2021年上海市虹口区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2021年上海市虹口区中考一模数学试卷（期末），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 在 △ABC 中，∠C=90∘，如果 BC=3，AC=4，那么 tanA 的值是
A. 34B. 43C. 35D. 45

2. 如果向量 a 和 b 是单位向量，那么下列等式中，成立的是
A. a=bB. a=b
C. a+b=2D. a−b=0

3. 下列函数中，属于二次函数的是
A. y=1x2−2B. y=x2−2
C. y=x2−2D. y=x−22−x2

4. 将抛物线 y=x2−3 向右平移 2 个单位后得到的新抛物线表达式是
A. y=x2−1B. y=x2−5
C. y=x+22−3D. y=x−22−3

5. 如图，传送带和地面所成斜坡的坡度 i=1:2.4，如果它把某物体从地面送到离地面 10 米高的地方，那么该物体所经过的路程是
A. 10 米B. 24 米C. 25 米D. 26 米

6. 如图 2，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，D 是边 AB 上一点，过 D 作 DF⊥AB 交边 BC 于点 E，交 AC 的延长线于点 F，联结 AE．如果 tan∠EAC=13，S△CEF=1，那么 S△ABC 的值是
A. 3B. 6C. 9D. 12

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 如果 a:b=3:2，那么 aa+b= ．

8. 计算：3a−122a−4b= ．

9. 如果抛物线 y=x2−a 经过点 2,0，那么 a 的值是 ．

10. 如果抛物线 y=k+1x2 有最高点，那么 k 的取值范围是 ．

11. 如果抛物线 l 经过点 A−2,0 和 B5,0，那么该抛物线的对称轴是直线 ．

12. 沿着 x 轴正方向看，抛物线 y=x2−2 在 y 轴左侧的部分是 的（填“上升”或“下降”）．

13. 点 P 是线段 AB 上的一点，如果 AP2=BP⋅AB，那么 APAB 的值是 ．

14. 已知 △ABC∽△AʹBʹCʹ，顶点 A，B，C 分别与顶点 Aʹ，Bʹ，Cʹ 对应，AD，AʹDʹ 分别是 BC，BʹCʹ 边上的中线，如果 BC=3，AD=2.4，BʹCʹ=2，那么 AʹDʹ 的长是 ．

15. 如图，AB∥CD，AD，BC 相交于点 E，过 E 作 EF∥CD 交 BD 于点 F，如果 AB=3，CD=6，那么 EF 的长是 ．

16. 如图 4，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠A=90∘，∠BDC=90∘，AD=4，BC=9，那么 BD= ．

17. 如图，图中提供了一种求 ct15∘ 的方法．作 Rt△ABC，使 ∠C=90∘，∠ABC=30∘，再延长 CB 到点 D，使 BD=BA，连接 AD，即可得 ∠D=15∘．如果设 AC=t，则可得 CD=2+3t，那么 ct15∘=ctD=CDAC=2+3．运用以上方法，可求得 ct22.5∘ 的值是 ．

18. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=6，BC=8．D 是 BC 的中点，点 E 在边 AB 上，将 △BDE 沿直线 DE 翻折，使得点 B 落在同一平面内的点 Bʹ 处，线段 BʹD 交边 AB 于点 F，连接 ABʹ．当 △ABʹF 是直角三角形时，BE 的长为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：tan245∘ct30∘−2cs45∘−2sin60∘．

20. 已知二次函数的解析式为 y=12x2−2x．
（1）用配方法把该二次函数的解析式化为 y=ax+m2+k 的形式；
（2）选取适当的数据填入下表，并在图中所示的平面直角坐标系 xOy 内描点，画出该函数的图象．
x⋯⋯y⋯⋯


21. 如图，在 △ABC 中，点 G 是 △ABC 的重心，联结 AG，联结 BG 并延长交边 AC 于点 D，过点 G 作 GE∥BC 交边 AC 于点 E．
（1）如果 AB=a，AC=b，用 a，b 表示向量 BG；
（2）当 AG⊥BD，BG=6，∠GAD=45∘ 时，求 AE 的长．

22. 图 1 是一款家用落地式取暖器．如图 2 是其放置在地面上时的侧面示意图，其中矩形 ABCD 是取暖器的主体，等腰梯形 BEFC 是底座，BE=CF，烘干架连杆 GH 可绕边 CD 上一点 H 旋转，以调节角度．已知 CD=50 cm，BC=8 cm，EF=20 cm，DH=12 cm，GH=15 cm，∠CFE=30∘．当 ∠GHD=53∘ 时，求点 G 到地面的距离．（精确到 0.1 cm）（参考数据：sin53∘≈0.80，cs53∘≈0.60，tan53∘≈1.33，3≈1.73）

23. 如图，在 △ABC 中，点 D，G 在边 AC 上，点 E 在边 BC 上，DB=DC，EG∥AB，AE，BD 交于点 F，BF=AG．
（1）求证：△BFE∽△CGE；
（2）当 ∠AEG=∠C 时，求证：AB2=AG⋅AC．

24. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A−1,0，B3,0，C0,3，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A，B 两点．
（1）当该抛物线经过点 C 时，求该抛物线的表达式．
（2）在（1）题的条件下，点 P 为该抛物线上一点，且位于第三象限，当 ∠PBC=∠ACB 时，求点 P 的坐标．
（3）如果抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点 D 位于 △BOC 内，求 a 的取值范围．

25. 如图，在 △ABC 中，∠ABC=90∘，AB=3，BC=4，过点 A 作射线 AM∥BC，点 D，E 是射线 AM 上的两点（点 D 不与点 A 重合，点 E 在点 D 右侧），连接 BD，BE 分别交边 AC 于点 F，G，∠DBE=∠C．
（1）当 AD=1 时，求 FB 的长；
（2）设 AD=x，FG=y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；
（3）连接 DG 并延长交边 BC 于点 H，如果 △DBH 是等腰三角形，请直接写出 AD 的长．
答案
第一部分
1. A
2. B
3. C
4. D
5. D
6. C
第二部分
7. 35
8. 2a+2b
9. 4
10. k<−1
11. x=32
12. 下降
13. 5−12
14. 1.6
15. 2
16. 6
17. 2+1
18. 2 或 4017
第三部分
19. 原式=13−2−2×32=3+2−3=2.
20. （1） y=12x2−2x=12x2−4x=12x2−4x+4−4=12x−22−2.
（2） x⋯01234⋯y⋯0−32−2−320⋯
21. （1） ∵ 点 G 是 △ABC 的重心，
∴BD 是 AC 边上的中线，即 AD=12AC，
∴AD=12AC=12b，
∴BD=AD−AB=12b−a .
∵ 点 G 是 △ABC 的重心，
∴BG=2GD，即 BG=23BD .
∴BG=23BD=2312b−a=13b−23a．
（2） 由上可知 ∵BG=2GD=6，
∴GD=3．
在 Rt△AGD 中，sin∠GAD=GDAD=22，
∴AD=32．
∵BD 是 AC 边上的中线，
∴DC=AD=32．
∵GE∥BC，
∴DGDB=DEDC=13，
∴DE=2．
∴AE=AD+DE=32+2=42．
22. 分别延长 AB，DC 交 EF 于点 M，N，则有 BM⊥EF，CN⊥EF．
过点 G 作 GP⊥CD 于点 P，
则点 G 到地面的距离等于 PN 的长．
根据题意，可知 BC=MN=8 cm，EM=NF=20−8÷2=6 cm，
在 Rt△CNF 中，tan∠CFE=CNNF=33，
∴CN=23 cm，
在 Rt△GPH 中，cs∠GHD=PHGH≈0.60，
∴PH=9.0 cm，
∴PN=PH+HC+CN=9+50−12+23=50.46≈50.5 cm．
答：点 G 到地面的距离约为 50.5 cm．
23. （1） ∵DB=DC，
∴∠DBC=∠C．
∵EG∥AB，
∴AGGC=BEEC．
∵BF=AG，
∴BFGC=BEEC．
∴△BFE∽△CGE．
（2） ∵△BFE∽△CGE，
∴∠BEF=∠CEG．
又 ∵EG∥AB，
∴∠ABE=∠CEG．
∴∠ABE=∠BEF．
∴AB=AE．
∵∠EAG=∠CAE，∠AEG=∠C，
∴△AEG∽△ACE．
∴AEAC=AGAE．
∴AE2=AG⋅AC．
∴AB2=AG⋅AC．
24. （1） ∵y=ax2+bx+c 过 A−1,0，B3,0，C0,3，
∴0=a−b+c,0=9a+3b+c,3=c.
解得：a=−1,b=2,c=3.
∴y=−x2+2x+3．
（2） ∵∠PBC=∠ACB，∠OBC=∠OCB=45∘，
∴∠PBO=∠ACO，
∴tan∠PBO=tan∠ACO=13．
设点 P 的坐标为 x,−x2+2x+3，过点 P 作 PQ⊥x轴，垂足为点 Q．
∵ 点 P 在第三象限，
∴tan∠PBO=PQBQ=−−x2+2x+33−x=13，
解得 x=3（舍）或 x=−43．
∴ 点 P 的坐标为 −43,−139．
（3） ∵y=ax2+bx+c 过 A−1,0，B3,0，
∴0=a−b+c,0=9a+3b+c.
解得：b=−2a,c=−3a.
∴y=ax2−2ax−3a．
∴ 抛物线 y=ax−12−4a 的顶点 D 坐标是 1,−4a．
∴ 即抛物线的顶点 D1,−4a 在对称轴直线 x=1 上．
设直线 x=1 交边 CB，OB 于点 M，N，可得 M1,2，N1,0．
又 ∵ 顶点 D 位于 △BOC 内，即顶点 D 在线段 MN 上（除点 M，N 外），
∴0<−4a<2，即 −12 ∴a 的取值范围是 −1225. （1） ∵AD∥BC，
∴ADBC=DFFB．
∵ADBC=14，
∴FB=45BD．
∵AD∥BC，∠ABC=90∘，
∴∠BAD=90∘．
∵AD=1，AB=3，
∴BD=12+32=10．
∴FB=4510．
（2） ∵∠ABC=90∘，AB=3，BC=4，
∴AC=5．
∵∠BAD=90∘，AB=3，AD=x，
∴BD=x2+9．
∵AD∥BC，
∴FAFC=FDFB=ADBC=x4．
∴ 可得 FC=20x+4，FB=4x2+9x+4．
∵∠DBE=∠C，∠BFG=∠CFB，
∴△FBG∽△FCB．
∴FB2=FG⋅FC．
∴4x2+9x+42=y⋅20x+4．
即 y=4x2+365x+200 （3） 78 或 32 或 94．