2020年广东省深圳市坪山区中考一模数学试卷

这是一份2020年广东省深圳市坪山区中考一模数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 在 −2，−1，0，1 这四个数中，最小的数是
A. −2B. −1C. 0D. 1

2. 2019 年 4 月 10 日，人类首次看到黑洞，该黑洞的质量是太阳的 65 亿倍，距离地球大约 55000000 年，将数据 55000000 用科学记数法表示为
A. 0.55×108B. 5.5×108C. 5.5×107D. 55×106

3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 下列各运算中，计算正确的是
A. a+a=a2B. 3a23=9a6
C. a+b2=a2+b2D. 2a⋅3a=6a2

5. 若 x=2 是一元二次方程 x2−3x+a=0 的一个根，则 a 的值是
A. 0B. 1C. 2D. 3

6. 某学习小组的 5 名同学在一次数学竞赛中的成绩分别是 94 分、 98 分、 90 分、 94 分、 89 分，则下列结论正确的是
A. 平均分是 91B. 众数是 94C. 中位数是 90D. 极差是 8

7. 如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间 x 与火车在隧道内的长度 y 之间的关系用图象描述大致是
A. B.
C. D.

8. 如图，AB∥CD，∠1=58∘，FG 平分 ∠EFD，则 ∠FGB 的度数等于
A. 97∘B. 116∘C. 122∘D. 151∘

9. 如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为圆心，适当的长为半径作弧，分别交 x 轴、 y 轴于点 M 、点 N，再分别以点 M，N 为圆心，大于 12MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点 Pa,b，则 a 与 b 的数量关系为
A. a+b=0B. a+b>0C. a−b=0D. a−b>0

10. 有两块面积相同的小麦试验田，分别收获小麦 9000 kg 和 15000 kg．已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少 3000 kg，若设第一块试验田每公顷的产量为 x kg，由题意可列方程
A. 9000x+3000=15000xB. 9000x=15000x−3000
C. 9000x=15000x+3000D. 9000x−3000=15000x

11. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 C，D 在 ⊙O 上，∠BOC=110∘，AD∥OC，则 ∠ABD 等于
A. 20∘B. 30∘C. 40∘D. 50∘

12. 如图，抛物线 y1=ax2+bx+ca≠0 的顶点为 A1,3，且与 x 轴有一个交点为 B4,0，直线 y2=mx+n 与抛物线交于 A，B 两点，下列结论：
① 2a+b=0；② abc>0；③方程 ax2+bx+c=3 有两个相等的实数根；④抛物线与 x 轴的另一个交点坐标是 −1,0；⑤当 1A. ①②③B. ①③④C. ①③⑤D. ②④⑤

二、填空题（共4小题；共20分）
13. 分解因式：x2−4= ．

14. 在平面直角坐标系中，点 Pm,m−2 在第一象限内，则 m 的取值范围是 ．

15. 菱形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC=45∘，OC=22，则点 B 的坐标为 ．

16. 如图，Rt△OAB 的边 AB 延长线与反比例函数 y=33x 在第一象限的图象交于点 C，连接 OC，且 ∠AOB=30∘，点 C 的纵坐标为 1，则 △OBC 的面积是 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 计算：9−2cs30∘+1−π0+∣−3∣．

18. 先化简，再求值：2a−6a2+4a+4⋅a+2a−3+1a+2，其中 a=2．

19. 体育中考临近时，某校体育老师随机抽取了九年级的部分学生进行体育中考的模拟测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，按得分划分成A，B，C，D，E，F六个等级，并绘制成如下两幅不完整的统计图表．
等级得分x分频数人A95请你根据图表中的信息完成下列问题：
（1）本次抽样调查中 m= ，n= ；
（2）扇形统计图中，E等级对应扇形的圆心角 α 的度数为 ；
（3）该校决定从本次抽取的A等级学生（记为甲、乙、丙、丁）中，随机选择 2 名成为学校代表参加全市体能竞赛，请你用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到甲和乙的概率．

20. 如图，航拍无人机从 A 处测得一幢建筑物顶部 B 的仰角为 45∘，测得底部 C 的俯角为 60∘，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离 AD 为 110 米，那么该建筑物的高度 BC 约为多少米?（结果保留整数，3≈1.73）

21. 如图，在边长为 6 的菱形 ABCD 中，点 M 是 AB 上的一点，连接 DM 交 AC 于点 N，连接 BN．
（1）求证：△ABN≌△ADN；
（2）若 ∠ABC=60∘，AM=4，∠ABN=α，求点 M 到 AD 的距离及 tanα 的值．

22. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用 28 m 长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD（篱笆只围 AB，BC 两边），设 AB=x m．
（1）若花园的面积为 192 m2，求 x 的值；
（2）若在 P 处有一棵树与墙 CD，AD 的距离分别是 15 m 和 6 m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积 S 的最大值．

23. 如图 1，抛物线 y=ax2+bx−2 与 x 轴交于两个不同的点 A−1,0，B4,0，与 y 轴交于点 C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图 2，连接 BC，作垂直于 x 轴的直线 x=m，与抛物线交于点 D，与线段 BC 交于点 E，连接 BD 和 CD，求当 △BCD 面积的最大值时，线段 ED 的值；
（3）在（2）中 △BCD 面积最大的条件下，如图 3，直线 x=m 上是否存在一个以 Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线 AC 相切的圆?若存在，求出圆心 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. A【解析】根据有理数比较大小的方法，可得 −2<−1<0<1，
∴ 在 −2，−1，0，1 这四个数中，最小的数是 −2．
2. C【解析】将 55000000 科学记数法表示为：5.5×107．
3. A【解析】A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
4. D【解析】A、 原式=2a，不符合题意；
B、 原式=27a6，不符合题意；
C、 原式=a2+2ab+b2，不符合题意；
D、 原式=6a2，符合题意．
故选：D．
5. C
【解析】把 x=2 代入方程 x2−3x+a=0 得 4−6+a=0，解得 a=2．
故选：C．
6. B【解析】A、平均分为：94+98+90+94+89÷5=93（分），故此选项错误；
B、 94 分、 98 分、 90 分、 94 分、 89 分中，众数是 94 分．故此选项正确；
C、五名同学成绩按大小顺序排序为：89，90，94，94，98，故中位数是 94 分，故此选项错误；
D、极差是 98−89=9，故此选项错误．
故选：B．
7. B【解析】根据题意可知火车进入隧道的时间 x 与火车在隧道内的长度 y 之间的关系具体可描述为：当火车开始进入时 y 逐渐变大，火车完全进入后一段时间内 y 不变，当火车开始出来时 y 逐渐变小，故反映到图象上应选B．
8. D【解析】∵AB∥CD，∠1=58∘，
∴∠EFD=∠1=58∘，
∵FG 平分 ∠EFD，
∴∠GFD=12∠EFD=12×58∘=29∘，
∵AB∥CD，
∴∠FGB=180∘−∠GFD=151∘．
故选：D．
9. A【解析】利用作图得点 OP 为第二象限的角平分线，
∴a+b=0．
10. C
【解析】第一块试验田的面积为：9000x，第二块试验田的面积为：15000x+3000．
方程应该为：9000x=15000x+3000．
11. A【解析】∵∠BOC=110∘，
∴∠AOC=180∘−110∘=70∘，
∵AD∥OC，
∴∠AOC=∠DAB=70∘，
∵AB 是直径，
∴∠ABD=90∘−70∘=20∘，故选：A．
12. C【解析】∵ 抛物线的顶点坐标 A1,3，
∴ 抛物线的对称轴为直线 x=−b2a=1，
∴2a+b=0，
∴ ①正确；
∵ 抛物线开口向下，
∴a<0，
∴b=−2a>0，
∵ 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，
∴c>0，
∴abc<0，
∴ ②错误；
∵ 抛物线的顶点坐标 A1,3，
∴x=1 时，二次函数有最大值，
∴ 方程 ax2+bx+c=3 有两个相等的实数根，
∴ ③正确；
∵ 抛物线与 x 轴的一个交点为 4,0，
而抛物线的对称轴为直线 x=1，
∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点为 −2,0，
∴ ④错误；
∵ 抛物线 y1=ax2+bx+c 与直线 y2=mx+nm≠0 交于 A1,3，B 点 4,0，
∴ 当 1 ∴ ⑤正确．
故选：C．
第二部分
13. x+2x−2
【解析】x2−4=x+2x−2．
14. m>2
【解析】由第一象限点的坐标的特点可得：m>0,m−2>0,
解得：m>2．
故答案为：m>2．
15. 22+2,2
【解析】过 C 作 CE⊥OA 于 E，
∵∠AOC=45∘，OC=22，
∴OE=OCcs45∘=2，CE=OCsin45∘=2，
∴ 点 B 的坐标为 22+2,2．
16. 433
【解析】如图，过点 C 作 CH⊥x 轴于 H，
∵ 点 C 在反比例函数图象上，点 C 的纵坐标为 1，
∴ 点 C33,1，
∴CH=1，OH=33，
∵∠ABO=∠CBH，∠A=∠BHC=90∘，
∴∠HCB=∠AOB=30∘，
∴CH=3BH，
∴BH=33，
∴OB=OH−BH=833，
∴△OBC 的面积 =12×OB×CH=433．
第三部分
17. 原式=3−2×32+1+3=3−3+1+3=4.
18. 2a−6a2+4a+4⋅a+2a−3+1a+2=2a−3a+22⋅a+2a−3+1a+2=2a+2+1a+2=3a+2.
∵a=2，
∴原式=32+2=34.
19. （1） 12；28
【解析】24÷30%=80，
所以样本容量为 80；
m=80×15%=12，n=80−12−4−24−8−4=28．
（2） 36∘
【解析】E等级对应扇形的圆心角 α 的度数 =880×360∘=36∘．
（3） 画树状图如下：
共 12 种等可能的结果数，其中恰好抽到甲和乙的结果数为 2，
所以恰好抽到甲和乙的概率 =212=16．
20. 根据题意可知：AD⊥BC，
∴ 在 Rt△ABD 中，∠BAD=45∘，
∴BD=AD=110，
在 Rt△ADC 中，∠DAC=60∘，
∴tan60∘=CDAD，即 3=BC−110110，
解得 BC=1103+1≈300（米）．
答：该建筑物的高度 BC 约为 300 米．
21. （1） ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AB=AD，∠1=∠2．
又 ∵AN=AN，
∴△ABN≌△ADNSAS．
（2） 作 MH⊥DA 交 DA 的延长线于点 H．
由 AD∥BC，得 ∠MAH=∠ABC=60∘．
在 Rt△AMH 中，MH=AM⋅sin60∘=4×sin60∘=23．
∴ 点 M 到 AD 的距离为 23．
∴AH=2．
∴DH=6+2=8．
在 Rt△DMH 中，tan∠MDH=MHDH，
由（1）知，∠MDH=∠ABN=α，
∴tanα=34．
22. （1） ∵AB=x，则 BC=28−x，
∴x28−x=192，
解得：x1=12，x2=16，
答：x 的值为 12 或 16．
（2） ∵AB=x m，
∴BC=28−x，
∴S=x28−x=−x2+28x=−x−142+196，
∵ 在 P 处有一棵树与墙 CD，AD 的距离分别是 15 m 和 6 m，
∵28−15=13，
∴6≤x≤13，
∴ 当 x=13 时，S 取到最大值为：S=−13−142+196=195，
答：花园面积 S 的最大值为 195 平方米．
23. （1） 把 A−1,0，B4,0 代入 y=ax2+bx−2，
得到 a−b−2=0,16a+4b−2=0,
解得 a=12,b=−32,
∴ 抛物线的解析式为 y=12x2−32x−2．
（2） 设 Dm,12m2−32m−2，
∵C0,−2，B4,0，
∴ 直线 BC 的解析式为 y=12x−2，
∴Em,12m−2，
∴DE=12m−2−12m2−32m−2=−12m2+2m，
∴S△BCD=12⋅DE⋅OB=−m2+4m=−m−22+4，
∵−1<0，
∴m=2 时，△BDC 的面积最大，此时 DE=−12×22+2×2=2．
（3） 如图 3 中，连接 BC，
∵OBOC=OCOA=2，∠BCO=∠COA=90∘，
∴△BOC∽△COA，
∴∠OBC=∠OCA，
∵∠OBC+∠OCB=90∘，
∴∠OCA+∠OCB=90∘=∠ACB，
∴BC⊥AC，
∵ 点 B 的坐标为 4,0，点 C 的坐标为 0,−2，点 A 的坐标为 −1,0，
∴ 直线 BC 的解析式为 y=12x−2，直线 AC 的解析式为 y=−2x−2，
设点 Q 的坐标为 2,n，则过点 Q 且垂直 AC 的直线的解析式为 y=12x+n−1，
联立两直线解析式成方程组，得：y=12x+n−1,y=−2x−2,
解得：x=−2−2n5,y=4n−65,
∴ 两直线的交点坐标为 −2−2n5,4n−65，
依题意，得：2−02+n−02=−2−2n5−22+4n−65−n2，
整理，得：n2−3n−4=0，解得：n1=−1，n2=4，
∴ 点 Q 的坐标为 2,−1 或 2,4．
综上所述：在这条直线上存在一个以 Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线 AC 相切的圆，点 Q 的坐标为 2,−1 或 2,4．