE，
∴ 四边形 AECF 是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴ 四边形 AECF 是矩形．
（2） 连接 OE．
∵ 在菱形 ABCD 中，AD=AB=BC=5，AO=CO，
∴∠OEC=∠OCE，
由（1）知，四边形 AECF 为矩形；
∴∠AEC=90∘，
∵AE=4，
∴BE=AB2−AE2=3，
∴CE=3+5=8，
∴tan∠OEC=tan∠ACE=AECE=48=12．
21. （1） 设A型自行车去年每辆售价为 x 元，根据题意，得
80000x=800001−10%x−200.
解得
x=2000.
经检验，x=2000 是原方程的解．
答：A型自行车去年每辆售价为 2000 元．
（2） 设购进A型车 x 辆，则B型车 60−x 辆，根据题意，得
60−x≤2x.
所以
x≥20.
所以
20≤x<60.
设这批自行车销售获利 y 元，根据题意，得
y=2000−200−1500x+2400−180060−x=−300x+36000，
因为 k=−300<0，
所以 y 随 x 的增大而减小．
因为 20≤x<60，
所以当 x=20 时，y 取得最大值，
此时 60−x=60−20=40，
即购进A型车 20 辆，B型车 40 辆时，这批自行车销售获利最多．
22. （1） 连接 MH ．
∵EF 是 ⊙M 的切线， HM 为半径，
∴MH⊥EF ，即 ∠MHE=90∘ ，
∵M−5,0 ， M−1,0 ，
∴EM=4 ，
又 ∵F0,−533 ，
∴OF=533 ，
∴tan∠OEF=OFOE=33 ，
∴∠OEF=30∘ ，
∴r=MH=12EM=2 ．
（2） 连接 DQ ， CQ ，
∵CD 是 ⊙M 的直径，
∴∠CQD=90∘ ，
∵CM=12EM=2 ， ∠EHM=90∘ ，
∴CH=12EM=2 ．
∵∠CHP=∠D ，
∴cs∠QHC=cs∠D=34=QDCD=QD4 ，
∴QD=3 ．
又 ∵∠CPH=∠QPD ，
∴△CHP∽△QDP ．
∴PHPD=CHQD=23 ．
（3） 如图 6 ，连接 PM ，在 CM 上取一点 N ，使 NM=1 ，连接 PN ，
∵NMMP=12 ， MPNE=24=12 ，
∴NMMP=MPNE ，
又 ∵∠NMP=∠EMP ，
∴△NMP∽△PME ，
∴PNPE=NMMP=12 ，即 PN=12PE ，
∴PF+12PE=PF+PN ．
连接 FN ，则 NP+PF≥NF ，
∵ON=2 ， OF=533 ，且 ∠NOF=90∘ ，
∴NF=ON2+OF2=1113 ，即 PF+PN≥1113 ，
∴PF+12PE 的最小值为 1113 ．
23. （1） 设抛物线的表达式为：y=ax−h2+k=ax−12+4，
将点 B 的坐标代入上式并解得：a=−1，
故抛物线的表达式为：y=−x−12+4=−x2+2x+3. ⋯⋯①
（2） 如图 1，过点 A 作 y 轴的平行线交 AD 的延长线于点 G，
过点 E 作 y 轴的平行线交 BD 于点 H，
由抛物线的表达式知点 B3,0，而点 D0,3，
由点 B，D 的坐标可得，直线 BD 的表达式为：y=−x+3，
当 x=−1 时，y=4，故点 G−1,4，则 AG=4，
∵AG∥y轴∥EH，
∴△AGF∽△HEF，
∴EHAG=EFAF=12，
设点 Em,−m2+2m+3，则点 Hm,−m+3，
则 EH=−m2+3m，即 −m2+3m4=12，解得：m=1 或 2，
故点 E1,4或2,3．
（3） 如图 2，设抛物线对称轴交 x 轴于 R，
则将直线 CR 沿 DM 折叠得到直线 l，
则直线 l 与抛物线的交点 P 即为所求点．
设直线 MD 所在的直线为：y=mx+n，
则 0=32m+n,n=3, 解得：m=−2,n=3,
故直线 MD 的表达式为：y=−2x+3，当 x=1 时，y=1，
设直线 MD 交函数对称轴于点 F，故点 F1,1，
过点 M 作 MG⊥l 交于点 G，由图形折叠知 △FRM≌△FGM，
∴FR=FG=1，RM=32−1=12=MG，
∴FG:GM=2:1，
过点 G 作 y 轴的平行线交过点 F 与 x 轴的平行线于点 H，交 x 轴于点 K，
∵∠HGF+∠MGK=90∘，∠MGK+∠GMK=90∘，
∴∠GMK=∠HGF，
∵∠FHG=∠GKM=90∘，
∴△FHG∽△GKM，
∴FHGK=HGMK=GFMG=2，
设点 G 的坐标为 x,y，
则 FH=x−1，GK=y，HG=1−y，MK=x−32，
故 x−1y=1−yx−32=2，解得：x=95,y=25, 故点 G95,25，
由点 F，G 的坐标同理可得，
直线 FG 的表达式为：y=−34x+74, ⋯⋯②
联立①②并解得：x=11±2018（舍去正值），
故点 P 的横坐标为：11−2018．