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2021年北京市房山区中考二模数学试卷
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这是一份2021年北京市房山区中考二模数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，小器一容三斛；大器等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8小题；共40分）
1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A. B.
C. D.
2. 大兴国际机场，成为北京建设国际化大都市的重要标志．全球唯一一座“双进双出”的航站楼，世界施工技术难度最高的航站楼，走进航站楼内部，室内色调主要以白色为主，为了让阳光洒满整个机场，航站楼一共使用了12800块玻璃，白天室内几乎不需要照明灯光．将 12800 用科学记数法表示为
A. 1.28×102B. 1.28×103C. 1.28×104D. 1.28×105
3. 下列运算正确的是
A. a+ba−b=a2−b2B. 22a−b=4a−b
C. 2a+3b=5abD. a+b2=a2+b2
4. 下列几何体中，是圆柱的为
A. B.
C. D.
5. 四边形的内角和为
A. 180∘B. 360∘C. 540∘D. 720∘
6. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=3，BC=4，则 sinA 的值为
A. 34B. 43C. 35D. 45
7. 若 a+b−1=0，则代数式 a2b2−1⋅3b2a−b 的值为
A. 3B. −1C. 1D. −3
8. 如图，小聪要在抛物线 y=x2−x 上找一点 Ma,b，针对 b 的不同取值，所找点 M 的个数，三个同学的说法如下，
小明：若 b=−3，则点 M 的个数为 0；
小云：若 b=1，则点 M 的个数为 1；
小朵：若 b=3，则点 M 的个数为 2．
下列判断正确的是
A. 小云错，小朵对B. 小明，小云都错C. 小云对，小朵错D. 小明错，小朵对
二、填空题（共8小题；共40分）
9. 如图，该正方体的主视图是 形．
10. 如图所示的正方形网格中有 ∠α，则 tanα 的值为 ．
11. 请你写出一个函数，使得当自变量 x>0 时，函数 y 随 x 的增大而增大，这个函数的解析式可以是 ．
12. 用四个不等式① a>b，② a＋b>2b，③ a>0，④ a2>ab 中的两个不等式作为题设，余下的两个不等式中选择一个作为结论，组成一个真命题： ．
13. 如图所示的网格是正方形网格，线段 AB 绕点 A 顺时针旋转 α0∘<α<180∘ 后与 ⊙O 相切，则 α 的值为 ．
14. 如图，小亮从一盏 9 米高的路灯下 B 处向前走了 8 米到达点 C 处时，发现自己在地面上的影子 CE 是 2 米，则小亮的身高 DC 为 米．
15. 如图是房山区行政规划图．如果周口店的坐标是 −2,1 ， 阎村的坐标是 0,2 ， 那么燕山的坐标是 ，窦店坐标是 ．
16. 在就地过年倡议下，更多游客缩小出游半径，本地游、近郊游、周边游取代异地长线游，成为牛年出行新趋势．某地区对近郊游的住宿环境、餐饮、服务等方面对所住游客进行了综合满意度调查，在甲，乙两个景点都去过的的游客中随机抽取了 100 人，每人分别对这两个景点进行了评分，统计如下：
若小聪要在甲，乙两个景点中选择一个景点，根据表格中数据，你建议她去 景点（填甲或乙），理由是 ．
三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：2sin60∘+∣−23∣−80−12−1．
18. 解不等式组：2x+1>3x−1,4x
19. 已知关于 x 的一元二次方程 x2−2x+1−k=0 有两个不相等的实数根．
（1）求 k 的取值范围；
（2）请你给出一个 k 的值，并求出此时方程的根．
20. 下面是小玲同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图 1，直线 l 和直线 l 外一点 P .
求作：直线 PM ， 使 直线PM∥直线l .
作法：如图 2 ，
①在直线 l 上任取一点 A，作射线 AP；
②以 P 为圆心，PA 为半径作弧，交直线 l 于点 B，连接 PB；
③以 P 为圆心，PB 长为半径作弧，交射线 AP 于点 C；分别以 B，C 为圆心，大于 12BC 长为半径作弧，在 AC 的右侧两弧交于点 M；
④作直线 PM；所以直线 PM 就是所求作的直线．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图 2 中的图形；
（2）完成下面的证明：
证明：由作图可知 PM 平分 ∠CPB，
∴∠CPM=∠ =12∠CPB．
又 ∵PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA（ ）（填依据）．
∵∠CPB=∠PAB+∠PBA，
∴∠PAB=∠PBA=12∠CPB．
∴∠CPM=∠PAB．
∴直线PM∥直线l．（ ）（填依据）.
21. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第七卷《盈不足》记载了一道有趣的数学问题：“今有大器五、小器一容三斛；大器、小器五容二斛．向大、小器各容几何?”
译文：“今有大容器 5 个，小容器 1 个，总容量为 3 斛；大容器 1 个，小容器 5 个，总容量为 2 斛．向大容器、小容器的容积各是多少斛?”
22. 某校初三年级有 400 名学生，为了解学生对代数和几何两部分知识的掌握情况，数学教师对九年级全体学生进行了一次摸底测试，代数和几何满分各 50 分．现随机抽取 20 名学生的成绩（成绩均为整数）进行收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
c. 代数测试成绩在 30≤x≤40 这一组的数据是：35，36，37，37，38，38，39，39，39，39．
d. 几何测试成绩在 40≤x≤50 的数据是 40，42，47，47
e. 两次成绩的平均数、中位数、众数如下：
平均数中位数众数代数成绩35.2n39几何成绩
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）m= ，n= ；
（2）测试成绩大于或等于 30 分为及格，测试成绩大于或等于 43 分为优秀．20 名学生的成绩中代数测试及格有 人，几何测试优秀有 人，估计该校初三年级本次代数测试约有 人及格，几何成绩优秀约有 人．
（3）下列推断合理的是 .
①代数测试成绩的平均分高于几何的平均分，所以大多数学生代数掌握的比几何好．
②被抽测的学生小莉的几何成绩是 29 分，她觉得年级里大概有 240 人的测试成绩比她高，所以她决定迎头赶上．
23. 如图，在平行四边形 ABCD 中，F 是 AD 的中点，延长 BC 到点 E，使 CE=12BC，连接 DE，CF．
（1）求证：四边形 CEDF 是平行四边形；
（2）若 AB=4，AD=6，∠A=120∘，求 △DCE 的底边 CE 上的高及 DE 的长．
24. 如图，A，B 两点在函数 y=mxx>0 的图象上．
（1）求 m 的值及直线 AB 的解析式；
（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出函数 y=mxx>0 的图象与直线 AB 围出的封闭图形中（不包括边界）所含格点的坐标．
25. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，DE 为 ⊙O 的切线，点 D 是 AC 中点．
（1）求证：DE⊥BC；
（2）如果 DE=2，tanC=12，求 ⊙O 的半径．
26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2−2ax−3aa≠0．
（1）求抛物线的对称轴及抛物线与 y 轴交点坐标．
（2）已知点 B3,4，将点 B 向左平移 3 个单位长度，得到点 C．若抛物线与线段 BC 恰有一个公共点，结合函数的图象，求 a 的取值范围．
27. 在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，∠BAC=α0∘<α<60∘．点 P 是 △ABC 内一动点，连接 AP，BP，将 △APB 绕点 A 逆时针旋转 α，使 AB 边与 AC 重合，得到 △ADC，射线 BP 与 CD 或 CD 延长线交于点 M（点 M 与点 D 不重合）．
（1）依题意补全图 1 和图 2；由作图知，∠BAP 与 ∠CAD 的数量关系为 ；
（2）探究 ∠ADM 与 ∠APM 的数量关系为 ；
（3）如图 1，若 DP 平分 ∠ADC，用等式表示线段 BM，AP，CD 之间的数量关系，并证明．
28. 对于平面内的图形 G1 和图形 G2，记平面内一点 P 到图形 G1 上各点的最短距离为 d1，点 P 到图形 G2 上各点的最短距离为 d2，若 d1=d2，就称点 P 是图形 G1 和图形 G2 的一个“等距点”．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A6,0，B0,23．
（1）在 C4,0，D2,0，E1,3 三点中，点 A 和点 B 的等距点是 ．
（2）已知直线 y=2．
①若点 A 和直线 y=2 的等距点在 x 轴上，则该等距点的坐标为 ．
②若直线 y=b 上存在点 A 和直线 y=2 的等距点，求实数 b 的取值范围．
（3）记直线 AB 为直线 l1，直线 l2：y=−33x，以原点 O 为圆心作半径为 r 的 ⊙O．若 ⊙O 上有 m 个直线 l1 和直线 l2 的等距点，以及 n 个直线 l1 和 y 轴的等距点（m≠0，n≠0），当 m≠n 时，求 r 的取值范围．
答案
第一部分
1. C【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
2. C【解析】∵12800=1.28×104．
3. A【解析】A、 原式=a2−b2，正确；
B、 原式=4a−2b，错误；
C、原式不能合并，错误；
D、 原式=a2+b2+2ab，错误．
4. B【解析】A选项为四棱柱，
B选项为圆柱，
C选项为圆锥，
D选项为三棱锥．
5. B
【解析】四边形的内角和 =4−2⋅180∘=360∘．
6. D【解析】在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=3，BC=4，
由勾股定理得，AB=AC2+BC2=5，
∴sinA=BCAB=45．
7. A【解析】a2b2−1⋅3b2a−b=a2−b2b2⋅3b2a−b=a+ba−bb2⋅3b2a−b=3a+b,
因为 a+b−1=0，
所以 a+b=1，
所以 原式=3×1=3．
8. C【解析】∵ 点 Ma,b，
当 b=−3 时，则 −3=a2−a，整理得 a2−2a−3=0，
∵Δ=4−4×−3>0，
∴ 有两个不相等的值，
∴ 点 M 的个数为 2；
当 b=1 时，则 1=a2−a，整理得 a2−2a+1=0，
∵Δ=4−4×1=0，
∴a 有两个相同的值，
∴ 点 M 的个数为 1；
当 b=3 时，则 3=a2−a，整理得 a2−2a+3=0，
∵Δ=4−4×3<0，
∴ 点 M 的个数为 0；
∴ 小明错，小云对，小朵错．
第二部分
9. 正方
【解析】正方形的主视图为正方形．
10. 1
【解析】如图，在 Rt△ACB 中，tanα=ABBC=44=1．
11. y=x
【解析】这个函数的解析式可以为 y=x，
故答案为：y=x（答案不唯一）．
12. 题设：① a>b，③ a>0，结论：② a＋b>2b，④ a2>ab
【解析】题设：① a>b，③ a>0，结论：② a+b>2b，④ a2>ab，是真命题．
证明：
∵a>b，
∴a+b>b+b，即 a+b>2b，
∵a>b，且 a>0，
∴a2>ab，
13. 60∘ 或 120∘
【解析】线段 AB 绕点 A 顺时针旋转 α0∘<α<180∘ 后与 ⊙O 相切，切点为 Cʹ 和 Cʺ，连接 OCʹ，OCʺ，
则 OCʹ⊥ABʹ，OCʺ⊥ABʺ，
在 Rt△OACʹ 中，
∵OCʹ=1，OA=2，
∴∠OACʹ=30∘，
∴∠BABʹ=60∘，
同理可得 ∠OACʺ=30∘，
∴∠BABʺ=120∘，
综上所述，α 的值为 60∘ 或 120∘．
14. 1.8
【解析】如图，由题意知 CE=2 米，BC=8 米，AB=9 米，且 DC⊥BE，AB⊥BE，
所以 BE=BC+CE=10 米，
因为 CD⊥BE，AB⊥BE，
所以 ∠ABE=∠DCE=90∘，
又因为 ∠AEB=∠E，
所以 △ECD∽△EBA，
所以 CDAB=CEBE，即 CD9=210，
解得 DC=1.8（米），即小亮的身高为 1.8 米．
15. −2,3，0,0
【解析】如图所示，燕山的坐标是 −2,3，窦店的坐标是 0,0．
故答案为：−2,3，0,0．
16. 甲，甲景点满意人多于乙景点（不唯一）
【解析】在甲，乙两个景点都去过的的游客中随机抽取的 100 人中，对甲景点满意的有 68 人，对乙满意的有 45 人，
因为 68>45，
所以建议她去景点甲．
故答案为：甲；
理由是满意甲景点的人数多于乙景点．
第三部分
17. 2sin60∘+∣−23∣−−80−12−1=2×32+23−1−2=33−3.
18. 原不等式组为
2x+1>3x−1, ⋯⋯①4x解不等式①，得
x<4.
解不等式②，得
x<1.∴
原不等式组的解集为 x<1．
19. （1） ∵ 关于 x 的一元二次方程 x2−2x+1−k=0 有两个不相等的实数根．
∴Δ=−22−4×1×1−k＞0，
解得 k＞0；
（2） 由（1）知，实数 k 取值范围为 k＞0，
故取 k=1，
则 x2−2x=0，即 xx−2=0，
解得，x1=0，x2=2．
20. （1） 用直尺和圆规，补全的图形如图 2 所示；
（2） BPM；等腰三角形两底角相等；同位角相等，两直线平行
【解析】由作图可知 PM 平分 ∠CPB，
∴∠CPM=∠BPM=12∠CPB，
又 ∵PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA（等腰三角形两底角相等），
∵∠CPB=∠PAB+∠PBA，
∴∠PAB=∠PBA=12∠CPB．
∴∠CPM=∠PAB．
∴直线PM∥直线l（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：BPM：等腰三角形两底角相等：同位角相等，两直线平行．
21. 设大器容 x 斛，小器容 y 斛，根据题意，列出方程组
5x+y=3,x+5y=2,
解得：
x=1324,y=724,
答：大器容 1324 斛，小器容 724 斛．
22. （1） 20%；38
【解析】m=1−5%−10%−25%−40%=20%，（代数成绩从小到大排列，第 10 和第 11 个数为 38 和 38，则 n=38+382=38（分）．
故答案为：20%，38．
（2） 15；2；300；40
【解析】20 名学生的成绩中代数测试及格有：10+5=15（人），
几何测试优秀有 2 人．
估计该校初三年级本次代数测试及格人数为：400×1520=300（人），几何成绩优秀人数为：400×220=40（人）．
故答案为：15，2，300，40．
（3） ①②
【解析】代数测试成绩的平均分为 35.2 分，几何的平均分为 32.05 分，
所以代数测试成绩的平均分高于几何的平均分．
所以大多数学生代数掌握的比几何好，①推断合理；
几何测试成绩在 30≤x<50 的人数是：400×60%=240（人），
所以被抽测的学生小莉的几何成绩是 29 分，她觉得年纪大概有 240 人的测试成绩比她高，所以她决定迎头赶上，②推断合理．
故答案为：①②．
23. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵F 是 AD 的中点，
∴FD=12AD，
∵CE=12BC，
∴FD=CE，
∵FD∥CE，
∴ 四边形 CEDF 是平行四边形．
（2） 过点 D 作 DG⊥CE 于点 G，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，CD=AB=4，∠A=120∘，BC=AD=6，
∴∠DCE=∠B=60∘，
在 Rt△DGC 中，∠DGC=90∘，
∴CG=CD⋅cs∠DCE=2，
DG=CD⋅sin∠DCE=23，
∵CE=12BC=3，
∴GE=1，
在 Rt△DGE 中，∠DGE=90∘，
∴DE=DG2+GE2=13．
24. （1） 由图可知，A1,5，B5,1，
将 A1,5 代入 y=mx 中，得 m=5，
∴y=5x，
设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，得：
5=k+b,1=5k+b,
解得，k=−1,b=6,
∴ 直线 AB 的解析式为 y=−x+6．
（2） 2,3，3,2
【解析】由题意，得：1 ∴x=2或3或4，
分别代入 y=−x+6 和 y=5x 两个函数解析式中，满足条件的格点坐标是：2,3，3,2．
25. （1） 连接 OD．
∵DE 为 ⊙O 的切线，
∴DE⊥OD，
∵AO=OB，D 是 AC 的中点，
∴OD∥BC，
∴DE⊥BC．
（2） 连接 BD，
∵AB 为 ⊙O 的直径，
∴∠ADB=90∘，
∴DB⊥AC，
∴∠CDB=90∘．
∵D 为 AC 中点，
∴AB=BC，
在 Rt△DEC 中，∠DEC=90∘，
∵DE=2，tanC=12，
∴EC=DEtanC=4，
由勾股定理得：DC=25，
在 Rt△DCB 中，∠BDC=90∘，
∴BD=DC⋅tanC=5，
由勾股定理得：BC=5，
∴AB=BC=5，
∴⊙O 的半径为 2.5．
26. （1） 因为抛物线 y=ax2−2ax−3a，
所以 x=−−2a2a=1，
所以抛物线的对称轴是直线 x=1，
令 x=0，y=−3a，
所以抛物线与 y 轴交点坐标为 E0,−3a．
（2） y=ax2−2ax−3a=ax2−2x−3=ax+1x−3，
所以抛物线与 x 轴交于点 A−1,0，D3,0，与 y 轴交于点 E0,−3a，顶点坐标是 1,−4a．
由题意得点 C0,4，又 B3,4，
①当 a>0 时，如图 1，
显然抛物线与线段 BC 无公共点；
②当 a<0 时，若抛物线的顶点在线段 BC 上，如图 2，
则顶点坐标为 1,4，
所以 −4a=4，
所以 a=−1；
③当 a<0 时，若抛物线的顶点不在线段 BC 上，如图 3，
由抛物线与线段 BC 恰有一个公共点，
得 −3a>4，
所以 a<−43，
综上，a 的取值范围是 a<−43，或 a=−1．
27. （1） ；
相等
【解析】依题意补全图 1 和图 2；由作图知，∠BAP 与 ∠CAD 的数量关系为相等；
（2） ∠ADM=∠APM 或 ∠ADM+∠APM=180∘
【解析】当 M 在线段 CD 延长线上时，如上图 1，
∵ 将 △APB 绕点 A 顺时针旋转得到 △ADC，
∴∠ADC=∠APB，
∴∠ADM=∠APM，
当 M 在线段 CD 上时，如上图 2，
∵ 将 △APB 绕点 A 顺时针旋转得到 △ADC，
∴∠ADC=∠APB，
∵∠APB+∠APM=180∘，
∴∠ADM+∠APM=180∘．
（3） 如图，线段 MC，AE，BD 之间的数量关系是：MC=AE+BD．
∵ 将 △APB 绕点 A 逆时针旋转 α，使 AB 边与 AC 重合，得到 △ADC，
∴△ABP≌△ACD．
∴∠APB=∠ADC，AP=AD，BP=CD，
∴∠ADM=∠APM，
∵DE 平分 ∠ADC，
∴∠ADP=∠PDC，
∵AP=AD，
∴∠APD=∠ADP，
∴∠APD=∠PDC．
∴AP∥CM．
∴∠PAD=∠ADM=α，∠APM=∠M．
又由（2）知，∠ADM=∠APM=α，
∴OP=OA，OM=OD，
∴OP+OM=OM+OD，
∴PM=AD=AP，
∴BM=BP+PM．
∴BM=CD+AP．
28. （1） D
【解析】∵A6,0，B0,23，C4,0，D2,0，E1,3，
∴AC=2，BC=27；DA=4，BD=4；AE=34，BE=22−123，
∵AD=BD，
故点 D 是点 A 和点 B 的等距点．
（2） ① 4,0 或 8,0
②如图，设直线 y=b 上的点 M 为点 A 和直线 y=2 的等距点，
连接 MA，过点 M 作直线 y=2 的垂线，垂足为点 N．
∵ 点 M 为点 A 和直线 y=2 的等距点，
∴MN2=MA2．
∵ 点 M 在直线 y=b 上，故可设点 M 的坐标为 x,b，
则 2−b2=b2+6−x2，
∴x2−12x+4b+32=0，
∵ 方程有实根，
∴Δ=−122−44b+32≥0，
∴b≤1．
【解析】①设等距点的坐标为 x,0，
∴2=∣x−6∣，
∴x=4或8，
∴ 等距点的坐标为 4,0 或 8,0．
（3） 如图 2，
由题意知，直线 l1 和直线 l2 的等距点在直线 l3：y=−33x+3 上，
而直线 l1 和 y 轴的等距点在直线 l4：y=−3x+23 或 l5：y=33x+23 上．
∴r=3 或 r≥3．
一、选择题（共8小题；共40分）
1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A. B.
C. D.
2. 大兴国际机场，成为北京建设国际化大都市的重要标志．全球唯一一座“双进双出”的航站楼，世界施工技术难度最高的航站楼，走进航站楼内部，室内色调主要以白色为主，为了让阳光洒满整个机场，航站楼一共使用了12800块玻璃，白天室内几乎不需要照明灯光．将 12800 用科学记数法表示为
A. 1.28×102B. 1.28×103C. 1.28×104D. 1.28×105
3. 下列运算正确的是
A. a+ba−b=a2−b2B. 22a−b=4a−b
C. 2a+3b=5abD. a+b2=a2+b2
4. 下列几何体中，是圆柱的为
A. B.
C. D.
5. 四边形的内角和为
A. 180∘B. 360∘C. 540∘D. 720∘
6. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=3，BC=4，则 sinA 的值为
A. 34B. 43C. 35D. 45
7. 若 a+b−1=0，则代数式 a2b2−1⋅3b2a−b 的值为
A. 3B. −1C. 1D. −3
8. 如图，小聪要在抛物线 y=x2−x 上找一点 Ma,b，针对 b 的不同取值，所找点 M 的个数，三个同学的说法如下，
小明：若 b=−3，则点 M 的个数为 0；
小云：若 b=1，则点 M 的个数为 1；
小朵：若 b=3，则点 M 的个数为 2．
下列判断正确的是
A. 小云错，小朵对B. 小明，小云都错C. 小云对，小朵错D. 小明错，小朵对
二、填空题（共8小题；共40分）
9. 如图，该正方体的主视图是 形．
10. 如图所示的正方形网格中有 ∠α，则 tanα 的值为 ．
11. 请你写出一个函数，使得当自变量 x>0 时，函数 y 随 x 的增大而增大，这个函数的解析式可以是 ．
12. 用四个不等式① a>b，② a＋b>2b，③ a>0，④ a2>ab 中的两个不等式作为题设，余下的两个不等式中选择一个作为结论，组成一个真命题： ．
13. 如图所示的网格是正方形网格，线段 AB 绕点 A 顺时针旋转 α0∘<α<180∘ 后与 ⊙O 相切，则 α 的值为 ．
14. 如图，小亮从一盏 9 米高的路灯下 B 处向前走了 8 米到达点 C 处时，发现自己在地面上的影子 CE 是 2 米，则小亮的身高 DC 为 米．
15. 如图是房山区行政规划图．如果周口店的坐标是 −2,1 ， 阎村的坐标是 0,2 ， 那么燕山的坐标是 ，窦店坐标是 ．
16. 在就地过年倡议下，更多游客缩小出游半径，本地游、近郊游、周边游取代异地长线游，成为牛年出行新趋势．某地区对近郊游的住宿环境、餐饮、服务等方面对所住游客进行了综合满意度调查，在甲，乙两个景点都去过的的游客中随机抽取了 100 人，每人分别对这两个景点进行了评分，统计如下：
若小聪要在甲，乙两个景点中选择一个景点，根据表格中数据，你建议她去 景点（填甲或乙），理由是 ．
三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：2sin60∘+∣−23∣−80−12−1．
18. 解不等式组：2x+1>3x−1,4x
19. 已知关于 x 的一元二次方程 x2−2x+1−k=0 有两个不相等的实数根．
（1）求 k 的取值范围；
（2）请你给出一个 k 的值，并求出此时方程的根．
20. 下面是小玲同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图 1，直线 l 和直线 l 外一点 P .
求作：直线 PM ， 使 直线PM∥直线l .
作法：如图 2 ，
①在直线 l 上任取一点 A，作射线 AP；
②以 P 为圆心，PA 为半径作弧，交直线 l 于点 B，连接 PB；
③以 P 为圆心，PB 长为半径作弧，交射线 AP 于点 C；分别以 B，C 为圆心，大于 12BC 长为半径作弧，在 AC 的右侧两弧交于点 M；
④作直线 PM；所以直线 PM 就是所求作的直线．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图 2 中的图形；
（2）完成下面的证明：
证明：由作图可知 PM 平分 ∠CPB，
∴∠CPM=∠ =12∠CPB．
又 ∵PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA（ ）（填依据）．
∵∠CPB=∠PAB+∠PBA，
∴∠PAB=∠PBA=12∠CPB．
∴∠CPM=∠PAB．
∴直线PM∥直线l．（ ）（填依据）.
21. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第七卷《盈不足》记载了一道有趣的数学问题：“今有大器五、小器一容三斛；大器、小器五容二斛．向大、小器各容几何?”
译文：“今有大容器 5 个，小容器 1 个，总容量为 3 斛；大容器 1 个，小容器 5 个，总容量为 2 斛．向大容器、小容器的容积各是多少斛?”
22. 某校初三年级有 400 名学生，为了解学生对代数和几何两部分知识的掌握情况，数学教师对九年级全体学生进行了一次摸底测试，代数和几何满分各 50 分．现随机抽取 20 名学生的成绩（成绩均为整数）进行收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
c. 代数测试成绩在 30≤x≤40 这一组的数据是：35，36，37，37，38，38，39，39，39，39．
d. 几何测试成绩在 40≤x≤50 的数据是 40，42，47，47
e. 两次成绩的平均数、中位数、众数如下：
平均数中位数众数代数成绩35.2n39几何成绩
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）m= ，n= ；
（2）测试成绩大于或等于 30 分为及格，测试成绩大于或等于 43 分为优秀．20 名学生的成绩中代数测试及格有 人，几何测试优秀有 人，估计该校初三年级本次代数测试约有 人及格，几何成绩优秀约有 人．
（3）下列推断合理的是 .
①代数测试成绩的平均分高于几何的平均分，所以大多数学生代数掌握的比几何好．
②被抽测的学生小莉的几何成绩是 29 分，她觉得年级里大概有 240 人的测试成绩比她高，所以她决定迎头赶上．
23. 如图，在平行四边形 ABCD 中，F 是 AD 的中点，延长 BC 到点 E，使 CE=12BC，连接 DE，CF．
（1）求证：四边形 CEDF 是平行四边形；
（2）若 AB=4，AD=6，∠A=120∘，求 △DCE 的底边 CE 上的高及 DE 的长．
24. 如图，A，B 两点在函数 y=mxx>0 的图象上．
（1）求 m 的值及直线 AB 的解析式；
（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出函数 y=mxx>0 的图象与直线 AB 围出的封闭图形中（不包括边界）所含格点的坐标．
25. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，DE 为 ⊙O 的切线，点 D 是 AC 中点．
（1）求证：DE⊥BC；
（2）如果 DE=2，tanC=12，求 ⊙O 的半径．
26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2−2ax−3aa≠0．
（1）求抛物线的对称轴及抛物线与 y 轴交点坐标．
（2）已知点 B3,4，将点 B 向左平移 3 个单位长度，得到点 C．若抛物线与线段 BC 恰有一个公共点，结合函数的图象，求 a 的取值范围．
27. 在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，∠BAC=α0∘<α<60∘．点 P 是 △ABC 内一动点，连接 AP，BP，将 △APB 绕点 A 逆时针旋转 α，使 AB 边与 AC 重合，得到 △ADC，射线 BP 与 CD 或 CD 延长线交于点 M（点 M 与点 D 不重合）．
（1）依题意补全图 1 和图 2；由作图知，∠BAP 与 ∠CAD 的数量关系为 ；
（2）探究 ∠ADM 与 ∠APM 的数量关系为 ；
（3）如图 1，若 DP 平分 ∠ADC，用等式表示线段 BM，AP，CD 之间的数量关系，并证明．
28. 对于平面内的图形 G1 和图形 G2，记平面内一点 P 到图形 G1 上各点的最短距离为 d1，点 P 到图形 G2 上各点的最短距离为 d2，若 d1=d2，就称点 P 是图形 G1 和图形 G2 的一个“等距点”．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A6,0，B0,23．
（1）在 C4,0，D2,0，E1,3 三点中，点 A 和点 B 的等距点是 ．
（2）已知直线 y=2．
①若点 A 和直线 y=2 的等距点在 x 轴上，则该等距点的坐标为 ．
②若直线 y=b 上存在点 A 和直线 y=2 的等距点，求实数 b 的取值范围．
（3）记直线 AB 为直线 l1，直线 l2：y=−33x，以原点 O 为圆心作半径为 r 的 ⊙O．若 ⊙O 上有 m 个直线 l1 和直线 l2 的等距点，以及 n 个直线 l1 和 y 轴的等距点（m≠0，n≠0），当 m≠n 时，求 r 的取值范围．
答案
第一部分
1. C【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
2. C【解析】∵12800=1.28×104．
3. A【解析】A、 原式=a2−b2，正确；
B、 原式=4a−2b，错误；
C、原式不能合并，错误；
D、 原式=a2+b2+2ab，错误．
4. B【解析】A选项为四棱柱，
B选项为圆柱，
C选项为圆锥，
D选项为三棱锥．
5. B
【解析】四边形的内角和 =4−2⋅180∘=360∘．
6. D【解析】在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=3，BC=4，
由勾股定理得，AB=AC2+BC2=5，
∴sinA=BCAB=45．
7. A【解析】a2b2−1⋅3b2a−b=a2−b2b2⋅3b2a−b=a+ba−bb2⋅3b2a−b=3a+b,
因为 a+b−1=0，
所以 a+b=1，
所以 原式=3×1=3．
8. C【解析】∵ 点 Ma,b，
当 b=−3 时，则 −3=a2−a，整理得 a2−2a−3=0，
∵Δ=4−4×−3>0，
∴ 有两个不相等的值，
∴ 点 M 的个数为 2；
当 b=1 时，则 1=a2−a，整理得 a2−2a+1=0，
∵Δ=4−4×1=0，
∴a 有两个相同的值，
∴ 点 M 的个数为 1；
当 b=3 时，则 3=a2−a，整理得 a2−2a+3=0，
∵Δ=4−4×3<0，
∴ 点 M 的个数为 0；
∴ 小明错，小云对，小朵错．
第二部分
9. 正方
【解析】正方形的主视图为正方形．
10. 1
【解析】如图，在 Rt△ACB 中，tanα=ABBC=44=1．
11. y=x
【解析】这个函数的解析式可以为 y=x，
故答案为：y=x（答案不唯一）．
12. 题设：① a>b，③ a>0，结论：② a＋b>2b，④ a2>ab
【解析】题设：① a>b，③ a>0，结论：② a+b>2b，④ a2>ab，是真命题．
证明：
∵a>b，
∴a+b>b+b，即 a+b>2b，
∵a>b，且 a>0，
∴a2>ab，
13. 60∘ 或 120∘
【解析】线段 AB 绕点 A 顺时针旋转 α0∘<α<180∘ 后与 ⊙O 相切，切点为 Cʹ 和 Cʺ，连接 OCʹ，OCʺ，
则 OCʹ⊥ABʹ，OCʺ⊥ABʺ，
在 Rt△OACʹ 中，
∵OCʹ=1，OA=2，
∴∠OACʹ=30∘，
∴∠BABʹ=60∘，
同理可得 ∠OACʺ=30∘，
∴∠BABʺ=120∘，
综上所述，α 的值为 60∘ 或 120∘．
14. 1.8
【解析】如图，由题意知 CE=2 米，BC=8 米，AB=9 米，且 DC⊥BE，AB⊥BE，
所以 BE=BC+CE=10 米，
因为 CD⊥BE，AB⊥BE，
所以 ∠ABE=∠DCE=90∘，
又因为 ∠AEB=∠E，
所以 △ECD∽△EBA，
所以 CDAB=CEBE，即 CD9=210，
解得 DC=1.8（米），即小亮的身高为 1.8 米．
15. −2,3，0,0
【解析】如图所示，燕山的坐标是 −2,3，窦店的坐标是 0,0．
故答案为：−2,3，0,0．
16. 甲，甲景点满意人多于乙景点（不唯一）
【解析】在甲，乙两个景点都去过的的游客中随机抽取的 100 人中，对甲景点满意的有 68 人，对乙满意的有 45 人，
因为 68>45，
所以建议她去景点甲．
故答案为：甲；
理由是满意甲景点的人数多于乙景点．
第三部分
17. 2sin60∘+∣−23∣−−80−12−1=2×32+23−1−2=33−3.
18. 原不等式组为
2x+1>3x−1, ⋯⋯①4x
x<4.
解不等式②，得
x<1.∴
原不等式组的解集为 x<1．
19. （1） ∵ 关于 x 的一元二次方程 x2−2x+1−k=0 有两个不相等的实数根．
∴Δ=−22−4×1×1−k＞0，
解得 k＞0；
（2） 由（1）知，实数 k 取值范围为 k＞0，
故取 k=1，
则 x2−2x=0，即 xx−2=0，
解得，x1=0，x2=2．
20. （1） 用直尺和圆规，补全的图形如图 2 所示；
（2） BPM；等腰三角形两底角相等；同位角相等，两直线平行
【解析】由作图可知 PM 平分 ∠CPB，
∴∠CPM=∠BPM=12∠CPB，
又 ∵PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA（等腰三角形两底角相等），
∵∠CPB=∠PAB+∠PBA，
∴∠PAB=∠PBA=12∠CPB．
∴∠CPM=∠PAB．
∴直线PM∥直线l（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：BPM：等腰三角形两底角相等：同位角相等，两直线平行．
21. 设大器容 x 斛，小器容 y 斛，根据题意，列出方程组
5x+y=3,x+5y=2,
解得：
x=1324,y=724,
答：大器容 1324 斛，小器容 724 斛．
22. （1） 20%；38
【解析】m=1−5%−10%−25%−40%=20%，（代数成绩从小到大排列，第 10 和第 11 个数为 38 和 38，则 n=38+382=38（分）．
故答案为：20%，38．
（2） 15；2；300；40
【解析】20 名学生的成绩中代数测试及格有：10+5=15（人），
几何测试优秀有 2 人．
估计该校初三年级本次代数测试及格人数为：400×1520=300（人），几何成绩优秀人数为：400×220=40（人）．
故答案为：15，2，300，40．
（3） ①②
【解析】代数测试成绩的平均分为 35.2 分，几何的平均分为 32.05 分，
所以代数测试成绩的平均分高于几何的平均分．
所以大多数学生代数掌握的比几何好，①推断合理；
几何测试成绩在 30≤x<50 的人数是：400×60%=240（人），
所以被抽测的学生小莉的几何成绩是 29 分，她觉得年纪大概有 240 人的测试成绩比她高，所以她决定迎头赶上，②推断合理．
故答案为：①②．
23. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵F 是 AD 的中点，
∴FD=12AD，
∵CE=12BC，
∴FD=CE，
∵FD∥CE，
∴ 四边形 CEDF 是平行四边形．
（2） 过点 D 作 DG⊥CE 于点 G，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，CD=AB=4，∠A=120∘，BC=AD=6，
∴∠DCE=∠B=60∘，
在 Rt△DGC 中，∠DGC=90∘，
∴CG=CD⋅cs∠DCE=2，
DG=CD⋅sin∠DCE=23，
∵CE=12BC=3，
∴GE=1，
在 Rt△DGE 中，∠DGE=90∘，
∴DE=DG2+GE2=13．
24. （1） 由图可知，A1,5，B5,1，
将 A1,5 代入 y=mx 中，得 m=5，
∴y=5x，
设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，得：
5=k+b,1=5k+b,
解得，k=−1,b=6,
∴ 直线 AB 的解析式为 y=−x+6．
（2） 2,3，3,2
【解析】由题意，得：1
分别代入 y=−x+6 和 y=5x 两个函数解析式中，满足条件的格点坐标是：2,3，3,2．
25. （1） 连接 OD．
∵DE 为 ⊙O 的切线，
∴DE⊥OD，
∵AO=OB，D 是 AC 的中点，
∴OD∥BC，
∴DE⊥BC．
（2） 连接 BD，
∵AB 为 ⊙O 的直径，
∴∠ADB=90∘，
∴DB⊥AC，
∴∠CDB=90∘．
∵D 为 AC 中点，
∴AB=BC，
在 Rt△DEC 中，∠DEC=90∘，
∵DE=2，tanC=12，
∴EC=DEtanC=4，
由勾股定理得：DC=25，
在 Rt△DCB 中，∠BDC=90∘，
∴BD=DC⋅tanC=5，
由勾股定理得：BC=5，
∴AB=BC=5，
∴⊙O 的半径为 2.5．
26. （1） 因为抛物线 y=ax2−2ax−3a，
所以 x=−−2a2a=1，
所以抛物线的对称轴是直线 x=1，
令 x=0，y=−3a，
所以抛物线与 y 轴交点坐标为 E0,−3a．
（2） y=ax2−2ax−3a=ax2−2x−3=ax+1x−3，
所以抛物线与 x 轴交于点 A−1,0，D3,0，与 y 轴交于点 E0,−3a，顶点坐标是 1,−4a．
由题意得点 C0,4，又 B3,4，
①当 a>0 时，如图 1，
显然抛物线与线段 BC 无公共点；
②当 a<0 时，若抛物线的顶点在线段 BC 上，如图 2，
则顶点坐标为 1,4，
所以 −4a=4，
所以 a=−1；
③当 a<0 时，若抛物线的顶点不在线段 BC 上，如图 3，
由抛物线与线段 BC 恰有一个公共点，
得 −3a>4，
所以 a<−43，
综上，a 的取值范围是 a<−43，或 a=−1．
27. （1） ；
相等
【解析】依题意补全图 1 和图 2；由作图知，∠BAP 与 ∠CAD 的数量关系为相等；
（2） ∠ADM=∠APM 或 ∠ADM+∠APM=180∘
【解析】当 M 在线段 CD 延长线上时，如上图 1，
∵ 将 △APB 绕点 A 顺时针旋转得到 △ADC，
∴∠ADC=∠APB，
∴∠ADM=∠APM，
当 M 在线段 CD 上时，如上图 2，
∵ 将 △APB 绕点 A 顺时针旋转得到 △ADC，
∴∠ADC=∠APB，
∵∠APB+∠APM=180∘，
∴∠ADM+∠APM=180∘．
（3） 如图，线段 MC，AE，BD 之间的数量关系是：MC=AE+BD．
∵ 将 △APB 绕点 A 逆时针旋转 α，使 AB 边与 AC 重合，得到 △ADC，
∴△ABP≌△ACD．
∴∠APB=∠ADC，AP=AD，BP=CD，
∴∠ADM=∠APM，
∵DE 平分 ∠ADC，
∴∠ADP=∠PDC，
∵AP=AD，
∴∠APD=∠ADP，
∴∠APD=∠PDC．
∴AP∥CM．
∴∠PAD=∠ADM=α，∠APM=∠M．
又由（2）知，∠ADM=∠APM=α，
∴OP=OA，OM=OD，
∴OP+OM=OM+OD，
∴PM=AD=AP，
∴BM=BP+PM．
∴BM=CD+AP．
28. （1） D
【解析】∵A6,0，B0,23，C4,0，D2,0，E1,3，
∴AC=2，BC=27；DA=4，BD=4；AE=34，BE=22−123，
∵AD=BD，
故点 D 是点 A 和点 B 的等距点．
（2） ① 4,0 或 8,0
②如图，设直线 y=b 上的点 M 为点 A 和直线 y=2 的等距点，
连接 MA，过点 M 作直线 y=2 的垂线，垂足为点 N．
∵ 点 M 为点 A 和直线 y=2 的等距点，
∴MN2=MA2．
∵ 点 M 在直线 y=b 上，故可设点 M 的坐标为 x,b，
则 2−b2=b2+6−x2，
∴x2−12x+4b+32=0，
∵ 方程有实根，
∴Δ=−122−44b+32≥0，
∴b≤1．
【解析】①设等距点的坐标为 x,0，
∴2=∣x−6∣，
∴x=4或8，
∴ 等距点的坐标为 4,0 或 8,0．
（3） 如图 2，
由题意知，直线 l1 和直线 l2 的等距点在直线 l3：y=−33x+3 上，
而直线 l1 和 y 轴的等距点在直线 l4：y=−3x+23 或 l5：y=33x+23 上．
∴r=3 或 r≥3．
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