2020年广东省深圳市福田区中考二模数学试卷

这是一份2020年广东省深圳市福田区中考二模数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. −2 的倒数是
A. −12B. −2C. 12D. 2

2. 2020 年 4 月 14 日日本熊本县发生 6.2 级地震，据 NHK 报道，受强地震造成的田地受损，农产品无法出售等影响，日本熊本县农林业遭受的地震损失最少可达 236 亿日元，数据 236 亿用科学记数法表示为
A. 2.36×108B. 2.36×109C. 2.36×1010D. 2.36×1011

3. 下列计算正确的是
A. a10−a7=a3
B. −2a2b2=−2a4b2
C. 2+3=5
D. a+b9÷a+b3=a+b6

4. 民族图案是数学文化中的一块瑰宝，下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是
A. B. C. D.

5. 在选拔 2020 年第十三届全国冬季运动会速滑运动员时，教练打算根据平时训练成绩，从运动员甲和乙种挑选 1 名成绩稳定的运动员，甲、乙两名运动员平时训练成绩的方差分别为 S甲2=0.03，S乙2=0.20，你认为教练应该挑选的运动员是
A. 乙B. 甲C. 甲、乙都行D. 无法判断

6. 五一期间刚到深圳的小明在哥哥的陪伴下，打算上午从莲山春早、侨城锦绣、深南溢彩中随机选择一个景点，下午从梧桐烟云、梅沙踏浪、一街两制中随机选择一个景点，小明恰好上午选中莲山春早，下午选中梅沙踏浪的概率是
A. 18B. 13C. 19D. 29

7. 如图是深圳市少年宫到中心书城地下通道的手扶电梯示意图，其中 AB，CD 分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC=135∘，BC 的长约是 5，则乘电梯从点 B 到点 C 上升的高度 h 是
A. mB. 5 mC. mD. 10 m

8. 在平面直角坐标系中，点 a−3,2a+1 在第二象限内，则 a 的取值范围是
A. −3
9. 2020 年 4 月 21 日在深圳体育馆召开的第八届中国（深圳）国际茶业文化博览会上某茶商将甲、乙两种茶叶卖出，甲种茶叶卖出 1200 元，盈利 20%，乙种茶叶卖出 1200 元，亏损 20%，则此人在这次交易中是
A. 盈利 50 元B. 盈利 100 元C. 亏损 150 元D. 亏损 100 元

10. 下列命题中，不正确的是
A. 有一个角是 60∘ 的等腰三角形是等边三角形
B. 一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
C. 对角线互相垂直且相等的四边形是矩形
D. 对角线相等的菱形是正方形

11. 如图，Rt△ABC 中 AB=3，BC=4，∠B=90∘ ，点 B，C 在两坐标轴上滑动．当边 AC⊥x轴 时，点 A 刚好在双曲线上，此时下列结论不正确的是
A. 点 B 为 0,B. AC 边的高为
C. 双曲线为D. 此时点 A 与点 O 距离最大

12. 一块矩形木板 ABCD，长 AD=3 cm，宽 AB=2 cm，小虎将一块等腰直角三角板的一条直角边靠在顶点 C 上，另一条直角边与 AB 边交于点 E，三角板的直角顶点 P 在 AD 边上移动（不含端点 A，D ），当线段 BE 最短时，AP 的长为
A. 12cmB. 1 cmC. 32cmD. 2 cm

二、填空题（共4小题；共20分）
13. 因式分解：a3−ab2= ．

14. 如图，小明在 A 时测得某树的影长为 2 m，B 时又测得该树的影长为 8 m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 m．

15. 在平行四边形 ABCD 中，AB=3，BC=5，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 作 OE⊥AC，交 AD 于点 E，连接 CE，则 △CDE 的周长为 ．

16. 将图 1 的正方形作如下操作：第 1 次分别连接对边中点如图 2，得到 5 个正方形；第 2 次将图 2 左上角正方形按上述方法再分割如图 3，得到 9 个正方形 ⋯，以此类推，第 n 次操作后，得到正方形的个数是 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 计算：−12020+cs60∘−12−2+3.140．

18. 解方程组．

19. 为了深化课程改革，某校积极开展校本课程建设，计划成立“文学鉴赏”、“科学实验”、“音乐舞蹈”和“手工编织”等多个社团，要求每位学生都自主选择其中一个社团．为此，随机调查了本校各年级部分学生选择社团的意向，并将调查结果绘制成如下统计图表（不完整）：
选择意向所占百分比文学鉴赏a科学实验35%音乐舞蹈b手工编织10%其他c
根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生总人数为 ；
（2）补全条形统计图；
（3）将调查结果绘成扇形统计图，则“音乐舞蹈”社团所在扇形所对应的圆心角为 ；
（4）若该校共有 1200 名学生，试估计全校选择“科学实验”社团的学生人数为 ．

20. 如图，正方形 ABCD 中，以对角线 BD 为边作菱形 BDFE，使 B，C，E 三点在同一直线上，连接 BF，交 CD 与点 G．
（1）求证：CG=CE；
（2）若正方形边长为 4，求菱形 BDFE 的面积．

21. 深圳市地铁 9 号线梅林段的一项绿化工程由甲、乙两工程队承担，已知乙工程队单独完成这项工程所需的天数是甲工程队单独完成所需天数的，甲工程队单独工作 30 天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了 36 天完成．
（1）求乙工程队单独完成这项工作需要多少天?
（2）因工期的需要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了 x 天完成，乙做另一部分用了 y 天完成，其中 x，y 均为正整数，且 x<46，y<52，求甲、乙两队各做了多少天?

22. 如图，△ABC 中，AB=AC=10，BC=12 ，点 D 在边 BC 上，且 BD=4 ，以点 D 为顶点作 ∠EDF=∠B ，分别交边 AB 于点 E，交 AC 或延长线于点 F．
（1）当 AE=4 时，求 AF 的长；
（2）当以边 AC 为直径的 ⊙O 与线段 DE 相切时，求 BE 的长．

23. 如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为的等腰直角三角板 ABC 放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点 C 的坐标为 −1,0，点 B 在抛物线 y=ax2+ax−2 上．
（1）点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ；
（2）抛物线的解析式为 ；
（3）设（2）中抛物线的顶点为 D，求 △DBC 的面积．
（4）在抛物线上是否还存在点 P（点 B 除外），使 △ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. A
2. C【解析】∵1亿=1×108，
∴236亿=236×108=2.36×1010．
3. D【解析】A、原式不能合并，错误；
B、 原式=4a4b2，错误；
C、原式不能合并，错误；
D、 原式=a+b6，正确．
4. C【解析】A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
C 、旋转角是，只是每旋转与原图重合，而中心对称的定义是绕一定点旋转 180 度，新图形与原图形重合．因此不符合中心对称的定义，不是中心对称图形；
D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
5. B
【解析】∵ 甲、乙两名运动员平时训练成绩的方差分别为 S甲2=0.03，S乙2=0.20，
∴S甲2＜S乙2，
∴ 甲的成绩更稳定，
∴ 教练应该挑选的运动员是甲．
6. C【解析】根据题意列表如下（莲山春早、侨城锦绣、深南溢彩、梧桐烟云、梅沙踏浪、一街两制分别记作 1，2，3，4，5，6），
12341,42,43,451,52,53,561,62,63,6
所有等可能的情况有 9 种，其中恰好上午选中莲山春早，下午选中梅沙踏浪的情况有 1 种，则 P=19，
故选C．
7. B【解析】如图，作 CH⊥AB 于 H．
在 Rt△CBH 中，
因为 ∠CHB=90∘，BC=5，∠CBH=45∘，
所以 sin45∘=，
所以 CH=BC×=5．
8. D【解析】∵ 在平面直角坐标系中，点 a−3,2a+1 在第二象限内，
∴，解得 −9. D【解析】设甲种茶叶的买价是 x 元，根据题意得：1+20%x=1200，
解得 x=1000．
设乙种茶叶的买价是 y 元，根据题意得：1−20%y=1200，
解得 y=1500．
1000+1500>1200+1200，
即此次交易中亏损了 100 元．
10. C
【解析】A、有一个角是 60∘ 的等腰三角形是等边三角形，正确，不合题意．
B、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，符合平行四边形的判定方法，故不合题意；
C、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，故此选项错误，符合题意；
D、对角线相等的菱形是正方形，正确，不合题意．
11. D【解析】∵AB=3，BC=4，∠B=90∘，
∴AC=5，
∵AC⊥x轴，
∴ 点 A 的纵坐标是 5，
设 AC 边上的高是 h，
∵S△ABC=12×3×4=×5⋅h，
∴h=125；
∴ 点 A 的坐标是 125,5，
又 ∵ 点 A 在 y=12x 上，
∴k=12，
∴ 反比例函数的解析式是 y=12x；
∵OC=125，BC=4，
∴OB=165（负数舍去），
∴B 点坐标是 0,165，
综上所述，可知ABC都是正确的，答案D不一定正确，利用排除法可知．
12. C【解析】设 BE=y，AP=x，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠A=∠D=90∘，
∵∠EPC=90∘，
∴∠APE+∠AEP=90∘，∠APE+∠CPD=90∘，
∴∠AEP=∠CPD，
∴△AEP∽△DPC，
∴APCD=AEPD，
∴x2=2−y3−x，
∴y=x2−3x+4=12x−322+78．
∵a=1>0，
∴x=32 时，y 有最小值．
第二部分
13. aa+ba−b
【解析】a3−ab2=aa2−b2=aa+ba−b．
14. 4
【解析】如图：过点 C 作 CD⊥EF，
由题意得：△EFC 是直角三角形，∠ECF=90∘，
∴∠EDC=∠CDF=90∘，
∴∠E+∠ECD=∠ECD+∠DCF=90∘，
∴∠E=∠DCF，
∴Rt△EDC∽Rt△CDF，
有 EDDC=DCFD，
即 DC2=ED⋅FD，
代入数据可得 DC2=16，
DC=4．
15. 8
【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC，AB=CD，AD=BC ，
∵AB=3，BC=5，
∴AD+CD=8，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∴△CDE 的周长为：CD+CE+DE=CD+CE+AE=AD+CD=8．
16. 4n+1
【解析】∵ 第 1 次：分别连接各边中点如图 2，得到 4+1=5 个正方形；
第 2 次：将图 2 左上角正方形按上述方法再分割如图 3，得到 4×2+1=9 个正方形 ⋯
以此类推，根据以上操作，则第 n 次得到 4n+1 个正方形．
第三部分
17. 原式=−1+12−4+1=−312．
18. 由②得，x=2y+8 ③，
③代入①得，32y+8+y=10，
解得 y=−2，
把 y=−2 代入③得，x=2×−2+8=4，
所以，方程组的解是．
19. （1） 200 人
【解析】本次调查的学生总人数是：70÷35%=200（人），
b=40÷200=20%，
c=10÷200=5%
a=1−35%+20%+10%+5%=30%．
（2） 文学鉴赏的人数：30%×200=60（人），
手工编织的人数：10%×200=20（人），
如图所示，
（3） 72∘
【解析】由题意可知：b=40÷200=20%，
所以“音乐舞蹈”社团所在扇形所对应的圆心角 =360∘×20%=72∘，
（4） 420 人
【解析】全校选择“科学实验”社团的学生人数：1200×35%=420（人）．
20. （1） 连接 DE，则 DE⊥BF，
∵∠ODG+∠OGD=90∘，∠CBG+∠CGB=90∘，∠CGB=∠OGD，
∴∠CDE=∠CBG，
又 ∵BC=DC，∠BCG=∠DCE，
∴△BCG≌△DCEASA，
∴CG=CE．
（2） 正方形边长 BC=4，则 BD=2BC=42，
菱形 BDFE 的面积为 S=42×4=162．
答：菱形 BDFE 的面积为 162．
21. （1） 设解工程队单独完成这项工作需要 x 天，则乙队单独完成需 x 天，
由题意，得
66×+36×=1，
解得 x=120，
经检验，x=120 是原方程的解，
∴x=80，
答：乙队单独完成需 80 天．
（2） ∵ 甲队做其中一部分用了 x 天，乙队做另一部分用了 y 天，
∴+=1，
即 y=80−x，
又 ∵x<46，y<52，
∴，
解得 42 ∵x，y 均为正整数，
∴x=45，y=50，
答：甲队做了 45 天，乙队做了 50 天．
22. （1） 因为 ∠EDF+∠FDC=∠B+∠DEB，∠EDF=∠B，
所以 ∠FDC=∠DEB，
因为 AB=AC，
所以 ∠C=∠B ，
所以 △CDF∽△BED，
所以，CFBD=CDBE，即 CF4=12−410−4，
解得：CF=163 ，
所以 AF=AC−CF=10−163=143．
（2） 取边 AC 中点 O，作 OG⊥DE 于 G，OQ⊥BC 于 Q，过点 A 作 AH⊥BC 于 H，连接 OD，如图所示：
因为 AB=AC，AH⊥BC，
所以 CH=12BC=6，
因为 ⊙O 和线段 DE 相切，
所以 OG=12AC=5，
在 Rt△CAH 中，∠AHC=90∘，csC=CHAC=610=35，
在 Rt△CQO 中，∠CQO=90∘
因为 csC=CQCO，
所以 CQ=COcsC=5×35=3，
所以 DQ=BC−BD−CQ=12−4−3=5，
所以 OG=DQ，
在 Rt△OGD 与 Rt△DQO 中，
OG=DQ,OD=OD,
所以 Rt△OGD≌Rt△DQOHL，
所以 ∠GOD=∠QDO，
所以 OG∥BC，
所以 ∠EDB=∠OGD=90∘，
所以 csB=BDBE=csC=35，
所以 BE=435=203，
所以当以边 AC 为直径的 ⊙O 与线段 DE 相切时，BE=203．
23. （1） 0,2；−3,1
【解析】∵C−1,0，AC=，
∴OA=2，
∴A0,2 过点 B 作 BF⊥x 轴，垂足为 F，
∵∠ACO+∠CAO=90∘，∠ACO+∠BCF=90∘，∠BCF+∠FBC=90∘，
在 △AOC 与 △CFB 中，△AOC≌△CFB，
∴CF=OA=2，BF=OC=1，
∴OF=3，
∴B 的坐标为 −3,1．
（2） y=x2+x−2
【解析】∵ 把 B−3,1 代入 y=ax2−+ax2 得；
1=9a−3a−2，
解得 a=，
∴ 抛物线解析式为：y=x2+x−2．
（3） 由（2）中抛物线的解析式可知，抛物线的顶点 D−,−，
设直线 BD 的关系式为 y=kx+b，将点 B，D 的坐标代入得：
解得 BD 的关系式为 y=−x−，
设直线 BD 和 x 轴交点为 E，则点 E−,0，CE=．
∴S△DBC=××1+=；
（4） 假设存在点 P，使得 △ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形：
①若以点 C 为直角顶点；则延长 BC 至点 P1，使得 P1C=BC，得到等腰直角三角形 △ACP1，
∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCF，∠P1MC=∠BFC=90∘，
∴△MP1C≌△FBC．
∴CM=CF=2，P1M=BF=1，
∴P11,−1．
②若以点 A 为直角顶点；
（i）则过点 A 作 AP2⊥CA，且使得 AP2=AC，得到等腰直角三角形 △ACP2，过点 P2 作 P2N⊥y 轴，同理可证 △AP2N≌△CAO，
∴NP2=OA=2，AN=OC=1，
∴P22,1．
（ii）若以点 P 为直角顶点．过 P3 作 P3G⊥y 轴于 G，同理，△AGP3≌△CAO，
∴GP3=OA=2，AG=OC=1，
∴P3 为 −2,3．
经检验，点 P11,−1 与点 P22,1 都在抛物线 y=x2+x−2 上，点 P3−2,3 不在抛物线上．
故点 P 的坐标为 P11,−1 与 P22,1．