2021年北京市丰台区中考一模数学试卷

这是一份2021年北京市丰台区中考一模数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 一个几何体的三视图如下图所示，该几何体是
A. B.
C. D.

2. 经过全党全国各族人民共同努力，在迎来中国共产党成立一百周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下 9899 万农村贫困人口全部脱贫，将 9899 用科学记数法表示应为
A. 0.9899×104B. 9.899×104C. 9.899×103D. 98.99×102

3. 下列图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 如图，AB∥CD，AE 平分 ∠CAB．下列说法错误的是
A. ∠1=∠3B. ∠2=∠4C. ∠3=∠4D. ∠4=∠5

5. 将边长分别为 2 和 4 的长方形如图剪开，拼成一个正方形，则该正方形的边长最接近整数
A. 1B. 2C. 3D. 4

6. A，B 是数轴上位于原点 O 异侧的两点（点 A 在点 B 的左侧），若点 A，B 分别对应的实数为 a，b，且 ∣a∣>∣b∣，则 a，−a，b，−b 中最大的数是
A. aB. −aC. bD. −b

7. 2022 年冬奥会吉祥物为“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物为“雪容融”．如图，现有三张正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有冰墩墩图案，一张正面印有雪容融图案，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取两张卡片，则抽出的两张都是冰墩墩卡片的概率是
A. 13B. 12C. 49D. 23

8. 如图，在物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块浸没于水中，然后缓慢匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数 y（单位：N）与铁块被提起的高度 x（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是
A. B.
C. D.

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 要使分式 3x+1 有意义，则实数 x 的取值范围是 ．

10. 方程组 x+y=5,2x−y=1 的解为 ．

11. 正八边形的每个外角为 度．

12. 如图，AE 平分 ∠CAD，点 B 在射线 AE 上，若使 △ABC≌△ABD，则还需添加的一个条件是 （只填一个即可）．

13. 写出一个图象开口向上，顶点在 x 轴上的二次函数的解析式 ．

14. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=kxk>0 与双曲线 y=4x 交于 Mx1,y1，Nx2,y2 两点，则 x1⋅y2 的值为 ．

15. 如图所示的网格是正方形网格，则 ∠BAC+∠CDE= （点 A，B，C，D，E 是网格线交点）.

16. 京剧作为一门中国文化的传承艺术，常常受到外国友人的青睐．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，某脸谱轮廓可以近似地看成是一个半圆与抛物线的一部分组合成的封闭图形，记作图形 G．点 A，B，C，D 分别是图形 G 与坐标轴的交点，已知点 D 的坐标为 0,−3，AB 为半圆的直径，且 AB=4，半圆圆心 M 的坐标为 1,0．关于图形 G 给出下列四个结论，其中正确的是 （填序号）．
①图形 G 关于直线 x=1 对称；
②线段 CD 的长为 3+3；
③图形 G 围成区域内（不含边界）恰有 12 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
④当 −4≤a≤2 时，直线 y=a 与图形 G 有两个公共点．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：12+∣−3∣−12−1−2sin30∘．

18. 解不等式组：5+2x−3≤3,,3−x2
19. 已知 x2+x−1=0，求代数式 x+12+x+12x−1 的值．

20. 关于 x 的一元二次方程 x2+mx+m−3=0．
（1）若方程的一个根为 1，求 m 的值；
（2）求证：方程总有两个不相等的实数根．

21. 已知：在 △ABC 中，AB=AC，AD 是边 BC 上的中线．
求作：∠BPC，使 ∠BPC=∠BAC．
作法：
①作线段 AB 的垂直平分线 MN，与直线 AD 交于点 O；
②以点 O 为圆心，OA 长为半径作 ⊙O；
③在 BAC 上取一点 P（不与点 A 重合），连接 BP，CP．∠BPC 就是所求作的角．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接 OB，OC．
∵MN 是线段 AB 的垂直平分线，
∴OA= ．
∵AB=AC，AD 是边 BC 上的中线，
∴AD⊥BC．
∴OB=OC．
∴⊙O 为 △ABC 的外接圆．
∵ 点 P 在 ⊙O 上，
∴∠BPC=∠BAC（ ）（填推理的依据）．

22. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，过点 A 作 AE⊥BC 于点 E，延长 BC 到点 F，使 CF=BE，连接 DF．
（1）求证：四边形 AEFD 是矩形；
（2）连接 OE，若 AD=10，EC=4，求 OE 的长度．

23. 在平面直角坐标系 xOy 中，将点 Am,2 向左平移 2 个单位长度，得到点 B，点 B 在直线 y=x+1 上．
（1）求 m 的值和点 B 的坐标；
（2）若一次函数 y=kx−1 的图象与线段 AB 有公共点，求 k 的取值范围．

24. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，点 C 在 ⊙O 上，过点 C 作 ⊙O 的切线 CM，过点 A 作 AD⊥CM 于点 D，交 BC 的延长线于点 E．
（1）求证：AE=AB；
（2）若 AB=10，csE=35，求 CD 的长．

25. 劳动是成功的必由之路，是创造价值的源泉．某校为引导学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，对九年级（1）班 35 名学生进行了劳动能力量化评估（劳动能力量化评估的成绩采用十分制）和近一周家务劳动总时间调查，并对相关数据进行了收集、整理和分析，研究过程中的相关数据如下：
劳动能力量化成绩与近一周家务劳动总时间统计图
根据以上信息，回答下列问题：
（1）九年级（1）班劳动能力量化成绩的中位数所在的分数段为 （填序号）；
① 5≤a<6 ② 6≤a<7 ③ 7≤a<8 ④ 8≤a<9 ⑤ 9≤a≤10
（2）下列说法合理的是 （填序号）；
①班主任老师对近一周家务劳动总时间在 4 小时以上，且劳动能力量化成绩取得 9 分以上的学生进行表彰奖励，恰有 3 人获奖；
②小颖推断劳动能力量化成绩分布在 7≤a≤8 的同学近一周家务劳动总时间主要分布在 2≤t<3 的时间段．
（3）你认为普遍情况下参加家务劳动的时间与劳动能力之间具有怎样的关系?

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2−a+1x．
（1）若抛物线过点 2,0，求抛物线的对称轴；
（2）若 Mx1,y1，Nx2,y2 为抛物线上两个不同的点．
①当 x1+x2=−4 时，y1=y2，求 a 的值；
②若对于 x1>x2≥−2，都有 y1
27. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，CA=CB, 点 P 在线段 AB，作射线 CP（0∘<∠ACP<45∘），将射线 CP 绕点 C 逆时针旋转 45∘，得到射线 CQ，过点 A 作 AD⊥CP 于点 D，交于 CQ 点 E，连接 BE．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示线段 AD，DE，BE 之间的数量关系，并证明．

28. 如图，直线 l 和直线 l 外一点 P，过点 P 作 PH⊥l 于点 H 任取直线 l 上点 Q，点 H 关于直线 PQ 的对称点为点 Hʹ，标点 Hʹ 为点 P 关于直线 l 的垂对点．在平面直角坐标系 xOy 中，
（1）已知点 P0,2，则点 O0,0，A2,2，B0,4 中是点 P 关于 x 轴的垂对点的是 ；
（2）已知点 M0,m，且 m>0，直线 y=−43x+4 上存在点 M 关于 x 轴的垂对点，求 m 的取值范围；
（3）已知点 Nn,2，若直线 y=x+n 上存在两个点 N 关于 x 轴的垂对点，直接写出 n 的取值范围，
答案
第一部分
1. A【解析】由于俯视图为圆形可得为球、圆柱、圆锥，主视图和左视图为三角形可得此几何体为圆锥．
2. C
3. D【解析】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；
D．是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项正确．
4. D【解析】∵AB∥CD，
∴∠2=∠3，∠2=∠4，故B正确，
又 ∵∠3=∠4，故C正确，
又 ∵AE 平分 ∠CAB，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，故A正确，
∵∠5=∠1+∠4，
∴∠5>∠4，故D错误．
5. C
【解析】正方形的面积与原长方形的面积相等，S长方形=2×4=8，
∴S正方形=8．
设正方形的边长为 x，
则 x2=8，
解得：x=8．
则正方形的边长为 8=22，
∵12=1，22=4，32=9，42=16，
∴8−1=7，8−4=4，9−8=1，16−8=8；
∵8>7>4>1，
∴ 正方形的边长 22 最接近整数 3．
6. B【解析】因为 A，B 是数轴上位于原点 O 异侧的两点（点 A 在点 B 的左侧）；
所以点 A 在原点左侧，点 B 在原点右侧，
所以 a<0，b>0，即 b>a，
又因为 ∣a∣>∣b∣，
所以 −a>b，即 −b>a，
所以 −a>b>a，
又因为 b>0，
所以 −b<0，
所以 −a>b>−b>a．
7. A【解析】假设第一张冰墩墩为 A1，第二章冰墩墩为 A2，雪容融为 B，
由题意画出如下树状图：
所有等可能的情况有 6 种，那么抽出的两张卡片都是冰墩墩的有 2 种，
∴P抽出的两张卡片都是冰墩墩=13．
8. D【解析】由题意可知，
铁块露出水面以前，F拉+F浮=G，浮力不变，故此过程中弹簧的度数不变，
当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，则拉力增加，
当铁块完全露出水面后，拉力等于重力．
第二部分
9. x≠−1
【解析】依题意得 x+1≠0，解得 x≠−1．
10. x=2,y=3
【解析】x+y=5, ⋯⋯①2x−y=1, ⋯⋯②
① + ②得：3x=6，解得：x=2，
把 x=2 代入①得：y=3，
∴ 原方程组的解为 x=2,y=3.
11. 45
【解析】∵ 正多边形，
∴ 有 8 个相等的外角且外角和为 360∘，
∴ 正八边形的每个外角为 360∘÷8=45∘．
12. AC=AD 或 ∠C=∠D 或 ∠CBA=∠DBA
【解析】∵AE 平分 ∠CAD，
∴∠CAB=∠DAB，
又 ∵AB=AB，
已具备一边一角，从边上考虑，只能添加 AC=AD，
在 △ABC 和 △ABD 中，
AC=AD,∠CAB=∠DAB,AB=AB,
△ABC≌△ABDSAS，
从角上考虑，可添加 ∠C=∠D 或 ∠CBA=∠DBA，添加 ∠C=∠D，
在 △ABC 和 △ABD 中，
∠C=∠D,∠CAB=∠DAB,AB=AB,
△ABC≌△ABDAAS，
添加 ∠CBA=∠DBA，
在 △ABC 和 △ABD 中，
∠CBA=∠DBA,AB=AB,∠CAB=∠DAB,
△ABC≌△ABDASA．
13. y=2x+12
【解析】开口向上，即 a>0，
顶点在 x 轴上时，顶点纵坐标为 0，即 k=0，
例如 y=2x+12（答案不唯一）．
14. −4
【解析】∵y=kxk>0 图象关于 0,0 中心对称，
∵k>0，
∴ 图象经过一、三象限，
y=4x 图象也关于 0,0 中心对称，
∵4>0，
∴ 图象经过一、三象限，
又 ∵M，N 为 y=kx 与 y=4x 交点，
∴M，N 也关于原点中心对称，且一个在第三象限，一个在第一象限，
∴Mx1,4x1，N−x1,−4x1，
∴x1⋅y2=x1⋅−4x1=−4．
15. 45∘
【解析】连接 AD ， 如图：
∵AD2=12+32=10，CD2=12+32=10，AC2=22+42=20，10+10=20 即 AD2+CD2=AC2，
∴△ADC 是等腰直角三角形，且 ∠ADC=90∘，
∴∠ACD=45∘，
∵∠BAC=∠ACF，∠CDE=∠DCF，
∴∠BAC+∠CDE=∠ACF+∠DCF=∠ACD=45∘．
16. ①②
【解析】由圆 M 可知 A−1,0，B3,0，M1,0，
且点 A，B 在抛物线上，
∴ 图形 G 关于 x=1 对称，故①正确；
连接 CM，
在 Rt△MOC 中，
∵OM=1，CM=2，
∴OC=22−12=3，
又 ∵D0,−3，
∴OD=3，
∴CD=OC+OD=3+3，故②正确；
根据题意得，由图形 G 围成区域内（不含边界）恰有 13 个整点（即横、纵坐标均为整数的点），故③错误；
由题意得 A−1,0，B3,0，
当 a=−4 时，与图形 G 有一个公共点，
当 a=2 时，与图形 G 由两个公共点，故④错误．
第三部分
17. 12+∣−3∣−12−1−2sin30∘=23+3−2−2×12=23.
18.
5+2x−3≤3, ⋯⋯①3−x2解不等式①，
5+2x−3≤3.
即
5+2x−6≤3.2x≤4.
解得
x≤2.
解不等式②，
3−x2即
3−x<2x.
解得
x>1.∴
不等式的解集为 119. x+12+x+12x−1=x2+2x+1+2x2−x+2x−1=3x2+3x=3x2+x.
∵x2+x−1=0，
∴x2+x=1，
∴原式=3x2+x=3×1=3.
20. （1） 把 x=1 代入原方程得 1+m+m−3=0 解得：m=1．
（2） Δ=m2−4m−3=m−22+8．
∵m−22≥0，
∴m−22+8>0，即 Δ>0，
∴ 不论 m 取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
21. （1） 如图，∠BPC 即为所求作．
（2） OB；同弧所对的圆周角相等
22. （1） ∵ 四边形 ABCD 是菱形 ABCD，
∴AB∥CD 且 AB=CD，
∴∠ABE=∠DCF，
在 △ABE 和 △DCF 中，
∵AB=DC,∠ABE=∠DCF,BE=CF,
∴△ABE≌△DCFSAS，
∴AE=DF，∠AEB=∠DFC=90∘，
∴AE∥DF，
∴ 四边形 AEFD 是矩形．
（2） ∵ 四边形 ABCD 是菱形，AD=10，
∴AD=AB=BC=10，
∵EC=4，
∴BE=10−4=6，
在 Rt△ABE 中，AE=AB2−BE2=102−62=8，
在 Rt△AEC 中，AC=AE2+EC2=82+42=45，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴OA=OC，
∴OE=12AC=25．
23. （1） ∵ 点 A 的坐标为 m,2，
∴ 点 A 向左平移 2 个单位长度，得到点 B 的坐标为 m−2,2；
∵ 点 Bm−2,2 是直线 y=x+1 上一点，
∴2=m−2+1，
解得：m=3，
∴ 点 A 的坐标为 3,2，点 B 的坐标 1,2．
（2） 当直线 y=kx−1 过点 A3,2 时，
得 2=3k−1，解得 k=1，
当直线 y=kx−1 过点 B1,2 时，
得 2=k−1，解得 k=3 .
如图，
若一次函数 y=kx−1 与线段 AB 有公共点，则 k 的取值范围是 1≤k≤3．
24. （1） 如图所示，连接 OC．
∵ 直线 CM 是圆的切线，
∴OC⊥CD，
又 ∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠OCB=∠E，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=∠E，
∴△ABE 是等腰三角形，
∴AE=AB．
（2） 如图所示，连接 AC．
∵∠OBC=∠OCB=∠E，
∴csE=csB=BCAB=35，
∴BC=AB⋅csB=10×35=6，
又 ∵AE=AB，AB 是圆直径，
∴∠ACB=90∘，
∴C 点是 BE 的中点，
∴BC=EC=6，
∴ED=CE⋅csE=6×35=185，
∴CD=CE2−ED2=245．
25. （1） ③
【解析】35 人成绩分布为① 5≤a<6，有 3 人；② 6≤a<7，有 12 人，③ 7≤a<8，有 8 人，④ 8≤a<9，有 7 人，⑤ 9≤a≤10，有 5 人，
根据成绩的排序，中位数为 35+12=18 个成绩，
根据分段人数的统计 ① + ② =3+12=15，由③有 8 人，所以这组的成绩应排在 16—23，第 18 位成绩在第③组，
∴ 九年级（1）班劳动能力量化成绩的中位数所在的分数段为③；
（2） ①②
【解析】①从分布表分析近一周家务劳动总时间在 4 小时以上，有 3 人，且劳动能力量化成绩取得 9 分以上的学生有 5 人，两个条件都具备的仅有 3 人，
∴ 班主任老师对近一周家务劳动总时间在 4 小时以上，且劳动能力量化成绩取得 9 分以上的学生进行表彰奖励，恰有 3 人获奖，
合理；
②劳动能力量化成绩分布在 7≤a≤8 的同学共有 10 人，近一周家务劳动总时间主要分布在 2≤t<3 的时间段 7 人，根据众数特征，
∴ 小颖推断劳动能力量化成绩分布在 7≤a≤8 的同学近一周家务劳动总时间主要分布在 2≤t<3 的时间段，
合理；
（3） 参加家务劳动的时间越长，劳动能力的成绩得分越大．
26. （1） 抛物线 y=ax2−a+1x 过点 2,0，
则 4a−2a+1=0，解得：a=1，
抛物线为 y=x2−2x，
抛物线的对称轴 x=−b2a=−−22×1=1．
（2） ① ∵Mx1,y1，Nx2,y2 为抛物线上两个不同的点．
y1=ax12−a+1x1；
y2=ax22−a+1x22，
当 x1+x2=−4 时，y1=y2，
ax12−a+1x1=ax22−a+1x2,x1+x2=−4,
ax12−ax22−a+1x1+a+1x2=0，
因式分解得 x1−x2ax1+x2−a+1=0，
∵x1≠x2，x1+x2=−4，
∴ax1+x2−a+1=0，
∴−4a−a−1=0，
∴a=−15；
②若对于 x1>x2≥−2，都有 y1 ax12−a+1x1 x1−x2ax1+x2−a+1<0，
∵x1>x2≥−2，
∴x1−x2>0，
∴ax1+x2−a+1<0，
x1+x2>2x2≥−4，
当 a>0 时，抛物线开口向上，抛物线对称轴，
抛物线对称轴为：x=−−a+12a=12+12a>0，
在对称轴左侧，在直线 x=−2 的右侧可满足，而在对称轴右侧，则有 x1>x2≥−2，都有 y1>y2，
故 a>0 不可能，
当 a<0，Mx1,y1，Nx2,y2 在对称轴右侧，都有 y1当抛物线对称轴在直线 x=−2 的左侧，即抛物线对称轴为：x=−−a+12a=12+12a≤−2，
整理得 1≥−5a，解得 a≥−15，
∴−15≤a<0．
27. （1） 根据作图语句，补全图形如下：
（2） 线段 AD，DE，BE 之间的数量关系为：BE2=2DE2+AD−DE2，证明如下，
将 △ACE 顺时针旋转 90∘ 得到 △BCG，连接 GE，
则 △ACE≌△BCG，
AE=BG，CE=CG，∠AEC=∠BGC，
∵AD⊥CP，∠ECD=45∘，
∴∠CED=90∘−45∘=45∘，
∴CD=ED，
∵CE=CG，∠ECG=90∘，
∴∠CEG=∠CGE=45∘，
∴∠AEC=∠BGC=45∘，
∴ 点 D 在 EG 上，
∵∠GCD=90∘−∠ECD=90∘−45∘=45∘，
∴CD⊥EG，
∴ED=GD，
∴∠EGB=∠CGB+∠CGE=45∘+45∘=90∘，
在 Rt△EGB 中，
由勾股定理 BE2=EG2+BG2，
∵BG=AE=AD−DE，GE=ED+DG=2DE，
∴BE2=2DE2+AD−DE2．
28. （1） O 和 A
【解析】∵ 点 P0,2，
∴ 根据垂对点的定义可得点 P 关于 x 轴的垂对点为 O0,0，A2,2．
（2） ∵ 点 M0,m，且 m>0，
∴ 由垂对点的定义可知，点 M 关于 x 轴的垂对点在以 M 为圆心 MO 即 m 为半径的圆上，点 0,2m 除外，则 OM=m；
设直线 y=−43x+4 与 x 轴和 y 轴的交点分别为 G，H，
∴G3,0，H0,4，
∴GH=32+42=5，
∵ 直线 y=−43x+4 上存在点 M 关于 x 轴的垂对点，
∴ 当直线 y=−43x+4 与 ⊙M 相切时，m 的值最小，此时切点为 N，
连接 MN，
则 ∠HOG=∠MNH=90∘，
∵∠OHG=∠NHM，
∴△OHG∽△NHM，
∴MNOG=MHGH，
∴m3=4−m5，
∴m=32，
∴m 的取值范围是：m≥32．
（3） 1−2【解析】∵Nn,2，点 N 关于 x 轴的垂对点在以 N 为圆心 2 为半径的圆上，点 n,4 除外，
当 n=0 时，⊙N 与 y=x 有两个交点，则直线 y=x+n 上存在两个点 N 关于 x 轴的垂对点，
当 n>0 时，相当于 ⊙N 向右平移，y=x 向上平移，
当 y=x+n 与 ⊙N 相切于 ⊙N 左侧时是临界点，设切点为 E，连接 NE，∠DEN=90∘，
过点 E 作 EF⊥x 轴于 F，直线 y=x+n 与 x 轴 y 轴的交点分别为 W，K，
则 W−n,0，K0,n，
∴OK=OW，
∴△OWK 为等腰直角三角形，
设过点 Nn,2 且平行于 x 轴的直线与直线 y=x+n 相交于点 D，
则 △DEN 为等腰直角三角形，DE=22，
设 EF 交 DN 于点 I，在直角三角形 ENI 中，NE=2，∠END=45∘，
∴NI=EI=2，
∴En−2,2+2，
∵ 点 E 在 y=x+n 上，
∴2+2=n−2+n，
∴n=1+2；
当 n<0 时，相当于 ⊙N 向左平移，y=x 向下平移，同理得出 n=1−2．
∴1−2