2020年广东省广州市天河区中考一模数学试卷

这是一份2020年广东省广州市天河区中考一模数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 南、北为两个相反方向，如果 +4 m 表示一个物体向北运动 4 m，那么 −3 m 表示的是
A. 向东运动 3 mB. 向南运动 3 mC. 向西运动 3 mD. 向北运动 3 m

2. 下列四个几何体中，从正面看得到的平面图形是三角形的是
A. B.
C. D.

3. 2019 年 3 月 11 日互联网生活服务平台美团点评发布 2018 年全年美团点评实现总营收为 652 亿元，同比增长 92.3%，数据“652 亿”用科学记数法表示为
A. 0.652×1011B. 6.52×109C. 6.52×1010D. 65.2×1010

4. 某班级开展一种游戏互动，规则是：在 20 个商标中，有 5 个商标牌的背面注明了一定的奖金额，其余商标的背面是一张苦脸，若翻到它就不得奖，每人有三次翻牌机会．小明同学前两次翻牌均得若干奖金，如果翻过的牌不能再翻，那么他第三次翻牌获奖的概率是
A. 14B. 16C. 15D. 320

5. 下列计算正确的是
A. 4a2=4a2B. 2a+2b=4abC. 82=82=2D. 33−23=1

6. 甲、乙两地相距 100 千米，某人开车从甲地到乙地，那么它的速度 v（千米/小时）与时间 t（小时）之间的函数关系用图象表示大致为
A. B.
C. D.

7. 如图，将 △ABC 沿过边上两点 D，E 的直线折叠后，使得点 B 与点 A 重合．若已知 BE=4 cm，DE=3 cm，则 △ABC 的周长与 △ADC 的周长的差为
A. 4 cmB. 5 cmC. 8 cmD. 10 cm

8. 对于抛物线 y=−14x2+x−4，下列说法正确的是
A. y 随 x 的增大而减少B. 当 x=2 时，y 有最大值 −3
C. 顶点坐标为 −2,−7D. 抛物线与 x 轴有两个交点

9. 若一次函数 y=ax+b 的图象经过一、二、四象限，则下列不等式中能成立的是
A. a>0B. b<0C. a+b>0D. a−b<0

10. 定义新运算：a*b=am−b．若方程 x2−mx+4=0 有两个相等正实数根，且 b*b=a*a（其中 a≠b），则 a+b 的值为
A. −4B. 4C. −2D. 2

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 分解因式：2a−a2b= ．

12. 当代数式 8+x 有意义时，实数 x 的取值范围是 ．

13. 方程 3x=1x+2 的解是 ．

14. 如图，△ABC 中，AB=AC=12，点 D 在 AC 上，DC=4，将线段 DC 沿 CB 方向平移 7 个单位长度得到线段 EF，此时点 E，F 分别落在边 AB，BC 上，则 △ADE 的周长是 ．

15. 如图，△ABC 内接于 ⊙O，若 ⊙O 的半径为 6，∠A=60∘，则 BC 的长为 ．

16. 如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，点 E，F 分别在 AB，BD 上，且 △ADE≌△FDE，DE 交 AC 于点 G，连接 GF．得到下列四个结论：
① ∠ADG=22.5∘；
② S△AGD=S△OGD；
③ BE=2OG；
④四边形 AEFG 是菱形，其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解不等式组：2x<4,3x+1>x+1, 并在数轴上表示解集．

18. 如图，Rt△ABC 中，∠ABC=90∘，O 是 AC 的中点，若 AB=AO，求 ∠ABO 的度数．

19. 正比例函数 y=2x 与反比例函数 y=mx 的图象有一个交点的纵坐标为 4，求关于 x 的方程 2x=mx 的解．

20. 若 a，b 互为倒数，请求出式子 a+ba2−b2×1b−1a 的值．

21. 如图，已知 △ABC 的面积为 4，D 为 AB 的中点．
（1）尺规作图：作边 AC 的中点 E，并连接 DE（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，求 △ADE 的面积．

22. 如图，为测量某条河的宽度 BC，工程队用无人机在距地面高度为 200 米的 A 处测得 B，C 两点的俯角分别为 30∘ 和 45∘，且点 B，C，D 在同一水平直线上，求 A，C 之间的距离和这条河的宽度 BC．（结果保留根号）

23. 如图，直线 AD 与 x 轴交于点 C，与双曲线 y=8x 交于点 A，AB⊥x 轴于点 B4,0，点 D 的坐标为 0,−2．
（1）求直线 AD 的解析式；
（2）若 x 轴上存在点 M（不与点 C 重合），使得 △AOC 和 △AOM 相似，求点 M 的坐标．

24. 如图，已知抛物线 y=−x2+ax+3 的顶点为 P，它分别与 x 轴的负半轴、正半轴交于点 A，B，与 y 轴正半轴交于点 C，连接 AC，BC，若 tan∠OCB−tan∠OCA=23．
（1）求 a 的值；
（2）若过点 P 的直线 l 把四边形 ABPC 分为两部分，它们的面积比为 1:2，求该直线的解析式．

25. 如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，AC 为直径，AC 和 BD 交于点 E，AB=BC．
（1）求 ∠ADB 的度数；
（2）过 B 作 AD 的平行线，交 AC 于 F，试判断线段 EA，CF，EF 之间满足的等量关系，并说明理由；
（3）在（2）条件下过 E，F 分别作 AB，BC 的垂线，垂足分别为 G，H，连接 GH，交 BO 于 M，若 AG=3，S四边形AGMO:S四边形CHMO=8:9，求 ⊙O 的半径．
答案
第一部分
1. B【解析】南、北为两个相反方向，如果 +4 m 表示一个物体向北运动 4 m，
那么 −3 m 表示的是向南运动 3 m．
2. B【解析】A、三棱柱从正面看得到的平面图形是矩形，故此选项不合题意；
B、圆锥从正面看得到的平面图形是三角形，故此选项符合题意；
C、圆柱从正面看得到的平面图形是矩形，故此选项不合题意；
D、长方体从正面看得到的平面图形是矩形，故此选项不合题意；
故选：B．
3. C【解析】652 亿 =6.52×1010．
4. B【解析】在余下的 18 个商标牌中，还有 3 个商标牌的背面注明了一定的奖金额，
∴ 他第三次翻牌获奖的概率是 318=16．
5. C
【解析】A、 原式=16a2，所以A选项错误；
B、 2a 与 2b 不能合并，所以B选项错误；
C、 原式=82=4=2，所以C选项错误；
D、 原式=3，所以D选项错误．
故选：C．
6. D【解析】∵ 甲、乙两地相距 100 千米，某人开车从甲地到乙地，
∴ 它的速度 v（千米/小时）与时间 t（小时）之间的函数关系为：v=100tt>0，
则此函数关系用图象表示大致为：
7. C【解析】∵ 将 △ABC 沿直线 DE 折叠后，使得点 B 与点 A 重合，
∴AD=BD，BE=AE=4，
∴AB=BE+AE=4+4=8，
∴△ABC的周长−△ADC的周长=AB+BC+AC−AC−CD−AD=AB+BD−AD=AB=8cm.．
8. B【解析】∵y=−14x2+x−4=−14x−22−3，
∴ 当 x<2 时，y 随 x 的增大而增大．
当 x>2 时，y 随 x 的增大而减小，故选项A错误；
当 x=2 时，y 有最大值 −3，故选项B正确；
顶点坐标为 2,−3，故选项C错误；
当 y=0 时，0=−14x2+x−4，此时 Δ=12−4×−14×−4=−3<0，
则该抛物线与 x 轴没有交点，故选项D错误．
9. D【解析】∵ 一次函数 y=ax+b 的图象经过一、二、四象限，
∴a<0，b>0，
∴a−b<0，即选项A，B，C都错误，只有选项D正确．
10. B
【解析】∵ 方程 x2−mx+4=0 有两个相等实数根，
∴Δ=−m2−4×4=0，解得 m1=4，m2=−4，
当 m=−4 时，方程有两个相等的负实数解．
∴m=4，
∴a*b=a4−b，
∵b*b=a*a，
∴b4−b=a4−a．
整理得 a2−b2−4a+4b=0，a−ba+b−4=0，而 a≠b．
∴a+b−4=0，即 a+b=4．
第二部分
11. a2−ab
【解析】2a−a2b=a2−ab．
12. x≥−8
【解析】∵ 代数式 8+x 有意义，
∴8+x≥0，解得：x≥−8．
13. x=−3
【解析】去分母得：3x+6=x，
解得：x=−3，
经检验 x=−3 是分式方程的解．
14. 23
【解析】∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵CD∥EF，CD=EF，
∴ 四边形 EFCD 是平行四边形，
∴ED=CF=7，∠EFB=∠C，
∴∠B=∠EFB，
∴BE=EF=CD=4，
∴AE=AD=12−4=8，
∴△ADE 的周长为：8+8+7=23．
15. 4π
【解析】连接 OB，OC，
∵∠A=60∘，
∴∠BOC=120∘，
则 BC=nπR180=120π×6180=4π．
16. ①③④
【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠GAD=∠ADO=45∘．
∴ 由 △ADE≌△FDE，可得：∠ADG=12∠ADO=22.5∘，故①正确；
∵△ADE≌△FDE，
∴AD=FD，∠ADG=∠FDG，
又 ∵GD=GD，
∴△ADG≌△FDGSAS，
∴S△AGD>S△OGD，故②错误；
∵△ADE≌△FDE，
∴EA=EF，
∵△ADG≌△FDG，
∴GA=GF，∠AGD=∠FGD，
∴∠AGE=∠FGE．
∵∠EFD=∠AOF=90∘，
∴EF∥AC，
∴∠FEG=∠AGE，
∴∠FGE=∠FEG，
∴EF=GF，
∴EF=GF=EA=GA，
∴ 四边形 AEFG 是菱形，故④正确；
∵ 四边形 AEFG 是菱形，
∴AE∥FG，
∴∠OGF=∠OAB=45∘，
∴△OGF 为等腰直角三角形，
∴FG=2OG，
∴EF=2OG，
∵△BFE 为等腰直角三角形，
∴BE=2EF=2×2OG=2OG，
∴ ③正确．
综上，正确的有①③④．
第三部分
17. 解不等式 2x<4，得：
x<2.
解不等式 3x+1>x+1，得：
x>−1.
则不等式组的解集为
−1将不等式组的解集表示在数轴上如下：
18. 在 Rt△ABC 中，∠ABC=90∘，O 是 AC 的中点，
∴OB=12AC=OA，
∵AB=AO，
∴OB=AB=AO，
∴△ABO 为等边三角形，
∴∠ABO=60∘．
19. 当 y=4 时，2x=4，解得 x=2．
∴ 正比例函数 y=2x 与反比例函数 y=mx 的图象交点坐标为 2,4．
把 2,4 代入 y=mx，得 m=2×4=8．
∴ 反比例函数解析式为 y=8x，解方程 2x=8x，得 x=2 或 x=−2．
经检验，关于 x 的方程 2x=mx 的解为 x=2 或 x=−2．
20. a+ba2−b2×1b−1a=a+ba+ba−b⋅a−bab=1ab.
∵a，b 互为倒数，
∴ab=1，
∴ 当 ab=1 时，
原式=11=1.
21. （1） 作线段 AC 的垂直平分线 MN 交 AC 于 E，则点 E 即为所求．
（2） ∵AD=DB，AE=CE，
∴DE 是 △ABC 的中位线．
∴DE∥BC，DE=12BC．
∴△ADE∽△ABC．
∴S△ADES△ABC=DEBC2，即 S△ADE4=14．
∴△ADE 的面积为 1．
22. ∵AE∥DB，
∴∠ACD=∠EAC=45∘，
在 Rt△ACD 中，∠ACD=45∘，AD=200 米，
∴AC=ADsin45∘=20022=2002（米），
∵AE∥DB，
∴∠ABD=∠EAB=30∘，
∴ 在 Rt△ABD 中，BD=ADtan30∘=20033=2003（米），
在 Rt△ACD 中，∠ACD=∠CAD=45∘，
∴CD=AD=200，
∴BC=BD−CD=2003−200（米）．
答：AC 为 2002 米．这条河的宽度 BC 为 2003−200 米．
23. （1） 把 x=4 代入 y=8x 得到 y=2．
∴A4,2，
设直线 AD 的解析式为 y=kx+b，
则有 4k+b=2,b=−2, 解得 k=1,b=−2.
∴ 直线 AD 的解析式为 y=x−2．
（2） 对于直线 y=x−2，令 y=0，得到 x=2．
∴C2,0．
∴OC=2．
∵A4,2，
∴OA=42+22=25，
在 △AOC 中，∠ACO 是钝角，
若 M 在 x 轴的负半轴上时，∠AOM>∠ACO，
因此两三角形不可能相似．
∴ 点 M 只能在 x 轴的正半轴上，设 OM=m，
∵M 与 C 不重合，
∴△AOC∽△AOM，不合题意舍弃，
∴ 当 AOMO=OCOA，即 25m=225 时，△AOC∽△MOA，解得 m=10．
∴ 点 M 的坐标为 10,0．
24. （1） ∵ 抛物线 y=−x2+ax+3 与 x 轴交于点 A，B，
∴ 方程 −x2+ax+3=0 有两个不同的实数根．
设这两个根分别为 x1，x2，且 x1<0，x2>0，
由韦达定理得：x1+x2=a，
∵ 当 x=0 时，y=−x2+ax+3=3，
∴OC=3．
∵tan∠OCB−tan∠OCA=23．
∴OBOC−OAOC=23，
∴OB−OA=2，
∴x2−−x1=2，即 x2+x1=2．
∴a=2．
（2） 由（1）得抛物线的解析式为 y=−x2+2x+3．
∴ 其顶点坐标为 P1,4．
解方程 −x2+2x+3=0，得 x1=−1，x2=3，
∴A−1,0，B3,0．
延长 PC 交 x 轴于点 D，作 PF⊥x 轴于点 F．
∴S四边形ABPC=S△PDB−S△CDA=12DB⋅PF−12DA⋅OC=123+3×4−123−1×3=9.
设直线 l 与 x 轴交于点 Mm,0，则 BM=3−m．
∴S△PMB=12×3−m×4=6−2m．
当 6−2m=13×9=3 时，m=32，此时 M32,0，
即直线 l 过点 P1,4，M32,0，
由待定系数法可得 l 的解析式为 y=−8x+12；
同理，当 6−2m=23×9=6 时，m=0，此时 M0,0，
即直线 l 过点 P1,4，M0,0．
由待定系数法可得 l 的解析式为 y=4x．
综上所述，直线 l 的解析式为 y=−8x+12 或 y=4x．
25. （1） 如图 1，
∵AC 为直径，
∴∠ABC=90∘，
∴∠ACB+∠BAC=90∘，
∵AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC=45∘，
∴∠ADB=∠ACB=45∘．
（2） 线段 EA，CF，EF 之间满足的等量关系为：EA2+CF2=EF2．理由如下：
如图 2，设 ∠ABE=α，∠CBF=β，
∵AD∥BF，
∴∠EBF=∠ADB=45∘，
又 ∠ABC=90∘，
∴α+β=45∘，
过 B 作 BN⊥BE，使 BN=BE，连接 NC，
∵AB=CB，∠ABE=∠CBN，BE=BN，
∴△AEB≌△CNBSAS，
∴AE=CN，∠BCN=∠BAE=45∘，
∴∠FCN=90∘．
∵∠FBN=α+β=∠FBE，BE=BN，BF=BF，
∴△BFE≌△BFNSAS，
∴EF=FN，
∵ 在 Rt△NFC 中，CF2+CN2=NF2，
∴EA2+CF2=EF2．
（3） 如图 3，延长 GE，HF 交于 K，
由（2）知 EA2+CF2=EF2，
∴12EA2+12CF2=12EF2，
∴S△AGE+S△CFH=S△EFK，
∴S△AGE+S△CFH+S五边形BGEFH=S△EFK+S五边形BGEFH，
即 S△ABC=S矩形BGKH，
∴12S△ABC=12S矩形BGKH，
∴S△GBH=S△ABO=S△CBO，
∴S△BGM=S四边形COMH，S△BMH=S四边形AGMO，
∵S四边形AGMO:S四边形CHMO=8:9，
∴S△BMH:S△BGM=8:9，
∵BM 平分 ∠GBH，
∴BG:BH=9:8，
设 BG=9k，BH=8k，
∴CH=3+k，
∵AG=3，
∴AE=32，
∴CF=2k+3，EF=28k−3，
∵EA2+CF2=EF2，
∴322+2k+32=28k−32，
整理得：7k2−6k−1=0，
解得：k1=−17（舍去），k2=1．
∴AB=12，
∴AO=22AB=62，
∴⊙O 的半径为 62．