2021年北京市东城区中考一模数学试卷

这是一份2021年北京市东城区中考一模数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 某几何体的三视图如图所示，该几何体是
A. 三棱柱B. 正方体C. 圆锥D. 圆柱

2. 在平面直角坐标系 xOy 中，下列函数的图象不过点 1,1 的是
A. y=1xB. y=x2C. y=−x+1D. y=x3

3. 2020 年 7 月 23 日，中国首颗火星探测器“天问一号”成功发射．2021 年 2 月 10 日，在经过长达七个月，475000000 公里的漫长飞行之后，“天问一号”成功进入火星轨道．将 475000000 用科学记数法表示应为
A. 4.75×107B. 4.75×108C. 4.75×109D. 475×106

4. 一副三角板如图放置，斜边互相平行，且每个三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上．在图中所标记的角中，与 ∠1 相等的角是
A. ∠2B. ∠3C. ∠4D. ∠5

5. 如图，△ABC 经过旋转或轴对称得到 △ABʹCʹ，其中 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 60∘ 的是
A. B.
C. D.

6. 实数 a，b，c 在数轴上的对应点的位置如图所示．下列式子正确的是
A. ∣a∣>∣b∣B. a<−bC. a−b<0D. ac>bc

7. 如图，PA，PB 是 ⊙O 的切线，切点分别为 A，B，PO 的延长线交 ⊙O 于点 C，连接 OA，OB，BC，若 AO=2，OP=4，则 ∠C 等于
A. 20∘B. 30∘C. 45∘D. 60∘

8. 一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是 30 cm，40 cm．现要做一个与其相似的三角形木架，如果以 60 cm 长的木条为其中一边，那么另两边中长度最大的一边最多可达到
A. 60 cmB. 75 cmC. 100 cmD. 120 cm

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 若分式 x2x−1 的值为 0，则 x 的值等于 ．

10. 分解因式：ma2−4mab+4mb2= ．

11. 用一组 a，b 的值说明“若 a>b，则 a2>b2”是假命题，这组值可以是 a= ，b= ．

12. 4 月 23 日是世界读书日．甲、乙两位同学在读书日到来之际共购买图书 22 本，其中甲同学购买的图书数量比乙同学购买的图书数量的 2 倍多 1，求甲、乙两位同学分别购买的图书数量．设甲同学购买图书 x 本、乙同学购买图书 y 本，则可列方程组为 ．

13. 有人做了掷骰子的大量重复试验，统计结果如下表所示：
投掷次数n"出现点数为1"的次数频数m频率
根据上表信息，掷一枚骰子，估计“出现点数为 1”的概率为 ．（精确到 0.001）

14. 若一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，则这个多边形的边数为 ．

15. 若关于 x 的一元二次方程 x2+2m+1x+c=0 有两个相等的实数根，则 c 的最小值是 ．

16. 小青要从家去某博物馆参加活动，经过查询得到多种出行方式，可选择的交通工具有地铁、公交车、出租车、共享单车等，小青的家到地铁站（或公交车站）有一段距离，地铁站（或公交车站）到该博物馆也有一段距离，需要步行或骑共享单车共享单车的计价规则为：每 30 分钟 1.5 元，不足 30 分钟的按 30 分钟计算.出行方式的相应信息如下表（√ 表示某种出行方式选择的交通工具）：
乘出租车乘坐公交车乘坐地铁骑共享单车共需步行公里总用时分钟费用元方式1√2.0474方式2√563方式3√1.6783方式4√1.8803方式5√√1.5606方式6√√1.6566方式7√√1.7556方式8√√1.5576方式9√0.23241
根据表格中提供的信息，小青得出以下四个推断：
①要使费用尽可能少，可以选择方式 2，3，4；
②要使用时较短，且费用较少，可以选择方式 1；
③如果选择公交车和地铁混合的出行方式，平均用时约 57 分钟；
④如果将上述出行方式中的“步行”改为“骑共享单车”，那么除方式 2 外，其它出行方式的费用均会超过 8 元．
其中推断合理的是 ．（填序号）

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：13−1+8−∣−1∣−6sin45∘．

18. 已知 2x2−10x−1=0，求代数式 x−12x−1−x+12 的值．

19. 尺规作图：
如图，已知线段 a，线段 b 及其中点．
求作：菱形 ABCD，使其两条对角线的长分别等于线段 a，b 的长．
作法：①作直线 m，在 m 上任意截取线段 AC=a；
②作线段 AC 的垂直平分线 EF 交线段 AC 于点 O；
③以点 O 为圆心，线段 b 的长的一半为半径画圆，交直线 EF 于点 B，D；
④分别连接 AB，BC，CD，DA；
则四边形 ABCD 就是所求作的菱形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵OA=OC，OB=OD，
∴ 四边形 ABCD 是 ．
∵AC⊥BD，
∴ 四边形 ABCD 是菱形（ ）（填推理的依据）．

20. 解不等式组：1+x6>2x−53+1,5x+3≥4x−1, 并写出其中的正整数解．

21. 解分式方程：x−1x+2=3−2x2+x+1．

22. 如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 D 作 DE⊥AC 于点 E，DE 的延长线交 AB 于点 F．过点 B 作 BG∥DF 交 DC 于点 G，交 AC 于点 M．过点 G 作 GN⊥DF 于点 N．
（1）求证：四边形 NEMG 为矩形．
（2）若 AB=26，GN=8，sin∠CAB=513，求线段 AC 的长．

23. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1:y=kx+b 与直线 y=3x 平行，且过点 A2,7．
（1）求直线 l1 的表达式；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫作整点．直线 l2 与直线 l1 关于 y 轴对称，直线 y=m 与直线 l1，l2 围成的区城 W 内（不包含边界）恰有 6 个整点，求 m 的取值范围．

24. 如图，△ABC 是 ⊙O 的内接三角形，过点 C 作 ⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 D，OE⊥BC 于点 E，交 CD 于点 F．
（1）求证：∠A+∠OFC=90∘；
（2）若 tanA=32，BC=6，求线段 CF 的长．

25. 第 24 届冬季奥林匹克运动会，又称 2022 年北京冬奥会，将于 2022 年 2 月 4 日至 2 月 20 日，在北京市和张家口市同时举行．为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，小冬从初中三个年级各随机抽取 10 人，进行了相关测试，获得了他们的成绩（单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了相关信息：
a. 30 名同学冬奥知识测试成绩的统计图如下：
b．30 名同学冬奥知识测试成绩的频数分布直方图如下（数据分成 6 组：40≤x<50，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100）：
c．测试成绩在 70≤x<80 这一组的是：
70 73 74 74 75 75 77 78
d.小明的冬奥知识测试成绩为 85 分.
根据以上信息，回答下列问题：
（1）小明的测试成绩在抽取的 30 名同学的成绩中从高到低排名第 ；
（2）抽取的 30 名同学的成绩的中位数为 ；
（3）序号为 1−10 的学生是七年级的，他们的成绩的方差记为 s12；序号为 11−20 的学生是八年级的，他们的成绩的方差记为 s22；序号为 21−30 的学生是九年级的，他们的成绩的方差记为 s32．直接写出 s12，s22，s32 的大小关系；
（4）成绩 80 分及以上记为优秀，若该校初中三个年纪 420 名同学都参加测试，估计成绩优秀的同学约为 人．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 Ax1,y1，Bx2,y2 在抛物线 y=−x2+2a−2x−a2+2a 上，其中 x1（1）求抛物线的对称轴（用含 a 的式子表示）；
（2）①当 x=a 时，求 y 的值；
②若 y1=y2=0，求 x1 的值（用含 a 的式子表示）；
（3）若对于 x1+x2<−4，都有 y1
27. 已知 ∠MAN=30∘，点 B 为边 AM 上一个定点，点 P 为线段 AB 上一个动点（不与点 A，B 重合），点 P 关于直线 AN 的对称点为点 Q，连接 AQ，BQ．点 A 关于直线 BQ 的对称点为点 C，连接 PQ，CP．
（1）如图 1，若点 P 为线段 AB 的中点．
①直接写出 ∠AQB 的度数；
②依题意补全图形，并直接写出线段 CP 与 AP 的数量关系；
（2）如图 2，若线段 CP 与 BQ 交于点 D．
①设 ∠BQP=α，求 ∠CPQ 的大小（用含 α 的式子表示）；
②用等式表示线段 DC，DQ，DP 之间的数量关系，并证明．

28. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知正方形 ABCD，其中 A−22,0，B0,22，C22,0，D0,−22．M，N 为该正方形外两点，MN=1．
给出如下定义：记线段 MN 的中点为 P，平移线段 MN 得到线段 MʹNʹ，使点 Mʹ，Nʹ 分别落在正方形 ABCD 的相邻两边上，或线段 MʹNʹ 与正方形的边重合（Mʹ,Nʹ，Pʹ 分别为点 M，N，P 的对应点），线段 PPʹ 长度的最小值称为线段 MN 到正方形 ABCD 的“平移距离”．
（1）如图 1，平移线段 MN，得到正方形 ABCD 内两条长度为 1 的线段 M1N1，M2N2，则这两条线段的位置关系是 ；若 P1，P2 分别为 M1N1，M2N2 的中点，在点 P1，P2 中，连接点 P 与点 的线段的长度等于线段 MN 到正方形 ABCD 的“平移距离”．
（2）如图 2，已知点 E22+1,0，若 M，N 都在直线 BE 上，记线段 MN 到正方形 ABCD 的“平移距离”为 d1，求 d1 的最小值；
（3）若线段 MN 的中点 P 的坐标为 2,2，记线段 MN 到正方形 ABCD 的“平移距离”为 d2，直接写出 d2 的取值范围．
答案
第一部分
1. D
2. C
3. B
4. A
5. D
6. C
7. B
8. C
第二部分
9. 0
10. ma−2b2
11. 0，−1（答案不唯一）
12. x=2y+1,x+y=22
13. 0.167
14. 6
15. 0
16. ①②③
第三部分
17. 13−1+8−∣−1∣−6sin45∘=3+22−1−6×22=2−2.
18. x−12x−1−x+12=2x2−2x−x+1−x2−2x−1=x2−5x.
∵2x2−10x−1=0，
∴x2−5x=12．
∴原式=x2−5x=12．
19. （1） 尺规作图如图：
（2） 平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形
20.
1+x6>2x−53+1, ⋯⋯①5x+3≥4x−1, ⋯⋯②
由①去分母，得
1+x>22x−5+6,
去括号，得
1+x>4x−10+6,
移项，得
x−4x>−10+6−1,
合并同类项，得
−3x>−5,
系数化为 1，得
x<53,∴
不等式①的解集为 x<53,
由②移项，得
5x−4x≥−3−1,
合并同类项，得
x≥−4,∴
不等式②的解集为 x≥−4,
∴ 不等式组的解集为
−4≤x<53,
其中正整数解为 x=1．
21. 去分母，得
x−1=3−2x+x+2,
移项，得
x+2x−x=3+2+1,
合并同类项，得
2x=6,
系数化为 1，得
x=3.
经检验，x=3 是原方程的解．
所以，原方程的解为 x=3．
22. （1） ∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90∘．
∵BG∥DF，
∴∠GME+∠DEC=180∘，
∴∠GME=90∘．
∵GN⊥DF，
∴∠ENG=90∘．
∴ 四边形 NEMG 为矩形．
（2） ∵ 四边形 NEMG 为矩形，
∴EM=NG=8．
在 Rt△AMB 中，∠AMB=90∘．
∵sin∠CAB=BMAB=513，AB=26，
∴BM=10．
根据勾股定理，得 AM=24．
∴AE=AM−EM=16．
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC．
∴∠DAE=∠BCM．
∵∠AED=∠CMB=90∘，
∴△ADE≌△CBMAAS．
∴AE=CM．
∴AC=2AE+EM=40．
23. （1） ∵ 直线 l1 与直线 y=3x 平行，
∴k=3．
∵ 直线 l1 过点 2,7，
∴b=1．
∴ 直线 l1 的表达式为 y=3x+1．
（2） ①当 m>1 时，
把 y=5 代入 y=3x+1，得 x=43，
∴ 直线 y=5 与直线 l1 的交点为 43,5．
由图形的对称性，
可知，
直线 y=5 与直线 l2 的交点为 −43,5．
结合图象，可知
当 1当 5 0,2，0,3，0,4，−1,5，0,5，1,5．
当 m>6 时，区域 W 内（不包含边界）整点个数大于 6，不符合题意．
∴5②当 m<1 时，由图形的对称性，得 −4≤m<−3．
综上所述，−4≤m<−3 或 524. （1） 方法 1：
如图，作直径 CG，连接 BG，
则 ∠GBC=90∘．
∵OE⊥BC，
∴∠1=90∘=∠GBC．
∴OF∥BG．
∴∠G=∠2．
∵∠G=∠A，
∴∠A=∠2．
∵CD 是 ⊙O 的切线，
∴CG⊥CD．
∴∠OCF=90∘．
∴∠2+∠OFC=90∘．
∴∠A+∠OFC=90∘
【解析】方法 2：
如图，连接 OC，OB．
∵OE⊥BC，OB=OC，
∴∠2=12∠BOC．
∵∠A=12∠BOC．
∴∠A=∠2．
∵CD 是 ⊙O 的切线，
∴CO⊥CD．
∴∠2+∠OFC=90∘．
∴∠A+∠OFC=90∘．
（2） 方法 1：
∵∠G=∠A=∠2，
∴tanG=tan∠2=tanA=32．
在 Rt△BCG 中，BC=6，tanG=BCBG=32，
∴BG=4．
根据勾股定理，得 CG=213．
∴OC=13．
在 Rt△OCF 中，tan∠2=CFOC=32，
∴CF=3213．
【解析】方法 2：
∵OE⊥BC，
∴CE=12BC=3．
∵∠3+∠OFC=90∘，∠A+∠OFC=90∘．
∴∠A=∠3．
∴tan∠3=tanA=32．
在 Rt△CEF 中，CE=3，tan∠3=EFCE=32，
∴EF=92．
根据勾股定理，得 CF=3213．
25. （1） 5
（2） 74
（3） s22>s12>s32
（4） 140
26. （1） 抛物线的对称轴为直线 x=−2a−1−2=a−1；
（2） ①当 x=a 时，y=−a2+2a2−2a−a2+2a=0；
② x1=a−2；
（3） ①当 a≥−1 时，
∵x1 ∴x1<−2，只需讨论 x1若 x1 ∵x ∴y1若 x1 ∵a−1≥−2，
∴2a−1≥−4．
∵x1+x2<−4，
∴x1+x2<2a−1，
∴x1<2a−1−x2，
∵x=2a−1−x2 时，y=y2，x ∴y1②当 a<−1 时，
令 x1=a−1，x2=−2．
此时 x1+x2<−4，但 y1>y2，不符合题意；
综上所述，a 的取值范围为 a≥−1．
27. （1） ① ∠AQB=90∘；
②补全图形，如图 1，CP=3AP．
（2） ①如图 2，连接 CQ，
∵ 点 P，点 Q 关于直线 AN 对称，点 A，点 C 关于直线 BQ 对称，
∴AP=AQ=CQ，∠PAN=∠QAN，∠CQB=∠AQB．
∵∠MAN=30∘，
∴∠PAQ=60∘．
∴△APQ 为等边三角形．
∴∠AQP=60∘，PQ=AQ．
∴CQ=PQ．
∴∠C=∠CPQ．
∵∠BQP=α，
∴∠CQB=60∘+α．
∴∠CQP=60∘+2α．
∴∠CPQ=60∘−α．
②结论：DC=DP+DQ．
证明：
∵∠CDQ=∠CPQ+∠BQP，
∴∠CDQ=60∘．
在 DC 上截取 DE=DQ，连接 EQ，
∴△DEQ 为等边三角形．
∴QE=QD．
∴∠DEQ=∠EDQ=60∘．
∴∠CEQ=∠PDQ=120∘．
∵∠C=∠CPQ，CQ=PQ，
∴△CEQ≌△PDQAAS．
∴EC=DP．
∴DC=EC+DE=DP+DQ．
28. （1） M1N1∥M2N2；P1
【解析】由题意，M1N1∥M2N2，连接点 P 与点 P1 的线段的长度是等于线段 MN 到正方形 ABCD 的“平移距离”．
（2） 如图 2 中，当 M，N 分别在 AB，BC 上时，d1 存在最小值，最小值等于点 B 到 MN 的距离．
∵A−22,0，B0,22，C22,0，D0,−22．
∴OA=OC=OB=OD，
∵AC⊥BD，
∴ 四边形 ABCD 是正方形，BC=2OB=1，
∵E22+1,0，
∴EC=1，
∴BC=EC，
∴∠CBE=∠CEB，
∵∠OCB=45∘=∠CBE+∠CEB，
∴∠CBE=∠CEB=22.5∘，
∵MN∥BE，
∴∠BNM=∠CBE=22.5∘，
在 Rt△BMN 中，在 BN 上取一点 T，使得 BM=BT，则 ∠BMT=∠BTM=45∘，
∵∠BTM=∠TMN+∠N=45∘，
∴∠N=∠TMN=22.5∘，
∴TM=TN，
设 BM=BT=x，则 TM=TN=2x，
∵MN=1，
∴x2+x+2x2=12，
∴x2=2−24，
∴ 点 B 到直线 MN 的距离=BM⋅BNMN=xx+2x=1+2x2=24.
（3） 22−12≤d2≤172−22．
【解析】如图 3 中，
当 MN 与 BC 重合时，BC 的中点为 K，此时线段 MN 到正方形 ABCD 的“平移距离”为 d2 的值最小，
最小值 =PK=22−12，
当 MN 与 AB 重合时，AB 的中点为 T，此时线段 MN 到正方形 ABCD 的“平移距离”为 d2 的值最大，
最大值 =PT=22−122+122=172−22．
综上所述，22−12≤d2≤172−22．