2020年广东省深圳市罗湖区中考二模数学试卷

这是一份2020年广东省深圳市罗湖区中考二模数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. −5 的倒数是
A. 5B. 15C. −5D. −15

2. 4 月 12 号上映的《速度与激情 7 》在短短两周票房就突破了 15.6 亿，成为开年第一部现象级影片．该片已经打破了所有进口影片票房纪录．15.6 亿用科学记数法表示是
A. 15.6×108B. 1.56×108C. 1.56×109D. 156×108

3. 下列运算正确的是
A. x6+x6=2x12B. a2⋅a4−−a32=0
C. x−y2=x2−2xy−y2D. a+bb−a=a2+b2

4. 下列品牌图形中，是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

5. 某公司员工的月工资统计表如下，这个公司员工工资的中位数为
月工资/元900080007000600050004000人数125123010
A. 7000B. 6000C. 5000D. 6500

6. 下列命题中正确的是
A. 平行四边形的对角线相等
B. 对顶角相等
C. 两条腰对应相等的两个等腰三角形全等
D. 同旁内角相等，两直线平行

7. 如图，小山岗的斜坡 AC 的坡度是 tanα=34，在与山脚 C 距离 200 米的 D 处，测得山顶 A 的仰角为 26.6∘，则小山岗的高 AB 是
（结果取整数，参考数据：sin26.6∘=0.45，cs26.6∘=0.89，tan26.6∘=0.50）
A. 300 米B. 250 米C. 400 米D. 100 米

8. 某服装厂准备加工 400 套运动装，在加工完 160 套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了 20%，结果共用了 18 天完成任务，问计划每天加工服装多少套?在这个问题中，设计划每天加工 x 套服装，则根据题意可得方程为
A. 160x+400−1601+20%x=18B. 160x+4001+20%x=18
C. 160x+400−16020%x=18D. 400x+400−1601+20%x=18

9. 如图，在 △ABC 中，∠B=70∘，∠C=30∘，分别以点 A 和点 C 为圆心，大于 12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点 M，N，作直线 MN，交 BC 于点 D，连接 AD，则 ∠BAD 的度数为
A. 40∘B. 45∘C. 50∘D. 60∘

10. 已知 k1<0A. B.
C. D.

11. 如图菱形 OABC 中，∠A=120∘，OA=1，将菱形 OABC 绕点 O 顺时针方向旋转 90∘，则图中阴影部分的面积是
A. 2π3B. 2π3−32C. 11π12−32D. 2π3−1

12. 如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始移动，甲按顺时针方向环形，乙按逆时针方向环行，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在AD边上，请问它们第2015次相遇在( )边上．
A. ADB. DCC. BCD. AB

二、填空题（共4小题；共20分）
13. 分解因式：9m3−m= ．

14. 张明想给单位打电话，可八位数的电话号码中的一个数字记不起来了，只记得 2884▫432，他想随意选一个数字补上，请问恰好是单位电话的概率是 ．

15. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠B=30∘，BC=3，点 D 是 BC 边上一动点（不与 B，C 重合），过点 D 做 DE⊥BC 交 AB 于点 E，将 ∠B 沿着直线 DE 翻折，点 B 落在 BC 边上的点 F 处，若 ∠AFE=90∘，则 BD 的长是 ．

16. 如图，点 A 在双曲线 y=kx 的第一象限的那一支上，AB 垂直于 y 轴于点 B，点 C 在 x 轴正半轴上，且 OC=2AB，点 E 在线段 AC 上，且 AE=3EC，点 D 为 OB 的中点，若 △ADE 的面积为 3，则 k 的值为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 计算：12−2−4cs30∘+−20+12．

18. 解不等式组：2x−7<3x−1,43x+3<1−23x, 并将解集表示在数轴上．

19. 2014 年深圳市全市生产总值（GDP）公布，从 2011 年迈入万亿城市俱乐部之后，继续稳步增长，位列全国第 4 位．其中，各区的 GDP 如下统计图，请你依据图解答下列问题：
（1）2014 年，深圳全市 GDP 是 亿元．
（2）补全条形统计图．
（3）求出原宝安区所在扇形的圆心角度数 ．
（4）2014 年深圳市常住人口约为 1000 万人，请你算出 2014 年深圳市人均 GDP．

20. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，D 是 BC 的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若 AC=2，CE=4．
（1）求证：四边形 ACED 是平行四边形；
（2）求四边形 ACEB 的周长．

21. 春节期间，某商场计划购进甲乙两种商品，已知购进 2 件甲商品和 3 件乙商品共需要 270 元，购进 3 件甲商品和 2 件乙商品共需要 230 元．
（1）求甲乙两种商品的每件的进价分别是多少元?
（2）商场决定甲商品以每件 40 元售出，乙商品以每件 90 元售出，为满足市场需求，需购进甲乙两种商品共进 100 件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的 4 倍，请你求出获利最大的进货方案，并求出最大利润．

22. 如图，直线 m:y=kx k>0 与直线 n:y=33x+23 相交于点 C，点 A，B 为直线 n 与坐标轴的交点，∠COA=60∘，点 P 从 O 点出发沿线段 OC 向点 C 匀速运动，速度为每秒 1 个单位，同时点 Q 从点 A 出发沿线段 AO 向点 O 匀速运动，速度为每秒 2 个单位，设运动时间为 t 秒．
（1）k= ；
（2）记 △POQ 的面积为 S，求 t 为何值时 S 取得最大值；
（3）当 △POQ 的面积最大时，以 PQ 为直径的圆与直线 n 有怎样的位置关系，请说明理由

23. 如图已知抛物线 y=−x2+1−mx−m2+12 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B0,3，顶点 C 位于第二象限，连接 AB，AC，BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在 x 轴上是否存在点 P，使得 △PAB 的面积等于 △ABC 的面积?如果存在，求出点 P 的坐标．
（3）将 △ABC 沿 x 轴向右移动 t 个单位长度 0答案
第一部分
1. D【解析】−5 与 −15 的乘积是 1，
所以 −5 的倒数是 −15．
2. C【解析】15.6 亿用科学记数法表示是 1.56×109．
3. B【解析】A、 原式=2x6，不符合题意；
B、 原式=a6−a6=0，符合题意；
C、 原式=x2−2xy+y2，不符合题意；
D、 原式=b2−a2，不符合题意．
4. A【解析】A．是中心对称图形，故本选项正确；
B．不是中心对称图形，故本选项错误；
C．不是中心对称图形，故本选项错误；
D．不是中心对称图形，故本选项错误．
5. C
【解析】∵ 共有 1+2+5+12+30+10=60 人，
∴ 中位数是第 30 和第 31 人的平均数，
∴ 中位数为 5000 元．
6. B【解析】A．平行四边形的对角线互相平分但不一定相等，故错误；
B．对顶角相等，正确；
C．两条腰对应相等的三角形因为顶角不一定相等，所以不一定全等，故错误；
D．同旁内角互补，两直线平行，故错误．
7. A【解析】设 AB=3x 米，
∵ 斜坡 AC 的坡度是 tanα=34，
∴BC=4x，
在 Rt△ADB 中，tan∠ADB=ABBD，
∴BD=ABtan∠ADB≈6x，
由题意得 6x−4x=200，解得 x=100，则 AB=3x=300．
8. A【解析】设计划每天加工 x 套服装，那么采用新技术前所用时间为：160x，采用新技术后所用时间为：400−1601+20%x，
则所列方程为：160x+400−1601+20%x=18．
9. C【解析】∵∠B=70∘，∠C=30∘，
∴∠BAC=180∘−100∘=80∘，
由作图可知：MN 垂直平分线段 AC，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠C=30∘，
∴∠BAD=80∘−30∘=50∘．
10. A
【解析】∵k1<0 ∴ 直线过二、三、四象限；双曲线位于一、三象限．
11. B【解析】连接 OB，OBʹ，过点 A 作 AN⊥BO 于点 N，
菱形 OABC 中，∠A=120∘，OA=1，
∴∠AOC=60∘，∠COAʹ=30∘，
∴AN=12，
∴NO=1−122=32，
∴BO=3，
∴S△CBO=S△CʹBʹO=12×12AO⋅2CO⋅sin60∘=34，
S扇形OCAʹ=30π360=π12，
S扇形OBBʹ=90π×3360=3π4；
∴阴影部分的面积=3π4−2×34+π12=23π−32.
12. C【解析】【分析】设出正方形的边长，甲的速度是乙的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．
【解析】解：设正方形的边长为a，因为甲的速度是乙的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为1：3，把正方形的每一条边平均分成2份，由题意知：
①第一次相遇甲乙行的路程和为2a，乙行的路程为2a×31+3=3a2，甲行的路程为2a×11+3=12a，在AD边的中点相遇；
②第二次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为4a×31+3=3a，甲行的路程为4a×11+3=a，在CD边的中点相遇；
③第三次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为4a×31+3=3a，甲行的路程为4a×11+3=a，在BC边的中点相遇；
④第四次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为4a×31+3=3a，甲行的路程为4a×11+3=a，在AB边的中点相遇；
⑤第五次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为4a×31+3=3a，甲行的路程为4a×11+3=a，在AD边的中点相遇；
⋯
四次一个循环，因为2015=503×4+3，所以它们第2015次相遇在边BC上．
故选：C．
【点评】本题主要考查行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，难度较大，注意先通过计算发现规律然后再解决问题．
第二部分
13. m3m+13m−1
【解析】原式=m9m2−1=m3m+13m−1．
14. 110
【解析】∵ 记不起来的数字可能为 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，
而每个数被选到的机会是均等的，
∴ 恰好是单位电话的概率是 110．
15. 1
【解析】根据题意得：∠EFB=∠B=30∘，DF=BD，EF=EB，
∵DE⊥BC，
∴∠FED=90∘−∠EFD=60∘，∠BEF=2∠FED=120∘，
∴∠AEF=180∘−∠BEF=60∘，
∵ 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，∠B=30∘，BC=3，
∴AC=BC⋅tan∠B=3×33=3，∠BAC=60∘，
∵∠AFE=90∘，
∵ 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，
∴∠EFD+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90∘，
∴∠FAC=∠EFD=30∘，
∴CF=AC⋅tan∠FAC=3×33=1，
∴BD=DF=BC−CF2=1．
16. 163
【解析】连 DC，如图，
∵AE=3EC，△ADE 的面积为 3，
∴△CDE 的面积为 1，
∴△ADC 的面积为 4，
设 A 点坐标 为a,b，则 AB=a，OC=2AB=2a，
而点 D 为 OB 的中点，
∴BD=OD=12b，
∵S梯形OBAC=S△ABD+S△ADC+S△ODC，
∴12a+2a×b=12a×12b+4+12×2a×12b，
∴ab=163，
把 Aa,b 代入双曲线 y=kx，
∴k=ab=163．
第三部分
17. 原式=4−4×32+1+23=4−23+1+23=5.
18. 解不等式
2x−7<3x−1,
得：
x>−4.
解不等式
43x+3<1−23x,
得：
x<−1.
则不等式组的解集为
−4将解集表示在数轴上如下：
19. （1） 16000
【解析】2014 年，深圳全市 GDP 是 3200÷20%=16000（亿元）．
（2） 原宝安区的百分比为 480016000×100%=30%，
原龙岗区 GDP 为 16000×1−10%−3%−17%−20%−30%=3200（亿元），
补全图形如下：
（3） 108∘
【解析】原宝安区所在扇形的圆心角度数 360∘×30%=108∘．
（4） 2014 年深圳市人均 GDP 为 16000÷1000=1.6（亿元/万人）．
20. （1） ∵∠ACB=90∘，DE⊥BC，
∴AC∥DE．
又 ∵CE∥AD，
∴ 四边形 ACED 是平行四边形．
（2） ∵ 四边形 ACED 是平行四边形，
∴DE=AC=2．
在 Rt△CDE 中，由勾股定理得 CD=CE2−DE2=23．
∵D 是 BC 的中点，
∴BC=2CD=43．
在 △ABC 中，∠ACB=90∘，由勾股定理得 AB=AC2+BC2=213．
∵D 是 BC 的中点，DE⊥BC，
∴EB=EC=4．
∴ 四边形 ACEB 的周长 =AC+CE+EB+BA=10+213．
21. （1） 设甲乙两种商品的每件的进价分别是 x 元、 y 元，
2x+3y=270,3x+2y=230.
得
x=30,y=70.
答：甲乙两种商品的每件的进价分别是 30 元，70 元．
（2） 设购进甲种商品 a 件，则购进乙种商品 100−a 件，利润为 w 元，
w=40−30a+90−70100−a=−10a+2000．
∵a≥4100−a，解得 a≥80，
∴ 当 a=80 时，w 取得最大值，此时 w=1200，100−a=20．
答：获利最大的进货方案是甲种商品 80 件，乙种商品 20 件，最大利润是 1200 元．
22. （1） 3
（2） 如图 1 所示：过点 P 作 PD⊥OA，垂足为 D．
令直线 n:y=−33x+23 的 y=0 得：−33x+23=0，
解得 x=6，
∴OA=6．
∵∠COA=60∘，PD⊥OA，
∴PDOP=32，即 PDt=32．
∴PD=3t2．
S△OPQ=12OQ⋅PD=12×6−2t×32t=−32t2−3t+322−322=−32t−322+938,
∴ 当 t=32 时，S 有最大值．
（3） 如图 2 所示：过点 P 作 PD⊥OA 垂足为 D，过圆心 O 作 OE⊥AB，垂足为 E．
令直线 n:y=−33x+23 的 x=0 得：y=23．
∴OB=23．
∵tan∠BAO=OBOA=236=33，
∴∠BAO=30∘．
∴∠ABO=60∘．
∴OC=OBsin60∘=23×32=3．
∵∠COA=60∘，
∴∠BOC=30∘．
∴∠BOC+∠OBC=90∘．
∴∠OCA=90∘．
当 t=32 时，OD=32×12=34，PD=32×32=334．DQ=3−34=94．
∴tan∠PQO=33494=33．
∴∠PQO=30∘．
∴∠BAO=∠PQO．
∴PQ∥AB，
∴∠CPQ+∠PCA=180∘．
∴∠CPQ=180∘−90∘=90∘．
∴∠ECP=∠CPO=∠OEC=90∘．
∴ 四边形 OPCE 为矩形．
∴d=OE=PC=OC−OP=3−32=32．
PQ=OQsin60∘=3×32=332．
∴r=PO=12×332=334．
∵d＞r．
∴ 直线 AB 与以 PQ 为直径的圆 O 相离．
23. （1） ∵ 抛物线 y=−x2+1−mx−m2+12 交 y 轴于点 B0,3，
∴−m2+12=3，
∴m=±3．
又 ∵ 抛物线的顶点 C 位于第二象限，
∴−1−m−1<0，
∴m>1，
∴m=3，
∴ 抛物线的解析式为 y=−x2−2x+3．
（2） 过点 C 作 CD⊥x 轴，垂足为点 D，如图 1 所示．
当 y=0 时，−x2−2x+3=0，
解得：x1=−3，x2=1，
∴ 点 A 的坐标为 −3,0．
∵y=−x2−2x+3=−x+12+4,
∴ 点 C 的坐标为 −1,4，点 D 的坐标为 −1,0，
∴S△ABC=S△ACD+S梯形CDOB−S△AOB=12AD⋅CD+12OB+CD⋅OD−12OA⋅OB=12×2×4+12×3+4×1−12×3×3=3.
∵S△PAB=S△ABC，
∴12AP⋅OB=3，
∴AP=2，
∴ 点 P 的坐标为 −1,0 或 −5,0．
（3） 设 △ABC 平移后得到 △AʹBʹCʹ，AʹBʹ 与 y 轴交于点 M，AʹCʹ 交 AB 于点 N，如图 2 所示．
设线段 AB 所在直线的解析式为 y=kx+bk≠0，
将 A−3,0，B0,3 代入 y=kx+b，
得：−3k+b=0,b=3,
解得：k=1,b=3,
∴ 线段 AB 所在直线的解析式为 y=x+3．
同理，可得出线段 AC 所在直线的解析式为 y=2x+6．
∵ 将 △ABC 沿 x 轴向右移动 t 个单位长度 0 ∴ 点 Aʹ 的坐标为 t−3,0，
线段 AʹBʹ 所在直线的解析式为 y=x+3−t0线段 AʹCʹ 所在直线的解析式为 y=2x+6−2t0当 x=0 时，
y=x+3−t=3−t，
∴ 点 M 的坐标为 0,3−t．
将 y=x+3 代入 y=2x+6−2t，
整理，得：x+3−2t=0，
解得：x=2t−3，
∴ 点 N 的坐标为 2t−3,2t，
∴S=S△AOB−S△AA′N−S△AA′M=12OA⋅OB−12AA′⋅yA′−12OA′⋅OM=12×3×3−12t⋅2t−123−t⋅3−t=−32t2+3t.
∴S 与 t 之间的函数关系式为 S=−32t2+3t0