2020年广东省深圳市南山区中考二模数学试卷

这是一份2020年广东省深圳市南山区中考二模数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. −5 的倒数是
A. −15B. 15C. −5D. 5

2. 人工智能AlphaG因在人机大战中大胜韩国围棋手李世石九段而声名显赫．它具有自我对弈学习能力，决战前已做了两千万局的训练（等同于一个人近千年的训练量）．此处“两千万”用科学记数法表示为
A. 0.2×107B. 2×107C. 0.2×108D. 2×108

3. 方程 x2−4x+4=0 的根的情况是
A. 有两个相等的实数根B. 只有一个实数根
C. 没有实数根D. 有两个不相等的实数根

4. 如图是由七个相同的小正方体堆砌而成的几何体，则这个几何体的俯视图是
A. B.
C. D.

5. 下列等式成立的是
A. a+4a−4=a2−4B. 2a2−3a=−a
C. a6÷a3=a2D. a23=a6

6. 如图，已知 △ABC，ABA. B.
C. D.

7. 如图，l1∥l2，l3⊥l4，∠1=42∘，那么 ∠2 的度数为
A. 48∘B. 42∘C. 38∘D. 21∘

8. 关于 x 的方程 mx−1=2x 的解为正实数，则 m 的取值范围是
A. m≥2B. m≤2C. m>2D. m<2

9. 如图，已知二次函数 y1=23x2−43x 的图象与正比例函数 y2=23x 的图象交于点 A3,2，与 x 轴交于点 B2,0，若 y1A. 03

10. 如图，一根电线杆的接线柱部分 AB 在阳光下的投影 CD 的长为 1 米，太阳光线与地面的夹角 ∠ACD=60∘，则 AB 的长为
A. 12 米B. 3 米C. 32 米D. 33 米

11. 如图，将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转一定角度，得到 △ADE，此时点 C 恰好在线段 DE 上，若 ∠B=40∘，∠CAE=60∘，则 ∠DAC 的度数为
A. 15∘B. 20∘C. 25∘D. 30∘

12. 如图，Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=6，BC=8，AD 平分 ∠BAC，则点 B 到 AD 的距离是
A. 3B. 4C. 25D. 121313

二、填空题（共4小题；共20分）
13. 某校在进行“阳光体育活动”中，统计了 7 位原来偏胖学生的体重情况，他们的体重分别降低了 5，9，3，10，6，8，5（单位：kg），则这组数据的中位数是 ．

14. 分解因式：2x2y−8y= ．

15. 在一次数学测试中，某班 50 名学生的成绩分为六组，第一组到第四组的频数分别为 6，8，9，12，第五组的频率是 0.2，则第六组的频数是 ．

16. 已知点 A，B 分别在反比例函数 y=2xx>0，y=−8xx>0 的图象上，且 OA⊥OB，则 tanB 为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 计算：−2−1+16−π0−∣3−2∣−2cs30∘．

18. 解不等式组 x−83<0,1−12x≤−13x, 并求它的整数解．

19. 为贯彻政府报告中“大众创业、万众创新”的精神，某镇对辖区内所有的小微企业按年利润 w（万元）的多少分为以下四个类型：A类（w<10），B类（10≤w<20），C类（20≤w<30），D类（w≥30），该镇政府对辖区内所有小微企业的相关信息进行统计后，绘制成以下条形统计图和扇形统计图，请你结合图中信息解答下列问题：
（1）该镇本次统计的小微企业总个数是 ，扇形统计图中B类所对应扇形圆心角的度数为 度，请补全条形统计图；
（2）为了进一步解决小微企业在发展中的问题，该镇政府准备召开一次座谈会，每个企业派一名代表参会．计划从D类企业的 4 个参会代表中随机抽取 2 个发言，D类企业的 4 个参会代表中有 2 个来自高新区，另 2 个来自开发区．请用列表或画树状图的方法求出所抽取的 2 个发言代表都来自高新区的概率．

20. 回答下列问题．
（1）【阅读发现】如图①，在正方形 ABCD 的外侧，作两个等边三角形 ABE 和 ADF，连接 ED 与 FC 交于点 M，则图中 △ADE≌△DFC，可知 ED=FC，求得 ∠DMC= ．
（2）【拓展应用】如图②，在矩形 ABCDAB>BC 的外侧，作两个等边三角形 ABE 和 ADF，连接 ED 与 FC 交于点 M．
（1）求证：ED=FC．
（2）若 ∠ADE=20∘，求 ∠DMC 的度数．

21. 某中学在百货商场购进了A，B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了 2400 元，购买B品牌篮球花费了 1950 元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的 2 倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花 50 元．
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元?
（2）该学校决定再次购进A，B两种品牌篮球共 30 个，恰逢百货商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了 10%，B品牌篮球按第一次购买时售价的 9 折出售，如果这所中学此次购买A，B两种品牌篮球的总费用不超过 3200 元，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌篮球?

22. 如图，⊙O 中，点 A 为 BC 中点，BD 为直径，过 A 作 AP∥BC 交 DB 的延长线于点 P．
（1）求证：PA 是 ⊙O 的切线；
（2）若 BC=45，AB=6，求 sin∠ABD 的值．

23. 如图，平面直角坐标系中，O 为菱形 ABCD 的对称中心，已知 C2,0，D0,−1，N 为线段 CD 上一点（不与 C，D 重合）．
（1）求以 C 为顶点，且经过点 D 的抛物线解析式；
（2）设 N 关于 BD 的对称点为 N1，N 关于 BC 的对称点为 N2，求证：△N1BN2∽△ABC；
（3）求（2）中 N1N2 的最小值；
（4）过点 N 作 y 轴的平行线交（1）中的抛物线于点 P，点 Q 为直线 AB 上的一个动点，且 ∠PQA=∠BAC，求当 PQ 最小时点 Q 坐标．
答案
第一部分
1. A【解析】∵−5×−15=1，
∴−5 的倒数是 −15．
2. B【解析】“两千万”写作 20000000=2×107．
3. A【解析】∵a=1，b=−4，c=4，
∴Δ=b2−4ac=16−16=0，
∴ 一元二次方程有两个相等的实数根．
4. C【解析】从上面看易得左边第一列有 2 个正方形，中间第二列最有 2 个正方形，最右边一列有 1 个正方形在右上角处．
5. D
【解析】A、 原式=a2−16，不成立；
B、原式不能合并，不成立；
C、 原式=a3，不成立；
D、 原式=a6，成立．
6. D【解析】∵PB+PC=BC，
而 PA+PC=BC，
∴PA=PB，
∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上，
即点 P 为 AB 的垂直平分线与 BC 的交点．
7. A【解析】如图，
∵l1∥l2，∠1=42∘，
∴∠3=∠1=42∘，
∵l3⊥l4，
∴∠2=90∘−∠3=48∘．
8. C【解析】由 mx−1=2x，
移项、合并，得 m−2x=1，
∴x=1m−2．
∵ 方程 mx−1=2x 的解为正实数，
∴1m−2>0，
解得 m>2．
9. B【解析】若 y110. B
【解析】设直线 AB 与 CD 的交点为点 O．
∴BOAB=DOCD．
∴AB=BO×CDDO．
∵∠ACD=60∘．
∴∠BDO=60∘．
在 Rt△BDO 中 tan60∘=BODO=3．
∵CD=1．
∴AB=BODO×CD=3．
11. B【解析】由旋转的性质得：△ADE≌△ABC，
∴∠D=∠B=40∘，AE=AC，
∵∠CAE=60∘，
∴△ACE 是等边三角形，
∴∠ACE=∠E=60∘，
∴∠DAE=180∘−∠E−∠D=80∘，
∴∠DAC=∠DAE−∠CAE=80∘−60∘=20∘．
12. C【解析】过点 D 作 DE⊥AB 交 AB 于 E，
设 CD=x，则 BD=8−x，
∵AD 平分 ∠BAC，
∴CDBD=ACAB，即 x8−x=610，
∴x=3，
∴CD=3，
∴S△ABD=12AB⋅DE=12×10×3=15，
∵AD=AC2+CD2=35，
设 BD 到 AD 的距离是 h，
∴S△ABD=12AD⋅h，
∴h=25．
第二部分
13. 6
【解析】将数据按照从小到大的顺序排列为 3，5，5，6，8，9，10，位于最中间的一个数据为 6．
14. 2yx+2x−2
【解析】2x2y−8y=2yx2−4=2yx+2x−2.
15. 5
【解析】∵ 一个容量为 50 的样本，
把它分成 6 组，
第一组到第四组的频数分别为 6，8，9，12，
第五组的频率是 0.2，则第五组的频数是 0.2×50=10，
∴ 第六组的频数是 50−6−8−9−10−12=5．
16. 12
【解析】过 A 作 AC⊥y 轴，过 B 作 BD⊥y 轴，
可得 ∠ACO=∠BDO=90∘，
∴∠AOC+∠OAC=90∘，
∵OA⊥OB，
∴∠AOC+∠BOD=90∘，
∴∠OAC=∠BOD，
∴△AOC∽△OBD，
∵ 点 A，B 分别在反比例函数 y=2xx>0，y=−8xx>0 的图象上，
∴S△AOC=1，S△OBD=4，
∴S△AOC:S△OBD=1:4，即 OA:OB=1:2，
则在 Rt△AOB 中，tan∠ABO=12．
第三部分
17. 原式=−12+1−2−3−2×32=−12+1−2+3−3=−32.
18.
x−83<0, ⋯⋯①1−12x≤−13x, ⋯⋯②
由①得：
x<8,
由②得：
x≥6,∴
等式组的解集为 6≤x<8，
则不等式组的整数解为 6，7．
19. （1） 25 个；72
【解析】该镇本次统计的小微企业总个数为 4÷16%=25（个）；
扇形统计图中B类所对应扇形圆心角的度数 =525×360∘=72∘，
A类小微企业个数为 25−5−14−4=2（个），
补全条形统计图为：
（2） 2 个来自高新区的企业用A，B表示，2 个来自开发区的企业用a，b表示，
画树状图为：
共有 12 种等可能的结果数，其中所抽取的 2 个发言代表都来自高新区的结果数为 2，
所以所抽取的 2 个发言代表都来自高新区的概率 =212=16．
20. （1） 90∘
【解析】如图①中，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AD=AB=CD，∠ADC=90∘，
∵△ADE≌△DFC，
∴DF=CD=AE=AD，
∵∠FDC=60∘+90∘=150∘，
∴∠DFC=∠DCF=∠ADE=∠AED=15∘，
∴∠FDE=60∘+15∘=75∘，
∴∠MFD+∠FDM=90∘，
∴∠FMD=90∘．
（2） （1）∵△ABE 为等边三角形，
∴∠EAB=60∘，EA=AB．
∵△ADF 为等边三角形，
∴∠FDA=60∘，AD=FD．
∵ 四边形 ABCD 为矩形，
∴∠BAD=∠ADC=90∘，DC=AB．
∴EA=DC．
∵∠EAD=∠EAB+∠BAD=150∘，∠CDF=∠FDA+∠ADC=150∘，
∴∠EAD=∠CDF．
在 △EAD 和 △CDF 中，
AE=CD,∠EAD=∠FDC,AD=DF,
∴△EAD≌△CDF．
∴ED=FC．
（2）∵△EAD≌△CDF，
∴∠ADE=∠DFC=20∘，
∴∠DMC=∠FDM+∠DFC=∠FDA+∠ADE+∠DFC=60∘+20∘+20∘=100∘.
21. （1） 设购买一个A品牌的篮球需 x 元，则购买一个B品牌的篮球需 x+50 元，由题意得
2400x=1950x+50×2,
解得：
x=80,
经检验 x=80 是原方程的解，
x+50=130．
答：购买一个A品牌的篮球需 80 元，购买一个B品牌的篮球需 130 元．
（2） 设此次可购买 a 个B品牌篮球，则购进A品牌篮球 30−a 个，
由题意得 80×1+10%30−a+130×0.9a≤3200，
解得 a≤19929，
∵a 是整数，
∴a 最大等于 19，
答：该学校此次最多可购买 19 个B品牌篮球．
22. （1） 连接 AO，交 BC 于点 E．
∵ 点 A 是 BC 的中点，
∴AO⊥BC，
又 ∵AP∥BC，
∴AP⊥AO，
∴AP 是 ⊙O 的切线；
（2） ∵AO⊥BC，BC=45，
∴BE=12BC=25，
又 ∵AB=6，
∴sin∠BAO=BEAB=53，
∵OA=OB，
∴∠ABD=∠BAO，
∴sin∠ABD=sin∠BAO=53．
23. （1） 由已知，设抛物线解析式为 y=ax−22，
把 D0,−1 代入，得 a=−14，
∴y=−14x−22．
（2） 如图 1，连接 BN，
∵N1，N2 是 N 的对称点，
∴BN1=BN2=BN，∠N1BD=∠NBD，∠NBC=∠N2BC，
∴∠N1BN2=2∠DBC，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AB=BC，∠ABC=2∠DBC，
∴∠ABC=∠N1BN2，ABBN1=BCBN2，
∴△ABC∽△N1BN2．
（3） ∵ 点 N 是 CD 上的动点，
∴ 点到直线的距离，垂线段最短，
∴ 当 BN⊥CD 时，BN 最短，
∵C2,0，D0,−1，
∴CD=5，
∴BNmin=BD×COCD=455，
∴BN1min=BNmin=455，
∵△ABC∽△N1BN2，
∴ABBN1=ACN1N2，
N1N2min=165．
（4） 如图 2，
过点 P 作 PE⊥x 轴，交 AB 于点 E，
∵∠PQA=∠BAC，
∴PQ1∥AC，
∵ 菱形 ABCD 中，C2,0，D0,−1，
∴A−2,0，B0,1，
∴lAB：Y=12x+1，
不妨设 Pm,−14m−22，则 Em,12m+1，
∴PE=14m2−12m+2，
∴ 当 m=1 时，PEmin=74，
此时，PQ1 最小，最小值为 PEtan∠EQ1P=72，
∴PQ1=PQ2=72．