2020年江苏省苏州市高新区中考一模数学试卷

这是一份2020年江苏省苏州市高新区中考一模数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 9 的算术平方根为
A. 3B. ±3C. −3D. 81

2. 2022 年冬奥会由北京和张家口两市联合承办．北京到张家口的自驾距离约为 196000 米．196000 用科学记数法表示应为
A. 1.96×105B. 19.6×104C. 1.96×106D. 0.196×106

3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有
A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个

4. 若分式 3x+1 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是
A. x>−1B. x<−1C. x=−1D. x≠−1

5. 一组数据 1，3，6，1，2 的众数和中位数分别是
A. 1，6B. 1，1C. 2，1D. 1，2

6. 若二次函数 y=x2+bx 的图象的对称轴是经过点 2,0 且平行于 y 轴的直线，则关于 x 的方程 x2+bx=5 的解为
A. x1=0，x2=4B. x1=1，x2=5C. x1=1，x2=−5D. x1=−1，x2=5

7. 如图，某海监船以 20 海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至 A 处时，测得岛屿 P 恰好在其正北方向，继续向东航行 1 小时到达 B 处，测得岛屿 P 在其北偏西 30∘ 方向，保持航向不变，又航行 2 小时到达 C 处，此时海监船与岛屿 P 之间的距离（即 PC 的长）为
A. 40 海里B. 60 海里C. 403 海里D. 203 海里

8. 如图，有一块边长为 22 的正方形厚纸板 ABCD，做成如图①所示的一套七巧板（点 O 为正方形纸板对角线的交点，点 E，F 分别为 AD，CD 的中点，CE∥BI，IH∥CD），将图①所示七巧板拼成如图②所示的“鱼形”，则“鱼尾”MN 的长为
A. 2B. 22C. 3D. 32

9. 如图，点 A 的坐标是 −1,0，点 B 的坐标是 0,6，C 为 OB 的中点，将 △ABC 绕点 B 逆时针旋转 90∘ 后得到 △AʹBC．若反比例函数 y=kx 的图象恰好经过 AʹB 的中点 D，则 k 的值是
A. 19B. 16.5C. 14D. 11.5

10. 如图，扇形 OAB 中，∠AOB=90∘，将扇形 OAB 绕点 B 逆时针旋转，得到扇形 BDC，若点 O 刚好落在弧 AB 上的点 D 处，则 ADAC 的值为
A. 3−12B. 2−12C. 5−13D. 3−13

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 计算 a3÷a2 的结果等于 ．

12. 分解因式：2a2+4a+2= ．

13. 五边形的内角和是 ．

14. 某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮 30 秒，绿灯亮 25 秒，黄灯亮 5 秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为 ．

15. 如图，圆锥的底面半径为 3 cm，母线长为 6 cm，那么这个圆锥的侧面积是 cm2（结果保留 π）．

16. 如图，直线 y=12x−2 与 x 轴交于点 A，以 OA 为斜边在 x 轴上方作等腰直角三角形 OAB，将 △OAB 沿 x 轴向右平移，当点 B 落在直线 y=12x−2 上时，则 △OAB 平移的距离是 ．

17. 如图，矩形 ABCD 中，E 为 BC 的中点，将 △ABE 沿直线 AE 折叠，使点 B 落在点 F 处，连接 FC，若 ∠DAF=18∘，则 ∠DCF= 度．

18. 如图，抛物线 y=14x2−4 与 x 轴交于 A，B 两点，P 是以点 C0,3 为圆心，2 为半径的圆上的动点，Q 是线段 PA 的中点，连接 OQ．则线段 OQ 的最大值是 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
19. 计算：8−∣−2∣+13−1−2cs45∘．

20. 解不等式组：5x+6>2x−3,1−5x2≥3x+13−1.

21. 先化简，再求值：a2a2+2a−a2−2a+1a+2÷a2−1a+1，其中 a=2−2．

22. 甲、乙、丙、丁四名同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选两位同学打第一场比赛．
（1）若由甲挑一名选手打第一场比赛，选中乙的概率是多少?（直接写出答案 ）
（2）任选两名同学打第一场，请用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．

23. 为了解某校学生的课余兴趣爱好情况，某调查小组设计了“阅读”、“打球”、“书法”和“其他”四个选项，用随机抽样的方法调查了该校部分学生的课余兴趣爱好情况（每个学生必须选一项且只能选一项），并根据调查结果绘制了如下统计图：
根据统计图所提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查中的样本容量是 ；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有 2000 名学生，请根据统计结果估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数．

24. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 D 作对角线 BD 的垂线交 BA 的延长线于点 E．
（1）证明：四边形 ACDE 是平行四边形；
（2）若 AC=8，BD=6，求 △ADE 的周长．

25. 如图，反比例函数 y=kx 的图象与一次函数 y=mx+b 的图象交于两点 A1,3，Bn,−1．
（1）求反比例函数与一次函数的函数关系式；
（2）在反比例函数的图象上找点 P，使得点 A，O，P 构成等腰三角形，直接写出两个满足条件的点 P 的坐标．

26. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，AB=43，点 E 为线段 OB 上一点（不与 O，B 重合），作 CE⊥OB，交 ⊙O 于点 C，垂足为点 E，作直径 CD，过点 C 的切线交 DB 的延长线于点 P，AF⊥PC 于点 F，连接 CB．
（1）求证：CB 是 ∠ECP 的平分线；
（2）求证：CF=CE；
（3）当 CFCP=34 时，求劣弧 BC 的长度（结果保留 π）

27. 如图 1，在 △ABC 中，∠A=30∘，点 P 从点 A 出发以 2 cm/s 的速度沿折线 A−C−B 运动，点 Q 从点 A 出发以 acm/s 的速度沿 AB 运动，P，Q 两点同时出发，当某一点运动到点 B 时，两点同时停止运动．设运动时间为 xs．△APQ 的面积为 ycm2，y 关于 x 的函数图象由 C1，C2 两段组成（其中 C1，C2 均为抛物线的一部分）．如图 2 所示．
（1）求 a 的值；
（2）求图 2 中图象 C2 段的函数表达式；
（3）当点 P 运动到线段 BC 上某一段时 △APQ 的面积，大于当点 P 在线段 AC 上任意一点时 △APQ 的面积，求 x 的取值范围．

28. 在平面直角坐标系中，抛物线 y=mx2−2mx−3m 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C，连接 AC，BC，将 △OBC 沿 BC 所在的直线翻折，得到 △DBC，连接 OD．
（1）点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ．
（2）如图 1，若点 D 落在抛物线的对称轴上，且在 x 轴上方，求抛物线的解析式．
（3）设 △OBD 的面积为 S1，△OAC 的面积为 S2，若 S1=92S2，求 m 的值．
答案
第一部分
1. A【解析】∵9=3，而 9 的算术平方根即 3，
∴9 的算术平方根是 3．
2. A【解析】196000=1.96×105．
3. B【解析】第 1 个图形是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
第 2 个图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
第 3 个图形是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
第 4 个图形是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意．
共 3 个图形符合题意．
4. D【解析】由分式有意义的条件可知：x+1≠0，
∴x≠−1．
5. D
【解析】∵1 出现了 2 次，出现的次数最多，
∴ 众数是 1，
把这组数据从小到大排列 1，1，2，3，6，最中间的数是 2，
则中位数是 2；
故选：D．
6. D【解析】∵ 对称轴是经过点 2,0 且平行于 y 轴的直线，
∴−b2=2，解得：b=−4，
解方程 x2−4x=5，解得 x1=−1，x2=5．
7. C【解析】在 Rt△PAB 中，
∵∠APB=30∘，
∴PB=2AB，
由题意 BC=2AB，
∴PB=BC，
∴∠C=∠CPB，
∵∠ABP=∠C+∠CPB=60∘，
∴∠C=30∘，
∴PC=2PA，
∵PA=AB⋅tan60∘，
∴PC=2×20×3=403（海里）．
8. C【解析】∵ 等腰直角三角形 ACD 中，AD=CD=22，
∴AC=4，
又 ∵AG=GO=OH=CH，
∴FI=EI=1，EF=2，
∴NM=2+1=3．
9. B【解析】作 AʹH⊥y 轴于 H．
∵∠AOB=∠AʹHB=∠ABAʹ=90∘，
∴∠ABO+∠AʹBH=90∘，∠ABO+∠BAO=90∘，
∴∠BAO=∠AʹBH，
∵BA=BAʹ，
∴△AOB≌△BHAʹAAS，
∴OA=BH，OB=AʹH，
∵ 点 A 的坐标是 −1,0，点 B 的坐标是 0,6，
∴OA=1，OB=6，
∴BH=OA=1，AʹH=OB=6，
∴OH=5，
∴Aʹ6,5，
∵BD=AʹD，
∴D3,5.5，
∵ 反比例函数 y=kx 的图象经过点 D，
∴k=16.5．
10. A
【解析】如图，连 OD，AB，BC，延长 AD 交 BC 于 H 点，
∵ 将扇形 OAB 绕点 B 逆时针旋转，得到扇形 BDC，若点 O 刚好落在弧 AB 上的点 D 处，
∴BD=BO=OD=CD=OA，∠BDC=90∘．
∴∠OBD=60∘，即旋转角为 60∘，
∴∠ABC=60∘，又可知 AB=BC，
∴△ABC 是等边三角形，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AH 垂直平分 BC，
∴∠CAH=30∘，
∴AC=2CH，AH=3CH，
∵BD=CD，∠BDC=90∘，DH⊥BC，
∴DH=CH，
∴AD=3CH−CH，
∴ADAC=3−12．
故选：A．
第二部分
11. a
【解析】a3÷a2=a3−2=a．
12. 2a+12
【解析】原式=2a2+2a+1=2a+12，
故答案为：2a+12．
13. 540∘
【解析】五边形的内角和度数为 5−2×180∘=540∘．
14. 512
【解析】抬头看信号灯时，是绿灯的概率为 2530+25+5=512．
15. 18π
【解析】底面圆的半径为 3，则 底面周长=6π，侧面面积=12×6π×6=18π cm2．
16. 6
【解析】y=12x−2，当 y=0 时，12x−2=0，解得：x=4，即 OA=4，
过 B 作 BC⊥OA 于 C，
∵△OAB 是以 OA 为斜边的等腰直角三角形，
∴BC=OC=AC=2，即 B 点的坐标是 2,2，
设平移的距离为 a，则 B 点的对称点 Bʹ 的坐标为 a+2,2，
代入 y=12x−2 得：2=12a+2−2，
解得：a=6，即 △OAB 平移的距离是 6．
17. 36
【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠BAD=∠B=∠BCD=90∘，
由折叠的性质得：FE=BE，∠FAE=∠BAE，∠AEB=∠AEF，
∵∠DAF=18∘，
∴∠BAE=∠FAE=1290∘−18∘=36∘，
∴∠AEF=∠AEB=90∘−36∘=54∘，
∴∠CEF=180∘−2×54∘=72∘，
∵E 为 BC 的中点，
∴BE=CE，
∴FE=CE，
∴∠ECF=12180∘−72∘=54∘，
∴∠DCF=90∘−∠ECF=36∘．
18. 3.5
【解析】令 y=14x2−4=0，则 x=±4，故点 B4,0，
设圆的半径为 r，则 r=2，
当 B，C，P 三点共线，且点 C 在 PB 之间时，PB 最大，
而点 Q，O 分别为 AP，AB 的中点，故 OQ 是 △ABP 的中位线，
则 OE=12BP=12BC+r=1242+32+2=3.5．
第三部分
19. 原式=22−2+3−2×22=22+1−2=2+1.
20.
5x+6>2x−3, ⋯⋯①1−5x2≥3x+13−1. ⋯⋯②∵
解不等式①得：
x>−4.
解不等式②得：
x≤13.∴
不等式组的解集是
−421. 原式=a⋅aaa+2−a−12a+2×a+1a+1a−1=aa+2−a−1a+2=a−a−1a+2=1a+2.
当 a=2−2 时，
原式=12−2+2=22.
22. （1） ∵ 共有乙、丙、丁三位同学，恰好选中乙同学的只有一种情况，
∴P恰好选中乙同学=13；
（2） 画树状图得：
∵ 所有出现的等可能性结果共有 12 种，其中满足条件的结果有 2 种．
∴P恰好选中甲、乙两位同学=16．
23. （1） 100
【解析】本次抽样调查中的样本容量=30÷30%=100．
（2） 其他有 100×10%=10（人），打球有 100−30−20−10=40（人），
条形图如图所示：
（3） 估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数为 2000×40%=800（人）．
24. （1） ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∴AE∥CD，∠AOB=90∘，
∵DE⊥BD，即 ∠EDB=90∘，
∴∠AOB=∠EDB，DE∥AC，
∴ 四边形 ACDE 是平行四边形；
（2） ∵ 四边形 ABCD 是菱形，AC=8，BD=6，
∴AO=4，DO=3，AD=CD=5，
∵ 四边形 ACDE 是平行四边形，
∴AE=CD=5，DE=AC=8，
∴△ADE 的周长为 AD+AE+DE=5+5+8=18．
25. （1） 把 A1,3 代入 y=kx，得 k=3，
把 Bn,−1 代入 y=3x，得 3n=−1，解得 n=−3，
∴B−3,−1．
把 A1,3，B−3,−1 代入 y=mx+b，得 m+b=3,−3m+b=−1,
解得 m=1,b=2,
∴ 反比例函数的函数关系式是 y=3x，一次函数的函数关系式是 y=x+2．
（2） 点 P 的坐标可以是 −3,−1 或 3,1（答案不唯一）．
26. （1） 因为 OC=OB，
所以 ∠OCB=∠OBC，
因为 PF 是 ⊙O 的切线，CE⊥AB，
所以 ∠OCP=∠CEB=90∘，
所以 ∠PCB+∠OCB=90∘，∠BCE+∠OBC=90∘，
所以 ∠BCE=∠BCP，
所以 BC 平分 ∠PCE．
（2） 连接 AC．
因为 AB 是直径，
所以 ∠ACB=90∘，
所以 ∠BCP+∠ACF=90∘，∠ACE+∠BCE=90∘，
因为 ∠BCP=∠BCE，
所以 ∠ACF=∠ACE，
因为 ∠F=∠AEC=90∘，AC=AC，
所以 △ACF≌△ACE，
所以 CF=CE．
【解析】解法二：连接 AC．
因为 OA=OC，
所以 ∠BAC=∠ACO，
因为 CD 平行 AF，
所以 ∠FAC=∠ACD，
所以 ∠FAC=∠CAO，
因为 CF⊥AF，CE⊥AB，
所以 CF=CE．
（3） 作 BM⊥PF 于 M．
则 CE=CM=CF，设 CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，
因为 ∠MCB+∠P=90∘，∠P+∠PBM=90∘，
所以 ∠MCB=∠PBM，
因为 CD 是直径，BM⊥PC，
所以 ∠CMB=∠BMP=90∘，
所以 △BMC∽△PMB，
所以 BMPM=CMBM，
所以 BM2=CM⋅PM=3a2，
所以 BM=3a，
所以 tan∠BCM=BMCM=33，
所以 ∠BCM=30∘，
所以 ∠OCB=∠OBC=∠BOC=60∘，
所以 BC 的长 =60⋅π⋅23180=233π．
27. （1） 如图 1，过点 P 作 PD⊥AB 于 D．
∵∠A=30∘，
∴PD=12AP=x，
∴y=12AQ⋅PD=12ax⋅2x=12ax2，
由图象可知，当 x=1 时，y=12，
∴12×a×12=12，解得 a=1．
（2） 如图 2，
由（1）知，点 Q 的速度是 1 cm/s，
∵AC+BC<2AB，而点 P 的速度时 2 cm/s，
∴ 点 P 先到达 B 点，作 PD⊥AB 于 D，
由图象可知，PB=7×2−2x=14−2x，
PD=PB⋅sinB=14−2x⋅sinB，
∴y=12×AQ×PD=12x×14−2x⋅sinB，
∵ 当 x=6 时，y=65，
∴12×6×14−2×6⋅sinB=65，解得 sinB=15，
∴y=12x×14−2x×15=−15x2+75x，
即 C2 段的函数表达式为 y=−15x2+75x．
（3） 12x2=−15x2+75x，解得 x1=0，x2=2．
由图象可知，当 x=2 时，y=12x2 有最大值，最大值是 12×22=2，
∴−15x2+75x=2，解得 x1=2，x2=5．
∴ 当 228. （1） −1,0；3,0
【解析】抛物线的表达式为：y=mx2−2x−3=mx+1x−3，
故点 A，B 的坐标分别为：−1,0，3,0．
（2） 过点 B 作 y 轴的平行线 BQ，过点 D 作 x 轴的平行线交 y 轴于点 P，交 BQ 于点 Q，
设：D1,n，点 C0,−3m，
∵∠CDP+∠PDC=90∘，∠PDC+∠QDB=90∘，
∴∠QDB=∠DCP，
又 ∵∠CPD=∠BQD=90∘，
∴△CPD∽△DQB，
∴CPDQ=CDDB=PDQB，
其中：CP=n+3m，DQ=3−1=2，PD=1，BQ=n，CD=−3m，BD=3，
将以上数值代入比例式并解得：m=±55，
∵m<0，故 m=−55，
故抛物线的表达式为：y=−55x2+255x+355．
（3） y=mx2−2x−3=mx+1x−3，
∴C0,−3m，CO=−3m，
∵A−1,0，B3,0，
∴AB=4，
∴S2=S△AOC=12×1×−3m=−32m，
设 OD 交 BC 于点 M，
由轴对称性，BC⊥OD，OD=2OM，
在 Rt△COB 中，BC=CO2+OB2=3m2+1，
由面积法得：OM=BO⋅COBC=−3mm2+1，
∴tan∠COB=COBO=−m，
则 cs∠COB=1m2+1，MB=OB⋅cs∠COB=31+m2，
∴S1=S△BOD=12×DO×MB=OM×MB=−9mm2+1，
又 S1=92S2，
∴m2+1=43m<0，
故 m=−33．