2021年上海市徐汇区中考二模数学试卷

这是一份2021年上海市徐汇区中考二模数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 如果 m 是任意实数，那么下列代数式中一定有意义的是
A. mB. m+1C. 1m+1D. m2+1

2. 将抛物线 y=−x2 向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位后所得新抛物线的顶点是
A. 3,−2B. −3,−2C. 3,2D. −3,2

3. 人体红细胞的直径约为 0.0000077 米，那么将 0.0000077 用科学记数法表示是
A. 0.77×10−6B. 7.7×10−7C. 7.7×10−6D. 7.7×10−5

4. 如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是
A. 180∘B. 270∘C. 360∘D. 540∘

5. 姜老师给出一个函数表达式，甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．甲：函数图象经过第一象限；乙：函数图象经过第三象限；丙：在每一个象限内，y 值随 x 值的增大而减小．根据他们的描述，姜老师给出的这个函数表达式可能是
A. y=3xB. y=3xC. y=−1xD. y=x2

6. 如图，在 △ABC 中，AC=BC，点 D，E 分别是边 AB，AC 的中点，延长 DE 到 F，使得 EF=DE，那么四边形 ADCF 是
A. 等腰梯形B. 直角梯形C. 矩形D. 菱形

二、填空题（共11小题；共55分）
7. 计算：3m2n−2nm2= ．

8. 方程 1x−1x+1=1 的解是 ．

9. 方程组 x2−y2=3,x−y=−1 的解是 ．

10. 如果关于 x 的方程 x2+3x−k=0 有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是 ．

11. 甲公司 1 月份的营业额为 60 万元，3 月份的营业额为 100 万元，假设该公司 2，3 两个月的增长率都为 x，那么可列方程是 ．

12. 菱形 ABCD 中，已知 AB=4，∠B=60∘，那么 BD 的长是 ．

13. 小杰和小丽参加社会实践活动，随机选择“做社区志愿者”和“参加社会调查”两项中的一项，那么两人同时选择“做社区志愿者”的概率是 ．

14. 如图，小杰同学跳起来把一个排球打在离他 2 米（即 CO=2 米）远的地上，排球反弹碰到墙上，如果他跳起击球时的高度是 1.8 米（即 AC=1.8 米），排球落地点离墙的距离是 6 米（即 OD=6 米），假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙面离地的高度 BD 的长是 米．

15. 古希腊数学家把下列一组数：1，3，6，10，15，21，⋯ 叫做三角形数，这组数有一定的规律性，如果把第一个三角形数记为 x1，第二个三角形数记为 x2，⋯，第 n 个三角形数记为 xn，那么 xn−1+xn 的值是 （用含 n 的式子表示）．

16. 如图，矩形 ABCD 中，AB=6，BC=10，将矩形 ABCD 绕着点 A 逆时针旋转后，点 D 落在边 BC 上，点 B 落在点 Bʹ 处，连接 BBʹ，那么 △ABBʹ 的面积是 ．

17. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 和点 E6,−2 都在反比例函数 y=kx 的图象上，如果 ∠AOE=45∘，那么直线 OA 的表达式是 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
18. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠A=90∘，AD=2，AB=4，CD=5，如果 AB=a，BC=b，那么向量 BD 是 （用向量 a，b 表示）．

19. 解不等式组：3x+5>3−x−2,2x+23≤3x4−1.

20. 先化简再求值：a−ba2−2ab+b2−ab+b2a2−b2⋅ab1−b，其中 a=2+3，b=2−3．

21. 如图，在梯形 ABCD 中，CD∥AB，AB=10，以 AB 为直径的 ⊙O 经过点 C，D，且点 C，D 三等分弧 AB．
（1）求 CD 的长；
（2）已知点 E 是劣弧 DC 的中点，连接 OE 交边 CD 于点 F，求 EF 的长．

22. 问题：某水果批发公司用每千克 2 元的价格购进 1000 箱橘子，每箱橘子重 10 千克．由于购进的橘子有损耗，所以真正可以出售的橘子不到 10000 千克．如果该公司希望这批橘子销售能获得 5000 元利润，应该把销售价格定为多少元?
思路：为了解决这个问题，首先要估计这 10000 千克橘子中除去损耗后剩下多少橘子可以销售，因此需要估计损耗的橘子是多少千克．
方案：为此，公司采用抽样调查来估计这批橘子的损耗情况．公司设计如下两种抽样方案：
①从仓库中最方便处打开若干箱子逐个检查；
②把这批橘子每箱从 1∼1000 编号，用电脑随机选择若干号码，打开相应的箱子进行逐个检查．
解决：
（1）公司设计的两个抽样方案，从统计意义的角度考虑，你认为哪个方案比较合适?并说明理由；
（2）该公司用合理的方式抽取了 20 箱橘子进行逐个检查，并在表中记录了每个被抽到的箱子里橘子的损耗情况．
被抽到的箱子里橘子的损耗情况表：
箱号每箱橘子的损耗重量千克箱号每箱橘子的损耗重量千克小计8.57小计8.15
根据如表信息，请你估计这批橘子的损耗率；
（3）根据以上信息，请你帮该公司确定这批橘子的销售价格，尽可能达到该公司的盈利目标（精确到 0.01 元/千克）．

23. 如图，在 △ACB 中，∠ABC=90∘，点 D 是斜边 AC 的中点，四边形 CBDE 是平行四边形．
（1）如图 1，延长 ED 交 AB 于点 F，求证：EF 垂直平分 AB；
（2）如图 2，连接 BE，AE，如果 BE 平分 ∠ABC，求证：AB=3BC．

24. 如图，已知抛物线 y=12x2+m 与 y 轴交于点 C，直线 y=−43x+4 与 y 轴和 x 轴分别交于点 A 和点 B，过点 C 作 CD⊥AB，垂足为点 D，设点 E 在 x 轴上，以 CD 为对角线作平行四边形 CEDF．
（1）当点 C 在 ∠ABO 的平分线上时，求上述抛物线的表达式；
（2）在（1）的条件下，如果平行四边形 CEDF 的顶点 F 正好落在 y 轴上，求点 F 的坐标；
（3）如果点 E 是 BO 的中点，且平行四边形 CEDF 是菱形，求 m 的值．

25. 如图，已知 ∠BAC，且 cs∠BAC=35，AB=10，点 P 是线段 AB 上的动点，点 Q 是射线 AC 上的动点，且 AQ=BP=x，以线段 PQ 为边在 AB 的上方作正方形 PQED，以线段 BP 为边在 AB 上方作正三角形 PBM．
（1）如图 2，当点 E 在射线 AC 上时，求 x 的值；
（2）如果 ⊙P 经过 D，M 两点，求正三角形 PBM 的边长；
（3）如果点 E 在 ∠MPB 的边上，求 AQ 的长．
答案
第一部分
1. D【解析】A、当 m<0 时，m 无意义，故此选项不符合题意；
B、当 m<−1 时，m+1 无意义，故此选项不符合题意；
C、当 m=−1 时，1m+1 无意义，故此选项不符合题意；
D、 m 是任意实数，m2+1 都有意义，故此选项符合题意．
2. A【解析】将抛物线 y=−x2 向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位后，
得 y=−x−32−2，
∴ 顶点坐标为 3,−2．
3. C【解析】将 0.0000077 用科学记数法表示是 7.7×10−6．
4. B【解析】剪去一个角，若边数减少 1，则内角和 =3−2×180∘=180∘，
若边数不变，则内角和 =4−2×180∘=360∘，
若边数增加 1，则内角和 =5−2×180∘=540∘，
所以，所得多边形内角和的度数可能是 180∘，360∘，540∘，不可能是 270∘．
5. B
【解析】y=3x 的图象经过一三象限过原点的直线，y 随 x 的增大而增大，故选项A错误；
y=3x 的图象在一、三象限，在每个象限内 y 随 x 的增大而减小，故选项B正确；
y=−1x 的图象在二、四象限，故选项C错误；
y=x2 的图象是顶点在原点开口向上的抛物线，在一、二象限，故选项D错误．
6. C【解析】∵E 是 AC 中点，
∴AE=EC，
∵DE=EF，
∴ 四边形 ADCF 是平行四边形，
∵AD=DB，AE=EC，
∴DE=12BC，
∴DF=BC，
∵CA=CB，
∴AC=DF，
∴ 四边形 ADCF 是矩形．
第二部分
7. m2n
8. x1=−1+52，x2=−1−52
【解析】方程两边同时乘以公分母 xx+1 得：x+1−x=x2+x，
解得 x=−1±52，
检验：把 x=−1±52 代入公分母 xx+1 得：xx+1≠0，
∴ 分式方程的解为 x1=−1+52，x2=−1−52．
9. x=−2,y=−1
【解析】x2−y2=3, ⋯⋯①x−y=−1, ⋯⋯②
由②，得 x=y−1, ⋯⋯③
把③代入①，得 y−12−y2=3，
整理，得 −2y=2，
解，得 y=−1．
把 y=−1 代入③，得 x=−2．
∴ 原方程组的解为 x=−2,y=−1.
10. k>−94
【解析】根据题意得 Δ=32−4−k>0，
解得 k>−94．
11. 601+x2=100
【解析】依题意得：601+x2=100．
12. 43
【解析】∵ 四边形 ABCD 为菱形，
∴∠ABD=12∠ABC=30∘，BO=12BD，BD⊥AC．
在 Rt△ABO 中，cs∠ABO=BOAB，
∴BO=AB⋅cs∠ABO=4×32=23．
∴BD=2BO=43．
13. 14
【解析】把“做社区志愿者”和“参加社会调查”分别记为 A，B，
画树状图如图：
共有 4 个等可能的结果，符合条件的结果有 1 个，
∴ 小杰和小丽两人同时选择“做社区志愿者”的概率是 14．
14. 5.4
【解析】由题意得：∠AOC=∠BOD．
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ACO=∠BDO=90∘．
∴△ACO∽△BDO．
∴ACBD=OCOD．
即 1.8BD=26．
∴BD=5.4（米）．
故答案为：5.4．
15. n2
【解析】将条件数据 1，3，6，10，15，21，⋯，依次扩大 2 倍得到：2，6，12，20，30，42，⋯，这组新数据中的每一个数据可以改写成两个相邻正整数的乘积，即 2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，⋯，
∴xn=nn+12，（n≥1）
∴xn−1+xn=nn−1+nn+12=n2．
16. 545
【解析】如图，过 Dʹ 作 DʹE⊥AD 于点 E，过点 B 作 BF⊥ABʹ 于点 F，
由题意得：ADʹ=AD=10，DʹE=CD=6，AB=ABʹ=6，∠DADʹ=∠BABʹ．
∵sin∠DADʹ=DʹEADʹ=610=35，
∴sin∠BABʹ=35，BF=ABsin∠BABʹ=6×35=185，
∴S△BABʹ=12×ABʹ×BF=12×6×185=545．
17. y=−2x
【解析】如图，将 OE 顺时针旋转 90∘，得到 OD，连接 DE，
交 OA 于 F，作 DM⊥y 轴于 M，作 EN⊥x 轴于 N，
由旋转可知，∠DOE=∠MON，OD=OE，
∴∠DOM=∠EON，
∴△DOM≌△EON，
∴OM=ON，DM=EN，
∵ 点 E6,−2，
∴D−2,−6，
∵∠AOE=45∘，
∴∠AOD=45∘，
∵OD=OE，
∴OA⊥DE，DF=EF，
∴F2,−4，
设直线 OA 的解析式为 y=mx，
把 F 的坐标代入得 −4=2m，解得 m=−2，
∴ 直线 OA 的解析式为 y=−2x．
第三部分
18. 25b−a
【解析】过点 D 作 DE⊥BC 于 E．
∵AD∥BC，
∴∠A+∠ABC=180∘，
∵∠A=90∘，
∴∠ABE=90∘，
∵DE⊥BC，∠DEB=90∘，
∴ 四边形 ABED 是矩形，
∴AD=BE=2，AB=DE=4，
∵CD=5，∠CED=90∘，
∴CE=CD2−DE2=52−42=3，
∴BE=25BC=25b，
∵AB∥DE，AB=DE，
∴DE=a，
BD=BE+ED=25b−a．
19. 解不等式 3x+5>3−x−2，得：
x>−2.5,
解不等式 2x+23≤3x4−1，得：
x≥20.∴
不等式组的解集为 x≥20．
20. a−ba2−2ab+b2−ab+b2a2−b2⋅ab1−b=a−ba−b2−ba+ba+ba−b⋅ab1−b=1a−b−ba−b⋅ab1−b=1−ba−b×ab1−b=aba−b.
当 a=2+3，b=2−3 时，
原式=2+32−32+3−2−3=4−32+3−2+3=123=36．
21. （1） 连接 OC，OD，
∵AB 为直径，点 C，D 三等分弧 AB，
∴AD=CD=BC=60∘．
∴∠AOD=∠COD=∠BOC=60∘．
∵OC=OD，
∴△OCD 为等边三角形．
∴CD=OD=12AB=5．
（2） 连接 OE，交 DC 于点 F，
∵ 点 E 是劣弧 DC 的中点，
∴OF⊥CD，DF=FC=12CD．
∵OC=OD，
∴∠DOF=12∠DOC=30∘．
在 Rt△ODF 中，cs∠FOD=OFOD．
∴OF=OD⋅cs∠FOD=5×32=532．
∵OE=OD=5，
∴EF=OE−OF=5−532．
22. （1） 从统计意义的角度考虑，方案②比较合适，因为此时每箱橘子都有被抽到的可能，选取的样本具有代表性，属于简单随机抽样，所以方案② 比较合适；
（2） 8.57+8.15÷10×20×100%=8.36%．
即估计这批橘子的损耗率为 8.36%．
（3） 10000×1−8.36%x−2×10000=5000，
解得，x≈2.73．
答：该公司可确定这批橘子的销售价格约为 2.73 元/千克，能够尽可能达到该公司的盈利目标．
23. （1） ∵ 四边形 CBDE 是平行四边形，
∴DE∥BC，
∵∠ABC=90∘，
∴∠AFD=90∘，
∴DF⊥AB，
又 ∵D 为 AC 的中点，
∴AD=BD，
∴AF=BF，
即 EF 垂直平分 AB；
（2） 延长 ED 交 AB 于点 F，
由（1）知，EF 垂直平分 AB，
∴DF=12BC，
∵ 四边形 CBDE 是平行四边形，
∴BC=DE，
∴EF=DF+DE=32BC，
∵BE 平分 ∠ABC，
∴∠FBE=45∘，
∴∠FBE=∠FEB=45∘，
∴BF=EF，
∴BF=32BC，
∴AB=2BF=3BC．
24. （1） 对于 y=−43x+4, ⋯⋯①
令 y=−43x+4=0，解得 x=3；令 x=0，则 y=4，
故点 A，B 的坐标分别为 0,4，3,0，
由点 A，B 的坐标知，OA=4，OB=3，则 AB=5，
连接 BC，如下图，
∵ 点 C 在 ∠ABO 的平分线上，则 OC=CD，
∵BC=BC，
∴Rt△BCD≌Rt△BCOHL，
故 BD=OB=3，则 AD=5−3=2，
设 OC=CD=x，则 AC=4−x，
在 Rt△ADC 中，由勾股定理得：4−x2=x2+4，解得 x=32，
故点 C 的坐标为 0,32，
则抛物线的表达式为 y=12x2+32．
（2） 如上图，过点 C 作 CH∥x 轴交 AB 于点 H，则 ∠ABO=∠AHC，
由 AB 得表达式知，tan∠ABO=43=tan∠DHC，则 tan∠DCH=34，
故直线 CD 的表达式为 y=34x+32, ⋯⋯②
联立①②并解得 x=65,y=125, 故点 D 的坐标为 65,125，
如果平行四边形 CEDF 的顶点 F 正好落在 y 轴上，则 DE∥y 轴，且 DE=CF，
故 DE=yD=125，则 yF=yC+DE=125+32=3910，
故点 F 的坐标为 0,3910．
（3） ∵ 点 E 是 BO 的中点，故点 E32,0，
由（2）知，直线 CD 的表达式为 y=34x+m, ⋯⋯③
联立①③并解得，点 D 的坐标为 48−12m25,36+16m25，
而点 E，C 的坐标分别为 32,0，0,m，
∵ 平行四边形 CEDF 是菱形，则 DE=CE，
即 48−12m25−322+36+16m252=322+m2，
即 9m2−36m=0，解得 m=4舍去或0，故 m=0．
25. （1） ∵csA=35，则 sinA=45．
当点 E 在 AC 上时，则 ∠AQP＝90∘，
∵AQ=PB=x，则 AP=AB−PB=10−x，
则 csA=AQAP=x10−x=35，
解得 x=154．
（2） 如图，过点 Q 作 QH⊥AP 于点 H，
∵⊙P 经过 D，M 两点，PD=PM，则 PQ=PB=AQ=x，
∴ 点 H 是 AP 的中点，
则 AH=12AP=1210−x，
csA=AHAQ=1210−xx=35，
解得 x=5011，
即正三角形 PBM 的边长为 5011．
（3） ①当点 E 在 PM 边上时，如图 2，过点 Q 作 QH⊥AB 于点 H，作 PQ 的中垂线交 QH 于点 G，交 PQ 于点 N，
则 ∠QPA=180∘−∠MPB−∠QPE=180∘−45∘−60∘=75∘，
则 ∠HQP=90∘−75∘=15∘，则 ∠HGP=15∘×2=30∘，
在 Rt△PHQ 中，设 PH=t，则 GQ=GP=2t，GH=3t，
∴QH=2t+3t=xsinA=45x，解得 t=4x52+3，
AB=AH+PH+PB，即 35x+4x52+3+x=10，
解得 x=100+25326；
②当点 E 在 AB 边上时，如图 3，过点 Q 作 QH⊥AB 于点 H，
则 PH=QH=AQsinA=45x，AH=xcsA=35x，
∴PH>AH，
即点 P 在 BA 的延长线上，与题意不符；
综上，AQ=100+25326．