2021年上海市松江区中考二模数学试卷

这是一份2021年上海市松江区中考二模数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 下列二次根式中，最简二次根式是
A. 8B. 6C. 12D. 0.2

2. 将抛物线 y=x−22+1 向上平移 3 个单位，得到新抛物线的顶点坐标是
A. 2,4B. −1,1C. 5,1D. 2,−2

3. 关于 x 的一元二次方程 kx2−4x+1=0 有两个实数根，则 k 的取值范围是
A. k>4B. k≤4
C. k<4 且 k≠0D. k≤4 且 k≠0

4. 下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是
A. 平均数B. 众数C. 方差D. 频数

5. 已知三角形两边的长分别是 4 和 9，则此三角形第三边的长可以是
A. 4B. 5C. 10D. 15

6. 已知 ⊙O 的半径 OA 长为 3，点 B 在线段 OA 上，且 OB=2，如果 ⊙B 与 ⊙O 有公共点，那么 ⊙B 的半径 r 的取值范围是
A. r≥1B. r≤5C. 1
二、填空题（共12小题；共60分）
7. 计算：813= ．

8. 分解因式：a2−4b2= ．

9. 方程 2x−3=1 的解是 ．

10. 数 0.00035 用科学记数法表示为 ．

11. 用换元法解方程 x−1x+2xx−1=3 时，设 x−1x=y，那么原方程化成关于 y 的整式方程是 ．

12. 已知反比例函数 y=k−2x 的图象在每个象限内 y 的值随 x 的值增大而减小，则 k 的取值范围是 ．

13. 布袋中装有 4 个红球和 5 个白球，它们除颜色不同外其他都相同．如果从布袋中随机摸出一个球，那么摸到的球恰好为红球的概率是 ．

14. 一次数学测试后，某班 40 名学生按成绩分成 5 组，第 1，2，3，4 组的频数分别为 13，10，6，7，则第 5 组的频率为 ．

15. 如图，已知平行四边形 ABCD，E 是边 CD 的中点，连接 AE 并延长，与 BC 的延长线交于点 F．设 AB=a，AD=b，用 a，b 表示 AF 为 ．

16. 已知正三角形 ABC 外接圆的半径为 2，那么正三角形 ABC 的面积为 ．

17. 如图，某人在山坡坡脚 A 处测得电视塔塔尖点 P 的仰角为 60∘，沿山坡向上走 200 米到达 B 处，在 B 处测得点 P 的仰角为 15∘．已知山坡 AB 的坡度 i=1:3，且 H，A，B，P 在同一平面内，那么电视塔的高度 PH 为 米．（结果保留根号形式）

18. 如图，已知 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=8．将 △ABC 翻折，使点 C 落在 AB 边上的点 D 处，折痕 EF 交边 AC 于点 E，交边 BC 于点 F，如果 DE∥BC，则线段 EF 的长为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 先化简，再求值：2x−6x+2÷x−2−5x+2，其中 x=−12．

20. 解方程组：x+3y=4, ⋯⋯①x2+4xy−5y2=0. ⋯⋯②

21. 如图，已知 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，ct∠BAC=2，BC=4，以边 AC 上一点 O 为圆心，OA 为半径的 ⊙O 经过点 B．
（1）求 ⊙O 的半径；
（2）点 P 是劣弧 AB 的中点，求 tan∠PAB 的值．

22. 一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车相遇时轿车比货车多行驶了 90 千米．设行驶的时间为 t（小时），两车之间的距离为 s（千米），图中线段 AB 表示从两车发车至两车相遇这一过程中 s 与 t 之间的函数关系，根据图象提供的信息回答下列问题：
（1）求 s 关于 t 的函数关系式；（不必写出定义域）
（2）求两车的速度．

23. 如图，已知在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=90∘，AE⊥BD，垂足为 E，连接 CE，作 EF⊥CE，交边 AB 于点 F．
（1）求证：△AEF∽△BEC；
（2）若 AB=BC，求证：AF=AD．

24. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=3x+3 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A，B，抛物线 y=ax2+bx−5a 经过点 A．将点 B 向右平移 5 个单位长度，得到点 C．
（1）求点 C 的坐标；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）若抛物线的顶点在 △OBC 的内部，求 a 的取值范围．

25. 如图，已知在 △ABC 中，BC>AB，BD 平分 ∠ABC，交边 AC 于点 D，E 是 BC 边上一点，且 BE=BA，过点 A 作 AG∥DE，分别交 BD，BC 于点 F，G，连接 FE．
（1）求证：四边形 AFED 是菱形；
（2）求证：AB2=BG⋅BC；
（3）若 AB=AC，BG=CE，连接 AE，求 S△ADES△ABC 的值．
答案
第一部分
1. B【解析】A．8=22，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；
B．6 不能化简，是最简二次根式，符合题意；
C．12=22，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；
D．0.2=55，能化简，不是最简二次根式，不符合题意．
2. A【解析】将抛物线 y=x−22+1 向上平移 3 个单位，得 y=x−22+1+3，即 y=x−22+4，
顶点坐标为 2,4．
3. D【解析】∵ 方程有两个实数根，
∴ 根的判别式 Δ=b2−4ac=16−4k≥0，
即 k≤4，且 k≠0．
4. C【解析】能反映一组数据波动程度的是方差或标准差．
5. C
【解析】设第三边长为 x，则由三角形三边关系定理得 9−3因此，本题的第三边应满足 6只有 10 符合不等式．
6. D【解析】如图，
当 ⊙B 内切于 ⊙O 时，⊙B 的半径为 3−2=1，
当 ⊙O 内切于 ⊙B 时，⊙B 的半径为 3+2=5，
∴ 如果 ⊙B 与 ⊙O 有公共点，那么 ⊙B 的半径 r 的取值范围是 1≤r≤5．
第二部分
7. 2
8. a+2ba−2b
9. x=2
【解析】2x−3=1，
两边平方得，2x−3=1，
解得，x=2；
经检验，x=2 是方程的根．
10. 3.5×10−4
11. y2−3y+2=0
【解析】设 x−1x=y，则 xx−1=1y．
∴ 原方程可变形为：y+2y=3．
方程的两边都乘以 y，得 y2+2=3y．即 y2−3y+2=0．
12. k>2
【解析】∵ 反比例函数 y=k−2x 的图象在每个象限内 y 的值随 x 的值增大而减小，
∴k−2>0，
解得 k>2．
13. 49
【解析】∵ 一个布袋里装有 4 个红球和 5 个白球，
∴ 摸出一个球摸到红球的概率为：44+5=49．
14. 0.1
【解析】第 5 组的频数为：40−13−10−6−7=4，
第 5 组的频率为：440=0.1，
故答案为：0.1．
15. a+2b
【解析】在平行四边形 ABCD 中，CD∥AC，则 CE∥AB．
∵E 是边 CD 的中点，
∴CE 是 △ABF 的中位线，
∴BC=CF．
在四边形 ABCD 中，AD=BC，AD=b，则 BF=2BC=2AD=2b．
∵AB=a，
∴AF=AB+BF=a+2b．
16. 33
【解析】如图所示：连接 OA，OB，OC，过 O 作 OD⊥BC 于 D，
∵ 正三角形 ABC 外接圆的半径为 2，
∴OA=OB=OC=2，∠ABC=60∘，
∴∠OBD=30∘，
∵OD⊥BC，
∴∠ODB=90∘，OD=12OB=12×2=1，
∴BD=3OD=3，
∴BC=2BD=23，
∴S△ABC=12BC×AD=12BC×AO+OD=12×23×2+1=12×23×3=33.
17. 1003
【解析】过 B 作 BM⊥HA 于 M，过 B 作 BN∥AM，如图所示：
则 ∠AMB=90∘，∠ABN=∠BAM，
由题意得：AB=200 米，∠PBN=15∘，∠PAH=60∘，
∵ 山坡 AB 的坡度 i=1:3，
∴tan∠BAM=1:3=33，
∴∠BAM=30∘，
∴∠ABN=30∘，
∴∠PAB=180∘−∠PAH−∠BAM=90∘，∠ABP=∠ABN+∠PBN=45∘，
∴△PAB 是等腰直角三角形，
∴PA=AB=200 米，
在 Rt△PAH 中，sin∠PAH=PHPA=sin60∘=32，
∴PH=32PA=1003（米），
故答案为：1003．
18. 2427
【解析】如图，
由折叠可知，EC=ED，FC=FD，∠CEF=∠DEF，EF 是 CD 的垂直平分线，
∵DE∥BC，∠ACB=90∘，
∴∠AED=∠ACB=90∘，
∴∠CEF=∠DEF=45∘，
∴∠CED=∠ECF=∠EDF=90∘
∴ 四边形 CEDF 是正方形，
设 CF=x，则 AE=6−x，BF=8−x，
由 △AED∽△DFB，得 AEDF=EDFB，
即 6−xx=x8−x，解得 x=247，
在 Rt△CEF 中，EF=2CF=2427．
第三部分
19. 2x−6x+2÷x−2−5x+2=2x−3x+2÷x−2x+2−5x+2=2x−3x+2⋅x+2x2−4−5=2x−3x+3x−3=2x+3,
当 x=−12 时，原式=2−12+3=45．
20. 由②，得
x+5yx−y=0,
所以
x+5y=0, ⋯⋯③或x−y=0. ⋯⋯④
由①③、①④组成新的方程组为：
x+3y=4,x+5y=0,x+3y=4,x−y=0.
解这两个方程组，得
x1=10,y1=2,x2=1,y2=1.
所以原方程组的解为：x1=10,y1=2, x2=1,y2=1.
21. （1） 如图 1，连接 OB，
在 Rt△ACB 中，
∵∠C=90∘，ct∠BAC=2，BC=4，
∴ACBC=2，
∴AC4=2，
∴AC=8，
设 ⊙O 的半径为 r，则 OB=r，OC=8−r，
在 Rt△OCB 中，由勾股定理得：OB2=OC2+BC2，
∴r2=8−r2+42，
解得：r=5，
∴⊙O 的半径为 5．
（2） 如图 2，连接 OP，OB，OP 交 AB 于 E，
Rt△OCB 中，由勾股定理得：OC=3，
Rt△ACB 中，AB=AC2+BC2=82+42=45，
∵ 点 P 是劣弧 AB 的中点，
∴OP⊥AB，
∴AE=BE=25，
∴OE=OA2−AE2=52−252=5，
∴EP=OP−OE=5−5，
Rt△AEP 中，tan∠PAB=PEAE=5−525=55−510=5−12．
22. （1） 设 s 关于 t 的函数关系式为 s=kt+b，根据题意，得：
2k+b=150,3k+b=0,
解得 k=−150,b=450.
∴s=−150t+450．
（2） 由 s=−150t+450，可知甲、乙两地之间的距离为 450 千米，
设两车相遇时，设轿车和货车的速度分别为 v1 千米/小时，v2 千米/小时，根据题意，
得：
3v1+3v2=450,3v1−3v2=90,
解得
v1=90,v2=60,
故轿车和货车速度分别为 90 千米/小时，60 千米/小时．
23. （1） ∵AE⊥BD，EF⊥CE，
∴∠AEB=∠CEF=∠ABC=90∘，
∴∠ABE+∠EAF=∠ABE+∠CBE=90∘，
∴∠EAF=∠CBE，
∵∠AEF+∠BEF=∠BEC+∠BEF=90∘，
∴∠AEF=∠BEC，
∴△AEF∽△BEC．
（2） ∵AD∥BC，∠ABC=90∘，
∴∠BAD=180∘−∠ABC=90∘，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90∘=∠BAD，
∵∠ABE=∠DBA，
∴△ABE∽△DBA，
∴AEBE=ADAB，
∵△AEF∽△BEC，
∴AEBE=AFBC，
∴AFBC=ADAB，
∵AB=BC，
∴AF=AD．
24. （1） 在 y=3x+3 中，令 x=0 得 y=3，令 y=0 得 x=−1，
∴A−1,0，B0,3，
∵ 点 B 向右平移 5 个单位长度，得到点 C．
∴C5,3；
（2） ∵A−1,0，抛物线 y=ax2+bx−5a 经过点 A，
∴0=a−b−5a，即 b=−4a，
∴ 抛物线 y=ax2+bx−5a 对称轴为 x=−b2a=−−4a2a=2；
（3） 对称轴 x=2 与 BC 交于 D，与 OC 交于 E，如图：
设 OC 解析式为 y=kx，
∵5,3，
∴3=5k，
∴k=35，
∴OC 解析式为 y=35x，
令 x=2 得 y=65，即 E2,65，
由（1）知 b=−4a，
∴ 抛物线 y=ax2−4ax−5a，
∴ 顶点坐标为 2,−9a，
抛物线的顶点在 △OBC 的内部，则顶点在 D 和 E 之间，
而 D2,3，
∴65<−9a<3，
∴−1325. （1） 如图，
∵BD 平分 ∠ABC，
∴∠ABF=∠EBF，
∵BA=BE，BF=BF，
∴△ABF≌△EBFSAS，
∴AF=EF，
同理可得 △ABD≌△EBDSAS，
∴AD=ED，∠ADB=∠EDB，
∵AG∥DE，
∴∠AFD=∠EDF，
∴∠AFD=∠ADF，
∴AF=AD，
∴AF=FE=ED=DA，
∴ 四边形 AFED 是菱形．
（2） 由（1）得 △ABF≌△EBF，
∴∠BAG=∠BEF，
∵ 四边形 AFED 是菱形，
∴AD∥FE，
∴∠BEF=∠C，
∴∠BAG=∠C，
∵∠ABG=∠CBA，
∴△ABG∽△CBA，
∴ABBC=BGAB，即 AB2=BG⋅BC．
（3） 由（2）得，△ABG∽△CBA，AB=AC，
∴AG=BG，
∴∠GAB=∠GBA，
∴∠AGC=2∠GAB，
∵BG=CE，
∴BE=CG，
∴CG=CA，
∴∠CAG=∠CGA，
∵∠CAG=2∠DAE，
∴∠DAE=∠ABC，
∴∠DEA=∠ACB，
∴△DAE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=AEBC2，
∵AB2=BG⋅BC，AB=BE，BG=EC，
∴BE2=EC⋅BC，
∴ 点 E 是 BC 的黄金分割点，
∴BEBC=5−12，
∴CEBC=3−52，
∵∠EAC=∠C，
∴CE=AE，
∴AEBC=3−52，
∴S△ADES△ABC=7−352．