2021年上海市奉贤区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2021年上海市奉贤区中考一模数学试卷（期末），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 将抛物线 y=2x2 向左平移 1 个单位后得到的抛物线表达式是
A. y=2x2−1B. y=2x2+1C. y=2x+12D. y=2x−12

2. 下列两个图形一定相似的是
A. 两个菱形B. 两个正方形C. 两个矩形D. 两个梯形

3. 已知 a，b 和 c 都是非零向量，下列结论中不能确定 a∥b 的是
A. ∣a∣=∣b∣B. 2a=3bC. a∥c，c∥bD. a=12c，b=3c

4. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，如果 AC=3，csA=34，那么 AB 的长为
A. 94B. 4C. 5D. 254

5. 如果 ⊙O1 和 ⊙O2 内含，圆心距 O1O2=4，⊙O1 的半径长是 6，那么 ⊙O2 的半径 r 的取值范围是
A. 0C. r>10D. 010

6. 如图 1，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，BC=3AD，对角线 AC，BD 交于点 O，EF 是梯形 ABCD 的中位线，EF 与 BD，AC 分别交于点 G，H，如果 △OGH 的面积为 1，那么梯形 ABCD 的面积为
A. 12B. 14C. 16D. 18

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 如果 2a=5b，那么 ab= ．

8. 如果 4 是 a 与 8 的比例中项，那么 a 的值为 ．

9. 如果二次函数 y=mx2+2x+m−1 的图象经过点 P1,2，那么 m 的值为 ．

10. 如果二次函数 y=x−12 的图象上有两点 2,y1 和 4,y2，那么 y1 y2（填“>”，“=”或“<”）．

11. 如图，用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃（靠墙处不用篱笆），中间用篱笆隔开分成两个小长方形区域，分别种植两种花草，篱笆总长为 17 米（恰好用完），围成的大长方形花圃的面积为 24 平方米．设垂直于墙的一段篱笆长为 x 米，可列出方程为 ．

12. 如果两个相似三角形的周长之比为 1:4，那么这两个三角形对应边上的高之比为 ．

13. 已知点 P 是线段 AB 上一点，且 BP2=AP⋅AB，如果 AB=2 厘米，那么 BP= 厘米．

14. 已知某斜坡的坡度 i=1:3，当铅垂高度为 3 米时，水平宽度为 米．

15. 如果点 G 是 △ABC 的重心，且 AG=6，那么 BC 边上的中线长为 ．

16. 如图，已知点 D 在 △ABC 的边 BC 上，连接 AD，P 为 AD 上一点，过点 P 分别作 AB，AC 的平行线交 BC 于点 E，F，如果 BC=3EF，那么 APPD= ．

17. 当两条曲线关于某直线 l 对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线 l 的对称曲线．如果抛物线 C1:y=x2−2x 与抛物线 C2 是关于直线 x=−1 的对称曲线，那么抛物线 C2 的表达式为 ．

18. 如图 4，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=3，BC=4，CD 是 △ABC 的角平分线，将 Rt△ABC 绕点 A 旋转，如果点 C 落在射线 CD 上，点 B 落在点 E 处，联结 DE，那么 ∠AED 的正切值为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 已知 a:b=2:3，b:c=3:4，且 2a+b−c=6，求 a，b，c 的值．

20. 如图，已知抛物线 y=−x2+ax+3 与 y 轴交于点 A，且对称轴是直线 x=1．
（1）求 a 的值与该抛物线顶点 P 的坐标；
（2）已知点 B 的坐标为 1,−2，设 OA=a，OP=b，用向量 a，b 表示 OB．

21. 如图 6，在 △ABC 中，AB=AC=5，BC=2，过点 B 作 BD⊥AC，垂足为点 D．

（1）求 ct∠ACB 的值；
（2）点 E 是 BD 延长线上一点，联结 CE，当 ∠E=∠A 时，求线段 CE 的长．

22. 如图 1 是一个手机的支架，由底座、连杆 AB，BC，CD 和托架组成（连杆 AB，BC，CD 始终在同一平面内），连杆 AB 垂直于底座且长度为 8.8 厘米，连杆 BC 的长度为 10 厘米，连杆 CD 的长度可以进行伸缩调整．
（1）如图 2，当连杆 AB，BC 在一条直线上，且连杆 CD 的长度为 9.2 厘米，∠BCD=143∘ 时，求点 D 到底座的高度（计算结果保留一位小数）．
（2）如图 3，如果 ∠BCD=143∘ 保持不变，转动连杆 BC，使得 ∠ABC=150∘，假如 AD∥BC 时为最佳视线状态，求最佳视线状态时连杆 CD 的长度（计算结果保留一位小数）．
（参考数据：sin53∘≈0.80，cs53∘≈0.60，ct53∘≈0.75）

23. 如图，在四边形 ABCD 中，∠B=∠DCB，连接 AC，点 E 在边 BC 上，且 ∠CDE=∠CAD，DE 与 AC 交于点 F，CE⋅CB=AB⋅CD．
（1）求证：AD∥BC；
（2）当 AD=DE 时，求证：AF2=CF⋅CA．

24. 如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=−12x2+bx+c 与 x 轴正半轴交于点 A4,0，与 y 轴交于点 B0,2，点 C 在该抛物线上且在第一象限．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）将该抛物线向下平移 m 个单位，使得点 C 落在线段 AB 上的点 D 处，当 AD=3BD 时，求 m 的值；
（3）连接 BC，当 ∠CBA=2∠BAO 时，求点 C 的坐标．

25. 已知 ⊙O 的直径 AB=4，点 P 为弧 AB 上一点，联结 PA，PO，点 C 为劣弧 AP 上一点（点 C 不与点 A，P 重合），连接 BC 交 PA，PO 于点 D，E．
（1）如图，当 cs∠CBO=78 时，求 BC 的长；
（2）当点 C 为劣弧 AP 的中点，且 △EDP 与 △AOP 相似时，求 ∠ABC 的度数；
（3）当 AD=2DP，且 △BEO 为直角三角形时，求四边形 AOED 的面积．
答案
第一部分
1. C
2. B
3. A
4. B
5. D
6. C
第二部分
7. 52
8. 2
9. 12
10. <
11. 17−3x⋅x=24
12. 1:4
13. 5−1
14. 9
15. 9
16. 2
17. y=x+32−1
18. 37
第三部分
19. 设 a=2k，b=3k，c=4k．
∵2a+b−c=6，∴4k+3k−4k=6．
∴k=2．
∴a=4，b=6，c=8．
20. （1） 由题意得：a2=1，
所以 a=2，
把 x=1 代入抛物线解析式，得 y=4．
所以顶点 P1,4．
（2） 由题意得：A0,3，OA=3，
因为 P1,4，B1,−2，
所以 PB=6，
因为直线 x=1 平行于 y 轴，
所以 PB∥OA，
所以 PB=−2OA=−2a．
所以 OB=OP+PB=b−2a．
21. （1） 过点 A 作 AF⊥BC，垂足为点 F．
∵AB=AC=5，BC=2，AF⊥BC，
∴BF=CF=1，
∵AF2+CF2=AC2，
∴AF=2，
∴ 在 Rt△ACF 中，ct∠ACB=CFAF=12．
（2） ∵∠E=∠A，∠EDC=∠ADB，
∴△ECD∽△ABD，
∴ECAB=CDBD，
在 Rt△BDC 中，ct∠ACB=CDBD=12，
∴ECAB=12，
∴EC=12AB=52．
22. （1） 过点 D 作 DE∥AC，过点 C 作 CE⊥DE，垂足为点 E，
由题意得：∠E=∠BCE=90∘，AB=8.8 厘米，BC=10 厘米，CD=9.2 厘米，
∴∠DCE=∠BCD−∠BCE=143∘−90∘=53∘，
在 Rt△CDE 中，sin∠DCE=DECD，
∴DE=sin53∘⋅CD=9.2×sin53∘≈7.36 厘米，
∴ 点 D 到底座的高度 =8.8+10+7.36=26.16≈26.2 厘米．
答：点 D 到底座的高度约 26.2 厘米．
（2） 分别过点 B，C 作 BF⊥AD，CG⊥AD，垂足为点 F，G，
由题意得：∠ABC=150∘，∠BCD=143∘，AD∥BC，
∵BF⊥AD，CG⊥AD，
∴BF=CG，∠ABF=60∘，∠DCG=53∘，
在 Rt△ABF 中，∠BAF=30∘，BF=12AB=4.4 厘米，
∴CG=4.4 厘米，
在 Rt△CDG 中，cs∠DCG=CGCD，
∴CD=CGcs∠DCG=CGcs53∘=4.4cs53∘≈7.3 厘米．
答：最佳视线状态时连杆 CD 的长度约 7.3 厘米．
23. （1） ∵CE⋅CB=AB⋅CD，
∴CEAB=CDCB．
又 ∵∠B=∠DCB，
∴△ABC∽△ECD．
∴∠ACB=∠CDE．
∵∠CDE=∠CAD，
∴∠ACB=∠CAD．
∴AD∥BC．
（2） ∵∠CDE=∠CAD，∠DCF=∠DCA，
∴△CDF∽△CAD．
∴CFCD=CDCA，CD2=CF⋅CA．
∵AD∥BC，
∴∠ADF=∠DEC．
又 ∵AD=DE，∠CDE=∠CAD，
∴△ADF≌△DECSAS．
∴AF=CD．
∴AF2=CF⋅CA．
24. （1） 抛物线 y=−12x2+bx+c 经过点 A4,0，B0,2，
∴−8+4b+c=0,2=c. b=32,c=2.
∴ 抛物线的表达式为：y=−12x2+32x+2．
（2） 过点 D 作 CE⊥x 轴，垂足为点 E，
∵CE⊥x 轴，AD=3BD，
∴CE∥y 轴，
∴ADAB=AEAO=DEBO．
∵A4,0，B0,2，
∴OA=4，OB=2，
∴AE=3，DE=32，
∴OE=1，即点 C，D 的横坐标为 1，
∴C1,3，D1,32，
∴CD=32，即 m=32．
（3） 延长 CB 交 x 轴于点 F，过点 C 作 CG⊥x 轴，垂足为点 G．
∵∠CBA=2∠BAO，∠CBA=∠BAO+∠BFA，
∴∠BAO=∠BFA，
∴BA=BF，
∴OA=OF=4，F−4,0，
∵ 点 C 在抛物线上，设 Ct,−12t2+32t+2，
在 Rt△CFG 中，tan∠CFG=CGFG；
在 Rt△ABO 中，tan∠BAO=OBOA=12，
∴CGFG=OBOA，−12t2+32t+2t+4=12，t1=0（舍），t2=2，
∴ 点 C 的坐标 2,3．
25. （1） 过点 O 作 OF⊥BC，垂足为点 F，
因为 OF⊥BC，
所以 BF=CF=12BC，
在 Rt△BOF 中，cs∠CBO=BFOB，78=BF2，
所以 BF=74，BC=72．
（2） 连接 OC，设 ∠B 的大小为 x，
因为 OB=OC，
所以 ∠B=∠C=x，
所以 ∠AOC=2x，
又因为点 C 为劣弧 AP 的中点，CO 为半径，OA=OP，
所以 OC⊥AP，
所以 ∠AOC=∠POC=2x，
所以 ∠A=∠P=90∘−2x，
∠PEC=3x，
因为 △EDP∽△AOP，
∠PDE>∠A，
所以 ∠PED=∠A，
所以 3x=90∘−2x，
x=18∘，
即 ∠ABC=18∘．
（3） 过点 O 作 OG∥AP 交 BC 于点 G，
因为 OG∥AP，
所以 OGAD=OBAB=12，
OGDP=OEPE，
所以 AD=2OG，
又因为 AD=2DP，
所以 OG=DP，
所以 OE=PE=1，
因为 △BEO 为直角三角形，
①当 ∠BOE=90∘ 时，过点 D 作 DM∥AB 交 PO 于点 M，
因为 DM∥AB，
所以 DMAO=PDPA，
∠PMD=∠POA=90∘，
因为 AD=2DP，PO=AO=2，
所以 DM=23，
所以
SAOED=S△AOP−S△PDE=12×AO×OP−12×PE×DM=2−13=53,
②当 ∠BEO=90∘ 时，连接 OD，
因为 OE=1，OB=2，
所以 ∠B=30∘，∠BOP=60∘，BE=3，
所以 ∠P=∠A=30∘，
所以 ∠A=∠B=30∘，
所以 AD=BD，
所以 OD⊥AB，
OD=OB3=233，
所以
SAOED=S△ABD−S△OBE=12×AB×OD−12×OE×BE=433−32=563.